III. — SulJBtitutiona linéaires permettant de transformer

„ rf/. dy

597. Nous allons montrer mainl.enanl, comment loulc difrf''rontiellc de la forme — . . où Z est un polynôme quelconque dit troisième ou du quatrième degré à racines inégales, se ramène à une

- g-^y ~ g?., pa'-

une substitution linéaire définie par l'une ou l'autre des formules

ambiguïté i l'aide des séries (CXXVIIj), pouPïu que, quand a; est sur une coupure, on dise sur quel bord il se trouve. Il résulte de U théorie des fonctions implicites que argsna; est une fonction holomorphe dans ie plan coupé des x. Les conséquences de ces propositions, pour le calcul des intégrales de la forme I —pi od X= {i — a;') (i — A'ic'), o < A-^ < i, sont toutes semblables à celles qui ont été développées dans le texte pour les intégrales de la foi'nie / ---'—--; ie lecteur les établira sans peine.

ÉVALUATION DES INTÈGRAT.KS LE LONG, B'UK CHEMIN QlIELCONQUt:. 10

équivalentes de la forme

,„iZ^i, j., '"-'' „ ■' , '■'-!>■<

OÙ a, p, Yi 2 sont des constantes telles que aS — jïï ^o''- «JifTércnt de zéro. Par ces formules, les points du plan des j et ceux du plan des z se correspondent d'une façon univoque.

Nous réunissons, dans ce qui suit, quelques propriétés géométriques importantes de eelte correspondance, grâce auxquelles le lecteur n'aura aucune peine à établir les résultats ultérieurs. Nous supposons Y différent de o, sans quoi la correspondance se réduirait à une similitude.

Nous désignerons par T et S les points respectivement situés dans le plan des z cl dans le plan dus y dont les affixes sont 7 et

; le point ï correspond à ^ ^ co, le point S à 3 ^ 30. A tout

cercle ou droite du plan des z qui ne passe pas par T correspond un cercle du plan des y, cercle qui passe par s s'il correspond à une droite, A tout cercle ou droite du plan des z qui passe par T correspond une droite du plan des y, laquelle passe par S si elle correspond à une droite. Ces propositions résultent de ce que la formule de transformation peut s'écrire

.y—.r> . Ja— .Kl ^ — -^1 . ^a — ^1

y—yi ' ys — Xî z — s^'z^—z^'

en désignant ^^v y^, y^, y^ les points du plan des y qui correspondent aux points z^^s^, 33 du plan des s, lesquels peuvent être pris arbitrairement. Si l'argument (trigonométrique) de " ^" l reste constant, en sorte que le point 3 décrive un cercle passant par les points Si, aj, l'argument de — ■ restera aussi constant, et le point y décrira un cercle passant parles points yi^y.,- De

même, si la valeur absolue de ^ reste constante, en sorte que

le point a décrive un cercle par rapport auquel les points 2|, z., soient symétriques (n° 559), la valeur absolue de — — — restera constante, en sorte que le point y décrira un cercle (ou une droite)

par rapport auquel les points yt , y^ seront symélriqucs. La transformation précédente conserve donc la symétrie des points par rapport aux cercles et aux droites. La même conclusion résulte aisément du principe de la conservation des angles et de la considération du faisceau de cercles orthogonaux à un cercle qui passent par deux points symétriques par rapport à ce cercle. Le centre d'un cercle et le point oo de son plan peuvent être regardés comme symétriques. Si donc on désigne par (C) un cercle ou une droite du plan des y, par (D) le cercle ou la droite du plan des s qui lui correspond, le centre de (D) sera le correspondant, dans le plan des z, du point du plan des y symétrique de s par rapport à (C), le centre de (C) sera le correspondant, dans le plan des y, du point du plan des s symétrique de T par rapport à (D). Si (G) et (D) sont des cercles véritables, les points s et T sont respeclivement extérieurs tous les deux, ou intérieurs tous les deux, aux cercles (C) el(D); dans le premier cas, les parties des plans des v et des 3 respectivement extérieures ou intérieures aux cercles (C), (D) se correspondent; dans le second, la partie intérieure à un cercle correspond à la partie extérieure à l'aujre. Si T est sur le cercle (D), (C) est une droite partageant le plan des y en deux régions; celle qui contient S correspond à la région du plan des s extérieure à (D). De même, si (O) est une droite et (C) un véritable cercle, passant nécessairement par S, la région du plan des s qui contient T correspond à la région du plan des y extérieure au cercle (C). Si (D) et (C) sont deux droites passant nécessairement la première par T, la seconde par S, la correspondance entre les points des deux droites est homographique, en sorte que, si le point s décrit la droite (D) toujours dans le même sens, en passant par T, le point y se meut sur la droite (C) en allant toujours dans le même sens jusqu'au point à l'infini dans cette direction, point qu'il atteint quand s arrive en T, passe brusquement, dès que le point z dépasse T, au point à l'infini dans l'autre direction et recommence à se mouvoir dans le même sens que tout d'abord.

