CHAPITRE m

PB l'équilibre et du mouyeisnt.

Notions de Statique.

14. Un corps est en équilibre quand les forces <|ui le solli* citent se détruisent mutuellement, ou quand elles sont détruites Ifar quelque résistance. Ainsi, un corps est en équilibre à Textrémité du fil qui le suspend, parce que la pesanteur qui le sollicite est détruite par la résistance du fil et par celle du point de suspension : si le fil n*est pas assez résistant, il se rompt, et le corps tombe ; si le point d'attache est mal assuré , le corps l'entraîne, et tombe avec lui. Quelquefois l'équilibre a lieu sans point fixe et sans résistance apparente : les poissons les plus pesants sont en équilibre dans l'eau; un ballon avec ses agrès, sa nacelle et les obseiTateurs qu'il emporte, peut aussi être en équilibre dans les airs : mais alors la pesanteiu» qui sollicite ces corps est exactement détruite par des pressions particulières, comme nous le verrons dans im des chapitres suivants.

On peut dire que tous les corps qui nous paraissent en repos ne sont en effet que des corps en équilibre , parce qu'ils sont toujours soumis à l'action de plusieurs forces qui se détruisent mutuellement.

La Statique a pour objet de déterminer les conditions de l'équilibre, et la Dynamique a pour objet de déterminer les lois des mouvements qui se produisent quand les conditions d'équilibre ne sont pas remplies. La Mécanique comprend la Statique çt la Dynamique^ c'est-à-dire les lois de l'équilibre et celles du mouvement.

15. On ne peut mestœer les forces qu'en prenant potu* unité une force convenue ) comme on mesiu:e \e$ longueurs ou les poids en prenant pour unité une longueur ou un poids déteiv ninés. De plus, la notion d^ grandeur ne sVppliquant pas directement «LUX forc0S| il faut définir avec précision cç qu'on s^ppelle forces égaleSj forces doubles, etc.

CHAP, lU. m^m NOTIONS DE STATIQUE. 8i

Pour que deux forces soient égales, il faut qu'elles se fassent éfpiilibre lorsqu'on les oppose Tune à Twire sur un point ou inx extrémités d'une droite inflexible. Oeus forces égales don* nent une force double quand on les ajoute , eW-à-dire quand on les (ait agir dans le même sens et dans la même direction. Oq aurait une force triple si Ton £adsait agir dans le même sens trois forces égales, et ainsi de suite.

D'après cela, si Von convient de représenter une force par un nombre ou par une ligne, la force double de celle-là sera représentée par un nombre double ou par une ligne double, etc. C'est tiibi que nous pouvons toujours représenter les forces par des grandeurs numériques ou linéaires, et faire sur elles les mêmes opérations que nous faisons sur ces grandeurs.

16. Quel que soit le nombre des forces qui agissent sur un point, et quelles que soient leurs directions, elles ne peuvent, en dernier résultat, imprimer à ce point qu'un seul mouvement dans nne direction déterminée. Or, on conçoit qu'il existe une certaine force qui serait, à elle seule , capable de produire le même effet, et cette force unique qui pourrait remplacer l'ensemble de toutes les autres , est ce qu'on appelle leur résultante. Ainsi, qoand un bateau se meut à la fois par la force du courant, par la force des rames et par celle du vent, on peut concevoir une force unique, un fil assez fort, par exemple, qui, étant attaché au bateau, serait tiré dans une telle direction et avec un tel effort qu'à lui seul il lui imprimât à chaque instant le même mou- ▼ement que toutes ces forces réunies; il en serait la résultante. Le courant, le vent et les rames cessant d'agir, et le fil dont BOUS parlons leur étant substitué, rien ne serait changé quant au résultat.

L'ensemble des forces qui concourent à produire un effet se nomme un système de forces; ces forces s'appellent aussi des com^ posantes^ quand on les considère par rapport à la résultante qui pourrait les remplacer. Il est évident que, si à un système de forces on ajoutait une force nouvelle qui fut égale à la résultante et dirigée en sens contraire, l'équilibre aurait lieu dans ce nouveau système de forces. C'est làla propriété caractéristique de la résultante. Ainsi, dans l'exemple que nous avons choisi, tandis que les forces du courant, du vent et des rames exercent leur action, si l'on ajoutait un fil assez résistant, dirigé en sens contraire de

.;i;.N> PHËLlJll.N.UfiES.

