CHAPITRE V

Notions théorîqaes.

Tous ne savons rien, d une manière directe, sur la constitu- , de réther; mais les expériences nous ayant conduit à en lettre Texistenceet à considérer la lumière comme un mouvcit qui est excité dans ce fluide impondérable^ et qui s^y transde proche eu proche, le but de la science doit être de cher- * quel est Tensemble des propriétés , soit essentielles , soit dentelles, qu^il faut lui attribuer pour rendre compte de tous ihénomèiies que Tétude de la lumière nous présente. Si parmi propriétés il s'en trouvait qui dussent être évidemment inpatibles ou contradictoires, il faudrait bien reconnaître l'hypothèse, d'abord séduisante, du système des ondula- », est elle-même contraire à la raison et incompatible avec faits ; mais si les propriétés dont il faut douer la substance >thétique de 1 etlier, pour expliquer la plupart des phénoes , et représenter les lois auxquelles ils sont soumis , sont ?Ile nature qu'elles puissent so concilier entre elles et avec irincipes incontestables de la mécanique, il faudra bien relaître aussi que le système des ondulations repose sur des s solides, qu*il est conforme à la réalité des choses, et que ience, en continuant ses efforts, soit par la voie des recher-

expérimentales « soit par celle des déductions mathémati- , doit parvenir aux lois simples et fondamentales qui eunent étroitement tous les faits relatifs à la lumièi-e. n même temps, les propriétés constitutives de Téther, se rant par là mises en évidence et clairement démontrées, il lu moins présumable que Ton sera conduit à la découverte ertains autres mouvements que ce même fluide peut recevoir li , pour être d'une nature dlfférenle de ceux qui s'accom- ?nt pour la production ou la ti*ansmission de la lumière, ne

pas sans doute étrangers aux })hénomèncs cliimiques ou iques que la matière pondérable nous présente. « mouvements et les propriétés de letlior donnent donc

50» LITU YI. -^ OI^TW».

naissance à un vaste problème de mécanique qui ne le cède eo importance, ni au grand problème de la mécanique céleste, ni à aucun de ceux qui ont été résolus sur ce qu'on appelle les fluides impondérables de la chaleur, du magnétisme ou de rélectridté. Ce n'est pas dans les éléments de physique qu'il est possibb d'aborder un tel sujet, et d'indiquer les travaux, déjà considé». râbles, qui ont été accomplb dans cette voie ; mais le moineH semble venu d'y introduire quelques notions simples, pour bin| comprendre au moins d'une manière nette et précise le canOi^ tère mécanique des vSmrtions de Tétfaer, de lenrs périodes, de leur composition ou Aè leur influence mutneHe dans les i les moins compliqués. J^anrais pu présenter ces notions socool vement dans les divers chapitres auxqu^ eDes se rapporteÉI mais j'ai pensé que l'étude en serait plus ÊtcQe si, groopéei part, elles pontaient conserver renehatnementlogiquequi ks

J'ai essaye de les rédnire k quelqpies propositions fondann taies que je vais successivement développer.

Proposition /. Les vitesses d^nn mouvement de vibration H iéculaire isoehrone sont représentées par mie expression de forme î^t^mAn fitf .

m esc la vitesse maximum, ou ce que nous appeUefool coefficient de vitesse ; c'est une lovigueur rapportée à une m arbitraire. i

t est le temps compté à partir de l'origine du mouvement, 4. exprimé en prenant pour unité la durée d'une vibration entièi^ c'est-à-dire la durée du va-et-vient.

Une molécule ou une masse infiniment petite, pondérable l| impondérable , écartée de sa position d'équilibre , tend à T ilj venir en vertn de la résultante des forces constitutives do 4 lieu qui Tcnvironne. Représentons par x la distance à laqudlti à un instant donné, cette moléaile se trouve de sa positicl d'équilibre , et par (' sa vitesse au même instant ; admettons m plus que la fon^e inconnue qui la ramène soit elle-même {*•• portionnelle à la distance .r, et imprimée par ax.

Les équations du mouvement seront :

- = «.r et .'=--5-, d'où Ton lire ^^^

vfii» = — axdx ; i'- = — a.r* 4- ^ et a* = â/ill— .

