I. — Évaluation des intégrales de la forme f

prises le long d'un chemin quelconque, dans le cas où «i, e^,, es sont réels.

S90. Reprenons l'étude, le long d'un chemin déterminé du plan des y, de l'intégrale / - ^ t où Y^ ^y'^ — g^y — ^j,dans

le cas où gif gs sont réels. Rappelons que, dans ce cas, Ja fonclion p{u', gi, (C'a) dont les coefficienis sont réels, prend, en même temps que ii, des valeurs réelles on imaginaires conjuguées.

■r. et M. - IV. 1

2 CALCUL ISIÉGRAL.

Considérons d'abovd le cas où les racines e, , ej, 63 sont réelles. Nous supposerons e, > «2 > 63 et les nombres <•>,, -^ réels et positifs ( ' ). DaQS le plao desjK, le long de l'axe des quantités réelles pratiquons une coupure de e, à e-^, de ej à gj, de «3 à ^ 00 et désignons par \/Y la fonction de y, holomorphe dans le plan coupé, qui prend des valeurs positives pour de grandes valeurs positives de ^- Les signes de la partie réelle el du coefficient de i, dans cette fonction \/Y, s'obtiennent très aisément sur les bords supérieur ou inférieur des diverses parties de la coupure, et même dans tout le plan des^, si l'on observe qu'ils ne peuvent changer que lorsque la quantité sous le radical est réelle, c'est-à-dire lorsque le point y traverse soit l'axe des quantités réelles, soit l'hyperbole (H) dont l'équation serait lan*^ 4*'^ ^ §2 =^ o dans un système de coordonnées u, v, dont les ases coïncideraient avec l'axe des quantités réelles el l'axe des quantités purement imaginaires du plan des j'. Comme il est commode d'avoir ces signes dans les applications, on les a indiqués dans la figure (A) du Tableau de formules (CXXX); le premier signe se rapporte à la partie réelle, le second à la partie imaginaire; l'une de ces quantités est nulle sur les lignes de séparation, ce que l'on a indiqué en remplaçant par o l'un des signes ±z. Relativement aux coupures, nous conviendrons de regarder le bord supérieur comme appartenant à la moitié supérieure du plan des y, le bord inférieiir comme appartenant à la moitié inférieure. Ceci posé, on a le théorème suivant :

Jl existe une fonction de y, que nous désignerons par arg py, ayant les propriétés que voici : elle est holomorpbe dans tout !e plan coupé; pour tout point de ce plan on a p {^^g py) ^ y '■, quand y n'est pas sur une coupure on peut mettre argjD^ sous la forme fwi -H ('wj, t et l' étant des nombres réels, satisfaisant aux conditions o<f<; i, — i-<t'<;T; suivant ({uey est sur la coupure qui va de e, à e-2, de e^ à 63, de e^ à — 00, on peut mettre

( 1 ) ObseivoQg en passaiii que l'on 3 a,^ -^ suivant que l'on a e, J 0, ainsi qu'il résulte des expressions de K, K' (ou s, \.') au moyen de k^ (ou -*) ei de ce que l'on a, sniïant lesdenx cas, A:' <| et, par suite, k- < k''. On voit aussi que quand A' décroît de i à 0, le rapport -^ croit de à rinTmi.

ÉÏALUATCON DlîS INTÉGRALES LE LONR d'uN CHElim QUELCONQII]' . 3

argpj'sous la forme to, if: Wjii, w, i, zp tjj, z^zM^t,, où (, est réel et compris entre o et i, et où il faut prendre le signe supérieur ou inférieur suivant que l'on est sur le bord supérieur ou inférieur de la coupure. Ces conditions permellent, pour chaque valeur de y, de calculer sans ambiguïté la valeur correspondante de argpy en se reportant au Tableau (CXXIX,.»); (' est d'ail- I eurs négatif ou positif suivant que le point y appartient à la moitié supérieure ou inférieure du plan; t' est nul quand y est réel, compris entre e, et -H ce.

Si l'on admet pour un instant l'existence de cette fonction holomorphe, inverse de la fonction p, on déduit immédiatement de l'identité p(argp^-) =y que la dérivée, prise par rapport k y, de la fonction argp^ est égale, au signe près, à — — ; elle lui est précisément égale, en adoptant le sens prescrit pour le dénominateur, puisqu'elle est négative pour de grandes valeurs positives de y. On voit donc que l'étude de l'intégrale envisagée se ramène à celle de la fonction a.rgpy.