.1 ii'>ulluiite ft tiré avec le même eBort, . tuUiiirait l'équilibre : le bateau serait plus ature; il ne poun'ait avancer ni reculer, ni i»le, jiiàqu à ce i|u il arrivât (pielque forre . ,..v ( iiaii^enieiit dans les foiX'cs abaissantes pour t. , .1 .i-tjuel elles se drlrulsiuit. .4. jiu^iuaAkC Je plubleur!i forceii qui a|pl«acnt dans la même ^:i.ttiii toutes les forces qui a^^isscnt sur un point . iiivwii >ui' une même ligne, il peut se présenter ^. -iiuif.N res foiveb agissent dans le même sens, la -. . ^.ue a leur somme; 2" si elles agissent les une> ., .^ .1 u'> .uilres dans le sens opposé, la résultante est iiu il iiii- de> deux résultantes partielles, et agit dans I |i*ii> ^rantle.

t o. «i«*u4i«Aiitf de «leu« forces qnl an^lNBent anyalalremeut «ar ... ii4«' 1IV4UI. ■ Peux forces agissent sur le point a (Fie;. 5;, ...^ .1 liiioUiHi (U', et Tautre dans la direction aY\ la . .» NI iip(cs4.Mitee en grandeur par ah^ et la deuxième : . %i V lait que le point a ne peut se mouvoir ni sui- .. ^ui^aut -a-, et qu'il doit prendre une direction intérim, i ^ X ^i (V que le bon sens nous indicpie d'abord, mais V.. j»u> loiit iv qu'il peut nous faire voir; car, pourdé- . V. .i ^*'Hc diicclion moyenne que doit prendre la résul- , . luU'dMti' qu'elle doit avoir par rapport aux compo-

.... : laui icituirir à di»s considérations particulières dans le .<i»4.. .i>qiicllc> nous ne ])ou>ons pas entrer ici. Nous nous vv'.»** ■■»* ^^•"''* ticmmccr le principe général de Vei composition des i-, . . :'ai\c qu il est livs-sinq)le et très-facile à comprendix\

^ K ■' i"*** d consiMc : on construit le parallélogramme abrc

, .i.uideurs ilo ilcux forces données, et Ton mène la dia-

. < eUc diagonale représente; à la fois la grandeur et

^ ^ -U' la ivsullante. Ainsi, le point a, sollicité par les

,..x .'.XV.* .»» cl s<K\ est exactement dans le même cas que s'il

:i\»^ [M» nnc s*'ule force qui serait dirigée suivant uz et

.. .,L Mis ;^»audcur égale à ar. Ce principe est vrai pour les

.-.,.» w^-A *. x'auuc |H»ur les forces inégales ; pour celles qui font un

^ V îv^; ^x^»"»K* jvHu- i elles qui font un angle aigu ou obtus :

. , *»i.x»jv Uiul.imcnlal de toul(» la statique; il est connu

. vH^ \ *N^" *^ • '^'^rtunme des forces.

CHAP. m. — RÉSULTANTES DE DEUX FORCES. 33

Quand les deux forces 5Mnt égales, la résultante divise toujouis leur angle en deux parties égales ; mais, pour sa grandeur eDe est tantôt égale à celle des composantes, tantôt plus grande cl untôt plus petite (Fig. 6, 7 et 8).

Quand les deux forces sont inégales, la résultante divise leur angle en deux parties inégales, et elle est toujours plus rapprochée de la force la plus grande (Fig. 9).

19. Puisque deux forces peuvent être remplacées par une seule, réciproquement une seule force peut être remplacée par deux autres. On voit même qu'il y a une infinité de systèmes différents qui peuvent donner lieu à la même résultante ( Fig. 10), cl que, réciproquement, il y a une infinité de manières de remplacer une seule force par le système de deux autres, quand on n^exige rien ni sur leur grandeur ni sur leur direction ; mais si Ton demande, par exemple ( Fig. 11), de remplacer la force ar par deux autres forces, dont Tune, soit dirigée suivant a/, et soit d'une grandeur ac, alors le problème est déterminé, parce qu'il n y a plus qu'une manière d'achever le parallélogramme et de trouver la composante ab,

80. Bésnltante d'un nombre quelconque de férces ng^iMant an mèate point. — Quand on sait trouver la résultante de deux forces qui agissent au même point, on trouve aisément la résultante d'un nombre quelconque de forces, car on prend la résultante des deux premières ; puis la résultante de cette résultante et de la troisième force, puis celle aussi de cette nouvelle résultante et de la quatrième force, et ainsi de suite, en commençant à volonté par l'une ou par l'autre (Fig. 12).

