De l'égalité

v/v " dr

on déduit maintenant que l'intégrale / ^~'^,' où le chemin qui

vade jv, s y-juc traverse pas de coupure et où \/Y a le sens précisé au début, a pour valeur argpj'^ ^ argjjj^-, . Ce résultat subsiste si le chemin d'intégration suit le bord d'une coupure, sans la traverser.

Si le chemin d'intégration traverse la coupure, nous conviendrons de désigner encore, en chaque point de ce chemin, par \/Y la fonction de y, holomorphe dans le plan coupé des y, définie au début, tandis que nous désignerons par \/V la fonction obtenue par continuation, le long du chemin d'intégration, de la fonction qui coïncide avec \/Y au début de ce chemin. Si cette fonction \ /\ coïncidait avec y/Y avant de traverser une coupure, on aurait nécessairement \/Y =^ — \/Y après avoir traversé cette coupure, et inversement. Pour évaluer l'intégrale / — '^-= > prise le long d'un

chemin quelconque, qui peut traverser un nombre quelconque de ibis les coupures et qui va d'un point quelconque^] du plan des ^^ ù un point quelconque y^ de ce plan, sans passer toutefois par les points fil, 62, 63, il suffira de fractionner le chemin donné en parties qui restent chacune dans le plan coupé et d'évaluer sépa-

8 CALCUL ISTÉGltAL.

rément chacune des parties coiTespoiidanles en remplaçai

■vant les cas, ^/Y par y/Y ou par —y/Y.

Supposons, par exemple, c[ue le chemin d'intégralion t une seule fois la coupure de bas en haut en un point a. Nous distinguerons les deux points a', a." qui coïncident avec a, mais qui sont situés le premier sur le bord inférieur, le second sur le bord supérieur de la coupure, et nous aurons

où l'on doit prendre te signe inférieur dans le cas seulement où l'on traverse la coupure entre e-i et Ca- On aura donc, en observant la même règle pour les signes,

(argpï'zbargp'/j - i ai'gp K, dz arg p/=)

d'ailleurs la première parenthèse se réduit à atoi, aw^ ou o, suivant que a est entre Ci et e^, Cj et 63, t'a et — w.

Nous nous contentons de signaler les rcsullats suivants, que Ton peut d'ailleurs lire sur la figure (A),

la seconde et la troisième intégrales étant prises sur le bord inférieur de la coupure. Si on les prenait sur le bord supérieur de la coupure, leurs valeurs changeraient de signe.

Ces formules peuvent i;\.x& encore écrites sous les formes

Pour ^3 zzz o («2^0, e^i = — e,, A'^ = J), on a en particulier (ij, ^ -^; la figure formée par les quatre points o, (0| , (0|-| w^i, w^,

II, — Évaluation des intégrales de la forme

-e,)Jf-e,){y-c

prises le long d'un chemin quelconque, dans le cas où d est un

nombre réel et où ci, «a sont des nombres imaginaires conjugués.

r dy

59i. Supposons majnlenanl que deux des racines de Y soient imaginaires. Reprenant les notations du n" S6o, nous supposerons 6) = A,+ Bj, es = A — Bi, 6^= — lA., B> o; ti), et Wj'sont formés comme on l'a expliqué dans le même numéro, et sont des quantités conjuguées; on les calculera au moyen des Tableaux {CXXV)ou (CXXVI). Les quantités y/éî^ «i, v'^ï — ^» sont aussi conjuguées, comme il résulte, si l'on veut, des formules (XIb). Il est aisé de vérifier que les signes de la partie réelle et du coefficient de [ dans y/Y ne peuvent clianger que sur l'axe des quantités réelles et sur i'iijperbole (H) qui, celte fois, passe par les points e,, e,. Ces signes sont indiqués sur la figure (B) du Tableau (CXXXl), en supposant \/Y>- o pour les grandes valeurs positives dey. La figure (B) correspond au cas où g^ etca sont positifs; les modifications relatives aux antres cas n'échapperont pas au lecteur; si en particulier g^ était nul, l'hyperbole (H) se décomposerait en deux droites passant par l'origine et inclinées do 60° et de 120" sur l'axe des quantités positives.

Dans le plan des y, du point e^ comme centre, avec un rayon égal à la quantité positive y/cs — e, ^e^ — e-j. décrivons un cercle que nous désignerons dans ce qui suit par («a); il passe par les points e,, 63 et rencontre l'axe des quantités réelles en un pointm situé entre e^ et + ce, et en un point m' situé entre e, et — ^. Observons de suite que l'on a, en vertu des équations {X.VL), {VIIj),

m,'= Cl — v/pj — e, /ë^- (33 ^ p I ■^^— — ' ) - Pratiquons une coupure allant de e, à 63 le long de ce cercle, en

lO CALCUL INTÉGRAL,

passant par le point m, puis le long de l'axe des qiianlités réelles de m à — <». Le bord supérienr de celle dernière coupure de — co à m sera supposé continué par le bord intérieur de la coupure circulaire de m à «1 ; le bord extérieur de la coupure circulaire va sans interruption de e, à «a i I^ bord intérieur de la coupure circulaire de fia à m est continué par le bord inférieur de la coupure reciiligne de m à ~ao; le bord de chaque coupure est regardé comme faisant partie de la région du plan qu'il limite. Dans le plan coupé, \/Y es! une fonction liolomorplie de y.