CHàP. T. *. KOTIOm THMEIQUES. 5M

de JP, substituée dans la première équsûoiiy doane

mitt rar^gioe du temps à l'origine du mouyement, c'est-Ài supposant ç|ue Ton a la fois /=0 et i^=l). U en résulte

sse est donc périodique : d'abord nulle pour /=: 0, elle des valeurs croissantes, à mesupe que le temps augmente,

ce que t^=s^j qai donne pour vitesse maximum

; t continuant à croître, la vitesse décroît , et redevient our t^a=^'K\ au delà de ce point elle est négative, c'estque le mouvement s'exécute en sens contraire , et dans louvelle direction atteint la même vitesse maximum y^,

t^ssz—^ enfin ces vitesses négatives décroissent à leur t>mme les vitesses positives s'étaient accrues, et l'on resur (/=0 pour f ^=2ir.

i l'hypothèse d'une force proportionnelle à Técartement molécule conduit pour cette molécule à un mouvement adon ou d'oscillation, tout à (ait analogue au mouvement lolécule pondérable qui fait partie d^une onde sonore, ribratiions sont isochrones ; et, en prenant pour unité de la durée d'une vibration entière , c'est-à-dire d'une allée retour, la oonstante a, qui est relative à l'intensité de 5, disparaît, et la vitesse prend la forme générale *

I conatante im, qui est une longueur, représente, non pas de la molécule , mais la vitesse maximum qu'elle ^possède mt où elle repasse par sa position primitive d'équilibre, nprend en effet, en vertu de Tisochronisme, que la durée îbntîon restant la même , la vitesse maximum du mil'excursion puisse passer par tous les degrés de granopob fme valeur presque nulle jusqu'à une valeur presque

• valeur de la vitesse de vibration peut se construire géo-

métriquement de diverses manières : si Ton décrit, par exemple, un cercle de rayon m^ la série des lignes perpendiculaires à ui diamètre représentera bien la série des valeurs àe p\ mais cette représentation aura Tinconvénient d'être indépendante de Tanplitude des vibrations; si l'on trace au contraire à angle drdl deux lignes aa! et mm' (Pl. 45, Fig. 9), qui se coupent en leur milieu, la première étant égale à Tamplitude de vibration, et h seconde au double du coefficient m^ et que sur ces lignes conuÉ axes Ton construise Tellipse ama' m\ il est facile de voir que k molécule vibrante , soit qu*elle aille de a en a\ ou qu^elle il vienne de a' en a , aura pour chacune de ses positions /i, i vitesse représentée par la perpendiculûre correspondante pour le premier cas, et s'p pour le second.

En représentant par/> la demi->amplitude de vibration, les de^ axes de cette ellipse seront m et/?, et son équation aura la fou

/>V -H wV =f^nf .

On voit de plus qu'à un instant quelconque du mouvement| distance opr=zx àe la molécule à sa position primitive o sen \

a:^=— y^/wt — ^j et comme /= /ii sîn 2ir/ ,

x^^p cos 2itf. 4

Proposition II. Une vibration primitive, en se communiquaM à réther , donne naissance à des vibrations longitudinales et j des vibrations transversales. On admet que ce sont les vihratioa transversales qui produisent la lumière; alors, aune distance| de rébranlement primitif, assez grande pour que Tonde SQJ| plane , dans Tétenduc du faisceau de lumière que Ton cowii dère , toutes les molécules d'éthcr qui se trouvent sur la sectiai perpendiculaire à Taxe de ce faisceau , vibrent enstmible (l'< mouvement commun et parallèle , sans sortir du plan de cetti section , et leur vitesse de vibration est exprimée par la fonmJt

çf=a sin 2u (^ — z\

I/iniité de temps est toujours la durée de la vibration priai* live qui se conserve la même à toute distance*.

La distance z est exprimée en prenant pour imité la longue* d'ondulation, qui caractérise respcTC de lumière, et qui toujours la même dans le même milieu.

GflAP. V. — NOTIONS THÉORIQUES. 505

eut aiiaai oonûdërer z comme représentant la pluue de n.

effiuâent a est une longueur dont Tunité est arbitraire : nt cette unité doit être la même pour toutes les vitesses . veut comparer entre elles.

a le carré du coefEdent de vitesse , représente Tintensité ère,

>sons, en efFet, que le mouvement primitif de vibration »us venons de parler, s^accomplisse dans un milieu où oit homc^ène , et partout de même densité et de même î ; il est évident qu'il se transmettra de proche en proche jtes les directions. Mais nous ne considérerons ici que la tsion qui se fiiit perpendiculairement à la ligne de vibra- (FiG. 10); alors, dans le plan de la figure, comme dans autres plans passant par aa\ les molécules, progressive- 3ranlées, passeront successivement à droite et à ^gauche erpendiculaire ol\ si bien qu*à un instant donné, par î, après 10000 vibrations entières de la molécule qui mtre les limites a et a', il y aura 10 000 ondulations à la suite Tune de l'autre sur la ligne oL Ces ondulations des longueurs égales, et la longueur de chacune sera la distance à laquelle le mouvement s'est propagé sur ol i la durée d'une vibration entière. Il est certain que ueur d'ondulation doit être quelquefois beaucoup plus que Tamplitude de vibration , puisqu'elle se conserve la )our toutes les amplitudes grandes et petites ; mais l'on pas dire d'une manière absolue que l'amplitude ne prend me étendue comparable à la longueur d'ondulation elle-