SI. Bésnltmoie des forces parallèles. — Quand deux forces parallèles ab et crf (Fig. 13) agissent sur une ligne ac, elles peuvent aussi être remplacées par une force unique qui est leur résultante, et dont on trouve l'intensité , la direction et le point d application, par les principes suivants :

!• La résultante des deux forces parallèles est égale à leur iomme quand elles agissent dans le même sens, et à leur différence quand elles agissent en sens contraire.

2* EJle est parallèle aux composantes.

3* Ellle est appliquée en un point g^ tel que les distances ag et cg soient en raison invei'se des forces ab et cd. Ce point d'application de la résultante s'appelle le centre des forces parallèles . I. 3

34 NOTIONS PRËUMIN AIRES.

Une propriété remarquable de ce point, c^est qa^il reste le même quand les forces changent de direction absolue, en consenrant leur parallélisme ; car, si les mêmes forces agissaient suivant am et suivant cn^ Iciu* résultante passerait encore par le point ^, puisque, les forces n'ayant point diangé d'intensité, leurs grandeurs seraient encore en raison inverse des distances ag et cg.

La résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles se trouve : en composant d'abord les deux premières, puis leur résultante avec la troisième , et ainsi de suite.

SS. Des couples. — Deux forces égales, parallèles et opposées, agissant angulairement sur une ligne ac (Fig. 14), forment ce qu'on appelle un couple. D'après ce qœ nous venons de dire, la résultante d'un couple est égale à zéro , et cependant le sy^ tème n'est pas en équilibre ; c'est un des cas très-particuliers oà deux forces ne peuvent pas être remplacées par une seule. Vm. couple peut bien être transformé en un autre couple, on peut même le transformer d'une infinité de manières, mais jamais on ne peut le remplacer par une force unique; et par conséquent, pour un couple, il n'y a jamais de condition d'éqpiKbre : si on le laisse agir, il fait tourner la ligne ac jusqu'à ce qu'il se soit déployé dans la longueur dcab (Fig. 15); alors il n'y a plus de couple, et l'équilibre est stable : si l'on avait reployé le couple dans la position marquée (Fig. 16), il y aurait aussi équilibre, mais équilibre instable, car, en le déployant un peu, il ferait tourner la ligne et se déploierait tout à fait.

23. IjcTler. — On appelle leçier une barre droite ou courbe qui peut tourner autour d'un point fixe, qu'on appelle point d'appui (Fig. 17 et 18).

tin levier ne peut jamais être en équilibre sous Faction d'une seule force, à moins que le prolongement de cette force ne passe par le point d'appui supposé fixe.

Un levier étant sollicité par deux forces situées dans le même plan, il y a deux conditions pour qu'il reste en équilibre : il faut^ premièrement ^ que ces forces tendent à faire tourner mi sens contraire; et ^ secondement^ que leurs intensités respectives soient en raison im^erse de leurs bras de let^ier. On appelle bras de leçier d'une force la longueur de la perpendiculaire abaissée du point d'appui sur la direction de cette force ou sur son piolongement : ainsi fp (Fig. 22) est le hres de levier de la ikme

CHAP. ni. — LEVIER. 35

mij et fq celui de la force de. Ces deux forces étant supposées dans le même plan , on voit qu'elles tendent à faire tourner en fiens contraire et qu'elles remplissent la première condition; mais, pour qu'elles remplissent aussi la seconde, il faut que la première force contienne la seconde autant de fois que le bras ie levier de la seconde contient le bras de levier de la première. Si, par exemple, ab est double de cd^ il faudra que fq soit double de fp\ si ab était mille fois cd^ il faudrait que fq fi!it mille fois fp. Ces conditions d'équilibre s'appliquent à un grand iioiid>re de macliines, qui ne sont, en dernier résultat, que des fystèmes de levier plus ou moins compliqués : dans le treuil et le cabestan, par exemple (Fie. 19 et 20), la résistance r et la puissance tangentielle p qui tend à la vaincre sont entre elles en raison inverse de leurs bras de levier, ou du rayon ab du cyliiidre et du rayon cd de la roue.

