DIOPTRIQUE

1. Théories des lentilles. — Comme introduction à la dioptrique oculaire, rappelons à grands traits la « théorie des lentilles ».

Indice

temps qu' du milieu

de réfraction. — La lumière se propage en ligne droite, aussi longelle se meut dans un milieu homogène. Arrivée à un endroit où la nature

change, autrement dit quand elle doitjpasser d'un milieu dans un autre,

elle est généralement réfléchie en partie vers le premier milieu (angle d'incidence égal à l'angle de réflexion) ; ce sont ces rayons qui rendent visibles les objets, ou plutôt les surfaces de séparation entre deux milieux. Partiellement, la lumière passe dans le second milieu ; mais ici, elle ne poursuit sa direction primitive que dans un seul cas, celui d'une incidence perpendiculaire à la surface de séparation. Pour toutes les autres incidences, le rayon est dévié de sa direction primitive, mais continue de nouveau à suivre la ligne droite dans le second milieu: le rayon est réfracté, et le phénomène a rei;u le nom de réfraction (i). 1» Le rayon incident ao (fig. 222) et le rayon réfracté oh sont

Fig. 222. — Loi fondamentale de la réfraction.

(1) Aux pliéuonièncs optiques dus à la réflexion lumineuse on donne souvent le nom de phénomènes catoptriques (ex. les images catoptriques = par réflexion) ; les phénomènes dloptriqiies (ex. une image dioptrique) sont dus à la réfraction de la lumière.

situés dans uq môme plan avec la perpendiculaire op à la surface au point d'incidence. 2° L'angle d'incidence aop n'est pas égal à l'angle de réfraction p'ob, mais avec deux milieux donnés, quelle que soit la grandeur de l'angle d'incidence, le rapport du sinus ws de l'angle d'incidence au sinus wW de l'angle de réfraction est

toujours le même, c'ost-à-dire ce rapport est constant : = const. On désigne

sin r

communément par la lettre 7i la valeur constante de ce rapport ( ''■ := ;^ ] , et

\sin ?• /

on la nomme « indice de réfraction >. Règle générale, cet indice est plus grand

que l'unité pour un rayon passant d'un milieu moins dense dans un milieu plus

dense. Il y a toutefois des exceptious à cette règle ; par exemple pour le rayon

qui passe de l'alcool ou de l'éther dans Teau (qui est plus dense), l'angle de

réfraction est plus grand que l'angle d'incidence. Un corps qui a un indice de

réfraction plus grand qu'un autre est plus € réfringent » que ce dernier. — Les

indices de réfraction ont été déterminés pour le passage de la lumière de l'air dans

les liquides et dans les solides les plus divers, l'indice pour un rayon passant du

vide dans l'air étant pris comme unité. L'indice du quartz est 1,547, celui du

Flint-glass 1,57 à 1,58, celui du Crown-glass 1,500, celui de l'alcool 1,372, et pour

l'éther sulfurique il est de 1,358.

Si le rayon lumineux passe d'un milieu dans un autre moins réfringent

(exemple : de l'eau à l'air), l'angle d*inciden;e est plus petit que l'angle de

réfraction, le rapport des deux sinus est plus petit que l'unité ; sa valeur exacte

est précisément l'inverse de celle de l'hypothèse précédente : ^= - ; le rayon

sin r n

réfracté s'éloigne de la normale, en passant d'un milieu plus réfriagent dans un

milieu moins réfringent.

Si on fait croître progressivement l'angle d'incidence dans le milieu le plus

réfringent, l'angle de réfraction arrive à dépasser 90°, c'est-à-dire que la lumière

est renvoyée totalement dans le premier milieu : réfraction totale.

Marche de la lumière à travers les lentilles. — On distingue les lentilles en sphériques et eu cylindriques, suivant le genre de courbure des faces. Nous nous occuperons ici des premières et nous dirons un mot des lentilles cylindriques à propos de 1' t astigmatisine >. — Les surfaces des lentilles sphériques sont des segments de surfaces sphériques plus ou moins courbes. Les lentille.^ sphériques se distinguent en biconvexes et en biconcaves, selon que leurs deux surfaces sont convexes ou concaves.

