LIVRE Vl. — OPTIQUE

avec de la lumière blanche, les phénomènes changent d*apparence : on n^observe plus des firanges alternativenent sombres et brillantes, mais bien des franges diversement colorées. En effet, les franges violettes étant toujours plus étroites que les rouges, et par conséquent plus serrées, on voit que les différents systèmes de franges des diverses couleurs se superposent en empiétant les «nés sur les autres, de manière à former des teintes composées qui se succèdent dans un ordre parfaitement régulier. La figure 796 donne une idée de cette composition; elle représente seulement les fhinges rouges, vertes et violettes, et il est facile de Juger à rœll de ce que Ton obtiendrait en les superposant.

• 495. Franges produites par !es bords des écrans. — Lorsqu'on met sur le l*' support de Tappareil général la fiche n» 1, et sur le 2« support la fiche no 9, la ligne qui va du foyer de la lenlille cylindrique au bord de récran détermine Tombre géométrique, et l'on reconnaît qu'il n'y a aucune frange dans cette ombre à quelque distance qu'on l'observe ; il y a seulement une teinte qui va en se dégradant rapidement : mais au dehors de l'ombre, dans l'espace qui devrait être uniformément éclairé, on distingue plusieurs franges sombres et brillantes lorsqu'on emploie de la lumière homogène, et plusieurs franges de diverses couleurs lorsqu'on emploie de la lumière blanche. En les observant, avec le micromètre, à diverses distances, on constate aisément que la 1^*, la 9« et toutes les suivantes, se trouvent sur des branches d'hyperboles de plus en plus ouvertes, ayant leur sommet au bord de l'écran et leur centre commun au milieu de la distance qui sépare l'écran du point lumineux, c'est-à-dire du foyer de la lentille. Ces observations, pour constater la marche hyperbolique des ft'anges, se font aisément au moyen d'un écran large à bords parallèles, puisqu'il suffit alors de mesurer la distance de deux franges de même ordre, situées l'une à droite, l'autre à gauche, d'en retrancher la largeur de l'ombre de l'écran et de prendre la moitié du reste, qui exprime la distance de la frange à l'ombre géométrique.

Voici maintenant le principe générai au moyen duquel Fresnel explique la formation des franges et toutes leurs propriétés, quel que soit l'appareil qui serve à les produire.

c Les vibrations d'une onde lumineuse dans chacun » de ses points peuvent être regardées comme la somme » des mouvements élémentaires qu'y enverraient au » même instant, en agissant isolément, toutes les par- » ties de cette onde considérée dans une quelconque » de ses positions antérieures. »

Ainsi, le point f {fig. 751) étant un point lumineux, ou le fOyer d'un faisceau de lumière simple, et le cercle x % af représentant une portion de l'une des ondes envoyées par ce point lumineux, la vitesse qui se produira en un point quelconque p , lorsque cette portion de l'onde y passera, sera la même que la vitesse qui serait produite en ce point par la résultante de toutes les actions que les divers éléments a m c de

l'onde pourraient exercer svr lui , en les cdnsUérMl comme autant de centres d'ébranlement o« de poiiU lumineux particuliers. H arrive néme que daas ta eoa* position des mouvements élémentaires envoyéi en ^ par les diverses parties de l'onde ^r s 4K, l^n leieil tenir compte que des parties qui avoisinent le poiiti situé sur la ligne /"p, et négliger compléteneot edles qui en sont asseï éloignées pour que les lignes corr» pondantes , telles que « p, m p, c p, aient une iadinaison sensible , parce que leurs actions defiemot contraires et se détruisent mutudlement. Eo eftt, prenons par exemple ces trois points a, m, c, de mnière que ap— iw p soit égal à mp— cp etén^làvoe demi-ondulation; à cause de l'obliquité de cet ligaei, et de leur longueur, qui est comme infinie par rap^ à la longueur si petite d'une deml-ondolatioa, lleit clair que les ares très-petits «sa et iw o seront ésan entre eux ; or, les ondulations qui arriveraient en ^ étant en discordance, c'est-à-dire en différeace dW demi-ondulation, se détruiraient; pareilleorait, la ondes qui partiraient de tous les points comprit eilic a et m étant en discordance avec celles qui parUniesl des points correspondants eompria entre m et 6,1 y aurait destruction complète, puisque amas me. Dose la résultante des actions de l'onde jr s a^ sur lepoiaty ne dépend que des actions produites par les éiim points de cette onde qui sont à une petite distance de point s. Ce que nous disons du point p s^appUqne as point p' et à tout autre point quelconque; c'est-è-diie que la résultante des actions que lea divers poii^d^ne onde exercent sur un point donné dépend seoteBOt des actions produites par les points de cette onde ^ se trouvent à une petite distance de la ligne menée da point lumineux au point donné. Quand l'onde se propip librement , toutes ces résultantes sont égales pour dei points qui sont à la même distance du point Iub^mbx, et la lumière est uniforme.

