DG DH

DE ~" DF' d'où DGxDF = DExDH.

D'autre part, les deux sécantes DF et Dl menées du point D

au cercle 0' donnent

DGxDF = DGxDI.

En rapprochant ces deux dernières relations, qui ont un membre commun, on peut écrire

DExDH = DCXDI,

c'est-à-dire que les quatre points E, H, G et I se trouvent sur un même cercle, et comme on connaît les trois premiers de ces points, pour avoir le quatrième, il suffit de construire le cercle déterminé par les trois autres et de mener la droite DG : la seconde intersection de cette droite et du cercle auxiliaire donne le point I. La question est alors ramenée à cette autre traitée plus haut :

Construire un cercle passant joar deux points donnés et tangent à une droite donnée.

Ge dernier problème admet deux solutions, qui conduisent généralement à quatre dans le problème proposé, en raison des deux espèces de contact, extérieur et intérieur, du cercle à construire avec le cercle donné.

Nous connaissons les conditions nécessaires pour que ce problème soit possible et admette deux solutions ou une seule. Si nous revenons à la question proposée, nous pouvons dire qu'elle n'est possible qu'autant que le point et le cercle sont d'un môme côté de la droite et que le point n'est pas à Tintérieur du cercle, et dans ce cas il y a généralement quatre solutions. Si le point est sur le cercle ou sur la droite, il n*y a que deux solutions.

D'après le raisonnement précédent le problème II peut encore être ramené à la construction d'un cercle passant par deux points donnés et tangent à un cercle (N** 3), que nous étudions plus loin (316).

DAUZAT. — MÉTHODOL. 65

Remarque. — On peut résoudre le N<* 9 de nos problèmes sur le cercle, qui a pour objet la construction d*un cercle tangent à une droite et deux cercles donnés^ en s'appuyant sur la solution qui précède. A cet effet, on se sert de la méthode des translations parallèles, qui consiste ici à réduire le plus petit cercle à son centre, le second, à un cercle concentrique de rayon égal à la différence des rayons des deux cercles^ et à substituera la droite une parallèle qui en est distante de la longueur du rayon du petit cercle et qui est à Topposé des deux cercles par rapport à cette droite. Mais en revenant du problème simplifié à Pautre, comme on remplace un point par un cercle, qui a deux espèces de contact avec le cercle à construire, le problème admet en général un nombre double de solutions, c*est-à-dire huit.

316. III. Construire un cercle passant par un point donné et tangent à deux cercles donnés (N** 6).

La méthode des figures inverses nous a servi à donner une solution de ce problème (240) ; nous nous proposons ici d'en donner ime seconde analogue aux précédentes.

Soient {fig. 137) 0 et 0' les deux cercles et A le point donnés ; soil aussi 0" le cercle demandé.

Les deux points de contact B et C du cercle 0' avec les cercles 0 et 0' sont les centres d'homothétie inverse du premier et de chacun des deux autres , il s'ensuit (159, IV) que la droite

BG passe par le centre I d'homothétie directe des deux cercles