ÉVALUATION DES INTÉGRALES LE LONG D US CHEMIN QUELRONQUE

rêt à choisir la substitution de façon que les valeurs correspondantes dejK fussent inférieures aux racines réelles de Y, de façon que urgpy fût purement imaginaire.

On pourrait, dans ce qui suit, supposer que dans Z le coefficient de la plus haute puissance de z est positif, car si la fonction \/Z est bien définie, il en sera de même de la fonction \j^'L = (\/^; si donc, le long d'un chemin déterminé, on sait

effectuer l'intégrale / ■ - Jk r . on saura effectuer, le long du même J V — '^

chemin, rintéa;rale / — -^ ■

600. Examinons maintenant les différents cas. Supposons d'abord qne Z ^ as^ +.. . soit du troisième degré; nous supposerons a ]>o; s'il en était autrement, on pourrait utiliser la remarque précédente ; mais il vaudrait mieux, ici, commencer par changer z en — z.

Il J a lieu de distinguer deux cas suivant la nature des racines de Z. Si ces racines sont réelles, lout«s les substitutions seront réelles, ainsi que les racines de Y; si Z n'a qu'une racine réelle, il y aura une substitution réelle par laquelle correspondra, à la racine réelle de Z, une racine réelle de Y; les deux autres racines de Y seront conjuguées ,

Plaçons-nous d'abord dans le cas où les racines de Z sont réelles et désignons-les par 3, , s^, z^ en supposant 3, >■ Sa ]> 23 ; on suppose aussi, comme d'habitude, et'^e-i'^ e-^. Ces suppositions, jointes aux relations, bien aisées à démontrer,

où la correspondance entre les deux systèmes de racines est celle qui a été expliquée n" 598, permettent de montrer que l'on a nécessairement st^p, p^v, Y=:[A. A-UX points co, z^^ Zt, Sp du plan des ; correspondent les points e^, Sy, e^, oc du plan des y. Celle

CALCUL INTËG.RAL.

correspondance esL donnée en détaii par le Tableau son les différents cas o =: i, ■s, 3,

ss» zj

La première colonne verticale contient les valeurs — oo, a,, Sa, 3i, + 30 de z rangées par ordre de grandeurs croissantes; en face de ces valeurs, dans les colonnes suivantes qui se rapportent aux diverses valeurs de p, sont placées les valeurs correspondantes a^ y, les signes qz co que l'on trouve pour p :^ i et p ^^ 3 parmi ces valeurs signifient que, s croissant, y, qui décroît en général, passe brusquement de — co à 4-co quand z traverse la valeur Z^; le signe ±ûo du cas p ^ a signifie au contraire que y^ qui croît en général avec s, passe de H-co à — oo quand s traverse la valeur Si. Le Tableau donne enfin le signe de Zp nécessaire pour déduire la définition de \fL de celle de y/Y. Les images des diverses portions de coupure du plan des y se faisant, dans le plan des s, sur l'axe des quantités réelles, s'aperçoivent immédiatement dans les différents cas. Pour p ^= i ou 3, la moitié supérieure du plan des z correspond à la moitié inférieure du plan des^; pour p = 2, les moitiés supérieures des deux plans se correspondent.

Si s ne prend que des valeurs réelles comprises entre s, et +», on prendra, dans les formules (CXXXU,, 2, «^^ dans le Tableau que nous venons d'écrire, p ^^ 1 ; si s est compris entre z^ et Sj, on prendra soîl p = 2, soit p =^ 3 ; aux valeurs de s comprises entre les limites d'intégration correspondent alors des valeurs de Y comprises entre et et -h 00. De même, si = ne prend que des valeurs réelles qui rendent Z négatif, on choisira p de manière

ÉVALUATION DES IMTÉORALES LE LOSG D"UN CHE«IN QUELGONQUli. a3

que, aux valeurs de s comprises entre les limites d'inlégration, correspoudent des valeurs de y comprises entre eg et ^ oo. On obtient ainsi les formules (CXXXTII), où il est toujours entendu que les quantités w,, w^ sont définies au mojen de e,, e^, «a comme au n" 527.

601. La méthode s'applique naturellement au cas où le polj'nome Z serait le polynôme ^z^ — g-^z — g.^ et se reproduirait en quelque sorte par la substitution. Elle s'applique aiissi très aisément aux intégrales du type

où s est égal à -f- i ou à ~ i etoù n est uo nombre réel difîérent

de et de zpi.On tr

. . j, . dz

"^ ^ ^4..Ci±i)(»s-0

-c chacc en

formules

,u.„cl on remplace

s par l'une ou l'autre des expressions

^3ïj'^n±'

[ n 3E7=pn-a' Ss^-n+i'

les valeurs des radicaux y^4ï3(3 =bi)(/îs — i), y/4^'' — g^y — g^ sont telles que leurs rapports soient respectivement

les racines e,, 62,63 sont les trois nombres ■ . — ^^ — r — ^

rangés par ordre de grandeur décroissante. Dans toutes ces formules, les signes se correspondent.