Mais quand l'onde xzsf rencontre un obstacle, par exemple, un écran « v {fig, 799), la portion m^^ arrêtée, la résultante des actions qui s'exercent « point p est seulement produite par les divers pointi de la portion m s de Tonde qui reste libre. Par cooséqoesi, pour connaître l'influence d'un écran , il faut stnir calculer la résultante des actions que les divers poisU de la partie libre de l'onde peuvent exercer sur ui point donné.

Or, si ce point est en p' par exemple, de tdie aerte que la ligne f p' vienne percer la surfine de l'sa^ s MS^ en un point s' un peu éloigné du bord fde l'écran, il suit de ce que nous venons de voir qne ta résultante étant seulement dépendante des poinis ^ avoisinent le point s' et tout à fait indépendante ^ points éloignés comme z et a/, l'éclat de la laai^ reçue en p' ne sera modifié en rien par ia présence de l'écran. Voilà pourquoi les fftmges diffractées aea^ tendent jamais qu'à une petite distance angotairedi bord de l'écran.

CHAP, VI. — DES INTERFÉRENCES ET DE LA DIFFRACTION

Vak sf le point donné est en p" de manière que fp* perce Fende en un point jb" assez voisin de s pour que raetion exercée suivant s p" ne puisse être négligée , alors la lumière qui arrive en ce point p'^ est modifiée par la présence de l*écran.

Noos allons essayer de faire comprendre le principe «le cet modifications et la cause des alternatives d*ombre et de lumière qu*e11es produisent. Pour simplifier les Idées, nous raisonnerons seulement sur ce qui arrive dans le plan de la figure; il est facile de voir que tout sera pareil dans les plans voisins de celui-ci , soit que le foyer /provienne d*une lentille cylindrique parallèle au bord de Técran , soit qu'il provienne d*une lentille ^[rfiérique on d'une très-petite fente.

Soil/le point lumineux {fig, 755), et jrs af la portion d*une onde qui se propage vers le point p. Menons la li^oe / p, et séparons par la pensée les effets produits sur le point p par les deux portions jr s et s j;' de ronde jr s s', ces portions étant assez étendues pour comprendre tous les points de Tonde qui peuvent Iransniettre en p des actions sensibles ; car, d*après ce qui précède , nous pouvons négliger tout ce qui est à une distance un peu gra'nde du point jb. Tout étant symétrique de chaque côté de fz^ il est évident que la somme des actions produites en p par x s sera identique à la somme des actions produites au même point par s j?", et que si Ton représente par 1 la vitesse qui résulte des premières, 1 sera aussi la vitesse qui résulte des secondes , et par conséquent S sera la vitesse que doit posséder le point p quand il reçoit pleinement et sans obstacle la somme des actions que tous les points ef^caees de Tonde x % x' peuvent exercer sur lui.

Do point p comme centre, et d'un rayon p jb, décri- Tons un arc de cercle et traçons les lignes pb,p$,p b\ p s'y etc.; de telle sorte que leurs parties 6 /, s r, b' f, ff r', etc., comprises entre les arcs jb â/ et jb ât, soient respectivement égales, la première à une demi-ondulation, la deuxième à deux demi-ondulations, la troisième \ trois demi-ondulations , etc. ; alors de cette construction simple on pourra tirer les conséquences suivantes :

1* Les arcs correspondants % b^b ê^nV^V tf^ etc., dépendront, pour leurs grandeurs, et de la distance de Tonde jp s j/ au point lumineux /*, et de la dislance du point p à Tonde x%9f\ mais dans tous les cas ils iront en décroissant avec plus ou moins de rapidité : le premier s 6 étant plus grand que le deuxième» celui-ci plus grand que le troisième , etc.