Quand le point z décrit une courbe continue qui ne passe pas par T, ce mouvement même définit à chaque instant la région voisine du plan des z qu'il a à sa droite ou à sa gauche ; de même le mouvement correspondant du pointj^-. En vertu du principe de la

ÉVALUATION DES INTÉGRALES LE LONG c'UN CHEMIN QUELCONQUE. 17

conservation des angles, les deux régions à droite se correspondent dans les deux plans, ainsi que les deux régions à gauche. Cette remarque s'applique naturellement aux cas qui viennent d'être passés en revue. Faisons encore l'observation suivante : si (C) et (D) sont deux droites correspondantes et si l'on fait tourner [D) uniformément autour de T, (C) tournera nniformémenl autour de S ; les deux révolutions seront synchrones et les sens de rotation inverses.

598. Par la substitution précédente, l'expression différentielle — 1) oh Z est un polynôme du troisième ou du quatrième

degré, à racines inégales, se change identiquement en —^::;) si l'on pose

Y est un polynôme do quatrième degré, qui ne s'abaisse au Iroîsième que si - est racine de Z ou si, Z étant du troisième degré,

Y est nul.

Si le polynôme Z = As' + 4Bs' + 6C3^+ 4Da + E est du quatrième degré, nous désignerons ses racines, rangées dans un ordre que nous nous réservons de spécifier, parS), s^, z^, z^; si nous ne voulons pas spécifier cet ordre, nous désignerons par \, [j-, V, p les nombres i, 2, 3, 4 rangés dans un ordre déterminé quelconque et nous emploierons les notations sj, z^, Sv, Zç, pour désigner les racines. Si A est nul, nous supposerons ). = 4i ^t c'est la racine z\ ou Sj qui disparaîtra, ou, si l'on veut, deviendra infinie.

Nous allons chercher à déterminer les coefficients de la substitution linéaire de façon queYsoitde la forme ^y^ — g2y — ^3. A cet effet, nous choisirons d'abord une des racines de Z pour figurer à la place de - dans la formule de transformation qui lie y à z, afin que Y soit du troisième degré ; si nous désignons la racine choisie par Sp, nous pouvons écrire cette formule

CALCUL ISIÉGRAL,

en désignant par m et « des constantes. Le polynôme Y, ordonm snivant les puissances de ^ + », prend alors la forme

(a) Y = - Z-{j^- iiy -h ^ T'Jy + 7i)= + - Z'^j^ t.) ^

où Z'p, Zp, Zp, Zp désignent ce que devienneni les dérivées de Z pour s =:: Sp; il aura la forme voulue ^y^ — g^y — g^ si l'on détermine m et n par les conditions

on trouvera ensuite, par un calcul élémentaire,

é-, = AE + 3G' — 4BD, g^^ AGE-;-aBCD- AD^ — EB^ — C^;

gi et g3 sont les deiiK invariants de la forme Z ; ils ne dépendent pas de la racine Zç que l'on a choisie.

Nous rappelons ici la composition des invariants g-^, ^3, au moyen des racines de Z, Si l'on pose

onaura(')

^i- -{U-^W'^^^), 5-, = — (L-hM)(L^N)(M-i\).