S91. L'existence de la fonction urgpy résulte aisément de la représentation conforme d'un demi-reclangte des périodes de iu fonction pu, au mo;yen de la relation y :^ pu ['). Nous choisirons, pour le rectangle des périodes de la fonction p ii, !e rectangle dont les sommets sont w, — Wj, w, + wj, — w, -t- ^3, — Wi — coj, qui est symétrique par rapport aux axes des quantités réelles et purement imaginaires. L'équation (en u) y ^=pu admet deux racines situées dans ce rectangle, figurées par deux points symétri ques par rapport au point o ; elle admet par conséquent une racine dans lereclangle (R) dont les sommets sont w, — w^, Wi + Wj, (i>3, — 0)3; cette racine est unique si elle est figurée par un point intérieur à (lî); mais si la racine u est nn point du périmètre de (R), le point u' sjmélrique de u par rapport à l'ase des quantités réelles sera encore une racine de l'équation jv'=:j}«, puisque l'on aura alors, suivant le côté où se trouve le point u, l'une des trois égalités « -!- «'^ o, ii — ii'^ ±: awj, ii -H «'^ au, et, dans tous les cas, pi^ =z pu=^y', « et u' étant imaginaires conjugués

(') Voir Hcaw'Ann, Formules, etc., art, 51, h1.

4 CALCUL IKTÈGRAL.

ainsi que les quantités égales pu, pu', y esl forcément réel. On prévoit ainsi que l'image sur le plan cles^ du rectangle (R) du plan des fi remplira tout le plan des j^ et que l'image du périmètre de (R) se fera deux fois quelque part sur l'axe des quantités réelles. Dans le plan des u, l'axe des quantités réelles partage le rectangle (R) en deux rectangles (Ri), (Ra), symétriques par rapport à cet axe et dont les images seront, dans le plan des /, aussi symétriques par rapport à l'axe des quantités réelles. Nous désignerons par (R|) le rectangle situé dans la région supérieure du plan des u : ses sommets sont les points o, w,, ùii -r W3, Wj, Suivant que Éï est positif, nul, on négatif, la base de ce rectangle sera plus longue, de même longueur ou plus courte que sa hauteur. L'image de ses côtés, pris dans l'ordre adopté pour les sommets, de façon que son périmètre soit parcouru dans le sens direct, se fait évidemment sur les segments +co... e,, e, ... Ca, e^ ... ej, 6^-.- — 00 de l'axe des quantités réelles du plan des y. Au rectangle (R,) substituons une figure (S)), qui en diffère infiniment peu, obtenue en décrivant de chacun des sommets de (R)) comme centre, avec un rayon infiniment petit, un quart de cercle situé dans l'intérieur du rectangle et en supprimant de (Ri) les petites parties limitées par ces quarts de cercle; la figure (S,) a huit côtés, quatre rectilignes et quatre circulaires. La fonction p' u ne s'annule et ne devient infinie ni sur le contour de (S,) ni à l'intérieur; le principe de la conservation des angles s'applique donc sans restriction à la i-eprésentation conforme de (S,) par la formule y^ pu. Supposons que le point u parte du sommet de (S,) situé sur l'axe des quantités réelles, dans le voisinage de o, puis décrive les huit côtés du contour de (S|) dans le sens direct ; suivons le mouvement correspondant du point y^pu. Il partira d'un point infiniment éloigné, vers -|- ce, de l'axe des quantités réelles et se mouvra sur cet axe en se rapprochant du point e, sans y parvenir, décrira approximativement, autour de e, comme centre, un demi-cercle infiniment petit, situé dans la région inférieure du plan, se mouvra sur l'axe des quantités réelles en se rapprochant de ^2 sans l'atteindre, décrira approximativement, autour de e^ comme centre, un demi-cercle infiniment petit silué dans la région inférieure du plan, se mouvra sur l'axe des quantités réelles en se rapprochant de Gg sans l'atteindre, décrira encore approximativement, autour

l'îyALUATlON DES LMÉGRALES LE LOPiti O'fN CIIEJIIN QUULr.OPiQUE. 5

de €3 comme centre, un demi-cercle infiniment petit situé dans la région inférieure du plan, recommencera à se mouvoir sur l'axe des quantités réelles jusque vers — qo, et décrira enfin approximativement, dans la région inférieure du plan, un demi-cercle de rayon infiniment grand, de centre o, qui ira rejoindre le point de départ vers -(-oo. Dans l'image, les mouvements rectilignes correspondent aux côtés rectilignes de la figure (S,) et n'ont pas besoin d'être expliqués davantage; les mouvements circulaires approximatifs correspondent à ta description des côtés circulaires de (S)); qu'ils soient tels que nous l'avons dit, c'est ce qui résulte, pour les trois premiers, de ce que le développement suivant les puissances de u de la fonction paire p[wa-^u) — Ga commence par un terme en u^, pour le demi-cercle infiniment grand, de ce que le développement de pu commence par «~'^,