^Tous les points compris de s en 6 ou sur le premier arc exerceront sur le point p des actions conspirantes entre elles, quel que soit d'ailleurs Tordre suivant lequel décroisse l'intensité de ces actions à mesure que Ton s*éloigne de s; lien sera de même des actions exercées par les points compris de 6 en s , ou sur le deuxième arc, et de s en 1/^ et de b^ en s', etc.

S* Les actions excercées par les points compris de jb en 6, on sur le premier arc, seront discordantes avec

> les actions exercées par les points compris de 6 en s ou sur le deuxième arc ; celles-ci seront discordantes avec celles du troisième, qui seront discordantes à leur tour avec celles du quatrième , etc. ; car l'action qui s'exerce suivant s p sera en discordance complète avec celle qui s'exerce suivant b p, puisque par hypothèse les longueurs de ces lignes diffèrent d'une demi-ondulation. Par la même raison , chacun des points compris entre s et 6 sera en discordance avec l'un des points compris entre 6 et s , puisqu'on peut choisir ces deux points de manière que la différence de leurs distances au point p soit d'une demi-ondulation, etc.

4*" Malgré ces discordances complètes , l'action du premier arc s 6 ne sera que parUellement détruite par celle du deuxième arc b «, parce que s b est plus grand que b s, et parce que les points de jb 6 agissent sur le point p moins obliquement et par conséquent avec plus d'énergie que les points de 6 s; de même l'action du troisième arc ne sera que partiellement détruite par celle du quatrième, etc. ; la résultante totale des actions de Tare z x sur le point p n'est donc autre chose que les différences des actions discordantes et contraires produites sur ce point par le premier et le deuxième arc, le troisième et le quatrième, etc.; ou, si Ton veut, cette résultante est l'excès des actions produites par les arcs do rang impair sur les actions produites par les arcs de rang pair; tous ces arcs étant déterminés, comme nous Tavons vu, par la condition que les lignes p M,p b, p s diffèrent d'une demi-ondulation. C'est celte différence ou cet excès qui donne au point p une vitesse dans un sens ou dans l'autre, que nous avons supposée être égale à 1.

H"* C'est le premier arc , ou le plus voisin de la ligne fp , qui déterraiue le sens de celle vitesse qui est imprimée par la résultante totale ; el si Ton pouvait , par exemple, arrêter ou supprimer Taclion de tous les points compris entre s el d , la résultante de tous les arcs restants donnerait en p une vitesse moindre que 1, et le point p vibrerait dans le sens de la résultante de b s, c'est-à-dire qu'il serait en discordance avec la résultante des actions de js b. Il suit encore de là que l'action produite par le premier arc seul l'emporte en intensité sur Taclion produite par tous les autres ensemble; car le résultat change de signe suivant que le premier y entre ou n'y entre pas. Ce que nous disons Ici du premier, par rapport à tous les autres, s'applique à Tun quelconque des arcs par rapport à tous les suivants ; l'action isolée de chacun l'emporte toii^ours en intensité sur la somme des actions de tous ceux qui le suivent.

Ces conséquences nous conduisent à la véritable cause de la production des fk'anges.

JSn effet, supposons l"* qu'un écran arrête toute la partie Mxdt Tonde x zx' (fig. 755) ; le point p reçoit alors Taclion de la partie j; jb et prend une vitesse égale àl.

Supposons t" que le bord de l'écran soit en by alora

UVm VI --OPTIQUE.

lu partie k 9f est seule arrêtée, le p«i«t p reçoit TaetiM de jT J, plus l*afi(ion de s ^ ; ees aetions sont coospi" ranles, el il en résulte en p une Tilesse égale à 1 de la part de a; « el plus grande que 1 de la part de s à* Pose quand le point p est placé à regard de Técran de telle sorte que la somme des distances /^ -f* p ^ au bord de réoran remporte d*%nÊ demi-Hmdulution sur la ligne flroite fp, il reçoit plus d$ witê$ê$ qu*il n*en receyrait SI l'écran n'existait poi.

