CXLV
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Dans les formules (4-S), K désigne la fonciion x(r) de la variable
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CXLYl (siiiïE).
|i< — iS^sOp'+tié-îA + a^î^p — 36^sp^ ^iC — 18^3 «)p'+ 24^,^2 — 36g-3p — ^g-^;
gl^i — 9g^K\l'M-+- [i#2 — 9é'3(ea + p)Uaci,
é-s « — 9 é-s i;] i'^1 -i- g ^2 ( ey — ep ) ;pT,
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UZ'(K)-
Détermination de la fonction inverse de p k au moyen des formules CXXVIII et GXXIX.
Reprenons touteslosnoiations et conventions duTableau{CXXVni), sauf celles qui concernent la délerminalion de y'' — ■^U - ^'>s{^«~t~ ^\/~Ï— ^^)i que, dans cette Note, nous fixerons comme il suit :
Dans le plan de la variabie 2g, du point o comme centre, avec un rayon égal à rn~i' décrivons un cercle, et pratiquons à l'intérieur de ce cercle deux coupures allant respectivement des points -t-i, — i aus points m' — m* '^^"^ l'aire intérieure au cercle modifiée par ces coupures, regardons la fonction /i — »J comme ayant sa partie réelle positive, et la fonction -tiog(ao+ i ^i — s^) comme ayant sa partie réelle comprise
entre — it et ti. Les valeurs respectives de ces fonctions, sur îes bords des coupures, sont données par le Tableau suivant, où les radicaux et les logarithmes sont réels et positifs :
Coupure de gauche.
Bord supérieur, , , -v- j /s^ — i, t: — ilog{— z^-h s/ 5% -~ i),
Bord inférieur — i i/sj — i , 7; + ilog(~ a^ -f- \/^ — ')■
Coupure de droite.
Bord supérieur... - i ^Jf^, , i log(3„ + j/Sf^^),
Bord inférieur.... ^i^Jf^i, -+- ilog{z^ + </^ï^).
Pour.^0 réel, compris entre ~ 1 et s- i, la fonction ^[o§(za-\-i^i — isl) coïncide avec la fonction arccosa définie comme étant comprise entre o
l6o CALCUL INTÉGRAL.
et K. Dans l'aire do cercle, modifiée par les coupures, cette fonction est holomorphe, ainsi que la fonction
ip v'îi — Sa ([ -H x)^ p i/s,— £3(1 -+■ yj'
puisque So est une série entière en z^, convergente dans le cercle et sur sa circonférence. ■^ous désignerons par F(3o) le second niemhre de cette formule, où il est bien entendu que y'' — ^l et -^ log(^(i+ 'V' — ^l) ""^ le sens qui vient d'être précisé. Si l'on regarde alors So comme la fonction de p qui a été spécifiée dans le Tableau (CXXVIII), u ^ F(so) devient une fonction de p que nous désignerons par apy, en posant p =^; cette fonction est parfaitement déterminée pourvu que la partie réelle de IIo ne soit pas nulle, et l'on a identiquement p(apj) =jk- Les trois équations concordantes
-Ho
r^pu, u-^F(z,)
établissent une correspondance entre les trois variables a,,, ^(ou p), z^, correspondance qu'il est aisé d'approfondir dans les quati'e cas du Tableau (CXXIX) (fî, 73 réels). Dans le premier de ces cas, la fonction apj coïncide avec la fonction argpj définie au n" S9i; il aurait été facile d'établir la coïncidence entre les fonctions up^et argpy (n" 894) dans le troisième cas.
Quoi qu'il en soii, dans les quatre cas du Tableau (CXXIX), par les formules précédentes, au cercle et aux coupures du plan des 3^ correspondent, dans le plan des^, un système de coupures rectilignes ou circulaires qui passent par les points E], sg, Ej et, dans le plan des u, le contour d'un rectangle égal en surface à la moitié d'un parallélogramme des périodes et symétrique tantôt par rapporta l'axe desquantités réelles, tantôt par rapport à l'axe des quantités purement imaginaires. Sur le contour de ce reoiangle se trouve le point o qui correspond au point 1 du plan des z„ et au point oo du plan des/. Aux points intérieurs de ce rectangle correspondent d'une façon univoque les points du plan des/non situés sur les coupures et les points du plan des ^0 1"' sont intérieurs au cercle sans être situés sur les coupures. Quand le plan/ comporte des coupures circulaires, elles sont situées sur le cercle de centre ej qui passe par les points £1, Sj.
