LETTRE DE CHARLES HERMITE

S'-Jean-de-Luz, villa Oel-Aii-, •>.(, septera Mon clier ami,

Je viens dégager ma parole et m'actiniuer bien lardiv il me faut l'avouer, de ma promesse de vous démontrer les formules concernant les quanlilés f ( j- j données dans mon ancien article Sur l'équation du cinquième degré.

Le bon air de la mer m'a aidé à surmonter la torpeur qui faisait obstacle à mon travail; j'en profile pour échapper aux remords de ma conscience, et, en pensant que vous aveu sous les yeux cet article, j'aborde comme il suit la question.

Mon point de départ se trouve dans les formules de la page a et de la page 3, qui donnent les expressions de \/k et de i/k' comme fonctions uniformes de q, ou plutôt de t, en posant t = ~^, et, parmi ces formules d'une extrême importance dont la découverte est due àjabobi, j'envisagerai pour mon objet la suivante, à savoir:

^'- ,,,ç. + .,çs^... S(-,)"gî"=' *■'* '''- '' '■■■■>■

J'y introduirai tout d'abord la quantité x, en me servant, au lieu des fonctions 6, H, . . , , de la série

[voir mon article Sur quelques formules relatives à la transjormaiiondes fonctions elliptiques {Journ. deLiouville, i858)],

J'ai pose, comme vous savez,

LKÏTUE 111'. Cli. IIURMIT

i donc

Dans cette égalité, a, b, c, d désignent des entiers assujettis à la condition ad — ic = i ; je fais la supposition qu'ils appartiennent au premier cas (p. 4) {')' '"^ ^ et c sont pairs, fl et rf impairs, et je ferai

et, comme nous conservons la condition ad — Ij'c' ^^^ i , la question se trouve ramenée à celle qui concerne la transformation de ia fonction 9a, p('')- Dans l'article cité tout à l'heure, j'ai obtenu les résultats suivants, dont je vais faire usage.

Soit en général, pour des valeurs quelconques de a, b, c, d,

B = e" ''^"""'■^""'^ '■'"'^'"^'"'"""^"""'^"^'""'"■ puis, en supposant b positif,

le signe de la racine carrée étant pris de manière que sa réelle soil positive. Nous avons l'égalité

et nous eu concluons, pourc:=o,

vp(»h).G..„,,(oij±i:).

agO l'OKCTiûss ellipiiques.

La condition de b positif peut loujotirs s'obtenir en changeant, comme il est permis, le signe des quatre entiers n, b, c, d. Cela étant, la somme S s'exprime comme il suit, au iTioven du symbole (^\ de la théorie des résidus quadratiques.

Supposons (en premier lieu) que b soit pair. Je ferai b ^i'' b\, ira, suivant que l'exposant h est pair ou

&, étant ira

ipi

, et 1'.

impair (').

En second lieu, supposons b impair; alors on pourra dûlci'i leux nombres entiers m et n par l'équitlion

Lranl dans to s aux quanti

Je vais faire, en entrant dans tous les détails du calcul, l'application de CCS formules aux quantités

Je suppôt

Ce sera donc le premier des six cas qu'il faudra considérer; nous verrons bientôt que ions les autres s'en déduisent immédiatement. Soient d'abord a = o, ^ =; i. Des deux nombres

y.i^b -i ah, pi= rf-i-crf,

le premier est pair, et même multiple de 4, le second est impair. Ayant donc en général

C) Le Miimoirc du Jownal de Liouville cotilicnt ici une fiiute d'impression les mois pair et impair ont été transposés.

1 eonclnons l'éfralilé

.T'ajoul,e qu'on peut metlre sous une Tonne plus simple la qtian-

qui entre dans la valeur du facteur

Des hypothèses faites sur les entiers a, b, c, d résulte, en cfiet, la congruence

bd-^%abd'-rab"-c~—bd

a qui permet d'ccrii

Si nous passons ensuite a la quantité b|i,i I o — ^-r^ — )' ou o^^-

ei d ^^ ic remplacent b et c.

et d ne changeant pas, on a = b'-\-ab',

le premier de ces deux nombres est encore pair et le second impair, mais a', n'est pas nécessairement divisible par 4, et, par conséquent, on a l'égalité

où S' représente ce que devient, dans ce second cas, le facteur S. Désignons aussi par S' et S' les nouvelles valeurs de S et de S ; on aura

E' = c'esl-à-dire

et nous en concUu

ib'ia S

a^br)

ay8 i'ONUTIONS KLLIPIIQUHS.

Je m'arrêterai à cette formule, et je remarquerai en premier Heu que, en passant de S à S', le nombre h est remplacé par -■ Il en résulte que, ajant posé 6= a''^',, l'exposant h varie de l'une à l'autre d'une unité. [Je supposerai d'abord A > i .] Cela étant, la comparaison des valeurs de S et de S' nous donne l'égalité

Ceci posé, écrivons !e facteur (—1) " sous In fort ;t employons l'expression de S', à savoir

Or on vérifie facilement la congruence suivante

faisant, en elfet, passer tous les termes dans un même membre e divisant par 6, qui est pair, elle peut s'écrire

2([ — a<f) + 3(a ~ d) — abc — (mod, 8), puis, d'après la condition ad — hc= i.

