CHAP. Y. ~ VOTIONS THÉORIQUES

sit tnrtra diose ^^iine simple action décomposante , transfior* tnt un mouveniaH vibratoire qui s'accomplissait dans une dition miiqae et déterminée, en deux autres mouvements nUoirea qui, ^^accomplissent maintenant dans deux autres dibooft perpendiculaires entre elles.

1 faut cependant remarquer qu'après la décomposrtîon qui se dans le prisne hi-^éfiringent, les deux vibrations perpendicu^ tB ne peuvent plus être concordantes que sous certaines conans, à cause de l'inégalité de vitesse des rayons ordinaire et raor^naire*

^aroliaire 3. U en résulte encore que, sous l'intervention du me bî-réfiingent, tout Êdsceau d'intensité i^ polarisé dans imut •» par rapport à un plan donné peut être remplacé par z faisceaux polarisés à angle droit, l'un d'une intensité ys? ta polarisé dans ce plan, Tautre d'une intensité ^ sin^t* irisé dans un plan perpendiculaire.

Proposition IF'. Les vibrations concordantes, qui, en se promut sur la même Ugne, s'accomplissent dans des directions Tses , peuvent toujours être remfdacées par une seule vibrarésultante, dont la phase est la même, et dont la direction i coefficient de vitesse se déterminent, au mojen des direcs et des coefficients de vitesse des vibrations composantes, teux ondes planes se propageant suivant la même ligne que s supposons perpendiculaire au plan de la figure 11, arrivent dtanément pour âiranler la molécule o, et pour la Caire vi- , Tune dans la direction oa, Tautre dans la direction oa! . obéissant séparément à la première et à la seconde, la mole prendrait des vitesses

p = a sin 2ic (t — ^), et ^ = a' sîn 27c {t — .s).

lons par le point o deux axes rectangulaires ox et o/, Dt » et u' les angles de oa et oa' avec Taxe des x\ les vis f^ et i/ peuvent être décomposées en deux autres, dirigées ant les axes ox et oy\ la vitesse résultante u n'est autre le qne la résultante de deux vitesses rectangulaires , Tune iiÉH-/cos»' dirigée suivant ox, l'autre c^sinwt suivant oy', on a donc :

a* = (i^cosM -h ç' cos«')* H- (^sin w + i^' sin «')* = 1^ -h ^'* -H ^^vv' C06(ù>— w') ;

542 LIVRE Vî. — OPTIQŒ.

d'où il résulte, en substituant, pour 9 eX i^ ^ leurs Taleun:

tt = Asin2it(r— z), et i= v/ a' + a * + laa cos («—«*').

Ainsi , de même qu'il existe toujours une force capable de produire, sur un point, le même e(Tet que deux forces distinctes qui le sollicitent, il existe toujours aussi une onde unique capable de remplacer deux ondes concordantes. Cette onde risA tante est cai^actérisée , comme les ondes élémentaires, par la d^ rection de son mouvement et par le coefficient de sa vitesse; m ces deux données s'obtiennent par cette construction pie : considérez les coefficients de vitesse des ondes composan comme les forces dirigées suivant la direction même du mo ment de ces ondes , et prenez leur résultante , sa grandeur et i direction représentant. Tune le coefficient de vitesse, et Tau la direction de mouvement de Tonde résultante.

L*angle 0, que la direction de Vonde résultante fait avec Ta des x^ est donné par la relation :

a sin cd 4- a' sin »'

tang 0 = i-- .,. 4

° a cos (I) -4- a cos ca

Il est facile de voir que, pour le cas où les ondes élémentain sont coïncidentes , perpendiculaires ou opposées , les valeurs 4

0) — 0/ sont o, ^ et TT ; celles de b sont a-+- a'y^ a} -+- a^ et «— a }

ainsi a* et a^ représentant les intensités des deux fai>rea«l composants, et Z»* celle du faisceau résultant, il arrive (|ue, AëM le second cas, qui nous reporte à la proposition prétH*denli| Tintensité résultante est «'gale à la somme des intensités comp*» santés; et que, dans le premier cas, cette somme doit être aof mentée, et, dans le troisième, diminuée du double produit dd racines carrées des intensités composantes.

