LIVRE VI- — OPTIQUE

géométriqiw de pari et d*att(re au faisceau lymineoi intérieur;

i» Que l*on observe seulement des flranges intérieur rt$, c*est-à-dfre des franges produites dans te faisceau lumineux intérieur ;

Z*" Oue 1*on observe à la fois des franges intérieures et extérieures.

Franges extérieures, — Les franges de cette espèce ne peuvent jamais être obtenues que par des ouvertures très-étroites, et même il arrive souvent que près de rouvert ure elles se trouvent mêlées de franges intérieures plus ou moins nombreuses , de telle sorte quMl est nécessaire , pour les avoir pures , d'aller les observer à une grande distance. Yoici les conditions sous lesquelles elles se produisent, et les lois de leur formation :

Du point /*, comme centre, décrivons un arc jr fr js ^^ y, qui représente Tonde incidente {fig* 785) , et sur la ligne f s, qui passe par le milieu de Touverture , concevons un point p à une distance de quelques décimètres des bords b et i/. Si Touverture est assez étroite pour que la différence des distances pbeip m oupV eips soit égale seulement à une demi-ondulation , il n*y aura Jamais de franges intérieures à une distance des biseaux plus grande quep s. En effet, pour tous les points, tels que j/, situés sur Taxe f»^ et plus éloignés que le point p, la différence des chemins parcourus p" b' eip^ soup'b et jt/ jb sera moindre qu*une demiondulation i par conséquent , de tous les ébranlements envoyés en p' par Parc s 6, aucun ne sera détruit ; il en sera de même des ébranlements envoyés au même point par Tare s ^ ; de plus, la résultante des premiers sera conspirante avec celle des seconds ; il y aura donc une vive intensité de lumière. Ainsi, au-delà du point p, Jamais Ton n'observera de franges sombres sur Taxe fz.

Maintenant, si par le point p Ton mène la ligne indéfinie p h parallèlement aux biseaux , et que Ton détermine sur cette ligne les points a, #', a", etc., pour lesquels les différences des chemins parcourus a ^'-^ a 6, • fc'— a'6, a"fr' — a"à, etc. , soient respectivement 2 demi-ondulations, 4 demi-ondulations, 6 demi-ondulations , et en général un nombre pair de demi-ondulalions, ces points a, s', «^', etc., seront les milieux des franges sombres du premier ordre, du deuxième ordre, du troisième ordre , etc. Au contraire , les milieux des franges brillantes du premier , du deuxième , du troisième ordre , etc. , seront donnés par les points r, r', r^', etc. , compris entre les premiers, et pour lesquels les différences des chemins parcourus r b'-^rb^ r* If — r* b^f** V -- r" 6, etc., sont respectivement 8 demiondulations, 5 demi-ondulations , 7 demi-ondulations, et en général un nombre impair de demi-ondulations.

En effet, dans le premier cas, s'il s'agit du point a', par exemple, on conçoit que la portion b Mb^de l'onde incidente puisse être divisée, à partir du point fr, en quatre parties telles que les disUnces de a^ à la fin de la première, de la deuxième, de la troisième et de la ^alrième, qui se termine en b\ surpassent / b d'une

demi-ondulation, don doni-oadtilatlan, troia ondulations et quatre demi-ondulationa. Alora la i tante des ébranlements que la première partie tmwoks en s^ sera discordante avec celle de la dauxièflM pwtfe, et sera détruite par elle, tandis que celle de la ( partie sera, par la mêoM raison, détruite aussi par de la quatrième. Ainsi, le point a' est le nilieB frange sombre. Pour le point a , on partagerait Vut bMb^ en deux parties, en six pour le point s^\ etc., «t l'on ferait le même raisonneoMut.

