E-''-CU

dans laquelle la variable d'intégration ( décrit la droite qui va de t„^= ax„ h- ([ = t.Xi+ B. La fonction e~" étant holomorpbe dans tout le plan, il sera dcmment démontré que l'intégrale précédente diffère très peu des intégrales

1 e-"rf«, / e-<'dl =

si>nt 1res petites. Il suffira de considérer la seconde.

Lorsque la variable t = ne'ï décrit le segment de droite qui va de x, â ^i ^ Aa:, + B, son argument ç, d'abord nul, augmente en valeur absolue, jusqu'à ce que t soit en (,. D'ailleurs, comme a:i est infiniment grand positif, l'argument de ï| diffère infiniment peu de celui de Aa^, ou de a ; l'argument de ( reste donc inférieur, en valeur absolue, à un nombre lu < -^ ; on a donc, sur la droite qui va de w, à t., '

le-^Ke-'.î^ï» (C0S.01>0),

en désignant par R, le niininium de B. L'intégrale est donc moindre que ie pro-

fiù l'oLi siippose

v'— ib {a-^b'.) iiippose la partie réelle du radical positi

3- La somme S s'évalue au moyen des sommes de Gauss ('). Nous donnons, dans ce qui suit, toutes les indications relatives à eessaires pour retrouver les formules définitives d'Hermi

On appelle somme de Gauss une expression de la foi'f

OÙ a el 6 sont Ueu\ entiers (positifs ou négatifs) premiers entre eux, et où ;', l'indice de sommation, doit prendre \b\ valeurs enticres incongrues suivant le module b, que nous désignerons par r,,, /■!,..., rb-i, par esemple les valeurs o, i, a, ..., \b\ — i. Il est clair que la valeur de la somme ne dépend pas du système choisi pour les nombres rt,. ''i, ■ ■ ., rs-i.

t de e-"îi;i>»2'" par \s longueui- du cliemin d'intégration i^ui est évidemment du me ordre de grandeur que u,; or le produit r,,e'"îi^i>ssui tendant veis zéro mil n, augmente indéCnimenl, la proposition est démontrée et l'on a

Supposer que l'argument de A est compris entre — y et H- ^^ > c'est supposer que la partie réelle de a' est positive. On remarquera enfin que a est celle des racines de a' dont la partie réelle est positive.

Le résultat annoncé est complètement justifié dans le cas particulier considéré; l'extension au cas général est immédiate.

(') Sammatio guaiumdam serierum singulariiim I^Werke, t. H, p. ii).

LETTRE DE CH. HERlllTE A M, JT LES TANNEHY. 283

Les propriétés suivantes de la fonction fp(«, b) apparaisaunt iinmédiatemeut (') sur la définition.

Quand on change de signe l'un ou l'autre des nombres tt, b, la quantité ç(«, b) est remplacée pai' la quantité conjuguée. On ne change pas <f(a,l/) en remplaçant a par un entier a' congru à a suivant le module b.

Etant donnés les deux entiers a, a', premiers à b, s'il existe un entier m tel que l'on ait

a' s= m^a (mod, h),

car m étant forcément premier à b, l'ensemble des restes, pris suivant le module b, des nombres mr est le même que l'ensemble des restes des nombres /■. En particulier, si l'on a

n = m= (mod. 6),

'^(a,b)^(b,a)^<f{,,ab).

Le produit 9(«, b)9{b, a) est, en effet, égal à

Z^ ab Zà ah

où /■ doit prendre \b\ valeurs incongrues suivant le module è, tandis que r" prend séparément \a\ valeurs incongrues suivant le module a\ dans ces conditions, ar-h hr' doit prendre \ab\ valeurs incongrues suivant le module ab\ le produit f(afb)'f(b,a) est donc égal à f{i,ab). On a aussi

en désignant par /d la valeur positive de la racine si a est positif, et en supposant ^a — — i 1/— a\ si a est négatif. Il suffît d'établir cette proposition quand a est positif; la seconde partie résulte, en effet, de la première, en changeant « en — «, et se rappelant que (p(i, a) est alors remplacée par la quantité conjuguée (s). Kronecker a montré (*) que l'on

{') Voir Dedekind, Vorlesungeii Uber Zahlentheoiie 4- éd., p. 393.