Il importe de remarquer ici comment sont comptt*s les aogles (0 et w' : suivant Tusage ordinaire, ces angles doivent ètrt comptés à partir de ojc et depuis o jus<iu'à 2i:; cVst à i*etM condition que w — w' ou w' — w représente fidèlement l'angle q«i font entre elles les deux directions oa et oa\ angle qui peut 1» même s élever jusqu'à 2:r. Pour s'en rendre compte, il suffit 4 supposer que la direction on devient successivement <>i, or, orf, passant ainsi dans les trois quadrans qui ne contiennent pas on, Mais dans les expériences, où l'on a en général à considérer de

CHAP. V. — NOTIONS -THÉORIQUES. 5i3

pians de polarisation divers, et des sections principales de prismes fai-réfiringents diversement inclinées, soit entre elles, soit par rapport à. ces plans , il est en général plus commode de ne

eompter les angles que jusqu*à -, ou dans un seul quadran : cela

M possible ; seulement il faut alors avoir recours à une correction particulière , pour rétablir les angles avec leurs véritables fjjgnes. Cette correction consiste à ajouter dans Texpression de la vitesse, une demi-phase, ou |, à toutes les vibrations, qui, p lieu d*être projetées sur les lignes elles-mêmes que Ton a ^isies pour point de départ, se trouvent projetées sur leur prologement. C'est ce que nous allons montrer par un exemple : p composantes de la première vibration étant toujours ç cos o> |t if sin M , par rapport aux axes ojc et ojr , celles de la seconde ■hratioa seront aussi toujours f^' cos co' et ^' sin ta , soit qu'elle m trouve dirigée suivant oa ou suivant o&, oc ou ody et m' re- ■ésente alors les angles a'ox, ou box'y ou cox\ ou dox. Les jtesses totales sur Taxe des a: et sur Taxa des j sont

(^ cos w -H (^' cos w' t if sin o) -f- ç>' sin w',

Itt a cos w sin îw (t — z) -+- d cos w' sin 27c {t — £)

\ a sin 0) sin Îtc {t — z) -^a' sin co' sin 27c {t — z).

1^, si Tangle co' avait été compté à partir de ox , cos m' serait léntif dans le deuxième et le troisième quadran ; c'est-à-dire , |Mr les directions ob et oc, dont les projections tombent sur ox' InkMigement de ox ; donc la formule serait fautive , et pour la bmger, il suffira d'écrire alors a! cos w' sin 2ic {tz — ^) , qui l^rient en effet — a' cos oV sin 2 ic (^ — ^ ) ; de même sur l'axe des j^ sin m' aurait été négatif pour les directions oc et od^ et pour Himger l'erreur il suffit d'écrire

■■ a'5m«sin2ic(^— ;: — ^)= — a'sinw'sin27r(^ — 5).

^ C'est ainsi que nous avons dû procéder en établissant la théoîi de Fresnel sur les couleurs des lames cristallisées (200). ïJLjk composition des deux ondes s'étendant à un nombre quelmoue, il en résulte que toutes les ondes concordantes qui se propi^ent en suivant la même ligne, peuvent toujours , quelles que oient les directions diverses de leurs vibrations, se réduire à une nde unique, dont le coefficient de vitesse et la direction de vibra- Il. 33

^1 tîVRE Vî. — OPTTQm.

tion sont déterminas, Olte onde résultante est lim^^çairg polarisée, pmsqtie c'est là toujours le raracttTe d'une on4e itii'

Proposition F^, \jt^ vibi-ations non coticardarttes , <|ui » « propiigeanl sur la même Ugiie, s'accomplissent dans la mhk reriion , peuveril toujours i*tre remplacées par une scale x tioii , dont la direction est la ^même , et dont le rorffitneï rîtcsso et k plia.;e se déterminent au moyen des coeffieieii vitesse et des phases des vibrations composantes-