Dans le second cas , s'il s*agit du point r', par odibpie, on conçoit que la portion bsb^ét Tonde iaeidcsrta puisse être divisée, à partir du point fr, en daq parties telles que les distances r' à la fin de la première, de la deuxième, de la troisième, de la quatrième et de U ciaquième, qui se termine en b^^ surpassent respeetiv a' b d*une, deux, trois, quatre et cinq i Alors, la résultante des ébranleoMSots que le j partie envoie au point r' sera détruite par celle de U deuxième, tandis que celle de la troisième sera âéUwàU par celle de la quatrième; mais II restera celle de la ctequième partie, qui viendra éclairer le point r' de levle son intensité. Ainsi, le point fusera le milieu d\me trms^ brillante. Pour le point r, on diviserait Tare b m i^ em trois parties, en sept pour le point f^'^etCfetToo taail le même raisonnement.

Telle est la cause de la formation des /reafee < rioures perdes ouvertures étroites.

11 nous reste à présent à indiquer lêa UHs qa'eilce t vent dans leur développement.

Puisque les milieux des franges sombres du j ordre formeiit la série des points dont les distancée smoL points ^5 et ^ sont de deux demi-oodulatioas, il aet étident qu'elles se trouvent sur deux brenebes dlqrperbele ayant pour foyer les points b et b^^ et pour graad eaa une liMigueur égale à deux deaii-ondulatioas. Par le même raison lee franges des divers ordres se mcnvit suivant des hyperboles dont les foyers sont encore ea è et ^, et dont les grands axes ont respeetivemeM poar longueurs quatre, six, huit, etc., demi-oodulalioas. Or, ces hyperboles se confondent sensiblement avec km$ asymptotes, et il est facile de voir, en représeateaiper V la largeur de l'ouverture et par <f la deml-toagacm d'une ondulation, que la tangente de Taagle des asjaf

nd totes avec Taxe des franges est-^| pour les fkanges brillantes du l"' ordre, du S* ordre, etc., ts aère 3, 4, clc^ et pour les fk«nges soasbres, 1,8, etc. ; les àB^lm élart asseï petits pour être proportioanela à leurs ( on en déduit les lois suivantes :

t« La largeur des franges ou la distance des i de deux franges sombres coasécutivea est ea raisaaiftverse de la largeur de Touverture;

S« De chaque côté de Taxe les frangea sombres csasécutives sont équidiatantes, et leur disteaoe est égde à la distance de Taxe à la frange sombre da pranier ordre, ou, ce qui revient au méOM, les diataooss dea

CHAP. VI.— DES INTERFÉRENCES ET DE LA DIFFRACTION

fraaget tombret à Taxe forment une progression aritb- ■étiqtie dont la raison est égale au premier terme;

S* Les largeurs absolues des franges intérieures croisaeni proportionnellement à la distance à laquelle on les reçoit derrière les biseaux;

4* Les largeurs absolues des franges sont en raison Inverse des rapports de réfraction des milieux dans lesquels elles sont produites, car elles sont en raison inrtne des ondes, et nous avons vu plus haut que les longueurs des ondes sont en raison inverse des rapports de réflractions.

Cea lois, qui se déduisent si simplement de la théorie de Fresnel, ont été établies pour la première fois dans le travail que nous avons fait en 1815, M. Biot et moi, sur les phénomènes de diffraction; elles étaient alors un pur résultat d'expérience; nous n'avions pu trouver aucune théorie pour les lier ou pour les expliquer, parce que nous adoptions exclusivement le système de rémission, qui ne peut en réalité expliquer la moindre circonstance des phénomènes de la diffraction.