(-) Cette piMiposition résume divers cas énumérés par cité et qu'il a traités d'une façon purement algébrique.

(^} MonaUbericlite der Berliner Àkadeinie, 1S80.

obtient rapidement la formule relai

fi.

prise le long d'un contour qu'on va dëfinir, est égale à -iln multiplié par la somme des résidus de la fonction sous le signe / relatifs aus pôles i, 3, .... ■ situés à l'intérieuv du contour. Celui-ci est un rectangle symétrique par rapport à l'axe des quantités réelles, dont un c6té, situé sur l'axe des quantités purement imaginaires, va du point — /, très éloigné vers le bas, au pointai situé très haut; le côté parallèle à celui-là passe par le point - ; pour éviter le pôle o, on décrit de ce point comme centre, à l'intérieur du rectangle, un demi-cercle de rayon très petit, et l'on supprime du rectangle l'intérieur de ce demi-cercle; si a est pair, — est on pôle que l'on évite de la même fagon ; les demi-cercles ainsi décrits entrent naturellement dans le contour. Il est aisé de voir que ia partie de l'intégrale qui correspond aux cftlés parallèles à l'axe des quantités réelles est négligeable, quand \y-^ \ est très grand. On parvient aisément, quand a, est impair, à la formule

et la métliode même permet d'affirmer que l'intégrale reciiligne qui figure dans le second membre a un sens. En muliipHant par 2, remarquant que

danï la somme Se", étendue aus valeurs r — \^i, ,.., <t — f , les termes à égale distance des extrêmes sont égaux, changeant enfin y tn x \fâ,, il

La valeur de l'intégrale définie qui figure dans le premier membre de cette formule est \{\ — (>; elle se déduit immédiatement de celle de l'intégrale / e-'* dl qui est, comme on sait, égale à -j /ti; elle résulte d'ailleurs aussi de la formule même, pour a = 3. On trouve finalement

C'est le résultat annoncé; il subsiste pour a pair, comme on le voit sans peine en reprenant les calculs, après avoir modifié, comme on l'a expliqué, le chemin d'intégration. Le fait que fp(E, a) est nu!, quand a est congru à a(mod. 4) et n'est pas nul quand a n'est pas congru à 2(mod. 4), se reposons maintenant, eu supposant que b ne soit pas congru à a (mod.i]), ,(o,6) = (o,i)o(.,S),

et cherchons à déterminer la valeur de (<t, b) qui n'a de sens que sous !a condition précédente.

Oa observera d'abord que, en vertu de cette définition, (i, b) = i, que, en vertu des propriétés de 'a{a,b), on a («, i) = (a', i) quand « et a' seul congrus mod. b; enfin qu'on peut, sans changer la valeur de (a, 6), supprimer de a tout facteur carré parfait qui s'y trouverait.

En supposant qu'aucun des deux nombres a, b ne soit congru à i(inod. 4), l'égalité f(a,b)'s{b,a} — f{i,ab) et l'expression d; iç([,«) fournissent de suite la relation

;al à I si l'un des nombres a, b est positif et à — i ; I, négatifs. Celle égalité se réduit à

)nibre3 a, b est de la forme 4" H- i , et à

ia,b)(b,a)^.~,,,^

s les deux de la forme 4" — i, donc eulin à la forr

si l'on sait seutemeat qu'ils sont tous les deux impairs.