z la distance au centre d'ébranlement d'une molécule m cette distance étant exprimée eu prenant pour unité la r d'ondulation ; la vitesse u de vibration de cette moleit être représentée par la formule

u=^a sin 2ir(^ — z)^ ^ du temps étant toujours l'origine du mouvement qui se aa' et l'unité de temps étant toujours la durée d'une vi-

que t est plus petit que z l'arc 27c {t — z) est négatif, et lifîe que le mouvement n'est pas encore parvenu à la mort; mais t continuant à croître, t — z prend successive-

596 LIVRE VI. — OPTiaUK.

ment les valeiin 0, {9 I9 f 9 I9 qui correspondent à Foripoe du raouvement , à la vitesse maximum a , à la vitesse nulle qui termine k première moitié de la vibration, puis aux vitesses ncgttives qui correspondent à la seconde moitié.

Le coefficient a y qui exprime la vitesse maxiimn de la mol»* cule m j est sans doute dépendant de la distance z et de la vitov maximum qui se produit en aa ; mais en considérant la dis* tanoe z comme très-grande, on pont regarder le ooeflBdttt comme constant pour des valeurs de z très-voisines Tune ik Vautre,

Ainsi, dans ce mode de propagation, la direcsion du lumineux est la ligne 0/ , et les mouvenuents de Télber pr tent ce double caractère : 1* ils s'aoeomplissent 1 et perpendiculairement au rayon ; S* ils se coniervent dans 1 plan déterminé , passant par la ligne aa' de Tébranlement | mitif.

Les mêmes mouvements s'exécutent avec les mêmes et les mêmes caractères, dans tous les plans méridiens d*un < lindre, ayant pour axe la ligne oa', et pour rayon la om^=Zj la surface de ce cylindre eA alors ce qu'on appellel surface de Vomie ^ parce qu'elle contient tous les points qui 1 çoivent au même instant le mouvement émané de la mène i gine. La génératrice g^ de ce cylindre ne doit pas être à la longueur aa' , qui marque l'amplitude du mouvement primitif, mais elle augmente à mesure que Tonde se propage plai loin , car il est nécessaire seulement que les distances og et off soient sensiblement égales à la distance om. S'il pouvait n'exister à la fotô qu'une seule molécule vibrante de â en a y telle (jm nous lii consiflérons ici , elle ne produirait pas une lumiÎTe egilement intense dans toutes les directions ; le mouvement qu'elle excite, par exemple, sur le prolongement de aa\ n'est pas propit . à exciter la sensation de la lumière , bien qu'il soit analogue à celui qui constitue clans l'air Tonde sonore; et il pai-ait que difll les directions obliques comprises entre om et oa , Tintensitê de la lumu^Te irait en décroissant suivant une certaine loi. Ceit pourquoi nous considérons particulièrement Tonde cyltndriqns» admettant ainsi (|ue le mouvement vibratoire qui constitue k lumière, s* exécute sur la surface même de Tonde et perpendi* culairenKnnt à la ligne de transmission ow, ou au rayon lumi* noux.

CHAP. ▼. ~ NOTIONS TBtOBIQUES. mn

mo^eime des ondulations hiiinmiw» '«waibh>« CBwon ^ dix*niUieiiies de miUîmètre, on peut praumer ■qdilade W des ^rations n'atteint pas ordinairement nâte ; il suffit par consequoit de considérer le mouTement re à quelques décimètres de la scmrce qœ produit la kipour être «ntocisé à dire que cette distance est très-f;rande port à Tamplitude du mouvement. Alors, fii l'on ne cou- 9A même temps qu^uae petite étendue de Tonde cyUnoù tous les mouYements sont concordants^ il est peimis que Yonde est plane et pcrpendicubîie à la direction du maÎDeui, ou, plus exactement, perpendiciilaire à Taxe du ; de lumière. Réciproquement, étant donné, sous ces «s, un faisceau de lumière, résultant d'un moirrement aûre permanent, on se représentera sa constitation pfaj* en imaginant un plan perpendiculaire à son axe, et en nt que toutes les molécules d'étber, contenues dans cette ▼ibrent en quelque sorte tout d'une ptèœ, glissant dans d'un mouvement commun de va-et-vient, toujours pa-» i la direction de l'ébranlement primitif. Mrmrie f'=siisinâs(^-^^), qui n'était d'abord relative e seule molécule, s'applique évidemment k toutes les mode la section qoe mms venons de considérer; a, I et s o même instant la même valeur pour chacune d'elles. llaire 1 . Il importe de remarquer que l'expressiofi de la n'éprouve aucune altération lorsqu^on retranche, soit de /, z, toutes les unités entières qu'ils contiennent. Soient en = ;i-f-0; ;g=«'-f.^; il en résulte

