CHAP. Y. — NOTIONS THÉORIQUES. 5Î

aents qui suraenoent soient seulement soumb à certaines con« didoiis que nous allons examiner.

En ce qui appartient à la direction du mouvement, les chaii*

gements peuvent être quelconques pourvu que deux vibrations

perpendiculaires entre elles et qui ne peuvent interférer, ou

Inix vibrations voisines de cette direction ne se produisent pas

pendant le temps t qui est nécessaire à Taccomplissement des n

âbrations , ou du moins que si elles se produisent, elles ne per-

pient en sonmie que pendant un temps très-petit par rapport

ta temps mtj qui exprime la durée de nos sensations. Mais nous

ivons vu au contraire (propos. VIII) que si Ton voulait expli-

taer rétat d'un rayon naturel et non polarisé par la seule varia-

■Kté de la direction de la vibi*ation résultante, il faudrait

Ibnettre qne peudant le temps mt cette direction se trouve aussi

tavent dans une direction donnée que dans la direction per-

mdiculaire; il faut donc, pour concilier les phénomènes de la

ibrisation avec ceux de la diffraction , exclure l'hypothèse de

^mobilité du plan de la vibration résultante, ou bien admettre

l*il change progressivement , et que m est extrêmement grand,

Bt-à-dire que la durée de nos sensations est très-grande par

iport au temps t pendant lequel s^accomplissent les n vibra-

dont nous pouvons observer l'interférence. En ce qui appartient à la différence des phases , nous avons pareillement (propos. VIII) qn'elle peut servir à expliquer it d'un rayon naturel et non polarisé , sous la condition que idant le temps mt l'expression cos 2Tt(3 — z) prenne autde valeurs positives que de valeurs négatives, ce qui paraît Icore inadmissible ici , à moins de supposer mt très-grand par iport à t.

D y a donc, sous ce rapport, comme à d'autres égards , un id intérêt théorique à rechercher quelle est la plus grande. pKience de marche avec laquelle des faisceaux puissent interkr, afin d'avoir au moins approximativement une expression m la valeur de t.

\ Or, MM. Fizeau e^ Foucault ont fait sur ce ptânt, par des Ipoédés ingénieux et nouveaux , des expériences importantes , piqaelles je regrette de ne pouvoir donner ici plus de dévebppements. Ils ont constaté que deux faisceaux qui ont acquis Ib différences de marche de 2000, de 3000 et mcmc de près de lOOO longueurs d'ondulation, interfèrent aussi régulièrement II. 34

:m LIVUE VL — OPTIQUE,

ime f*!tiic qui difTèrent seulement tie quelquts longuiisi fl'oiidc. *

Jlndiquerai seulement Tuti des procÀles dcinl ils ont f^ usage : il est représenté dans la figure 19. m et m^ saut deui nu rûirs analogues h reux de Fresnel ; mm^^ au lieu de se mDu\ai uutour de leur art^te de jonctiou, ïh se meuifent Autotir à'm axe « ; la ligne lumineuse produite par une lentille c^Undrii^ est en h , de telle sorte que la lumière rélléchie est c^miiie f l'Ue partait des points/; et p' , he faisceau rélléchi est nmi à di| tance sur un éerun percé d*une fente très-^bnite , et , par 1 mouYemenl du miroir m ^ on comprend qu*îl soit facile tïm mener sur la tente, stiecessivement , des point* du faiscTAU tti^ respondant à la 50* ou h la 100' frange d'mterférrnee. A ^ distante de la bande centrale , 11 n'y a plus de cnulc?iïr!^ pif (^ptible», rimage est blanche comme si les deux rayons réflécla ne pouvaient plus interférer ; c'est donc «ri fatsceatî blanc m pas^c pur la fente et qni a toutes les apparences dVin f^a^iai naturel ; il est reçu par un système réfringent cumpiSpé âm excellent prbme tresr-dispersif et de deux lefitilles, Tune plae| au*d Cirant du prisme et T autre :t sa ^dite, Ij^ fente doft'J trouver au foyer principal dt^ la jMvniière. l>e spectre, une distance convenable, présente lu plus magnificjoe îtp rence des fmnges diffractées , et , comme on y Yoit i liien les raies de Fraueuhofer, il est (lui le de compter le» filft ges compiisci entre deux raicA données. Soient X et ^ les loi guenrs d'onde correspondant à deux rai^ entre lescpudle* m compte m franges ; la différence des cbemins parcourus est m pour la première couietir , ni* pour la seconde , et Ton a à 1

fois

mk' n'k= n"k* et m:^^n — a', d'où /<= ry ^.

