Supposons que sur une forme

on efTeclue la substitution linéaire ( ^ ); on obtient une nou-

velle forme

Supposons que sur celle forme (a', 6', c'), on effectue la nouvelle substitution ( , î')' ^° obtient une nouvelle forme

Or on peut passer de la forme (a, 6, c) à la forme

par une seule substitution linéaire. En effet, les relations

X = aj7'-h 3y, x'= T.'x'-h p'y,

donnent

Autrement dit, effectuer sur une forme la substitution f ^ )>

, ^, J revient à effec-

ao6 CRAF. VI. — LES FORMES QUADRAttOteS ElNAlHÊIt.

tuer sur k première forme la stibsiîluLîoo ( , l' ,

On dit que cette dernière Bubstitution est le prodaii des deui premiirres.

On conçoit facilemeot qu'au lien de deux subâtiliitions successives, on puisse en faire un nombre quelconque, et Ton voit que celle suite de substiLulJons pout toujours se remplacer par une seule, que Ton appelle produit des précède nies ^

281. Thkoîieme. — Quand une substitution linéaire est égale ait produit de plasieurf! aulres, le déterminant de cette substituiion est égal au produit des déterminants des autres.

Il suffit évidemment de vérifier ce théorème pour deux substi-

lulions* Or le produit des deux substitutions ( ^\ ( , ;J

étant égal à

le lliéorème en question n'est autre chose que renonce de ridentiié bien connue

tta'H-P7'

f «' -h Sy'

Y?'-^ÎS'

282, Hemarque* — L'expression employée, produit de substitutions, ne duît pas abuïier sur Tanalogie qui existe enlre ces produits et les produits de nombres* Par exemple, le produit de substitutions dépend^ en général, de P ordre de ces subuitutions. En efTet, le produit de la substitution

(t oJ ^'^^ W ^J "' It^^-Sï' tr-arj'

tandis que le produîi de

[■;' «•; ""'' [■; 5J "*' Uy'-yS' flY'H-îî'j' ces deux produits ne sont pas identiques en général.