Frangea intérieures, — Soit f le point lumineux (flg. 756), ( et ^ les biseaux, et p un point pris sur Taxe ^s 9 à une distance telle que la différence pb^ pMoapl/ -^p » soit une demi-ondulation. Nous venons de voir qu'au-delà du pointp il n'y a pas de franges intérieures; mais nous allons montrer qu'en deçà du point p, c'est-à-dire plus près de l'ouverture, il y a successivement ai«r l^ase des franges sombres et brillantes. En efllet, on conçoit qu'il existe des points a, s', s" {wur lesquela les différences sb — 8»ousl/-'$s^tfb'' a' s. on •^' - / «, a" è - a" j5,ou«" ^ - a" s, etc., seront respectivement S, 4, 6, ou en général un nombre pair de demi-ondulations ; et ces points seront les mi« lieux de franges sombres, puisque chacun des ébranle- DMrnts qu'ils reçoivent des parties Mbei zb' de l'onde incidente est détruit par lui-même. Au contraire, les pointa r, r', etc., compris entre les premiers, sont tels que les différences rb-^rz, ou rb^ — r z, t^ b — r' s, ou r' t' — r' J5^ etc. , seront de 5, 5, ou en général un nombre impair de demi-ondulations , et ces points seront les milieux de franges brillantes , puisqu*ils éprouvent de la part des arcs bzeibz' des ébranlements concordants, qui sont chacun séparément capables de les éclairer. Ainsi, la condition qui nous a servi plus luiat à déterminer les distances où les ft>anges extérieures commencent à être seules nous donne pareillement les limites desquelles il faut partir pour observer des franges intérieures en se rapprochant des biseaux.

Maintenant, pour donner une idée du nombre et des dlslancet des franges intérieures, nous examinerons seulement le cas où la lumière incidente est de la lumière parallèle. L'onde qui tombe sur l'ouverture étant alors représentée par la ligne droite b If {fig. 737), prenons sur l'axe du faisceau un point p tellement situé que la différence p 6 —pz ovtpb^ — p s soit un nombre pair de demi-ondulations, par exemple dix demioodalations. Ce point p sera le milieu d'une frange som-

bre, puisque chacun des éhranleménts des arcs s 6 et s ^^ se détruit séparément , bien que cette destruction ne soit pas totale. Pour des points voisins du pointp, et comme lui situés sur l'axe, ou plus près ou plus loin des biseaux, la différence sera onze demi-ondulations ou neuf demi-ondulations; donc il y aura lumière,* comme nous venons de le voir dans la figure précédente, et le chemin qu'il faudra faire pour arriver à ces points sera d'autant plus court que les biseaux seront plus écartés l'un de l'autre. Mais arrêtons-nous au point p, et essayons de faire vohr que sur la ligne horizontale p A il y aura à c6té de lui des franges alternativement brillantes et sombres. Concevons que l'on prenne sur p A un point a, déterminé par la double condition que les différences a d — a m, et a 6' — a m soient l'une et l'autre un nombre pair de demi-ondulations, par exemple la première huit et la seconde quatorze, il est évident que le point a sera alors le milieu d'une frange sombre, et, en général, il y aura sur p h autant de franges sombres qu'il y aura de points analogues au point a, c'est-à-dire tels que les différences s b — smeieb^ ^ $m soient l'une et l'autre égales à un nombre pair quelconque de demi-ondulations; d'ailleurs, il est facile dé voir que ces franges sombres seront d'autant plus nombreuses et plus serrées que l'ouverture sera plus grande, et le point lumineux et la ligne p h l'un et l'autre plus rapprochés des biseaux : au contraire, les franges brillantes seront déterminées par les points r, pour lesquels les différences rb—rneirb^ — rn sont cba<fune égales à un nombre impair de demi-ondulations, puisque alors ces points recevront de chaque partie ^ n et 6^ n de l'onde incidente des ébranlements conspirants, et dont chacun séparément serait capable de les éclairer.

Franges intérieures et extérieures. — Pour qu'il se produise à la fois des franges intérieures et extérieures, il suffit que l'ouverture soit assez large pour donner naissance à des franges intérieures, et assez étroite pour que les portions de l'onde qui touchent l'un des bords donnent une résultante sensible dans l'ombre de l'autre bord. Sous cette double condition chacun des systèmes de frange est produit suivant les lois qui lui sont pro* près.