Il existe une fonction que nous désignerons par arg py et qui jouit des propriétés suivantes : elle est liolomorpbe dans le plan coupé; en tout point de ce plan on a

jifargpj') ---.y;

sa dérivée est — —en désignant par\/ï la fonction holomorphc précisée plus haut. Quand^ n'est pas sur une coupure, on peut mettre argp^ sons la forme ^ ((i3,-i- <og)(H- (w^ — <^\)t', où iel i' sont des nombres réels vérifiant les conditions o<;i<;i, — i<;i'<;i; t' est toujours de signe contraire au coefficient de i dans y. Quand/ est sur la coupure circulaire, arg p/ peut se mettre sous la forme -(w, + tej) -)- ((1)3 — W|)(, ; (, est compris entre — ^ el-J lorsque y est sur le bord extérieur de la coupure; t^ est compris soit entre — -J- et — 1 , soit entre | et 1 lorsque y est sur le bord intérieur de la coupure suivant qne / est dans la moitié supérieure ou inférieure du plan; en deux, points qui coïncident, mais sont sur deux bords opposés, la somme des valeurs de ï| est égale à ±1. Quand y est sur la coupure reciiligne, M^py peut être mis sous la forme + (w.i — <o,) + i (oi) + w^) t^ ou sous la forme q^(w3 — wi);^, suivant que y est compris entre m et e^ ou entre Ca et — co; on doit prendre les signes supérieurs ou inférieurs suivant que y est sur le bord supérieur ou inférieur; (g est réel, compris entre o et 1; en deux points qui coïncident, mais sont sur deux bords opposés, lesvaleurs de (a sont les mêmes. En se reportant au Tableau (CXXlX^.i ) on peut donc calculer dans tous les cas, sans ambiguïté, la valeur de 8rgji/ connaissant la valeur de r.

ÉVALUATION l>ES INTÉGRALES LE LONG c'UK CUEltlN QUELUONClIiE. I i

595. On arrive à ce résultat en étudiant l'image obtenue dans ie plan des ^, par la transformaLion y ^ pu, du rectangle (K) dont les sommets sont i(3wi — Wj), -^(Swa— (o,). (O3 — co,, w, — w^, reclangledans lequel l'équation (en u)pu — y^o admet nne racine qui, en général, est unique; si toutefois cette racine est figurée par un point du périmèlre du rectangle, le point symétrique par rapport à l'axe des quantités réelles est aussi une racine. Ceci résulte aisément de ce fait, que le losange dont les sommets sont o, 2U,, aw, -H awa, 2wa est «n parallélogramme des périodes, et de ce que la fonction pu prend des valeurs égales en des points symétriques soit par rapport à w,, soit par rapport à m^.

L'axe des quantités réelles du plan des u répare le rectangle (R) on deux rectangles (Ri), (Ra) dont le premier est situé au-dessus de l'axe ; les images de ces deux rectangles étant symétriques par rapport à l'axe des quantités réelles du plan des y, il suffît d'étudier l'image du premier. On substitue, à cet effet, à ce rectangle (R() une figure infiniment voisine (S|) que l'on obtient en décrivant à l'intérieur de (R)), avec des rayons infiniment petits, des points o, o>3 — (j), et tos comme centres, d'une part deux quarts de cercle, de l'autre un demi-cercle, et en supprimant les petites parties de (R.,) qui limitent ces quarts de cercle et ce demi-cercle. La figure (Si) a huit côtés, cinq reclilîgnes, trois circulaires. Dans cette figiu-e et sur le contour, les fonctions pu, p'u sont holomorplies, la seconde ne s'annule pas. Supposons que le point u parle du sommet de (S)) infiniment voisin de o, situé sur l'axe des quantités réelles, puis décrive le contour de (S,) dans le sens direct. Son image y ^^ pu, dans le plan des y, partira d'un point voisin de -t- ce, sur l'axe des quantités réelles et suivra d'abord cet axe jusqu'au point m. Apartir du point m, l'image y = p» se mouvra sur le cercle (e^) ainsi qu'il résulte de la formule

qui montre que la dislance du point pu au point e-i reste constante tant que le point u est surla perpendiculaire à l'axe des quantités réelles menée par ^(w, -t-Wa); quand u décrira le côté de (S,) qui va de i ((1)1 + 0)3) à un point voisin de o>a, le pointy = pu, partant de m, suivra le cercle (ca) en descendant dans la région inférieure