Deux ondes plunes arrivent à la mokk:ule o jwur ragitef le plan de la figure ^ leurs mouvemenfci M>nt piinillèles , c'e dire cju*iU s'accomplissent sur la même ligne; mais ils son concordants, c'est-à-dire qii a rinstant où le premier att par exemple , k 'vîtessa maidmum , le second n'atteint \ sienne, et s'en troure plus ou moins éloigne; nous avons do

Soit u la vitesse résultiuile, elle est é^alc k la Mtmnie dt t^fises élémentaires, prises a\ee leur signe; on a dune

n =L a sin 2iï (I — z) H- a' sin 2z(^ — z*)^ 011 If =1 sin ^tJ [a cos 2tt^ -f- ^' eos Sic^')

— crrs 2-^ [a sin 2^3 -h a' sîn ^-^z^.

Soit b cos 2itjr = a cos 2tr^ -h «' cos 2it5'

b sin 2iu:=a sin Inz^a' sin Sit^,

il est facjle d'en tirer

M = & sin 2it(^ — x), et A = y^a* -h a'* -h 2aû' cos 2-^^ -

Ainsi la vitesse résultante est de même forme que les vi composantes, on , en d'autres termes, la molécule dont il reçoit des deux systèmes d'ondes, le même mouvement q elle était sollicitée par un système unique, dont le coefficie vitesse serait b , et dont la phase serait x,

La valeur de b est de même forme que pour les ondes cordantes; seulement Tangle o> — w' des directions de vibn est ici remplacé par 2Tr(r — :;'], c'est-à-dire par la wtleitr < laire de la diflférence des phases.

Quant à la valeur de jr, elle se déduit aisément des équations auxiliaires que nous avons posées; on en tire en par Télimination successive de A, a' et a :

CHAP. ¥« — NOTIONS TSÊORIQUES. {Si 5 sinîir(x — z*)^ u sm2Tc(j: — z'), a* sînîtc'z — x)^

à-3iTe qae les srnus des angles 2ir(j7 — jz'), 2ir(5; — :r), (z — z^, sont entre eux comme les quantités a, a! et A. nsî, en construisant avec les deux coefficients de vitesse t\ «m pMalUekigraBune <k>nt l'angle soit égal à la valeur aine de la différence des phases, la diagonale de ceparal*^ aame représente la valeur de i, et les angles de cette diae avec a et a* sont les valeurs angulaires des difTërences de

entre Tonde résultante et la deuxième onde, et entre la lère onde et Tonde résultante, us avons trouvé un exemple remarquable de cette compo-

des ondes parallèles non concordantes dans TexpUcatkm )uleurs des lames cristallisées (200), poursuivant cette construction pour ccunposer la résultante mie troisième vibration, puis la nouvelle résultante avec oartrième, on arriverait à une résultante définitive, dune ne phase et d^un certain coefficient de vitesse , représentant seule tous les systèmes donnés de vibrations parallèles non rdantes.

^position yi. Deux vibrations discordantes, qui, en se géant sur la même ligne, s'accomplissent dans des direcdifférentes, ne peuvent pas en général être remplacées ne vibration unique, mais elles peuvent toujours l'être rux vibrations discordantes dont les directions sont pei*penires.

vitesses des deux ' vibrations dont il s'agit étant sin 2 « (^ — z)yeH^' = a' sin 2iz(t — -s') , désignons par co, 0/ igles de leurs directions avec Taxe des x; la première Ta avec les axes deux composantes t^ cos co, (^ sin o> , et la ie deux autres composantes i^' cos co' , (/' sin co' ; les angles «' étant comptés jusqu'à Stt, les vitesses totales seront »-f- i/ cos là' sur Taxe des x, et l' sin co -+- (>' sin w sur Taxe

>nt II la résultante de ces deux vibrations discordantes qui

lirigées sur Taxe des a:, et i son coefficient de vitesse;

de même u la résultante de celles qui sont dirigées sur

des jj et b' son coefficient de vitesse. En procédant

SfS LtTRE TI. — OPTfQUE,

eomme nous venons de le fuive dans la proposItioD preccdetiEt il est facile de voir que Ton aurait i