Supposons 3** que le bord de récraii soit en s , la partie s a/ est seule arrêtée ; le point p reçoit Taotion de ûp jB, plus raclion de 4 s î la première dofine en p une vitesse égale à 1 ; la seconde, étant seulement Teieès de la résultante de s à sur celle de f s, donne une vU lesse bien moindre que 1 \ donc , quand le point p est placé à regard de Técran de telle sorte que la somme des distances ^s + p a, au bord de Téoran, remporte de deux demi-ondnlatianê sur la ligne droite fp^ il reçoit beaucoup moine d$ iDil$$$$ qu*il n*en receyrait si récran n'eiistait pas.

En suivant le même raisonnement, nous pouvons conclure d*une manière générale que la présence d*un écran augmente la vitesse de vibration sur tous las points pour lesquels la ligne brisée, qui arrive au point lumineux en passant par le bord de Técran « surpaNC d*un nombre in^fmir de demi*andulat|oos la ligpe droite qui arrive directement au point lumineux { la trace de tous ces points ferme donc la trace de tiHitee les franges brillantes) et qu'au contraire la présence de récran diminue la vitesse de vibration daui tous les points, pour lesquels la ligne brisée qui arrive au point lumineux en rasant le bord de Técran surpasse d*un nombre pair de demi«ondulations la ligne droite, qui arrive directement au point lumineux j la trace de tous ces poiQts forme donc la (race de toutes les franges sombrer. Nous pouvons conclure de là que les tracas de ces franges forment des byperboles et non à%% lignes droites { qu*elles sont plus serrées dans la lumière violette que dans la lumière rouge ; en^n que leurs distances à Tombre géométrique cbange av^c la distance du point lumineux à Técran , et avec celle du tableau sur lequel on les reçoit*

Dans ce qui précède nous ayons seulement parlé des viCesses de vibration que doit prendre le point p sui*viint sa position par rapport k la partie de Toude qui n'est pas arrêtée par Técran , parce qu'en effet qe sept ces vitesses qui résultent immédiatement de la co«pp« sitloo des mouvements élémentaires qu*il reçoit des différentes parties de Ponde lumineuse» Quant à Vint^n^ site de la lumière, ou à la vivacité de Timpression que nous en pouvons recevoir, elle n*est pas proportionnelle à ces simples vitesses , mais bien au carré de ces vitesses, car elle est évidemment proportionnelle à la force vive, c'est-à-dire au carré de la vitesse multipliée par la densité du milieu g et, au fond de notre oiil, cette densité de Télher est constante pour la même organi* sation. Remarquons enfin que pour la lun|èr«| comme

pourleson, la ckangmoni de yUesse neelMiiiit risocbronisme des vibrations, mais Mulei|ieiitlsars«« plitude ; un son grave reste toujours grave, psresfiie ses vibrations s'aoeomplissent toujours dans le piéw temps; la lumière rouge res|a toujours rougs pir k même raison^ et la lumière rouge dÎQère de la luaire violette parca qu'elle correspond | un moindre Roabd de vibrations dans le même temps , comme |ia ioq gmre diffère d'un son aigu par la même cause. C'^l en pirtant de ces données que Fresnel est parvenu, dodicb* lementè expliquer la fonnation des franges dsostsgi les cas posalbles, Biais à donner des formules pourotlculer l'intensité de la lumière et la nature dei tdaici qui se développent dans les principaux f^^fffnttm d'interférence ou de diffraction,

434. Frangée intèrieHru produifee dan ^9»^ d$$ carpe déliée au 4e$ écrane élroite. Soit i f (ftg. 734) un écran, / un point lumineux, g l(^ l'onde im^idente , que nous supposerons apparteair àli lumière rouge bomogèoa , | le loyer de la Iwips mr laquelle on reçoit l'ombre de l'écran » g if'U largeur de l'ombre géométrique , et p un point quelconque litiié dans cette ombre, dont Taxe est suivant la ligoe/'il.

Sur le cercle #(^a^, qui représente l'onde iaddcBle, on prend à gaucb^ de p / des points 9, b, c, d, ete^ tels que, en les Joignant au point p, la dlfféreaeede deuxdec^s lignes consécutiyes soit égale è laéeni* longueur d'une ondulation.

A droite de p /", on prend pareillement des poioUs'i ^, o\ etç,, qui remplissent la même condlUon.

