CHAPITRE ni

DE CWQmUBME ET BC MOCJTEIUKT.

Notions de Statique.

14. Un corp& est en équilibre quand les forces qui le soUicitent se détruisent mutuellement, ou quand elles sont détruites par quelque résistance. Ainsi , un corps est en équilibre à l'extramité du Ûl cpii le suspend, parce que la pesanteur qui le sollicite est détruite par la résistance du fil et par celle du point de sus* pension : si le fil n'est pas assez résistant, il se rompt , et le corps tombe; si le point d'attache est mal assuré, le corps I entraîne, et tombe avec lui. Quelquefois Féquilibre a lieu sans point fixe et sans résistance apparente : les poissons les plus pesants sont en équilibre dans Veau ; un ballon avec ses agrès , sa nacelle et les observateurs qu'il emporte , peut aussi être en équilibre dans les airs : mais alors la pesanteur qui sollicite ces corps est exactement détruite par des pressions particulières , comme nous le verrons dans un des chapitres suivants.

Ou peut dire que tous les corps qui nous paraissent en repos ne sont en effet que des corps en équilibre , parce qu ils sont toujours soumis à l'action de plusieurs forces qui se détruisent mutuellement.

La Statique a pour objet de déterminer les conditions de Téquilibre , et la Dynamique a pour objet de déterminer les lois dé^ mouvements qui se produisent quand les conditions d'équilibre ne sont pas remplies. La Mécanique comprend la Statique et la Dynamique , c'est-à-dire les lois de réquÛibre et celles du mouvement.

iS, On ne peut mesiurer les forces qu'en prenant pour unité une force convenue , conmie on mesure les longueurs ou les poids en prenant pour unité une longueur ou un poids déterminés. De plus, la notion de grandeur ne s'appUquant pas diigectement aux forces, il faut définir avec précision ce qu'on appelle forces égales y forces doubles^ etc.

CHAP. m, — NOTIONS DE STATIQUE. 31

Pour qae deux forces soient ëgules, îl faut qu^elles se fassent équilibre lorsqu'on les oppose Tune à Taulre sur un point ou moL extrémités d'une droite inflexible. Deox forces égales donnent one force double quand on les ajoute, c'est-à-dire quand on les fait agir dans le m^me sens et dans la même direction. On anraitune force triple si Ton faisait agir dans le même sens trois forces égales, et ainsi de suite.

D'après cela , si Ton convient de représenter une force par un nombre oti par une ligne , la force double de celle-là sera repré^ sentée par un nombre double ou par une ligne double , etc. C'est ainsi que nous pouvons toujours représenter les forces par des grandeurs numériques ou linéaires, et faire sur elles les mêmes opérations que nous faisons sur ces grandeurs.

10. Quel que soit le nombre des forces qui agissent sur un {MHBt , et «pielles que soient leurs directions, elles ne peuvent , en denûer résultat, ianprimer à ce point qu'un seul mouvement dans vue dirtetion détermince. Or, on conçoit qu'il existe une certaine/brcc qui serait, à elle seule, capable de produire le même eftt, et cette force unique, qui pourrait remplacer l'ensemble de toutes les autres, est ce qu'on appelle leur résultante. Ainsi, qnand un bateau se meut à la fois par la force du courant , par la force des rames et par celle du vent, on peut concevoir une force unique, un fil assez fort, par exemple, qui, étant attaché au bateau , serait tiré dans une telle direction et avec un tel effort qu'à lui seul il lui imprimât à chaque instant le même mouvement que toutes ces forces réunies ; il en serait la résultante. Le courant , le vent et les rames «ressaut d'agir, et le fil dont nous parlons leur étant substitué, rien ne serait changé quant au résultat.

L'ensemble des forces qui concourent à produire un effet se nomme un système de forces; ces forces s'appellent aussi desco/ifposantes^ quand on les considère par rapport à la résultante qui pourrait les remplacer. Il est évident que, si à un système de forces on ajofitait nue force noutelle qui ftkt égale à la résultante et dirigée en sens contraire, l'équilibre aurait lieu dans ce nouveau système de forces. C'est là la propriété caractéristique de la résultante.