Les principes que nous venons d'exposer sur les modifications remarquables que présente la iumière homogène d'une seule couleur, en passant au travers des ouvertures rectangulaires, peuvent être étendus à toutes les couleurs simples séparément, et par conséquent à une lumière composée quelconque, puisque, dans tout mélange, chaque couleur élémentaire suit très-exactement les lois qu'elle suivrait si elle était seule.

Pour vérifier ces résultats par l'expérience, on se sert des fiches n°1 ou n*3 sur le premier support et de la fiche 09 8 sur le deuxième : comme on peut à volonté changer l'ouverture des biseaux, soit 'en les conservant parallèles entre eux, soit en les inclinant plus ou moins, il est facile de produire les effets les plus variés; les fhinges s^observent à diverses distances avec le micromètre.

UWE VI.^OPnOUB,

Ua pctitei «avArtiirM «ireaUtrei [^te^tMit, dans tante ta siaipliaité, un phéMinàiîè qpi c«4fflM de la manièfe la |dui imnédiaie le prinelpt généfal qye Boqi avans éubli préeédfaim^aL Ce phénoailM eat aalul «Tune (aeha Koire au eeatre de PiiMfe dani Taie du falseeau'de lumière qui pénèipe paa Tauvarlupa, tarir qu^ao abierve cet aie i des diilanaea tailei que la difféirenée des cliemins pareauvui l| partir du point luniiieui eut l*aie lul-oiéne et lur la ligne hriaée qui pM«e au bord de Pouverture eet égale à un ooiAre pair de demiandulaliona. 8i Ton représente par « et è le« diataneea de l'ouverture au peini lunineui et au il du mlcramé^ Ire, et par r le rayon de rouverturt , il o»t faeile de voir que œi diataneea à aant données par la fémnle t

or*

n msui-^f^

Oe réiultat ae vériie d^une maniera f»appap(a an met-s tant aur le preouer lupport une lanUlle apliériqiie * him trèa-eourt ou una ouverture eireulaire d*envireq 1/i millimètre, e( aur la dauiièaia aupport un laou rond d*euviron 1 millimètre, 0clie n»7 M\ la diatanaa daa aupporta doit être aii mojn» de 7 è • déeimètres, la dlatêim du mioromèlre au deuaiéma auppoft ait donnée par la formule préaédep^; on enmpta ai«émint JnaqH'è quatre altemativaa , anrraapqndant è fi ?= 1» 1, 9 at di

480. Ftmng^ prmfnU^ê p%f ii$U0 mw^rfum Mhr* wii$in0§. -^ 1$ nom^a, la grandeur et la position de oaa frangea aa déduit d'una maniera Ifèitaimpla dai principea que nous venona de développar. On |aa nb-r H9^ê en mettant aqr le premier support lai 0abea n* I ou no 9 et sur le deuaième aupport la t^i^ W* 19 pour la lumière ariifiaiella et la iaba n» 19 pour Iq Inmi^re aolalre. C'eai le doeteur Toiiog qui a fait la pramiar eelte expériepee, au moyen de laquelle il avait p« obaarvar la nuircbe byperboliqua dei frangea : an aour vraot Pune des ouveriurea avec un éaran opaque lei franges disparaissent} en les couvrant avaa un éaran diapbana ellea diaparaiaaent anaoraj al ellea reparaiiaent lorsque réeran diaphane couvre lea deui puvertprea.

Grimaldi avait le premier fait une expérience anato^ gtta avec deux paliiea ouveriurea airtplairaa, paralllea à aallea de U Éche n» td{ c'a«iaatta axpérianaa qui Ta^ vait eondnlt à énonear aat(e vérité londamantalet que, aoue ceMinoa oondiUona, la Iqmièrt njontéa à la liit mière produit lea ténèbres.