C'est ainsi que Ton détermine le nombre des longuetirs d'oui qui forme la différence des chemins parcourus.

En admettant que la vitesse de la lumière soit en l' d 70000 lieues ou de 280 000 kilomètres, il est fiidle de voir qtt le nombre des vibrations qui s'accomplissent en 1', pour la M mière verte , ayant une longueur d'onde de 5 dix-miUièmes à millimètre, est de 560 millions de millions ; si detrx faisceaux à cette lumière interfèrent avec une différence de marche de 5600 loa gtieurs d'onde , le temps nécessaire à ces 5600 vibratioiis ntê

CHAP. y. — NOTIONS THtOMQUES. ^3i

^*uo cent-mîllioiiièDde de seconde. Or, en supposant que uo6 perceptions Tisuelles durent seulement ^ de seconde, ce temps x>ntiendrah encore mille millions de fois cehii qui est nécessaire la 5600 vibrations. Il est donc bien permis d'admettre, comme oos l'aTons admis plus haut, que mt est excessivement grand arrapport à t,

ProposUion XII. Lorsqu'un faisceau de lumière polarisée se ilédiit i la surfeice d'un milieu diaphane , l'intensité du faisnu réfleçfai est représentée par

, Tangle de son plan de polarisation avec le plan d'incidence t donné par la relation

'1, intensité du &isceau incident;

U, i", angles d'incidence et de réfraction ;

'1,6', angles des plans de polarisation des faisceaux incidents

(réfléchis avec le plan d'incidence ou avec le plan de ré^

■ion.

^Une onde plane ap (Fig. 15) arrive sous une incidence i, à

I surface de séparation de deux milieux , par exemple, de l'air Idu verre ; elle est polarisée dans le plan d'incidence, que nous Imposerons être le plan de la figure , de telle sorte que les vi-

idons s'accomplissent parallèlement k ab^ et perpendiculàire- Qt au plan abp. Les densités d et ^ de l'éther étant différentes » le premier et dans le second milieu, il se fait, à la surface \ séparation, un partage de mouvement : une portion de l'onde \ réfléchit en faisant Tangle de réflexion égal à l'angle d'inci- Ince » Fautre se transmet dans le verre sous un angle /, tel be Ton ait sin /; sin/' :: X: X' • X et X' étant les longueiu-s pDodulation de la même espèce de lumière dans l'air et dans ^vcrre.

&ttent u^ V el V les vitesses de vibration de Tonde incidente,

II Fonde^réfléchie et de l'onde réfractée ; a , A et r les coefE- KBts de ces vitesses ; en sorte que Ton ait

sasin29t(^ — z), t'==Asin2ir(^ — z) et <^ = rsin27:(^ — z).

On admel que dans le cas des vibrations perpendiculaires au

Kiqur*

a3î LITRE TL — OPTIQUE.

plan d'incidence^ ou dans razimttt 0 y Ton doive aToir k « liaque insUot

ï* ^ <' -h t'' et par conséquent at^à^t.

En considérant d'une autre part les forces vives dont sont niées les masses dVlher qui correspondent à une longueur d on* dulïition, soit sur le faisceau incident, soit sur les fAisceaui rellëclils et réfractes^ il faut tjue k première soit égale à U somme des deux dernières* Ces forces vives sont ffkpcti^ ^ ftkpti et itX^pc'p^ ; en effet ^ le volume dVtlier correspondant à u longueur d* ondulation dans le faisceau incident est uu fmsâ rectangulaire dont les trois dimensions sont X dans le seos/i/j//=i dans le sens «/?, et une longueur quelconque c , égale à la 1; geur du faisceau dans le sens perpendiculaire au plan dt* figure ; ce volume étant \pc , la masse est €Ùpc , et la fort vive ilXpci^ \ sur le faisceau réfléclii la masse est la mèmi parce que la pet*pcndiculairc hp^=^ap-=p \ enfin , sur le faiscçi réfracté, la dimension du piisme dans le sens perpendieuki au plao de la figure est la seule qtii reste ht même et à c^ pour les deux autres, on a V ci p' =z hq^ et poyr la vive (tk'p'ci/^