Soit (tig. 223) en premier lieu une lentille biconvexe en verre, située dans l'air. Supposons des rayons venus d'une source lumineuse très-éloignée parallèles entre eux et avec Y axe optique a a', qui est la ligne passant par les milieux des surfaces de la lentille. Envisageons le rayon mn, parallèle à l'axe optique. Arrivé contre la lentille, il forme avec la normale en ce point de la surface, c'est-à-dire avec le rayon de courbure (1,2) l'angle d'incidence Inm, et l'angle de réfraction "iny. Ce dernier, situé dans le milieu le plus réfringent, est plus petit que l'angle d'incidence. Le rayon réfracté n'a donc pas la direction primitive nDiœ ; il se rapproche de l'axe optique.

Dans la lentille, le rayon considéré continue sa marche en ligne droite (no), et arrivé contre la seconde surface, il subit une nouvelle réfraction. Au point d'incidence, il forme ici avec la normale 4,3 (qui est le rayon de courbure) un angle d'incidence «o4 et un angle de réfraction 3of; mais cette fois le dernier, situé dans le milieu moins réfringent, est plus grand que l'angle d'incidence ; le rayon se dévie donc encore davantage vers l'axe optique, qu'il ira couper en un point f, d'autant plus rapproché de la lentille que l'indice de réfraction de la matière de la lentille est plus grand et que la courbure des deux surfaces est plus forte.

Fig. 223.

Des considérations analogues montreraient que d'autres rayons parallèles à l'axe optique vont couper ce dernier en arrière c^e la lentille. De plus, un raisonnement géométrique ferait voir que les rayons qui ne sont pas trop éloignés de l'axe optique se coupent tous en un seul et même point de l'axe optique f, appelé « foî/er principal t de lalentille. — On démontre expérimentalement la môme chose en dirigeant l'axe optique sur un point lumineux très éloigné : il se forme alors un « foyer ».

Le foyer principal d'une lentille biconvexe est le point de l'axe optique oii tous les rayons parallèles à l'axe optique, venus de l'infini (de très-loin et de la même source lumineuse), se rencontrent réellement après avoir traversé la lentille. La distance hf du foyer principal au centre de la lentille est la distance focale principale. — Il est clair que si les rayons lumineux venaient en sens inverse, tombaient d'abord sur l'autre face de la lentille, ils formeraient encore un foyer principal f, situé à gauche de la lentille, à la même distance de cette dernière que l'autre foyer principal. Une lentille biconvexe a donc deux foyers principaux, également éloignés de la lentille, un antérieur et un postérieur. — Si on mettait la source lumineuse dans un des foyers principaux, les rayons lumineux suivraient précisément la marche opposée (qu'on construira aisément), et seraient parallèles au sortir de la lentille.

Voilà donc élucidée la marche des rayons lumineux, la source lumineuse étant à l'infini ou bien dans le foyer principal. Voyons quelle est la direction des rayons émergents si la source lumineuse occupe d'autres positions par rapport à la lentille.

Rapprochons la source lumineuse sur l'axe optique, et les rayons émergents iront encore se réunir en un seul point de l'axe optique, mais plus éloigné de la lentille que le foyer principal, ainsi qu'il est facile de se convaincre par l'expérience et par une simple construction; ce point de réunion recule d'autant plus que la source lumineuse se rapproche davantage du foyer principal; la source lumineuse étant dans ce foyer, les rayons émergents sont parallèles, leur point de réunion est situé à l'infini, comme on dit. Rapprochons encore la source lumineuse, et les rayons émergents divergent : ils ne se réunissent plus en un même point, mais ont une direction comme s'ils arrivaient d'un point situé de l'autre côté de la lentille. — Les points de réunion des rayons lumineux venus de points intermédiaires entre l'infini et le foyer principal sont nommés /"oy ers conjugués par rapport à la distance de la source lumineuse qui leur correspond. Il y a donc une infinité de foyers conjugués entre l'infini et le foyer principal ; et quand on emploie le terme foyer conjugué, il faut toujours ajouter (au moins mentalement^ : foyer conjugué par rapport à telle ou à telle position de la source lumineuse. Le foyer priucipal est donc un foyer conjugué par rapport à l'infini, et l'infini est un foyer conjugué par rapport au foyer principal. — Le foyer conjugué par rapport à une position de la source lumineuse entre le foyer principal et la lentille n'est plus réel, mais virtuel (les rayons émergents ont une direction comme s'ils arrivaient de ce foyer virtuel).