/keêê pùHês. -r- Loraqu'apiie avoir diapneé bie ichaa n« 1 ou n« 8 aur le premier aupport, on vient diapoaar aur le deuxième Tune des ^Qbain* lûou nell » da maniera que la r^aiiao e^aenompliaae aur le naimir fona une obliquité quelconque , |e ^iaoeau réOéoki prdaoiia dee frangea plua ou moina nombra uaoi* M ait faaiia da voir (fi0. 7i8) «la u faisceau réftéalii eal a«Mia a'il avait iraveraé obitgmm^n^ une ovvartuff égale è la Jargrur du mirair, et i^*ainai il priaenla dai fliingea

intéHeurea qvftN la mivnia aai lifit, f(d« %iipi intériauraa et estérienrea ai |a »imia art inBuaimMi

étroit.

On appelle réaeaux dea syst#«ai da paMU iMarHHm

loua égaux antre anx qui pauvant réf^r w iranwntpa la lumière et qui sont aépards par d'inox intamlt lea tout I Hïi opaquaa on pqq rMecteura mfaiHawit égaux entra au** Ainsi dea traili MnidjaUMM, taaaéf au diamant aur una lama da Yarr^ « fpmieni un Hmê

quand ils sont assez rapprochés, par exemplf | tlt^i

1180 ou 11(00 de mimp^ra > i jia font par§iMioa« le pésaau ait parallèle ( %. 740 ) \ m «f 94Uie«| | aiigW droit , la Hm^ aai k milieu carréa, etc. Oaa irain samUablea , traçéa mr npe lama da p^I poli » fmmnt encore daa rdaaaui , mala gtli aopt itMm^M pripm* rW^abir la inmitre et nqn par ft |a tranapattrtr

Ç*eat Frpuenboii^ <iui a |e premiar étu#è laa PMm* mènea trèarremarquablae 4ve préa^ntppt lai rNiW* Voici le mode d^observatipn 411^1 fV^t idppUii |( |ai réanllata gépérqui; de lai recbercbaa,

l^a lumière rPlaiae , réfléchie hori|onUlaq|eM par la miroir d*iin bdiioatat, entra dapf !a çbambfe POirefav una petite ouvariura , lanioi paa np (rçn rogdt i#94d( par lin fente verticale formik^ par deu» bi«aqiHt ^If^ au vqiat. A upe diatanae de M mMref d« yoM aal wi tbéodpiiu ou un initriimani qyalconfiiv WM^ ipe lunette bnriaontala et prqpra # m^anfa' lai angtef» l^oua auppoaarooa que ee|ie m9U$ l ifyff 799 ) •» m^n P^" tour d^un êi9 vertical paMant an f è qtieiqiipa poucaa au-devant de PotajeaUf i c*aat da i^tré^té do e# ofo, a<aattèrdiva aur un plateau 4xe p i»' , aq aeqtra dmM ilpaaaa,que Ton ajuata la réaaav f K d« imMrg V« aea traita aolent vertioaqx. l«e AUiaenn 4e Inoiî^ i||W* aba tombe perpendipulalram<int sqr le ri^ee^n , !• {m» versa et vient pén^M'ar dana robjaptif de k (WM^ t qui ne doit recevoir aucune antra Ivniière. Aiq^ , en regardant par l'oculaira , on obianr e If pMumtif cairiaiK repr^enté dani la figura 7dir

I» M lente g dn volai ocrait ap milieg« MMréa d'una lumière Manche, ayant faa borda NTM^MUMI mnOiàê • eommc ai la riNaaM q'exif tait pal • al d^ ^^ que aOié laa ap^arapeaa aoo^ ei^tmani «rn^M'ifV^f

i* ipfèa robaanrii^ aompiète f , qui anrimii^ i> mage de la fente, parait un ^Wani apaotr^ h ç i?gnl la violât an dedana van A» a4 la rotfff? m dabori Twi ^f II, il ae termina varf m eipa^ obipor f't

i* Audt4èdaf^paraiMe)HAIiM»tta|aiqnailfff W^ irea pluaiaura apactrai da diviN9fl m^m^^ t oomptnt laa aapaaoa A' a' , etc. , arent l#ui , comfop la yran^, le violet en ée4$B$ et if rouga I» dfboni ttfilffaWBlI la

eougedu deuiièm toaN»a«tfria violet dg (nH^tm* » la rougn de paluM m la violât dn qMaki^^i f|c.