Le principe des forces vives donne donc

dkpcu^ = tD^pn^ + f/'X'/^Vii'*, ou tD^pca^ = fO^pcP 4- ttiycr' j

et par conséquent,

,it—P€f V p

Mais en admettant que lelasticité deréthersoit la même les deux milieux, il faut^ d'siprès les lois de la mécanique, q tes densités soient eu raison inverse des carrés des loninie*

d ^ondulation , ce qui donne ^ ^ ttî, on a de plu* r- ^ ^—. — -t

dans les deux triangles bap et A^y, ^=:^^^, d*oii il résulte ff* — A' sinfcos**^

et en remplaçant rpnr sa valeur ft — A,

f, — /, sinf'coâi^

,* . A sin (/ — t) . r 2cos/sm*^

*X ou -^ _______ et par suite - = . . ^. >

GffAP. V. — NOTIONS THÉORIQUES. 533

Pour oe qui regarde le rayon réfléchi , ses vibrations et celles du rayon incident s'accomplissant dans le même milieu , le rapport ^ de leurs intensités est égal au caiTe du rapport des coefïi- <ients de vitesse, ce qui donne

/<* sin*(/ — /') .

^""•â*""sinV + 0'

I Pour ce qui r^[arde le rayon réfracté, ses vibrations et celles du

liyon incident s'accomplissent dans des milieux différents, le

IBpport ^ de leurs intensités n*est plus égal au carré du rapport

coefficients de vitesse , mais au carré de ce rapport multiplié

le rapport des masses vibrantes correspondantes. Nous

tons de voir que ces masses sont ici (tWp'c et (l^pc dont le

sinicos/*' tanc£ ,

apport est -7—= = — 2.; on a donc

'*^ smrcosi tarjg*

. r* tang i . ces*/ si n*/' tang /

* ■"* â*' tang/ "~ sîî?(7+7) ■ tang/' '

'où «p -h 4* = 1> ce qui devait être. On arrive au même résultat remarquant que ^ est égal au rapport des forces vives du lyon réfracté et du rayon incident ou

tfWp'c . !»'• tang / /^

dkpc . «' tang i' ' a*'

Quand les vibrations de Tonde incidente s'accomplissent dans B plan d'incidence , et que le plan de polarisation est par conéquent perpendiculaire aux plans d'incidence et de réflexion, m dans l'azimut de 90*, l'on admet que dans les trois faisceaux vitesses de vibration sont telles que Ton ait

Il cos /= «/ cos / -h tf' cos f ou (a — h') cos / = r' cos i',

, , ,,>^cos/,

^ ^cos/

appelant cette fois A' et / les coefficients de vitesse de l'onde léfléchie et de l'onde réfractée; ce qui revient à dire que lu composante horizontale de la vitesse de vibration dans l'onde incidente est égale à la somme des composantes horizontales de la vitesse de vibration des ondes réfléchies et réfractées.' L'équation des forces vives étant toujours

fl* — /P sin i cos t*

/•'* sio /' cos * •

feïl substituant la valetir de r*^ , elle devient

d'où

sm £' cos t

/ 2 sin /' cos /

a sin (/ -|- i') cm {i — f) '

et |K)ur le rapport f des mten&ilés du rayon rt^échii et du ra incident

A*» tangV— 0.

langV+O'

Pour avoir le rapport |' des intensités du rayon réfr&cte ei

rayon incident^ il fiiut, comme nouâ venons de le dire , mi

,. r*' tang / ,, .

puer -X par — ^* d ou

siii * sin ï cos j cos I

^ ^^ sin*(t+Ocos»(/— 0

Enfin, si le faisceau incident, ayant toujours une intensiiE est polafisë dans Fazimut 0 par rîipport au plan d'incidenc peut aloi's être remplacé (propos, III, coroL 3) par deuiL ceaux, Tun dintensite a^ cW 0 polarisé dans le plan dlndéi ou dans razimutOf Tau tre d'intensité a* sin^O [>olaris<5 dans 1 mut de 90*; le premier donnera un faisceau rêlléchi d'inta iucooQue ^^, telle que