Si l'on applique ces substitutions eu supposant la variable d'intégration réelle, on obtient en particulier les formules (CXXXIV)-

En remplaçant z par x^ et s par + i , on voit que les formules

~ 37±an-l-i' ~ Jy^n — i.' ~ :;y 1^ ii-\- f

trausformenL l'expression -, . „^^ , .

oùg"2, ^3,e,, ^2,^3 ontlesdéterminations que nous venons d'é

et où lesvaleursdesradicauxv/(+i— -K-)(i— rt2^^),y'4y°^^i>' — gi sont telles que leurs rapports soient respectivement

En désignant par h un nombre positif et en posant « = h-, on obtient, en particulier, les premières formules (GXXXV) ; K, K' y représentent (CXlXa) les quantités x{k'^),x'{k^), où l'expression de k" au moyen de h est indiquée pour les diverses intégrales envisagées.

Si l'on remplace dans les mêmes formules z par x^ et s par — i , on voit que les formules

~ iy ± •?. n -h i —■iy-^n. — 'i ^- ;ijzp h -h i

transforment l'expression -

dx — dy

gij gît ^ij ^2) ^3 sont déterminés parles mêmes relations pour = — I et oùles déterminations des radicaux y/(±: 1 + ^^) ( i — iix'-'),

V^y^ ~~ ë^y ^~ S^ sont telles que leurs rapports soient respectivement

En désignant par h un nombre positif et en posant n = — A*, on obtient, en particulier, les dernières des formules (CXXXV).

602. Plaçons-nous maintenant dans le cas où une seule racine de Z est réelle ; nous la désignerons par z^ ; nous désignerons par «1, Zj les racines qui sont la première au-dessus, la seconde audessous de l'axe des quantités réelles, et nous nous bornerons à la seule substitution réelle, qui correspond évidemment à la supposition p ^ a. Pour ce qui est de la fonction pu, on est dans le cas du n" 56S; on doit donc supposer e^ réel, e, et e, figurés par des points situés le premier au-dessus, le second au-dessous de

EVALUATION DES INTÉGRALES LU LONG D'UN CHEMIN QUELCONQUE. iS

l'axe des quanlités réelles. Le nombre Zj est réel et positif; pour les valeurs réelles de y, z et y varient dans des sens contraires; la moitié supérieure de l'nn des plans correspond à la moitié inférieure de l'autre. Aux points oo, s^, a,, z^ du plan des z, correspondent les points «a, oo, 63, fii du plan des y. A la coupure qui va, dans le plan des y, sur l'axe des quanlités réelles, de e^ à — co, correspond, dans le plan des 5, une coupure qui va de - — oo à s^, le bord supérieur de la coupure du plan des z correspondant au bord inférieur de la coupure du plan des ^. Au cercle (e^) du plan des y, de centre e^ el passant par e, , e^ correspond, dans le plan des z, le cercle (so) de centre s^ et passant par les points Si , S3 ; au point y ^ m ^ e^ + \ \/ e^ — e, \/ e^ — e-i j où , dans le plan des y,-ie cercle {e^) rencontre, vers la droite, l'axe des quantités réelles, correspond, dans le plan des 2, le point z = M = 5a 4- 1 \/ss — ^Jiy/ss — S3I oi!i le cercle (îa) rencontre, aussi vers la droite, l'axe des quantités réelles. A la coupure rectiligne du plan des y qui va de m à e^ correspond, dans le plan des z, la coupure rectiligne qui va de M à + co, le bord supérieur de la coupure du plan des s correspondant au bord inférieur de la coupure du plan des^. A la coupure circulaire du plan des y qui va de ei à 63, en passant par m, correspond, dans le plan des 2, la coupure circulaire qui va de Ss à s, en passant par M ; le bord intérieur de l'une des coupures correspond au bord extérieur de l'autre. Dans le plan des z ainsi coupé, y'Z est une fonction holomorphe de a; elle est positive pour des valeurs réelles àez un peu plus grandes que s^.La figure (C) du Tableau (CXXXVl) met en évidence la correspondance directe entre la variable u el la variable a. Elle correspond au cas où l'on a s^^ 5(51 + S3) et où, par suite, e^s est positif, en sorte que l'angle que font les deux vecteurs allant de o à w, et à uj est obtus. Dans tous les cas, les demi-côtés du rectangle (B) qui vont respectivement de o à wg — ui, et à (i), — W3, ont leurs images sur les bords supérieur et inférieur de la coupure qui va de — 00 à Sa ; les côtés qui vont de W3 — (Oi à 4(3(03 — (i)|) el de toi ^ uj à ^{3(ii, — W3) ont leurs icnages sur les bords supérieur et inférieur de la coupure qui va de + oo à M ; les quarts de côtés qui vont de |{3w3 — ui,) à (Ojet de ^(3wi — wa) à W| ont pour images les Lords extérieurs des coupures circulaires qui vont de M à 2, et de M à 23 ; le demi-côté qui va de wj à o), a

^oiir image le bord Intérieur de la coupure circulaire qui va de ^i à S3. Les rectangles du plan des u désignés sur la figui'c par (r, ), (''2)1 (''s)) (''i) ont respectivement pour images les régions {r\), (r^), ('■3), (r\] du plan des 5. La démonstralion des formules du Ta'bleau (GXXXVl) n'offre dès lors aucune difficiiUé.