2«(f— 2) = 2ic(rt— n'-f-e— (p),

»nséquent sinS«(/ — js)=sin2ic(0 — cp). Alors f est une [ positive comprise entre 0 et 1 ; et comme l'unité est ici semr d'ondulation, ^ sera une fraction de longueur d'on- [!• Comme il arrive d'ailleurs que les diverses périodes rflnration entière correspondent exactement aux diverses s d'une longueur entière d'ondulation, nous pouvons ad- Bussi que f représente la phase de vibration, c'est^-dire motéottle vil^nte se trouve à ses points de repos pour C |, et au milieu de sa course d'allée et de sa course de pour f=^\ et |. Cette substitodon de la phase à la dis- Ml à la longueur d'ondulation a quelques avantages lors-

VSK

^08 LIVRE Yl, ^ OPTIflUB.

tjue Ion compara entre elles pliisienra ondes itmTâîil lân^ muk'CuW : eur au Ueii de dire que ces oride& ont parcoim c4icitiiii& dout run suipusse Tautre, par exemple, de deux vi lions et un cjiiart, il sera permis âv dire que la différûiM leur phase e§t d'un quart de vibration, ou qu'a T instant i inijèeule seruit à mti point de l'epoB en ubêb&ant à la seoc elle se trouverait juste au milieu de m. eourse iValire en c :iaut à la première; ce serait le milieu de la eimrsi* de r pour une diiîéreuce de \ de Tibration.

Ainsi, en conserrant t et z dans la foimule des vll€**&ei», pourrons indiRerenimeut considérer z connue reprét^ntanf di&Unce à rëbraulemeut primitif ou une phase de vihnitioi

Les ondes ou les vibrations concordantes sont celles pou quelles z diffère d'un nombre entier de longueurs d'onduU «lii celles qui ont tiieme phase ; les ondr* ou les vilirationi ciHkcordantes sont celles pour Ici^uellc» z ne diffère pas nombre entier de longueurs d*ondulation, ou celles qui n'ai même phase.

Le faiîiceau dont nous venoitô de parler, dont la vites* i/=:rt sin 27r [t — z)^ appartient à une couleur rigoureuse simple et ëlémentaîre, qui est caractérisée par la durée YibratiQu, ou par la longueur d ondulation qui en est une séquence, puisque toutes les vibrations tle même durée se muiiiquent à la mt'me distance dans le nienre tcmp*. et qi vibrations d'une moindre diu*ée donnent des ondes d'une n dre longueur.

Corollaire 2. L'intensité de ce faisceau est dépendante • ou de la valeur du coefficient de vitesse : or, quand cette v arrive au fond de l'œil, pour , agiter Télher et produire en la sensation de lumière , Teffet physiologique varie sans i comme Teffet mécanique : celui-ci étant proportionnel au de la vitesse, on admet que Teflet physiolc^ique est da même rapport, c'est-à-dire que Y intensité d'un faisceau d mière est représentée par le carré du coefficient de la v de vibration.

Mais l'on ne peut comparer ainsi que les intensités app nant à la même couleur, car, pour deux cotdeiu^ différente durées de vibration étant différentes, les alterna%ives de rep de mouvement deviennent inégales, et il n'y a plus de cm raison physiologique possible; c'est au i^ste ce qui arrive

CHAP. V. — NOTIONS THeORIQUES. 509

lans les vibrations sonores : il n'est pas moins imposable de comparer les intensités de deux tons, l'un grave et l'autre aigu, jae de comparer les intensités de deux couleurs , l'une rouge et l'autre violette.

Corollaire 3. Enfin, nous devons ajouter que le faisceau élémentaire dont nous venons d'indiquer les caractères, est un faisceau de lumière complètement polarisée ; car la lumière polarisée est Belle dont les vibrations sont toutes parallèles entre elles. Nous a<bnettons, avec la plupart des physiciens, que dans un faisceau polarisé, \e plan de polarisation est celui qui passe par l'axe du fiûsceau et qui est perpendiculaire au mouvement de vibration, de telle sorte que les molécules vibrantes passent alternativement d'un côté à l'autre de ce plan; ainsi \eplan de polarisation n'est en réalité que le plan d'équilibre.