Cela posé I pour çoooaltre la vitesse que doit preadN le point I», il suAt de remarquer qu'elle résulte ikt quantités partielles de mouvement enyoyées par lafo^ tipn la de l'onde Incidente et par la portion t s\

Or, les arcs latKah étant essentiellement ioésavZ) et de plus l'intensité des ébranlemenu que leurs difen points peuvent exciter en p étant différente à raison de leur inclinaison croissante sur la ligne p/, il ea NsuUe que ces deux arcs pris ensemble envoient de la laisièie au point p, qu'il en est de même des deux suivants, et de même encore des deux suivants , jusqu'à ce que l*w arrive à un groupe de deux arcs pour lesquels les li|sei menées au point p soient tellement inclinées sur ji/fK l'on puisse considérer comme tout k fait nulles les différences de« ébranlements qui arrivent dans ceidirsctions.

On peut essayer de déterminer par le calcul l'Iater site et la directioji de cette résultante de tous les iiffaslements partiels que les divers points de l'onde M <** voient au point p, m^is jusqu'à présent la tbéorien'i pas appHs à résoudre cette question d'une manière f^ nérale, et d'ailleurs nous devons noua borner ici à ivR remarquer que l'arc la est celui de tous qui prodoil ^ plus grand effet sur le point p, parce qu'il agit de Jf» près et sous la moindre obliquité. Ainsi la résuUsUe aura, dans tous Ifs cas, une direction, telle quepr^ fl" ou moins rapprochée dep/. Afaii cette direction ekas-

CHAP. VI. — DES 1NTB|U?ÉRENCE^ ET liE LA DIFFRACTION.

I paf àm% MQiM : i^ U dliUnee du poipt liiiiiiiifi«i à l^éaraa tmUni \% néBUi, la résulUpta «'éioisneri #Mitaiii plus depifue It point p l'approcb^r^ dava»- «hi tard de IVimbre iéoipôlrique du cù{é de g^ I 4ua ies lifBCf |N|, pt dey^uanl mQlqg o])ltqu6s, IM ébrafilaiMiiU qui arrivant au ^intp suivant ca« I proRMOt pluâ d'inteofité j 8» la point p restant la , ai la poifit luminaux fe rapprocha ou i*élpigne d# réenan lif , la aarcla qui aapréseniara Tonda ipah deote, et qui passe toujours par les points / at /", sera ou en debors du cerele si, et patte oirçon- » ahangaant la disposition des points a, h, c, ata* , •i IViMlfoitéda^ lignes menées da ces points au point p, il eat évident que la direction de la résultante pr des AraMlenentsquMls excitent en ce point sera elle-même •luna^, et d'autant plus rappracbéa de pi que le point ImBinaiix sera plus peès de i'éeran.

Ainai » en damier résultat , la lumière que la pqrlion imém ronde envoie au point p dépend da la largeur da raeraa, da ea dislanea au point lumlpeux, et de la por niti«a ûê ee point p dans Toml^re géométrique.

Cm qne nous venons de dire de la portion isà^ l'onde a^ppliqne à la portion If »* ^ q^\ dpnne dono aussi au p^Dl p une résultante pr', dont la direction est plus ou ■Mina rapprochée de p If, liais, pour une même dis<- Unce du point lumineux à Técran, on voit que cette réavItaMle ea rapprocha de p i' à mesure que le point p se rapproche du bord g de Tonibre géométrique , et par cMMéqaant à mesura que la résultante de / a s*éloigtie de p / ; et réciproquement la résultante p f^ s*éloigne éêpif k mesura que la point p s'approcha du bopd g" de PoMhpo géoasétrique, et par conséquent i mesure que hi péaoltanlep r se rapproche de p /.

60a deux résultantes prêt p r' déterminent la vitesse ém potet p ; toutes les fois qu'elles seront concordaqloa , H y aura vitesse plus grande et lumière plps vive , al il y Mira moindre vitesse et par eonséquent ténèbres lovlea les fois qu'ellu seront discordantes^ La premier ena arrivera quand la différence des chemins parcourus p n oC p 1^ sera nulle ou égale à un nom)>re pair de doai'Ondalations, et le second cas arrivera quand cette ■êaao différence eera égale à un nombre impair da da«i Londnlations.

font tous les points qui sont situés <ur Taxe de Tom* bre géométrique [my^U différence des chemins parcourus sera toujours nulle et le centre même de Tombre «eta toujours une frange brilianta,