^■^l)C^^(a — d) — a{ad — \) - o (iuoi.1, %); mais b et c étant pairs et a impair, on a

■'.bc^.a. a^-, (mod. 8); elle deviendra donc simplement

i(c-d)=^o (mod. 8),

ce qui a lieu, eu effet, a et t^ étant impairs. Nous avons, en consi: quence,

Nous obtenons^ eDsuîLc, an moyen de l'espression i|iii a éLé nolrf [loinl de départ,

la relation fondanientatc

[Lorsque l'exposant h est égal à i , fc, est égal à b' et le calcui de S' n'est plus le même; cependant la même relation subsiste toujours; on a, en effet, comme lorsque h était pins grand que i, l'égalilc

et, ù cause de la congruence (Â),qui peut se mettre sous la form<: on peut encore écrire, en remplaçant b par o.b',

mais ici, pour ca!cnl<^r S', on doit commencer par déteiminer Icft entiers m et n, tels que Ton ail

et l'on a. alors

En tenant compte enfin des relations on en conclut

AOO FONCTIONS KLLIPTIQL'KS.

en réduLsanl. on Iromo

M ^ ^^1 a — d -^v.)//' — ■im — i< — ^a^l/'^ -h 0'^:,

à cause de la reialion ad — bc ^ ; , où h ni c sont paii-s, on voil que les nombres impairs a ni d sont congrus {mo(!. 4)i en sortu que l'on a

lv(a — d-r:=-.a {mod.iO);

les congriiences

?.b' =.f., a'-^m^b'i, in^/i''' ~ m^ (inotî. if>)

sont cvicicnLos, et il en résulte que l'on a

M = 2 -am- 'im^-i-b"-;

or celle dernière expression est congrue (mod. i6) à

a'- — xab' — I ^ in'^b'- — imb"^— i,

puisque la différenoc

{.,.-■^m-■^m^-^\.b•■^)^-■{m^-b•^-■xmb•■^-^)

et que m et b' sont impairs. La relation fondamentale (I) est donc établie quels que soient les nombres pairs h et c]

On en lire les deux systèmes de formules concernant les fonctions f (t;) et iJi(t;) pour l.ons les cas que présentent les entiers a, b, c, d, pris selon le module a. Ces cas sont indiqués dans le Tableau suivant, que j'ai donné dans mon article Su/' l'Equation du cinquième degré (') :

(1) Voir la Note i tk la page 03 du Tome II. Les css II et V de Her i-espondcnl nti\ cas qup 110115 iivoiia désignés par ri" et s'.

lllRMlTIi A SI. JUl

il!

Kn premier lien, je cliange, dans l'équation (i). t en — ~ eLa, b, c, d en h, — a. d, ^ c; on trouve ainsi {' )

Dans la même équation, je remplace ensuite -r par -: — i , a et c par a |- /i et r + </; il vient

Passant à l'équation (II), je change -c en x 4- i , fl et c en a^ b et c — d, ce qui donne

Je continue en remplaçant, dans (V), ■; par — - et a, b, c, d par h, — a, </, — c, et j'obtiens

(I) Enl

iiiple dos (ormulcs (SLV),

Pour avoir le syslème complet des formules chercliées, il ne me reste pins qu'à clianger dans cette érpiation t en t — i , « et c en n H - b e[ c -h d; on a ainsi

'"" nîîï)-ïS)-

mplovant

r?ll

Voici maintenant les résultais réuuis et mis en regard de; cas éminiérés dans le Tableau précédent (') :

.l'ai à y joindre enfin les formules qui concernent la fonction «(t). Je remplacerai à cet eiret «, Z», c, rf par — c, — d, a, b; on

* (a + sj

et aux divers cas

(1), (II), (III). (IV,, (V), c

se substituent ceux-ci

(II), {I), (VI), (V), (IV), (l]

1') Ce sont les formules numévotées (XLVI,).

J'observe enfin cjae les deux séries de formules établies, dans le cas où i est positif, subsistent dans tous les cas, comme on le voit en cbangeant a, b, c, d en — a, — b, — c, — d.

Avec une recliGcation pour les équations (ITI) et (TV), d'une inadvertance qui me sera échappée, ce sont bien les résultais que j'ai indiqués et dont je me reprocbe d'avoir tant tardé à vous donner la démonstration que vous m'avez demandée. Mais cette démonstration, je dois le reconnaître, opère peracto, ne me contente point : elle est longue, indirecte surtout; elle repose en entier sur le hasard d'une formule de Jacobi, oubliée et comme perdue parmi tant de découvertes dues à son génie. Je vous l'envoie, mon cher ami, vateat quantum, en vous informant que je serai revenu dans quelques jours, et à votre disposition pour tout ce que vous aurez à me demander. Et nous causerons aussi d'autre chose que d'Analjse, nous argumenterons, nous nous disputerons. De ma proximité de l'Espagne je rapporte des cigarettes d'Espagnoles; si vous ne veniez pas en fumer avec votre collaborateur d'aujourd'hui, votre professeur d'autrefois, c'est que vous avez le cœur d'un tigre.

Ttius et imo et loto corde.

Ch. HERMITE.

fin du tomii iv et deiînier.

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ToheI : Calcul différentiel. ^/J/>/iC(T(ionsa«fl/jYi7»cj; 188 5. lofr.