1/ = ^ sin 2 TT {i — jt) ; j

l^^^a^ cos' w -h a" cos' w' H- 2fm' cosca ces iacus % n (s — «'j;

«' = i sin 2 îT (f — jt') ; i'* :^ «* sin* w + a'* siïi' w' -h 2aa sin w sia &>' cos 2îr(-s — s*), ,

Ofj pour fjue ces deux résultantes perpendkulnires entre é^ fassent concardantea , il fuiidraît qu^elle^ eii&âent mêaie plisui ou que Ton eùt^=;r'; condition qui, pour être remplie, i'ii|l rait que Ton eût

sîn %n {x — z') sin In {jc^ — z*) ^cost»! adntà

sjn2x(^ — jt')

ou

a QQSm

^Uln»

sin 275 (z — x)

ou, enfin, sin (w — m^ ^ 0, oest-à-ilire m — ^w'= 0 ou it. i Les deux résultantes dont il s^agit ne seront donc jamais a cordantes, à moins que les deux vibrations compos^aotes s'accomplissent dans la inême direction, ce qui nous ferait tomber dans le cas précédent. Ce cas excepté, deux vibrada discordantes ne peuvent donc jamais éue reuipl accès par ud vibration résultante unique; mais elles peuvent toujoui^ â remplacées par deux vibrations perpendiculaîi^s diâcordânti Le résultat auquel nous arrivons ici peut évidemment ^vum dre à un nombre quelcoiujue de vibrations, pnisqu an ,inm alors

ti^ V cos w 4- p>' cos m' -h <^* cos ta* + etc.| lgt it' ^ 1^ sin ij^ -j- if' sin ui + m^ sin tn^ -\- etc»

Ainsi toutes les vibrations discordantes et non parallèles peuvent agir sur une molécule dVther , se résolvent en derni résultat en deux vibrations perpendiculaires discordantes.

Proposa ion P^II . Deux vibrations perpendiculaires dtsci dantes petivent être remplacées par une seule vibration «pitf leur différence de phase est d'un nombre quelconque de dea longueurs d'ondulation ; mais ce cas excepté, elles dots naissance à un mouvement i|ni cesse d être linéaire ; la mol sur laquelle- elles agissent dik^rit alors une ellipse dont les «; ont des positions et des «grandeurs relatives différentes suivant différence des phases et T amplitude du mouvement des tiI lions composa nies ; cette ellipse devient im cercle lor^qtM* ribrationj ont la même amplitude , et lorsque eti même

CHAP. y. — NOTIONS THÉORIQUES. M 7

i différence de leurs phases est d'un nombre impair de quarts e longueur d'ondulation.

Deux ondes planes arrivent à la molécule o (Fig. 13), pour ^ter dans le plan de la figure ; leurs mouvements vibratoires lit perpendiculaires , Tun s' accomplissant suivant ox^ l'autre irant oy ; les vitesses v et u qu'elles impriment au même innt, dans le sens de ces axes, sont f'=asin2ir(^ — z) ^ = a' sin 2ic {t — z). En vertu de la première , la molécule se uverait sur Taxe ox , à une distance x de l'origine , telle îa:=/>cos27r(r — z); en vertu de la seconde, elle se trouait sur l'axe oy à une distance / de l'origine, telle que 'P cos 2ic(^ — ^')\ P ^^P* ^^^^ I®* demi-amplitudes des mouaents de vibration qui seraient excités séparément par la preîre et par la deuxième onde. En éliminant le temps t entre

deux équations , on obtient les coordonnées x et y de la lécule , pom* un moment quelconque de la durée de la vibra- I , et par conséquent l'équation de la courbe qu'elle décrit idant cette durée. Posons pour cela

z'— J5=«, et 2ic(/— z')=2ir(^— 2 — a);

n résulte :

y=p* cos 2ic {t — z) cos 2irô -{-/>' sin 2ic {t — z) sin 2it5.

a d'ailleurs :

cos 2tc {t — z) = -, sin 2ic(r — ^) = - yji^ — ^ »

substituant ces valeurs dans l'équation en j, et en élevant rarré , on trouve :

/?V '^p'^a^ — 'lxypp' cos 27:5 =/?*/>'* sin* 2ite,

est l'équation d'une ellipse ; donc deux ondes qui se proent sur la même ligne, et dont les vibrations sont perpendilîres et discordantes , au lieu d'imprimer aux molécules des rations rectilignes, impriment en général des mouvements pciques et continus.