Si Z^ «3^ + 3Z>s^4-3cs-l-(/est du troisième degré, on trouvera, pour les invariants g^, ga, les valeurs

[Dans ce cas, l'expression différentielle - se changerait encore en — '^--=> par la substitution entière y^ — — ^ — , en supposant \/Z = ^ - \jY et en conservant pour g^ et g^ la même signifiea-

1 1 } Voir par exemple le Traité d'Algèbre supérieure de M. H. Weber j. 343 de la iraductLon fi'ançaLse de W. Griess.

ÉVALUATION DES INTÉGRALES LE LONG D UN CIIEJUN QUItLCONQLE. 19

lion; nous ne parlerons plus de cetlR siibslitmion enliève, donl l'étode n'offre aucune difficiiUé.]

En résume, si, d) substiuition

où Zp est une racine de Z, celte expression différentielle prend la

forme — ^. où l'on a Y =; 4^= — g-^y ^ S^- En denx points cor-

— v/ï respondants y, z, c'esl-à-dire en deux points dont les affîxcs sont liées parla relation (CXXXII)), les valeurs des radicaux sont liées

pai

la relation

Si l'on veut appliquer les remarques du 11° 397, on devra remplacer T par Sp et s par ^ Zp.

Les racines e,, e^, e^ de Y se déduisent des racines de Z. Lorsque Z est du quatrième degré, nous désignerons respectivement par fia, ep, e^ les valeurs de y qui correspondent {au sens précédent) aux valeurs z\, z^, Sv de 3, le point co du plan des y correspondant à Sp. Si Z est du troisième degré, nous désignerons )>ar ep, fiy les valeurs de y qui correspondent respectivement à 3|i, 5v 1 ce sont deux racines de Y ; on trouve d'ailleurs aisément

la troisième racine e^ de Y apparaît sur l'expression {a) de Y, où l'on doit supposer Zp = o ; elle est ^ — rt -= |~ Zp ^^ S ; elle correspond au point 00 du plan des z.

S99. Nous supposerons désormais qne les coefficients de Z sont réels; il en sera de même de g^i §3, si même on a employé une substitution imaginaire. On a dès lors, en faisant se correspondre les valeurs de y et de 3, ainsi que les chemins d'intégra-

20 CALCUL INTÉGnAL.

Evons elles vaïeurs des radicaux,

j-, A jy

Vv"

pourvu que le cliemin d'intégration relatif à la variable y ne tra^ verse pas de coupure dans le plan des y. Il est bien naturel de tracer dans le plan des z des coupures qui correspondent à celles du plan des J-; elles seront les images, dans le plan des ^, des côtés du rectangle (R) du plan des u, résultant de la transformation

et elles permettronl de se passer de la variable intermédiaire j'. Dans le plan des z coupé, \/Z sera d'ailleurs une fonction holomorphe de z, définie, en tel point que l'on voudra, par la formule (CXXXIIï),où /Y a le sens qui a été précisé dans les paragraphes précédents, A la vérité, dans les applications, c'est la détermination de \/7j qui est donnée, et l'on en déduit celle de \/Y parla formule (CXXXUa) ; si la détermination ainsi obtenue pour \/Y est contraire à celle qui a été précisée dans les paragraphes précédents, la valeur de | —z. sera égale à ar^py' — ^"'^py"-

La construction des coupures (rectilignes ou circulaires) du plan des z n'offre aucune difficulté : il suffira, dans les différents cas, de se reporter aux propriétés géométriques que nous avons réunies au n" 597, et. nous nous contenterons d'expliquer nos notations et d'énoncer les résultats essentiels afin de rendre intelligibles les formules et les figures de notre Tableau de formules.

Observons encore, en général, qu'on peut choisir arbitrairement la racine Sp qui figure dans la formule de transformation, mais qu'il y a avantage, quand on n'envisage que les valeurs réelles de z qui rendent Z positif, à choisir une substitution réelle et telle que les valeurs correspondantes de y soient supérieures aux racines réelles de Y, afin que les valeurs de nr^py soient réelles; on verra que cela est possible, sauf dans le cas où les racines de Z sont toutes les quatre imaginaires. De même, si l'on considérait les valeurs réelles de z qui rendent Z négatif, il y aurait inté-