S4. Prcssiom ««r le point d'»ppiil. — Dans l'équilibre du levier, le point fixe supporte une certaine pression qu'il est utile de connaître. Pour cela, il suffît de transporter les forces au point de rencontre de leurs directions prolongées (Fig. 23), et de chercher leur résultante par la règle du parallélogramme des forces; cette résultante passe par le point d'appui, et exprime par conséquent la grandeur et la direction de la pression qu'il supporte. Si les forces étaient parallèles (Fig. 24), on sait que la résultante serait parallèle aux composantes et égale à leur somme. 25. Dans l'usage ordinaire, on emploie le levier à soulever des fardeaux : alors l'une des deux forces s'appelle la résistance^ c est le fardeau que l'on veut soulever ; l'autre s'appelle la puis^' sftnce^ c'est la force quelconque qui est mise enjeu pour soulever le fardeau. Dans ce cas, la condition d'équilibre s'exprime en ces termes : La puissance et la résistance sont en raison inverse de leurs bras de levier.

On distingue aussi trois sortes de leviers, suivant les positions relatives du point d'appui a et des points d'application de la puissance p et de la résistance r (Fig. 21) : dans le levier du premier genre ^ le point d'appui est entre la puissance et la résistance : la balance est un levier de cette espèce; dans celui du dettxième genre , la résistance est entre le point d'appui et la puissance; dans celui du troisième genre ^ la puissance, au confraire, tombe entre la résistance et le point d'appui.

SO. MoMTement «Bifomic. — Le mouvement miifonne est celui da nii lequel le mobile parcourt des espaces égaux en temps égaux. Ainsi, concevons un mobile qui parcourt une ligne droite, et une horloge qui mesure le temps : si, dans chaque minute, le mobile avance de la même longueur, de 60 mètr^ par exemple, et dans chaque demi -minute de 30 mètres, de 30 dans chaque tiers de minute, il se mouvra d^un mouvement uniforme*. Puiscpie les espaces sont égaux pour des temps égaux, il en résulte (|ue le rapport de l'espace au temps est une quantité constante : (^est ce rapport qui s'appelle la vitesse du mouvement uniforme. Quand on prend un temps double ou triple, Pespace est double ou triple , et le rapport ne change pas. Le nombre qui représente la vitesse dépend des unités qu'on a choisies pour Tespace et pour le temps , et ce serait mal exprimer la vitesse (pio de l'exprimer par un nombre , sans désigner les imités cpii ont sem à trouver ce nombre. Les mouvements uniformes sont plus lents ou plus rapides, suivant que leur vitesse est plus petite ou plus grande : le vent ordinaire ne parc^)urt (|ue GO mètres en une minute, le vent des orages parcourt jusquW 2700 mètix*s; ce dernier mouvement est donc 45 fois plus rupiile cpu» le pixnnier.

87, Puisque lu maticre est inerte, un corps qui est animé d'un mouvement uniforme doit se mouvoir perpétuellement thuis lu mi^uie direction et avec la même vitesse, à moins qit'une autn^ fonx^ ne vienne agir sur lui , soit pour changer sa diriHiiou seulen\ent « soit \>o\\t changer à la fois sa direction et SA vitesses cur^ do lui-même, un corps ne peut rien changer, ni À sou état do ro|H>& ni à sou état de mouvement. C*est ainsi qu'il faut ouloudiv l'inertie « et non pas comme Tentendaient d'niHnous phiUv^^plH's^ qui voulaient à toute force que la ma* litVi^ tnVt mi (nniolitiul |H>ur le ro|Kk&. Ils ciunparaient les corps à dos lummH's |viross<Hix : coux-ct« disaieul-4k, ''"^ftln^ ie ro|H^« iU ont InurriHir du travail; do mènie^ la inmifHi i hc tour du uHHivtHmnxl ^ ollo M'^ halo d\^irer en repo* éè^^fOLVa 00$."^ elo U |HHis$«Hr; aii^« |HHur oux« inertie signifiait 4 pea |Mv> U luonH" \4hv^' q^io parv^i^o. Mats l\m tc^i« d^apm ce qœ n^His a>\^i^ dil « q\H' mM:$^ i^^e^^r^ i:^ss$i«M)lioUo$ ocmstiluent Tinertie : t* U )w^>t^lo d\iiH^ tVv^^ |HHir J^Minor dn iiKMivvflaeni à la manoco; i* U |^rfnlauotH>^ du «iMmiMMaMl ymrni b fiome a cessé