Ainsi, dans l'exemple que nous avons choisi, tandis que les forces du courant, du vent et des rames exercent leur action, si l'on ajoutait un £1 assez résistant , dirigé en sens contraire de odui qui représente la résultante et tiré avec le même effort ,

cette nouvelle force produirait l'équilibre : le bateau serait plus fixe que s'il était à Tancre ; il ne pourrait avancer ni reculer, ni se mouvoir d'aucun coté, jusqu'à ce qu'il arrivât quelque force nouvelle ou quelque changement dans les forces agissantes pour déranger TefFort par lequel elles se détruisent.

17. Bésnltante de plosienrs foreea qvlactosent dans la même direetlon. — Quand toutes les forces qui agissent sur un point tendent à le mouvoir sur une même ligne , il peut se présenter deux cas : 1® si toutes les forces agissent dans le même sens, la résultante est égale à leur somme ; 2® si elles agissent les unes dans un sens et les autres dans le sens opposé , la résultante est égale à la différence des deux résultantes paitielles , et agit dans le sens de la plus grande.

18 . Bésnltante de deux forées qui agissent angulaire ment sur nn même point. — Deux forces agissent sur le point a (Fig. ô), l'une dans la direction or, et l'autre dans la direction ay; la première est représentée en grandeur par aby et la deuxième par àc : il est clair que le point a ne peut se mouvoir ni suivant ab ni suivant ac^ et qu'il doit prendre une direction intermédiaire. C'est ce que le bon sens nous indique d'abord, mais c'est à peu près tout ce qu'il peut nous faire voir; car, pour déterminer et cette direction moyenne que doit prendre la résultante , et l'intensité qu'elle doit avoir par rapport aux composantes , il faut recourir à des considérations particulières dans le détail desquelles nous ne pouvons pas entrer ici. Nous nous contenterons d'énoncer le principe général de la composition des forces y parce qu'il est très-simple et très-facile à comprendre. Voici en quoi il consiste : on construit le parallélogramme abrc sur les grandeurs des deux forces données, et l'on mène la diagonale ar. Cette diagonale représente à la fois la grandeur et la direction de la résultante. Ainsi, le point a, solUdté par les deux forces ab et ac , est exactement dans le même cas que s'il était sollicité par une seule force qui serait dirigée suivant az et qui aurait une grandeur égale à or. Ce principe est vrai pour les forces égales comme pour les forces inégales ; pour celles qui font un angle droit comme pour celles qui font un angle aigu ou obtus : c'est le principe fondamental de toute la statique ; il est connu sous le nom de parallélogramme des forces.

Quand les deux forces sont égales , la résultante divise toujours leur angle en deux parties égales \ mais, pour sa grandeur

CHAP. ni. — RiSULTANTES DE DEUX FORCES. 33

elle est tantôt égale à celle des composantes, tantôt plus grande et tantôt plus petite (Fig. 6, 7 et 8).

Quand les deux forces sont inégales , la résultante divise leur angle en deux parties inégales , et elle est toiyours plus rapprochée de la foi*ce la plus grande ( Fig. 9 ).

i9. Puisque deux forces peuvent être remplacées par une seule , réciproquement une seule force peut être remplacée par deux autres. On voit même qu^il y a une infinité de systèmes différents qui peuvent donner lieu à la même résultante (Fig. 10), et que, réciproquement, il y a une infinité de manières de remplacer une seule force par le système de deux autres , quand on n exige rien ni sur leur grandeur ni sur leur direction ; mab si Fon demande, par exemple (Fig. 11 ), de remplacer la force ar par deux autres forces, dont Tune soit dirigée suivant aj, et soit d'une grandeur ac, alors le problème est déterminé, parce qu'il n y a plus qu'une manière d'achever le parallélogramme et de trouTer la composante ah.

liO. Mésvltante d'un nombre qveleonqve de forces agissant as siéBie point. — Quand on sait trouver la résultante de deux forces qui agissent au même point, on trouve aisément la résultante d'un nombre quelconque de forces, car on prend la résultante des deux premières ; puis la résultante de cette résultante et de la troisième force, puis celle aussi de cette nouvelle résultante et de la quatrième force, et ainsi de suite, en commençant à volante par Tune ou par l'autre (Fig. 12).