du plan des/, comme il résulte du principe de la conservation des angles, et s'arrêtera en un point voisin de 63. Le point u décrivant ensuite le petiideml-cei-cleaniourde wj, son image ^y^p» décrira approsimalivement un petit cercle autour de e^ en lournant dans le sens indirect, comme il résulte du développement de p{<^s ■+- li) suivant les puissances de u. Le point u décrivant le côté suivant de (S)), son image remonte le long du cercle (e^.) de €3 à m, en sorte que les images des trois côtés de (Si), qui relient ^(wi-Hw^) à i{3ws — w,), forment un lacet à tige circulaire. Quand u décrit le côté qui va de j{3(i)s~tù,) à un point voisin de ii>3 — (o,, son image va de m à un point voisin de e^ sur l'axe des quantités réelles. Quand « décrit le quart de cercle autour de C03 — ti), , son image décrit approximativement un demi-cercle infiniment petit, de centre e^, en restant au-dessous de Taxe des quantités réelles. Le côlé suivant a son image surl'ase des quantités réelles, d'un point voisin de 63 à un point voisin de —co. Enfin le dernier côté, le petit quart de cercle, a pour imag-c un demi-cercle de centre o, de rayon infiniment grand,

11 serait aisé de reconnaître que l'are du cercle (ca) qui va de e» à m' est l'image du segment qui va de Wj à -^(013 — to,).

En répétant le raisonnement du n" §08, on voit maintenant que l'image de (R,) remplit le demi-plan des y, au-dessous de l'axe des quantités réelles. L'image de (B.:,) remplit donc le demi-plan au-dessus. Ainsi l'image de (R) remplit le plan tout entier, 11 convient, pour la continuité, de regarder les images des portions du périmètre qui vont de o à toj — eu, et de o à w, — (03 comme se faisant respectivement sur les bords inférieur et supérieur de la coupure rectiligne qui va de — </> k e^; les images des côtés qui vont de (1)3^ (lï, à 1(3 (133 — ■ u,) elde w, — wjà .^Sw, — 103) comme se faisant sur les bords inférieur et supérieur de la coupure rectiligne qui va de «a à m; les images des portions décote qui vont de j(3wâ — W|) à wj et de ^(3w, — wa) à w,, comme se faisant sur le bord intérieur de la coupure circulaire qui va de m à e, et de m à e, ; enfin les images de la portion de côté qui vade W3 à m, comme se faisant sur le bord extérieur de la coupure circulaire qui va de e^ à 6) . Cette description suffit, en raisonnant comme au paragraphe précédent, à justifier la proposition annoncée; elle montre la nécessité d'introduire les coupures considérées, et donne les rensei-

ÉVALUATION LES INTÉGRALES LE LONd O UN CUE)IL\ QUELCONQUE. l3

gQemeaLs essentiels sur les valeurs que prend la foncLion arg py sur les bords des coupures ( ' ).

596. Les conclusions sont analogues à celles du paragraphe précédent et l'on obtient aisément les résultats suivants :

( ' ) Des considérations toutes pareilles s'appliquent à l<i dcterniination de l'inlégrale I -7=> où X = {i — a^^) (i — fc'a;'), prise le long d'un chemin déterminé,

lorsque k' esl réel et plus petit que i. Dans le plan des a; on pratique deiiï coqpures le long de l'axe des quantités réelles de -i- 1 i -i- », de — i à — ». La fonolion \/X. assujettie à être égale à i pour œ~o est alors délinie sans ambiguïté dans tout le plan, y compris tes bords supérieur et inférieur des coupures. Si l'on considère la fonction sn (m | t) formée au moyeu de la quantité t =-j7^ , où K ei IC ont le sens précisé au n" 521, il existe une fonction que nous désignerons par acg sna: qui jouit des propriétés suivantes : elle est définie pour toute valeor de X appartenant au plan coupé; en tout point de ce plan elle vérifie la relation

sn (arg snœ) — a^; sa dérivée est —pr. ', on peut ta mettre sous la forme li.t-^-ili.'t' , où t et t' sont des nombres réels compris entre — r et 4- 1, et respectivement de mêmes signes que la partie réelle et le coefficient de i dans œ. Quand se n'est pas sur une coupure, t et (' sont différents de ±i. Quand a> est sur la coupure de droite, argsna; est de la forme KdziK'(, on ±iK'-FK(,, suivant que a: est

inférieur suivant que a; est sur le bord supérieur ou sur le bord inférieur; (, est réel compris entre o et i; on a, en particulier,

les valeurs de t^ pour deux points qui coïncident, mais appartiennent à deux bords dilTérents, sont égales. Quand ce est sur la coupure de gaucbe. arg %acc est de la forme — K±iK'i|OU ±iiK'— K(„ suivant que a; esl cnli-e — let — ^ ou

entre — ^^ et — w ; la signification de (,, la règle des signes restent les mêmes; on a, en particulier,

argsn(-,j = -K, a,-g an (- i j = - K dz ili'.

On parvient à ce résultat en faisant l'image, sur le plan des x, du rectangle du plan des u dont les sommets sont les points ±: K ±: iK', image qui se déduit par symétrie de celle du rectangle dont les sommets sont o, K, K + ili\ ili.'. Il est maintenant clair que, si l'on se donne a:, on pourra calculer arg sn x sans

l4 CALCUL INTÈGIIAL.

les deux dernières inlégrales étanl prises le long des bords inté rieurs de la coupure circulaire;