Dans le mouvement, le contour de l'aire infiniment grande qui représente (S|) est décrit dans le sens direct comme le contour de (Ri). Il en résulte que si l'on considère un point jr» situé à l'intérieur de l'aire qui forme l'image de (S)), le vecteur qui va de ce point y„ au point mobile y qui décrit le contour de cette image, tourne de 211 quand le point u décrit le contour de (Ri) ; on en conclut, en raisonnant comme au n" 808, que l'équation (en u)yo = pu admet une racine et une seule figurée par un point intérieur à (R|), ce qui est conforme à ce que l'on a dit au début. On voit donc que l'image de (Ri) se fait sur la moilié inférieure du plan des y, le périmètre de (R,) a son image sur l'axe des quantités réelles : ce périmètre fait partie de la figure (Ri); nous conviendrons de regarder les images des côtés qui vont de eu, à W) + w,, de (1), -t- (1J3 à (Oa, de wj à o, comme se faisant sur les bords inférieurs des portions de coupure qui vont de e, àej, deea à e,, de e^ à — t»; quant au côté qui va de o à iii,, son image est sur la portion non coupée de l'ase des quantités réelles. La fonction argpjr est alors définie sans ambiguïté pour tous les points jk de la moitié inférieure du plan des y, j compris les bords inférieurs des coupures : sa valeur est cette racine unique, définie plus haut, de l'équation y ^ pu, racine figurée par un point du Tectangle (Ri) ou de son périmètre.

L'image du rectangle (R^) se fait symétriquement sur la partie supérieure du plan des y et permet de compléter la définition de

6 CALCUL INTÉGEAL.

la fonction argpj'. Les images des côtés qui vont de (o, à to, — Wj, de (o,- — 11)3 k — (^3s, de —(1)5 à o, se font sur les bords supérieurs des portions de coupure qui vont de e, à «2, de e^ à e^, decj à — 00, en sorte que les bords supérieur et inférieur d'une coupure sont les images de deux points différents. On a précisément introduit les coupures pour que les points du plan des u situés à l'intérieur ou sur le périmètre du rectangle des périodes (R) et les points du plan, des y se correspondissent d'une façon iiiiivoque.

S92. Les propriétés énoncées de la fonction arg p^' sont maintenant évidentes ; elle est liolomorphe dans le plan coupé en vertu de la théorie des fonctions implicites (note i, n" 357). Quelques autres propriétés de la même fonction se déduisent immédiatement des remarques suivantes.

Les parallèles aus côtés du rectangle (R)ont pour images, dans le plan desjK) des arcs de courbes algébriques, comme il résulte de la formule d'addition de la fonction pu. Considérons en particulier, dans, le plan des u, le segment de droite qui va de w, + } «a à 5W3; il partage le rectangle (R,) en deux rectangles (''i), (/'a) "dont le second repose sur l'axe des quantités réelles,

La première formule (LX^), en y supposant 3. -— 3 c! en v faisan t Il = II' — r, tii^, donne

Si «' est réel, les deux facteurs qui figurent dans le premier membre sont conjugués; leiir produit représente la dislance du poini^ = j)(«'-i- jW3)aH point «3, distance qui est constante en vertu de l'égalité même; le point p(m'-I- î W3) est donc sur le cercle (fia) de centre €3 et de rayon /f(ei — ^3); les points g), gj sont symétriques (n''S59) par rapport à ce cercle; lorsque «'varie de tD, ào, le point « =: u' -y- ^0)3 décrit dans le plan des u le segment considéré, et son image^ = pw décrit, dans le plan des y, du point jD = ^3 -I- k{et — e%) au point q^e^ — k{e, — e^), la moitié du cercle (e,) située au-dessous de l'axe des quantités réelles, puisque u se meut dans (Ri). L'image de (r,) se fait à l'intérieur de ce demi-cercle, celle de (j-^ sur la région du demiplan inférieur qui est en dehors. Désignons par (/'a), (/"s) les rec-

ÉVALUATION DES IM'ÉGIIALES LK LONG v'uH CHEMIN QUELCONQUE. 7

tanglesqui, dans le plan des it, sont, pari-apport à l'axe des qNanli lés réelles, les symétriques des rectangles (''j), ('"i ); leurs images seront, dans le plan des y, symétriques par rapport à l'axe des quantités réelfes des images de ces derniers rectaagles; l'image duisegment qui va de w, — ^ W3 à — J W3 se fait sur la moitié siipérieiire du cercle (e^). En représeotant par Wj ( -+- wg l' la valeur de ar^py, 1 1' \ sera inférieur ou supérieur à ^, suivant que y sera extérieur on intérieur au cercle («3)- On démontrerait de même que l'image du segment qui va de i w, — Oj à jUi + Wj est un cercle(e,)de centre e, et de rayon /c'{e, — 63); suivant que le pointj'est extérieur ou intérieur à ce cercle (e,). [ (| est inférieur ou supérieur à ^.