Flg. 224.

Les foyers conjugués jouissent d'une propriété constatée déjà pour les foyers principaux; si (fig. 224) on met la source lumineuse dans le foyer conjugué i par rapport à une certaine position L de la source lumineuse, le foyer se trouvera au point où tout à l'heure était la source lumineuse. — On peut donc remplacer le foyer conjugué par la source lumineuse et vice- versa, rien ne sera changé dans la marche des rayons lumineux, sinon leur direction. — Ce principe est trèsimportant ; il trouvera des applications importantes plus loin, dans la théorie de l'ophtaluioscope.

Voyons lu marche des rayons lumineux à travers une lentille biconcave. Considérons (fig. 225) d'abord des rayons parallèles entre eux et avec l'axe optique. Un de ces rayons ww, en arrivant sur la première surface de la lentille, forme avec le rayon de courbure (1,2) l'angle d'incidence mn\, et dans la lentille un angle de réfraction plus petit que /yn2 (qui est égal à mn\) ; le rayon réfracté ne continuera pas sa direction primitive ^î/a, il se rapprochera de la normale, c'est-à-dire s'écartera de l'axe optique. Arrivé contre la seconde face, le rayon se réfractera une seconde fois; l'angle de réfraction sera plus grand que l'angle d'incidence el

le rayon s'éloignera de la normale 3 4 et de l'axe optique; il suivra la direction vers X. On trouvera de mèine qu'un rayon quelconque mn' , arrivant parallèlement à l'axe optique, s'écarte de celui-ci comme le premier. On démontre que tous ces rayons parallèles à l'axe principal divergent au sortir de la lentille comme s'ils arrivaient tous d'un seul point f, situé au côté de la lentille d'où viennent les rayons incidents. Ce point f est le « foyer 'principal » de la lentille biconcave, mais contrairement à ce qui existe dans la lentille biconvexe, les rayons ne s'y réunissent pas réellement, c'est un foyer principal « virtuel ». Gomme pour les lentilles biconvexes, il y a deux foyers principaux virtuels, un antérieur et un 'postérieur, à égales distances de la lentille. — Rapprochons la source lumineuse de la lentille, et les rayons émergents divergeront encore plus que dans le

Fig. 225.

premier cas ; il y a formation de foyers conjugués virtuels, situés entre le foyer principal et la lentille, et d'autant plus rapprochés de cette dernière que le point lumineux s'en rapproche davantage.

On voit donc que les rayons partis d'un môme point (rayons homocentriques, comme on dit) situé sur l'axe optique d'une lentille sphérique biconvexe ou biconcave concourent, eux ou leurs prolongements, en un point focal, qui est l'image réelle ou virtuelle du point lumineux. — La lentille biconvexe est dite aussi « convergente », parce qu'elle fait converger les rayons qui la traversent. La lentille biconcave est dite t divergente », parce qu'elle fait diverger les rayons qui la traversent. — La lentille convergente a son foyer principal du côté opposé à celui de la source lumineuse ; la lentille divergente l'a du môme côté. Dans les calculs qu''on effectue sur ces différents éléments à considérer dans une lentille, sur les « constantes optiques » d'une lentille, on est convenu de prendre comme positive la distance focale principale d'une lentille convergente, et comme négative celle d'une lentille divergente; on fait précéder la première grandeur du signe -}-, et la seconde du signe — ; de là les noms de lentilles positives et /légatives qu'on a donnés, le pre\nier aux lentilles convergentes, le second aux divergentes.

Formation des images dans les lentilles sphériques. — La marclie des rayons partis d'un pohit quelconque de l'axe optique principal étant connue, la construction de l'image d'un objet lumineux quelconque, formée par la réfraction

dans une lentille, est facilitée beaucoup par la notion du centre optique d'une lentille.

De même que le rayon <\\\\ tombe sur la lentille suivant l'axe optique principal la traverse sans se réfracter, puisqu'il est perpendiculaire aux deux surfaces de la lentille, de même aussi un rayon quelcomiue, dirigé sur le point milieu de la portion intra-lentioulaire de l'axe principal, traverse la lentille sans se dévier do sa direction primitive, (jue la lentille soit positive ou négative. Le point en question est le centre optique de la lentille.