Les figures schématiques qui suivent expriment, dans chacun des quatre cas, cette correspondance. Pour plus de clarté on a séparé les bords des coupures et l'on a entouré les points critiques d'arcs de cercle infiniment petits que l'on regardera comme continuant les bords des coupures. Dans le plan des x^, au cercle infiniment petit décrit du point 1 comme centre,
TABl.RAU BËS FOllJIULES. ibl
correspondeni approxîmaiivemeni dans le plan des M un demi-cercle infi- Diment petit décrit du point o comme centre, et, dans le plan des y, un cercle de rayon infîniinenl grand, que l'on regardera comme embrassant tout le plan et dont on n'a figuré que l'amorce, vers -i- =o, ou ^ so, suivant les cas. Dans les trois plans, les coupures et les arcs de cercle limitent des aires simplement connexes qui se correspondent point par point et où les fonctions F(ao), np^, pu sont respectivement liolomorphes. Une flèche indique le sens dans lequel doit marcher un mobile partant du point i, ± ce, o, suivant qu'il se meut dans le plan des Z/,, des y, ou des m, pour suivre dans le sens direct le contour qui limite l'aire considérée sans jamais traverser une coupure; dans ce mouvement les trois mobiles se correspondent. On n'aura dès lors aucune peine à distinguer la correspondance entre les bords supérieurs et inférieurs, extérieurs ou intérieurs, des diverses coupures des plans des a^ ou des y et des diverses portions du contour du rectangle du plan des u. Au reste, sauf pour le point i du pian des Zg, on a employé, pour désigner les points remarquables de la ligure relative à ce plan, les mêmes lettre;, placées entre parenthèses, que pour le plan correspondant du plan des^; on a répété ces mêmes lettres placées entre crochets, à côté des points correspondants du plan des u.
[roiVCXXIII et CXXVIII, cas I.]
(' est de signe contraire aux coefficients de î dans y el dans Zn. A deux points^ dout les aflixes seul conjuguées correspondent deux points zo, ou deux points u, symétriques par rapport aux axes des quantités réelles. Au cercle du plan des y décrit de S| comme centre avec un rayon /r'(si — £3), cercle par rapport auquel les deux points Eî et S3 sont symétriques (n° 339).
des s, le di e plan des u, te segmei
qui
a du point ~
Au segment indéfini du plan des^ qui va de îi à -H ^ correspondent, dans le plan des a, le segment qui va de (s,) à -1- 1, et, dans le plan des u, le segment qui va de o à la,.
[ Voir CXXiV el CXXVIII, cas V. ]
i a le signe du coefficient de i dans ^ et le signe contraire au coefficient de i dans zn. A deux points j^ dont les affixes sont conjuguées correspondent deux points Za d'affixes conjuguées et deux points m symétriques par rapport à l'axe des quantités purement imaginaires. Au cercle du plan des j' décrit de 63 comme centre et par rapport auquel les deux points »,, E; sont symétriques, correspond, dans le plan des ^o, le diamètre qui va
du point -^ au point — 5-1 et, dans le plan des «, le segment qui va de
-— ■ Au segment indéfini du plan des^ q
à Ej correspond, dans le plan ( le plan des u, le segment qui ■
ade-
), le segment qui va de i à (sj), et, dans
[Voir CXXVr et CXXVIll, <::.<■ IV. )
t' est (le signe contraire aus. coefficients <ie i dans j' et dans Zij. A ilcus points^ dont les affixes sont conjuguées correspondent deu\ points ^o ou deux points u symétriques par rapport aus. axes des quantités réelles. A deux points y de même affîxe, mais situés sur les deux bords d'une coupure circulaire allant de m' à Ei ou à es, correspondent deux points So ^i'mélriques par rapport à l'ase des q^oantités purement imaginaires et deux points u symétriques par rapport à (o, ou à 0)3. A la partie non figurée du cercle du plan des/, de centre e^i qui va de Sj à S3, correspond, dans le plan des Zn, le diamètre qui va de (s,) à (ej), et, dans le plan des u, le segment qui va de tU] à toj. Au segment indéfini du plan des/, qui va de Es à -I- 00, correspond, dans le plan des ao, le segment qui va de (Eî)à i, et, dans le plan dos 11, le segment qui va de vij ■+ wj à o.
.DLRIU DES PORJIUi.KS.
(m,) = -cot7,
i est de même signe que le coefficient de i dans y et de signe coniraiie au coefficient de i dans ^O' A deux points y, d'affises conjuguées, correspondent deux points So symétriques par rapport à l'axe des quantités réelles et deux points w symétriques par rapport à l'une des quantités purement imaginaires. A deus points j" de même affixe, mais situés sur les Lords opposés de la coupure circulaire allant de m à si ou à sg, correspondent deux points Eo symétriques par rapport à l'asc des quantités purement imaginaires et deus points u symétriques par rapport à Wj ou a — ws. A la partie non figurée du cercle décrit de Sj comme centre dans le plan des y, allant de Sj à tz, correspond, dans le pian des zo, le diamètre qui va de (si) à(E3), et, dans le plan des «, le segment qui l'a de oj, ù. — 0)3, Au segment indéfini du plan des y qui ya de — oc à sj correspond, dans le plan des z,, le segment qui va de 1 à (e.). et, dans le plan des u, ie segment qui va de o ii lOi — uij.
l66 GALCbL l»TËGRAL.
Le lecteur troiivera dans le tesle, au Chapitre IX, tout ce qu'il faut pour établir ces divers résultats qu'on a cru pouvoir ici se contenti
Il observera aussi que, dans les quatre cas, la fonction \l !\y^ — g^^y — g, assujettie à être positive pour un point d'affixe très grande et supposée, s'il y a une telle coupure, sur le bord supérieur de la coupure rectiligne qui va vers -i- », est holomorphe dans le plan des y limité par les coupures indiquées. Dans ces conditions on a, en deux points correspon-
p'K^ —^/iyi—ff,y — g„
,t que le chemin d'intégration ne traverse aiici
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