Ces définitions une fois posées pour une vibration simple , ou pour une seule onde lumineuse, nous allons voir maintenant comoient l'on peut trouver la résultante de plusieurs mouvements vibratoires, sous la double condition qu'ils appartiennent à la même eipèce de lumière ou qu'ils aient exactement la même durée, et ^*ils se propagent suivant la même ligne, c'est-à-dire, qu'ils donnent naissance à des faisceaux de lumière dont les axes •oient sensiblement parallèles.

Proposition III. Deux vibrations rectangulaires concordantes peuvent toujours être remplacées par une seule vibration résulttete , dont la direction et le coefficient de vitesse sont repré- >fttés par la diagonale du rectangle construit sur les coefficients ^ vitesse des deux vibrations composantes.

Soient f = « sin 2ir {t — z) et if' = a' sin 2it {t — z) les vitesses de vibrations données.

Sur les axes o,r, o/(Fig. 12) qui représentent les directions de ces vibrations dont l'effet va se faire sentir sur la molécule o , pvienons des longueurs oh et oa' égales aux coefficients a et a', ^ construisons le rectangle, la diagonale ob donne la direction àe la vibration résultante , et sa longueur b en donne le coefficient de vitesse. En effet, puisque les vibrations sont concordâtes, la molécule o est toujours au même instant sollicitée par des vitesses proportionnelles à a et a' , tantôt dans les sens or, »y, tantôt dansles sens ox\ oy* . Elle doit donc toujours se mouvoir de o vers 6 ou de o vers V . Ainsi la direction de la diagonale est la direction de la vibration résultante. Soit u sa vitesse.

*M0 IIVU YI. -^ OPTiaDE.

elle ftinra la forme n = i sm 2« {t — z) : et oomme l'on ègsA atoir à diaque instant v^ = i^ -h^'^i Uea réwklmlf' =a* -4*«^.

On Toit que dans ce cas rinteoeité de la kmîère de l'onde rànt tante est égale à la somme des iniensitës des ondes oompnMimL

Corollaire 1 . En se rappelant ce que nous ayons dÛt tout i rheure du caractère de la lumière polarisée, on voit pareilfe> ment que deux fiûseeaux élémentaires, polarisés à angle droit tti £oncoi^ants, l'un d*une vitesse ai et Tautre d'une viftease m,m\ resolvent toujours en un seul fsisceau polarisé dans un pbn^i qui £iit avec le plan de polarisation f^ du premier faisœan <

vibre suivant oxj un angle co tel que tang a» = -i cet angle <

de 45* quand on a a =^ a% c estrà-rdire quand les deux I ont la même intensité.

Corollaire 2. Réciproquement, une vibration donnée peut l jours se décomposer d'une infinité de manières en dewt tions rectangulaires, et toutes ces solutions se 'réduisent i seule , soit quand on donne la direction de Tune de œs tions y soit quand on donne son coefficient de vitesse , qu'il soit plus petit que celui de la vibration donnée.

Prenons ob pour la direction de la vibration donnée { u = &sin27t(f — z) pour sa vitesse; ses composantes r sli suivant les axes ox et oy sont f^= ucosco et 1^'=: nsinti, ci i;= Aco5wsin27:(^ — z) et r' = isino> sin2«(/ — z)^ ou enii i/ = « sin2::(^ — z)^ et v =: a un St: (( — z) en faisant a= Acoi» et al zzzb sinw.

Cette proposition explique et justifie la loi de Malus ^19I)| sur le partage de la lumière polarisée. La vibration qui se M .suivant oh n'est en effet autre chose qu'un faisceau d'intensilé i^ polarisé dans le plan pp perpendiculaire à la vibration ; et la axes oy et ox représentant , l'un la section principale du priosi bi-réfringent, faisant un angle co avec le plan de polarisatioli Tautre la perpendiculaire à la section principale. Le faisceto ^ est polarisé dans la section principale oy est celui qui vibre savant oar, ayaut a ou ftcosw pour coefficient de vitesse « et pn conséquent />^cos^c» pour intensité; le faisceau qui est potsm^ perpendiculairement à la section principale est celui qui ^ibn dans cette section, ayant pour coefficient de vitetîte a ou bùwmt pour intensité A* sin* «o ou i* (1 — c*os' 6)).

Ainsi l'action du prisme bi-réfringent sur un faisceau poUrisr