En réalité, il y a deux centres optiques dans la lentille (connus sous le nom* de points nodaux), très voisins l'un de l'autre et situés sur l'axe principal, et jouissanl de la propriété suivante : un rayon incident dirigé (avant son incidence) sur le premier point nodal, sortira de la lentille parallèlement à sa direction incidente, mais déplacé latéralement de manière à ce qu'il soiuble provenir du second point nodal. Gomme les deux points nodaux sont très rapprochés, on peut sans erreur appréciable n'en considérer qu'un seul, qui est le centre optique, intermédiaire entre les deux.

Fig. 2-6.

Un point lumineux quelconque'/) (fig. 226), non situé sur l'axe optique principal, très-loin ou très-près de la lentille, mais plus loin que le foyer principal, envoie toujours un rayon })m dirigé vers le centre optique c. Il sortira de la lentille suivant 7ncp' , sans déviation ; sa construction nous est donc toujours connue. Ces rayons directeurs nous donnent des axes optiques secondaires, sur lesquels se forment des foyers secondaires. La construction d'un second rayon parti du point p nous est donnée dans ce qui précède. En effet, ce point lumineux envoie aussi vers la lentille un rayon pn qui passe par le foyer principal antérieur f. Au point de vue de la lentille, c'est comme s'il venait du foyer antérieur ; aussi il soi-tira do la lentille parallèlement à l'axe principal. Il ira couper le rayon directeur en p' • — On démontre par l'expérience et par le calcul que tous les rayons partis du point p vont se réunir en un point focal secondaire p' , qui sera évidemment l'intersection des deux rayons que nous savons construire.

Il reste ([uelque incertitude sur la marche du dernier rayon à travers la lentille. En fait, l'épaisseur de la lentille est toujours assez petite pour que nous puissions la négliger (pour nos besoins pratiques), comme déjà nous avons négligé la distance entre les deux points nodaux. La lentille se réduit donc pour nous à un seul plan réfringent, passant par le centre optique.

Le problème de la construction géométrique de l'image d'un objet lumineux est dès lors résolu. Pour un objet situé à une distance finie, on n'a qu'à répéter pour

les rayons partis de chaijue point de l'objet la coastruetion (jue nous venons d'exécuter (lig. 226) pour ceux partis d'un seul point p. Il est facile de voir que cette image est réelle et renversée. — Si l'objet est plus rapproché de la lentille que le foyer principal (cas de la loupe simple), l'image est virtuelle et droite. — La lig. 227 représente encore la construction de l'image renversée d'un objet trèséloigné ; deux faisceaux de rayons liomocentriques, partis de deux points X et Y de l'objet (p. ex. de deux étoiles du liriiiament étoile), sont seuls construits.

La construction des images se simplifie encore plus par la notion des c plans focaux » notion dont nous avons d'ailleurs absolument besoin plus loin. — D'après ce qui précède, si nous considérons un objet situé à l'infini, chacun de ses points

Fig. 227.

émettra vers la lentille un cylindre de rayons, qui tous vont se réunir en un foyer situé sur le rayon directeur. On démontre que l'ensemble de ces points focaux est situé dans un plan perpendiculaire à l'axe optique, à l'endroit du foyer principal. Pour un objet situé à l'infini (très-loin), on n'a donc qu'à mener les ditlerents rayons directeurs — et il y en a autant qu'il y a de points lumineux dans l'objet — ; l'image de chacun de ces points se formera là où son rayon directeur coupe le plan focal principal. On appelle plan focal principal (pi. f. pr., fig. 227 et 228) le plan

Fie. 228.

perpendiculaire à l'axe optique à l'endroit du foyerprincipal.il y a donc deux plans focaîix principaux, un antérieur et xin postérieur, de môme qu'il y a deux foyers principaux.