^our ne pas entrer dans trop de détails, nous supposes que les deux ondes ont des amplitudes de vibration égales p=//; alors l'équation

y^ +a^ — ^xy cos 27co = p^ sin* 27t5 résente une ellipse dont les axes font des angles de 45* avec

Si 8 LIVRE VI. — OPTIÛDK.

les axes coordonnées (Fig. 1 4) ; Taxe des x ayant la poÂtion a± Taxe des / la position o/'. En représentant comme à Tordina par a le demi-axe des x, et par b le demi-floe des j, il facile de voir qae l'on a pour les grandeurs de ces axes

p sîn 2«$ /:" . ^

^ = -7=. r=/^v2.Mn ii«,

y^ 2 ces TCO ^ ^ '

. p siniTT^ /- ^

y/ 2 smirS ^^

Par conséquent a* -+- 4* = 2p* ,

quand la différence des chemins parcourus z' — jz ou $ est ég à un nombre entier ; ce qui signifie qu'elle est égale à un nonil juste de longueurs d'ondulation, sin 27to = 0, cos 27t$= 1 , et/s c'est-à-dire , que l'ellipse devient une ligne droite ojr ; ce qui i^ facile à prévoir , puisque alors les ondes sont concordantes.

Quand 2! — ^= — ^— j o\i un nombre impair de demi4

gueurs d'ondulation , sin 2ir8 = 0, cos 2ito = — 1 et ^ = — l'ellipse devient encore une ligne droite dirigée alocs suivant c

Quand z* — z= — 7-"^" "^ nombre impair de quarts d'<

dulation, sin SttS = dz 1 , cos 2iro =r 0, 7* 4- -^ =/^*-

L'ellipse devient un cercle dont le diamètre 2/> est égal à Ta

plitude du mouvement de vibration. Pour « = 0, 2f — :; =

Le second rayon est en retard sur le premier d'un quart d <

dulation ; ainsi, quand la molécule est à rextrémité de sa cou

ou en repos en/», elle reçoit Timpulsion du second rayon qui

alors au maximum de vitesse, parce qu'il lui reste un quart

vibration à faire pour arriver au repos en p' ; la rotation sui

cercle s'accomplit donc de droite à gauche. Au contraire, p

w=l , 7^ — z = -, quand la molécule est en /?, le second rayi

qui a encore trois quarts de vibration à faire, est au maximi de vitesse; mais il va deo en <j\ par conséquent il fait pas^ei molécule qui est en p au-dessous de Taxe des Sy et lui impii ainsi un mouvement de gauche à droite. En généi-alisant , voit que le mouvement de droite à gauche a lieu pour n pair, celui de gauche à droite pour n impair.

Enfin, quand la valeur z — z n'est pas comprise dans l'i

CHAP. Y. ^ NOTIONS THÉOHIQUES. 5i9^

dès trois séries précédentes , le mouTement est toujours ellipti- 4faey et le grand axe de Tellipse est tantôt suroo/, tantôt sur o/, «unrant que les valeurs de z — 5' se rapprochent de celles qui dannent lîea à une Tibration linéaire sur la première ou sur la jecoude de ce* lignes ( Fig. 14 ).

C'est par cette composition des mouvements perpendiculaires €C discordants que nous avons pu rendre compte des phénomènes dt la polarisation rotatoire (chap. iv).