21 . Résnllante des forées parallèles* — Quand deux forces parallèles ah et cd (Fig. 13) agissent sur une ligne ac, elles peuvent aussi être remplacées par une force unique qui est leur résultante, et dont on trouve l'intensité, la direction et le point d'application, par les principes suivants :

1® La résultante des deux forces parallèles est égale à leur somme quand elles agissent dans le même sens , et à leur différence quand elles agissent en sens contraire. V Elle est parallèle aux composantes.

3^ Elle est appliquée en un point ^, tel que les distances ag et cg soient en raison inverse des forces ah et cd. Ce point d'application de la résultante s'appelle le centre des forces parallèles. Une propriété remarquable de ce point, c'est qu'il reste le même c{uand les forces changent de direction absolue , en conservant leur parallélisme ; car, ti les mêmes forces agissaient suivant am I. 3

34 flOrriONS PRÊJUIHINAIRBS.

et suÎTant en , leur résultante passerait encore par le point g , puisque, les forces n'ayant point changé d'intensité, leurs grandeurs seraient encore en raison inverse des distances ag et cff,

La résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles se trouve : en composant d'abord les deux premières, puis leur résultante avec la troisième, et ainsi de suite.

fis. Des «•vplev. *-^ Deux forces égales, parallèles et opposées, agissant angulairement siffune ligne ac {Fig, 14), forment ce qu'on appelle un couple. D'après ce que nous venons de dire, la résultante d'un couple est égale à zéro , et cependant le système n'est pas en équilibre ; c'est un des cas très-particuliers où deux forces ne peuvent pas être remplacées par une seule. Un couple peut bien être transformé en un autre couple , on peut même le transformer d'une infinité de manières, mais jamais on ne peut le remplacer par une force unique ; et par conséquent , pour un couple, il n'y a jamais de condition d'équilibre : si qp le laisse agir, il fait tourner la ligne ac jusqu'à ce qu'il se soit déployé dans la longueur dcab ( Fig. 16) ; alors il n'y a plus de couple , et l'équilibre est stable : si l'on avait reployé le couple dans la position marquée (Fig. 16), il y aurait aussi équilibre, mais équilibre instable, car , en le déployant un peu , il ferait tourner la ligne et se déploierait tout à fait.

23. levier. — On appelle /ei^ier une< barre droite ou courbe qui peut tourner autour d'un point fixe, qu'on appelle aussi point d'appui {FiG. 17 et 18).

Un levier ne peut jamais être en équilibre sous l'action d'une seule force , à moins que le prolongement de cette force ne passe par le point d'appui supposé fixe.

Un levier étant sollicité par deux forces situées dans le même plan , il y a deux conditions pour qu'il reste en équilibre : il faut^ premièrement , que ces forces tendent à faire tourner en sens contraire ; et^ secondement^ que leurs intensités respectives soient en raison inverse de leurs bras de levier. On appelle bfns de levier d'une force la longueur de la perpendiculaire abaissée du point d'appui sur la direction de cette force ou sur son prolongement : ainsi fp (Fig. 24 ) est le bras de levier de la force abj et fq celui de la force de» Ces deux forces étant supposées dans le même plan , on voit qu'elles tendent à faire tourner en sens contraire et qu'elles remplissent la première condition ; mais, pour qu'elles remplissent aussi la seconde, il faut que la

CHAT», m. — LEVIER. 35

première farce contienne la seconde autant de fois que le bras de let^ier de la seconde contient le bras de le^fier de la première. Si , par exemple , àb est double de cd , il faudra que fq soit double de fp\ si nb était mille fois crf, il faudrait que fq Ait mille fois /J9.' Ces conditions d'équilibre s'appliquent à un grand nombre de maclûnes, qui ne sont, en dernier résultat, que des systèmes de levier plus ou moins compliqués : dans le treuil et le cabestan, par exemple (Fie. 19 et 20), la résistance r et la puissance tangentielle p qui tend à la vaincre sont entre elles en raison inverse de leurs bras de levier, ou du ravon ab du cylindre et du rayon cd de la roue.