de Ceux 49 œa apaatrea qui aont paaai âUiMa at aigaci briilanta font voir lea mèmai i^d poiraa m )o agm^ tra lolair» diraot i pn y diatlRgna qvaa une grnttde Mltalé eH$ raiaa aaraclériitiques fue noua avona déai^odea

CHAP. VI. — DES interférence;» et de la diffraction.

p«riMMrt$o,<f, 9%f%g^ (/if. 690); naU,cb«te rtaiafqiiable , les rapporU de leurs distances mutuelles saut ebangés,

16^ Si ToQ considère la même raie dans les différents ^MCtres , la raie ^par eiemple ( qui est marquée f ^^^ns leiH«inli*r,/"dans le deuxième, ele.), on lrou?eque dans le deuxième sa distance au milieu a de Timaffe laUle est double de ce qu*elle est dans le premier, puis triple dans le troisième, quadrupledans lequatpième,etc.) d^oO il résulte évidemment que les mêmes couleurs pu let wémes raies occupent dans le deuxième spectre un nafact double de celui qu^elles occupent dans le pre* Mier , triple dans le troisième, nuadruple dans le qua* trième,etc.

Tous ces résultats remarquables ont été obtenus par un grand nombre d'expériences et par des mesurer d^une extrême précision.

L^appareil de Frauenbofèr était , comme le micromètre de Fresnel , très-propre à déterminer de petits angles et de petites dislances ; on voit qu*il suffisait de faire mouvoir la lunette /Jusqu'à rinslant où les diverses raies venaient coïncider avec le fil micrométrique inté* rieur. L'angle IvH qu'elle parcourait était Tangle formé par le rayon diffracté avec le rayon direct,

H. Bablnet, qui a fait beaucoup de recherches iniéreasanies sur la lumière , et particulièrement sur le sys* tème des ondulations , a proposé un moyen beaucoup phis aimpla pour mesurer les distances des spectres de

différents ordres (Annal9$ d$ Fhf$iq%t9 ei 4e Chimie, tom. 40, pag, 160). Au lieu d*une aeule fente dans le volet , il en emploie deux , dont on peut varier les distances à volonté ifig. 7S4) ; puis il les observe en même temps avec le même réseau , qu'il rapproche ou qu'il élpigne convenablement , pour amener en coïncidence parfaite les mêmes raies des spectres homologues formés Tup d gauche de Touverture de droite , Tautre à droite de Touverture de gauche. Connaissant Técart des deux ouvertures et leur distance au réseau , il est facile d'en déduire l'angle cherché {fig^ 743).

Enfin , Frauenhofer a observé deux autres conditions très^remarquabjes de ces phénomènes , savoir ]

i^ Que les déviations des mêmes couleurs, ou plus exactement des mêmes raies, b,ç,4t a, A tf > ne dé* pendant ni de la largeur de Pintervall^ transparent 4^ réseaux « ni de la largeur de l'intervalle opaque, mais seulement de la somme de ces deux largeurs *,

sa Que lei grandeurs absolues de ces déviations sont en raison inverse de cette eommê, faife d*un intervalle transparent et d*un intervalle opaque , tellement que , si dans chaque réseau Ton multiplie cette somme par les déviations corre^ipondantes des raies fr, o, d^ e, f, gt du premier spectre , on obtient des nombrei constants, qui se reproduisent toujours dans tous les réseaux et dans toutes les expériences.

Voici ce» nombres transformés en millimètres :

Prodaiti de la dé- LottTM «pi indiqiiSBt TÎation par la

htt raè4t ou lat toinine det ioter*

rayons correspondants valles opaques

du ipectre 'et transparents en

aolaira. nillioiiièaics de

mUlimètres.

Longueur des on-

dulatioBs es Couleurs

millioaièmes de eerrtspoQdantef^

mUlia^ètret.

645 i^ouge extrême.