PREMIÈRES APPLICATIONS A LA GEOMETRIE ET A LA MÉGANIQUE
§ I, — Longueur d'un arc d'ellipae.
QAl . SoienL a et b les demi-axes de l'ellipse; supposons a^ b. Nous prendrons, pour origine des arcs s de l'ellipse, l'une des extrémités de son petit axe et nous orienterons l'ellipse à partir de celte extrémité dans un sens déterminé arbitrairement choisi. Si l'on met les équations de l'ellipse sous la forme
en se réservant de choisir convenablement le module k, et si l'on fait varier le paramètre m de o à K, on obtient la longueur l du quart de l'ellipse. Soit s la longueur de l'arc de l'ellipse correspondant à une valeur de u comprise entre o et K; si l'on désigne par ds la différentielle de cet arc, les formules (LXVIII), (LX.IX) donnent la relation
que l'on peut écrire, en prenant pour îe module k Vexcentricilé de l'ellipse,
rfs' = a^ dn° «(i — /.' sn' u) du"- — «' dn^ u du' ; T. et M. — IV. 1^
ibH FONCTIONS lîLLlPTlQUEf^.
on a donc
s = « f An^-iidit, i = a f d<,''udii.
La valeur de la dernière intégrale se lit immédiatement siirla formule (Cil,); on a donc
La valeur de s résulte, dans tous les cas, de la formule (CXV,), d'après laquelle
on en déduit immédiatement, en tenant compte de la formule (LXXIX,), la relation
que l'on peut aussi écrire (CIL ,5)
C'esl ce problème de la rectification d'un arc d'ellipse qui a servi de point de départ aux recherches de Legendre sur les fondions elliptiques; le nom même de fonctions elliptiques, d'abord employé pour désigner les intégrales elliptiques, en lire son origine.
6i8. Pour effectuer un calcul numérique déterminé on prendra
de façon que k- = - ^ j- '' ■ soil Ijien égal à - — - — ; on aura aloi (LXXI,,CI1,),
el l'expressim de s pourra être mise sous la forme (Cil; (LXXVIII,),
APPLICATIONS A LA GÉOMETIUE El A LA MÉCAKIQUE. r6g
qui convient au calcul. On fera usage des Tableaux (CXXIU) ou (CXXIV), suivant que a^ est plus grand ou plus pelil que 26''. Pour A* peut, on a, en négligeant A^ ,
5 II. — Longueur d'un arc de lemniscate.
649. L'équation de la lemniscate rapportée à son point double comme pôle et à son ase comme axe polaire est, comme on sait,
on en déduil immédiatement pour la longueur cls de l'arc élém taire de cette courbe, la relation
dr-
en posant
Convenons de prendre tous les radicaux avec leur détermination arithmétique; convenons aussi de prendre 5^0 et i=;o pour B =r o ; on a alors pour la longueur l du quart de la lemniscate et pour la longueur s d'un arc quelconque de la lemniscate plus petit que l, compté à partir de l'extrémité de son axe, les formules
;=^ p ^'!- ,= JL '[''' '^^
00 a, de même, pour la longueur l-~^s d'un arc quelconque plus petit que /et compté à partir du point double, les formules
où l'on a posé
De CCS formules on déduit, pour
5 III. — Aire de l'ellipsoïde.
l'équation de l'eUipsoïde rapportée à ses axes. Groupons les points de ia surface où la normale fait un même angle avec l'axe des z ; à cet elTeL, posons
on voit immédiatement que tous les points envisagés se projettent orthogonalement, sur le plan des xy, suivant une ellipse de demiaxes,
L'aire intérieure à cette ellipse est égale OÙ l'on a posé, pour abréger,
donc l'aire de l'anneau elliptique compris entre les deus ellipses qui correspondent à c et à v-\-dv^ est égale à
dv '
l'aire de la partie de la surface du demi-ellipsoïde qui se projette orthogonalement sur le pian des xy suivant cet anneau est, par suite, égale à
■Kabi'^dv
yGoosle
APPr.lC*TlONS A LA GÉOMÉTBIE ET A LA MftCANIQUE,
donc enfin l'aire S du demi- ellipsoïde est égale à
dv