84. FressIoB sur le point d*appvi. — Dans Téquilibre du levier, le point fixe supporte une certaine pression qu'il est utile de connaître. Pour cela, il suffit de transporter les forces au point de rencontre de leurs directions prolongées (Fig. 25), et Ae chercher leur résultante par la règle du parallélogramme des forces; cette résultante passe par le point d'appui, et exprime par conséquent la grandeur et la direction de la pression qu'il supporte. Si les forces étaient parallèles (Fig. 26), on sait que la raoltante serait parallèle aux composantes et égale à leur somme. SK. Dans l'usage ordinaire , on emploie le levier à soulever des fardeaux : alors Tune des deux forces s'appelle la résistance^ c'est le fardeau que l'on veut soulever ; l'autre s'appelle la puissance y c'est la force quelconque qui est mise en jeu pour soulever le fardeau. Dans ce cas , la condition d'équilibre s'exprime en ce* termes : La puissance et la résistance sont en raison inverse de leurs bras de leçier.

On distingue aussi troiy sortes de leviers, suivant les positions relatives du point d'appui a et des points d'application de la puissance/? et de la résistance r : dans le leçier du premier genre ^ le pmiit d'appui est entre la puissance et la résistance : la balance ethi romaine (Fig. 21) sont des leviers de cette espèce; dans celui du deuxième genre, la résistance est entre le point d'appui et la poissance,/>omj9^ foulante de la presse hydraulique (Fig. 22); dans celui du troisième genre , la puissance, au contraire, tombe entre la résistance et le point d'appui, soupape de sûreté (Fie. 23).

26. ■onvement nniforiiie* — Le mouvement uniforme est celoi dans lequel le mobile parcourt des espaces égaux en temps égavx. Ainsi, concevons nn mobile qui parcourt une ligne

droite et une horloge qui mesure le temps: si, dans chaque minute , le mobile avance de la même longueur , de 60 mètres par exemple , et dans chaque demi-minute de 30 mètres , de 20 dans chaque tiers de minute , il se mouvra d^un mouvement uniforme. Puisque les espaces sont égaux pour des temps égaux, il en résulte que le rapport de l'espace au temps est une quantité constante : c'est ce rapport qui s^appelle la vitesse du mouvement uniforme. Quand on prend un temps double ou triple , l'espace est double ou triple , et. le rapport ne change pas. Le nombre qui représente la vitesse dépend des unités qu^on a choisies pour l'espace et pour le temps, et ce serait mal exprimer la vitesse que de l'exprimer par un nombi*e , sans désigner les unités qui ont servi à former ce nombre. Les mouvements uniformes sont plus lents ou plus rapides , suivant que leur vitesse est plus petite ou plus grande : le vent ordinaire ne parcourt que 60 mètres en une minute, le vent des orages parcourt jusqu'à 2700 mètres; ce dernier mouvement est donc 45 fois plus rapide que le premier.

27. Puisque la matière est inerte, un corps qui est animé d'un mouvement uniforme doit se mouvoir perpétuellement dans la même direction et avec la même vitesse , à moins qu'une autre force ne vienne agir sur lui , soit pour changer sa direction seulement , soit pour changer à la fois sa direction et sa vitesse; car, de lui-même, un corps ne peut rien changer, ni à son état de repos ni à son état de mouvement. C'est ainsi qu'il faut entendre l'inertie , et non pas comme l'entendaient d'anciens philosophes , qui voulaient à toute force que la matière eût un penchant pour le repos. Ils comparaient les corps à des honunes paresseux : ceux-ci , disaient-ils , cherchent le repos, ils ont horreur du travail; de même, la matière a horrem* du mouvement, elle se hâte d'entrer en repos dès qu'on cesse de la pousser; ainsi, pour eux, inertie signifiait à peu près la même chose que paresse. Mais l'on voit, d'après ce que nous avons dit , que trois choses essentielles constituent l'inertie : V la nécessité d'une force pour donner du mouvement à la matière; 2® la permanence du mouvement quand la force a cessé d'agir; 3® la nécessité d'une force nouvelle pour changer le mouvement qu'elle a i*eçu.

Lorsque nous voyons un mouvement qui diminue , qui cesse ou qui change d'une manière quelconque, nous pouvons être