Pour un objet plus rapproché, m n (fig. 228), il y a un plan focal conjugué pi. f. c, plus éloigné de la lentille que le plan focal principal ; en réalité il y a une infinité de plans focaux conjugués, d'autant plus éloignés que l'objet est plus rapproché de la lentille. Le plan focal conjugué par rapport à un objet situé dans le plan focal antérieur est situé à l'infini, c'est-à-dire qu'il ne se forme plus d'image du tout. — Si l'objet est situé entre le foyer principal antérieur et la lentille, il y aura à considérer un plan focal virtuel.

Si la lentille est biconcave, les plans focaux sont virtuels ; ils sont coupés en un point unique par les prolongements de tous les rayons partis d'un mùiue point (rayons homocentriques). Les rayons directeurs, encore une fois, donnent la construction de l'image.

Évaluation de la force réfringente des lentilles. Nous savons déjà d'une manière générale ce qu'il faut entendre par « pouvoir réfringent » ou < force réfringente » d'une lentille, cette propriété en vertu de laquelle la lentille infiuence la marche des rayons lumineux, et qui est plus ou moins prononcée d'une lentille à l'autre. Nous comprenons aussi dès maintenant que de deux lentilles, celle qui a la distance focale la plus courte, doit avoir le pouvoir réfringent le plus fort, puisqu'elle dévie le plus la lumière. On démontre (et nous en lintravoyons lu raison d'après ce qui précède) que le pouvoir réfringent d'une lentille dépend de la courbure de ses deux surfaces et de l'indice de réfraction de la substance dont elle se compose. Une lentille est d'autant plus « forte », a un pouvoir réfringent d'autant plus élevé, que la courbure de ses faces est plus forte (que les rayons de courbure de ses faces sont plus petits) et que l'indice de réfraction est plus grand. Ainsi, pour que deux lentilles, l'une de verre ordinaire et l'autre de cristal de roche (ou de Flint-glass) aient la môme force réfringente, il faut que les rayons de courbure soient plus grands dans celle de cristal de roche (ou de Flint), dont l'indice est plus grand.

Supposons que nous ayons une série de lentilles de môme indice de réfraction et de môme courbure, par conséiiuent des lentilles de môme force réfringente, ayant donc toutes la môme distance focale principale. Associons en deux, puis trois, quatre etc., et nous doublons, triplons, (Quadruplons etc. la force réfringente du système résultant.

Il y a moyen de construire des lentilles dont les pouvoirs réfringents sont les mômes que ceux des combinnisons de deux, trois, etc. lentilles de tout à l'heure : nous aurons des lentilles deux, trois, quatre etc. fois plus fortes que la première.

Lu force réfringente d'une lentille a un rapport très-remarquable avec la distance focale principale, à tel point qu'ordinairement on détermine la force réfringente à l'aide de la distance focale principale (élément facile à mesurer). Prenons deux lentilles positives dont l'une a une force réfringente double de l'autre : on trouvera que la distance focale de la première n'est que la moitié de celle de la seconde ; une lentille trois fois plus réfringente a une distance focale qui n'est que le tiers ; une lentille six fois plus réfringeiue a une distance focale qui n'est que le sixième, etc. de celle c[ui sert de point de départ. Si donc nous doublons, triplons etc. la force réfringente, la distance focale n'est (jue la moitié, le tiers etc. En d'autres termes, la distance focale principale est en raison inverse de la force réfrincrente.

Si Frest la force réfrigérante, rrr- sera la distance focale correspondante. Inverse-

ment, si D est la distance focale, — sera la force réfringente : la force réfringente

et la distance focale sont en raison inverse l'une de l'autre.

Numérotage des verres {de lunettes). — Si nous nommons « dioptrie » la force réfringente d'une lentille ayant un mètre de distance focale, et si nous prenons cette force réfringente comme unité, alors une lentille de deux dioptries a une distance focale d'un demi mètre (50 cLm.) ; des lentilles 3, de 4, de 8, de 13 etc. dioptries ont des distances focales de 33, de 30, de 13, de 8 centimètres ; une lentille d'une demi-dioptrie a deux mètres de distance focale. Dans les boîtes à lunettes des oculistes, les verres sont aujourd'hui numérotés d'après leur force réfringente et en dioptries. — .Connaissant la force réfringente (nombre de dioptries), d'une lentille, on en trouve la distance focale en centimètres en divisant cent par ce nombre. Connaissant la distance focale (en centimètres) on trouve le nombre de dioptries en divisant cent par cette distance.