Ea s'équ^ni de l'axa, sur la ligne /, le point p arrivera biaaléc dans une position pour laquelia la différence des lignes prtipf sara égale i une dami-ondii" i{ alors ii y aura disaordanca compièta, a^ par tobsourité; ea pbénomèna se produira à la \ dislance à droiia ai à gauche da la frange hrillaala da eaatra, et Les deux Aranges sombras qui en réaaUaroat foraMUi la srstèpia û^ franges sombres du paeaûar ordre.

gn coatiBoant de s'éearler de pari et d*autre de rai;e,

la Paint p paiera auaaaMi? amant par d?f goiUjaiii paiir

lesquelles la différence des chemins parcouruf p f e( p r' serq dp^f deipiondulaiiQUi, cf q^jj dp^ner^ las fmfiges l)r||laqtesdu deuxléi^e qrdrf, pqis trpjf deiuMndfiT lations, franges sombres du deuxième oindrai pMJ^ qMalfO den^i-ondulaiions , fraqges (vrillantes du troisième ^rdre , puis cinq demi-ondulations , franges spinhref du troisième ordre, etc.

Si Ton arrête la luiif^ièrp qui rase f MU fie» bofds da réçr^n, on fait ^ Tinslant disparaîtra les franga9t <^»r i| n*y a plM3 d*ioterférence possil^le^ c*^s^ pe fait fonda* mental f découvert par fe flpcteiir Xpu^jf , qui rivai( cpndpit à la théorie d«s ondulations.

Si Ton fait passer par un^ lain« tf^ausp^iraute quel? conque la luinière qui rase Tun d^s bordi da l'écran 1 les franges djsparalwut encpra iorsqua ^ \%W f*^ MP PCM épaisse, ^i elles ne font qua sç déplacer lomqa la lame est très-mince; ç*e9t une observation de Mr êrago qui confirme celle du docteur Toung et quj pqnftale en outre qua dans \pt corps solides les pqdqlaUqqs n'ont pas la même Ipngppur que dans Tair. Bq pbsefT^qt la sens du déplacfcfnent des frangeai e( sa grandeur, pqmparé|9 à i^^paisseur de la laipci pn f rrivp à cquclure qup le rapport des longueyrs d*ondu|ations p^t égal è ripdice de réfraction , et comnie pne oi^duljiUon doi( toujours s'acconipljr d^Qi le mêfpe temps , d^ni toqi Ips milieux, Il en résulte que la vitessa de propagation de la lumière dans un milieu est d'au^aqt mqli^dra 4Me ce milieu est plqs réfringent.

pour vérifier par Texpérience, la foripatlqn des franges, leur disparition et Ipur déplacement, ef fpptea leurs propriétés , il su^i (|e disposer sur le \** support la fiche n» 1 ou la fiche n*" 9 , et f i|r le ^ WW^ ^^ a9 4, le n« 5 pu le n» 6. Ces deux suppprta doivent Ara à environ un mètre fip distance , et Ton observe |es franges avec le microipèire que Tpn promène d^^versQi distances derrière le 3« support.

pn développapi les principes dont npu9 venons de parler , il est facile de voir qu*un ^cran circu|aife opaque de 1 à 3 millimètres de diap^tre, éciairé par une lentille ou par un Irpu rond afseï petit, dqit donner une pmbre circulaire dont le ceplre %9 troifve éclairé comme si réqran était diaphane, Ce(fe cposéqui^ce i^ vérifie aisément : on emploie pour ce^a I9 fiche n** 7 bii au t»' support, et la ficl^e u» 7 ai| é*i \mt distança doit être de 8 à 10 décimètres,^! Ton dplJt alor^ placer le micromètre i â pu $ décimèfrei derrière Técrau opaque.

429. Frangpê produites par 1^9 P^Uté^ ouv^rlures.-SQïif{fig, 755) le ppiot lumint^ux, 6 ^ la l^r^eur de Touverture que la lumière traverse, e( fg, f\f , les liipiles de l'ou^bre géon^lrique*

Pour piieqx faire fenUr U cau«e qpj produit ici les franges , noqi distinguerons trois cas, \\ pcuf ari'i" ver î

1» Que rpn observe saplen^rni dcn frange$ p^^^rieu^ re9j c'ast-à-dire des franges produites dans Tombra