Supposons qu'on veuille calculer (a, b) dans le cas où b est impair. On peut toujours supposer a impair et moindre que b en valeur absolue, car il existe toujours un nombre impair a' congru à a(mod. b) et moindre que b en valeur absolue, c'est le reste positif de la division de a par b si ce reste est impair, et, dans le cas contraire, ce reste diminué de b; on

Supposons donc a. impair et ] <ï | < \b\; l'égalité précédente ramène le calcul de ia,b) à celui de (ô, a), et le calcul de (6, a) se ramène ensuite, comme on vient de l'expliquer, au calcul d'un symbole (6', a), où b' est impair et où |6'| < |a]. En continuant de la même façon, on voit que le calcul de {a, 6), se ramène au calcul d'un symbole de la forme(±i,a).

aga ForiCTioss elliptiques

où a est impair, positif ou négatif, et que l'on a

D'ailleurs (i,n) = i, el l'on a

en prenant le signe supérieur ou inférieur suivant que a est positif ou négatif, comme on le voit en recourant à la valeur de tp(i, a), et en se rappelant que o(— 1, a) n'est autre chose que la quantité conjuguée de^(i,a); (X étant impair on Toit que (a, b) est égal à ± i.

Les calculs que l'on ■vient d'indiquer sont très analogues à ceux du n^SâO; en se reportant à ce que l'on a dit alors, le lecteur verra de suite que l'on a

toutes les fois que ce dernier symbole est défini, c'est-à-dire lorsque 6 est impair et que les deus nombres a, b ne sont pas tous deux négatifs. Nous avons, en effet, établi relativement au symbole (a, 6) toutes les propriétés relatives au symbole de Legendre-Jacobi, sauf la propriété {a,b) = (a, — b); or celle-ci résulte de ce que {a, b) est réel et de ce que ". '.. se change en la quantité conjuguée, c'est-à-dire ne change pas, quand on change b en —b.

Supposons maintenant a impair et b divisible pur ^. La formule (12) donne alors Tune ou l'autre des deux relations

dont la première est valable si a est de la forme i« + 1, la seconde si a est de la forme lin — 1. Le symbole (&, «) se calculera comme on vient de l'expliquer; a étant impair, il est égal à ± i, en sorte que l'on a finale-

(«,6) = Sa,È(&,«) ou («, è)=-,VU*.«)

suivant que a est de la forme 4 " -t- 1 ou 4 n — i .

En résumé, on sait calculer <f(a, b) toutes les fois que b est impair ou divisible par 4 et sa valeur est ± i ou ± î\ quand b est le double d'un nombre impair, f(a, b) est nul.

Nous avons à appliquer ces résultats au calcul de la somme

où b est un entier positif.

Supposons d'abord que b soit paii-. On reconnaît de suite que l'élément

i.ei'the un cii. hebmitk a m. jules tanneliï. agS

de la somme ne change pas quand on remplace p pav un nombre qui lui soit congru (mod. è) et qui, par suite, est de la même parité; d'ailleurs, quand p prend les valeurs o, i, 2, . . . , fi ^ i , p — '- è prend un système

mgrues (mod. 6), et, puisque la somme \ e * ne dépend pas du système de h valeurs incongrues que parcourt /•, on voit de suite que l'on a

On n'a alors, en supposant b = a''&i, 6, iuipair, qu'à appliquer les règles précédantes et, en outre, quand h est pair, la formule bien connue dans les éléments de la tliéorie des nombres

pour trouver les résultats suivants, dont le lecteur constatera sans peine l'identité avec ceus que Cli. Hermite a donnés dans son Mémoire i.:\. qui seront rappelés dans sa Leltrc.

Si h est impair, on a

S = /Ï^T (r-i^) , si „ „ , („„d. i).

Si h est pair, on a

s = /6^T'"'^" (^\ , si „ ^ ,(n,od. h).

11 reste enfin à évaluer la somme S quand b est impair. Ayaiu dét les entiers m et n, tels que l'on ait a = inb — 8 n, et remplaçant a par cette valeur dans l'expression de S, on trouve sans peine

puisque n est premier au nombre imitair b. On n'a plus qu'à remplacer (p(jt, h) par sa valeur.

FOKGIIONS ELIJPTIOUES.