ProptMîtion, FUI. Un fEÛsceau de lumière naturelle dont Tinlensité est représentée par 1 , peut être considéré comme composé de deux £sûsoeaux polarisés à angle droit, ayant chacun une pHiiftit/ égale à ^ , la direction absolue du système des deux

Ede polarisation restant arbitraire. Imaginons en effet deux aMjL polarisés à angle droit, et se propageant dans la même ; soient 1^ et i/ leurs vitesses , ^ et ^' leurs phases , a et a' IviKS coefiScients de vitessci on aura

v=ia sin2x(r — 2), i^=a' sin 2tp ( t — z').

fcVjMemhle de ces deux faisceaux ne pourrait pas être regardé DCHnme représentant de la lumière naturelle, si, en traversant un Irisme bi-ïéfringent, ils ne donnaient pas deux images de même aMeasiié dans toutes les positions de la section principale ; car pW là Tun des caractères de la lumière naturelle ou non pola- ■bée. Concevons donc deux axes rectangulaires ox et oj, le se- Bond représentant la section principale , et le premier la ligne ■ppendiculaire à cette section , soit «o Tangle que le plan de poprisatioa du premiei* faisceau fait avec oy , et par conséquent iMsi Tangle que sa vibration fait avec Taxe des x\ la vibration

fb second faisceau fera avec le même axe un angle co'==b> + s*

^ Décomposons maintenant chaque vibration en deux autres di<- |i|pes suivant les axes; les composantes de la première seront v ios m sur Taxe des a:, ^ sin «o sur Taxe des 7 ; ceUes de la seconde kpoot i/ cos od' et V* sin o»', et en cherchant, comme nous Tavoos kft (propos. YI), les coefficients de vitesse b et V des vibrations pillanHiB sur chaque axe, nous aurons

V^'ss.if cos* «H- a* cos* ci)'-|-2aa' cos w cos w' cos 2«(^ — 5/) y*=a* sin* M H-a** sin* ci)'-f-2«a' sin « sin «'cos 2w {z — d\

m, à cause de w' = w-l-â, et de a^=a\

520 LIVRE YI. — OPTIQUE.

i* = û^ [1 — sin 2 w cos Ît: {z — z%

b^ = a^ [1 4-sin2wcos2ir(-3— ^')]-

i* est rintensité de Timage ordinaire, i** celle de Timage extraor dinaire; par conséquent il faudrait que Ton eût sans cesse V = V^ = a\

Or cette condition peut être remplie de trois manières, savoir: par les valeurs changeantes de w, par les valeurs changeantes ck r — .3', et par les valeurs changeantes simultanées de « et de-r — £ (Voyez propos. XI.)

V* Si Ton suppose en effet que la section principale du prisin bi-réfringent reste fixe , et que cependant l'angle w changeai sans cesse , sin 2co prenne autant de valeurs positives que d valeurs négatives dans un temps très-court, égal à la persistanci de nos sensations visuelles, les valeurs moyennes de ^ et de U pendant ce temps seront égales ; les deux images ordinaire e extraordinaire auront donc le même éclat, et cet éclat nous p» raîtra constant, bien qu'en réalité il soit variable d'un instant i l'autre, mais pour des intervalles de temps que nous ne pouvoa pas apprécier.

2^ On arriverait évidemment au même résultat en supposanti constant , mais quelconque , et en supposant que c'est la diHë rence de phase z — 7I qui varie sans cesse, de telle sorte qm cos 2t: [z — ^') prenne dans un temps très-couit, autant de^-a leurs positives que de valeurs négatives.

3° Enfin, ou arrive encore au même résultat, en sup|K)san que les variations de oi et celles de z — z aient lieu simultané* ment, mais qu'elles soient indépendant€»s Tune de l'autre.

Les considérations suivantes tendent à faire voir que t^tti dernicre hypothèse est la plus probable. Eu effet, quelles qiM soient les dimensions d'un corps Jumineux, nous devons nous V représenter comme composé d'uue foule innombrable de mol*^ cules vibrantes, dont les vibrations communiquées à TétluT st propagent avec la vitesse de la lumière jusqu'au point où elle! arrivent à nos appareils , pour être soumises à nos expériences, Ne considérons d'abord parmi ces vibrations que celles dune seule espèce, c'est-à-dire celles dont la durée est la même, d qui produisent une lumière simple et mathématiquement homoi(ène ; les centres d'ébranlement qui les ont produites sont }h*uIêtre liés les uns aux autres par une dépendance mutuelle, soit