^ __sinVi— 0 a* cos*Ô sin* (i -|- *')*

Le second donnera un faisceau réfléchi d^intensité x'^, telle

x'* tapg*(f — 0 a« sin'6 tang* (/ + 1') '

par conséquent, Tintensité totale du faisceau réfléchi par rap

à Tintensité du faisceau incident, ou — ^ — aura pour valeu

•„«. taiig«(i — 0

sin«(« + 1') "^ "*'" '^ • ung> (* + 0'

sinVi — 0 cos' 6

C'est la formule que nous ayons admise et discutée (19S\ Au moyen de ces éléments constituants du faisceau réfl< on peut déterminer aussi l'angle 6' que le plan de polarisatio ce faisceau fait avec le plan d'incidence, c'est-à-dire Tazimu faisceau réfléclii. En effet, les coefficients de vitessse de la por

GHAP. Y. ~ NOTiONâ TBÊOBIQUES. 5:tô

du frisoettii Téflëcbi qui -vibre perpendiculairement au plan de

réflexion, et de celle qui vibre dans ce plan , sont - cos ()et ~ sin 9.

Ces deux vibrations se composent en une seule , dont la direction £ûc, avec le plan de r^exion, un angle d' tel que

tango' s= - sinO : -cos 0,

n/ ^' . cos(i4-0

tang e =^ . tange =^5^^737) • ^^ ^-

iC'est la formule que nous avons admise et discutée (193). ^ Nous remarquerons de plus que la relation

tange[A' tangO h

h* let de trouver le rapport -7 quand on connaît les aûmuts

et f 4cai plans de polarisation du rayon incident et du rayon ; ce rapport est celui des vitesses ou des auqplitudes de »na des deux porfiioas du rayon réfléchi, savoir : de œlle est polarisée perpendiculairement au plan d'incidence, et de qm est polarisée dans ce plan. M. Jamin en a fait usage pour déterminer les limites de la polarisation elliptique des rayons I^Médâs, conmie nous l'avons vu (846).

S maintenant l'on considère un faisceau de lumière nanarelle d'intensité 1, 3 sera facile d'exprimer les quantités de lomière Mail donne aux faisceaux réfléchis et transmis, ainsi que les prol^ortîoiis et les quantités de lumière polarisée que les faisceaux l^oivent contemr. En effet, le fûsceau naturel d'intensité 1 peut Rkre regardé conmie composé de deux faisceaux ayant cbacun we intensité |, polarisés, Tun dans le plan d*inddence, Tavitre dans un plan perpendiculaire , le premier de ces faisceaux donnera à la réflexion une quantité de lumière

4 A«sin«(< — 0

le second donnera pareillement à la réflexion une quantité de

hmière

,1 tang«(/ — 0 ^ 2'tang«(i-f-0*

et rimc'iiàil<* du rayon rëfléciii sera s» H-?', «:elle du rayon traïU mb ou réfracte sera l — (^H-^ ),

Les deux portions qui cotistimeut le faisceau rt^fltkdii étt polarisées à anï^lc droit, si elles étaient égales elles dotiueraif à ce faisceau rapparenc^ d'un rayon naturel el non polurii mais elles sont int^gales, la première Temporte sur la secxiiK le faisceau réfléchi est donc partiellement polarisé dan* le p' d'incidence, et la quantité de luniicre ainsi polarisée qu'd rc

b tient est

sa proportion par rapport à Tintensilé totale du faiM^eau rtfftf

?+?' ^^^ t ' — '') + cos' {*" + '" j'

On voit qu'elle atteint son maximum el denent égale à 1 p /-f-i'=:ï90% c'est-à-dire sons riticidence de la polarisation ce plète; alors, en effet, toute la lumière du faisceau refléchi polarisée dans le plan d*ïncidence«

Le rayon réfracté se compose pareillement des deux portif

qui sont les compléments des deux portions f et 9' , et qui » comme celles-ci polarisées dans le plan de réflexion et perpen culairement à ce plan. Ici, c'est la seconde qui Temporte sui première, c*est-à-d^*e que le rayon réfracté est partieUem* polarisé dans le plan de réfraction ; et il est visible que la qui tité absolue de lumière ainsi polarisée qu^il contient est égal celle qui dans le rayon réfléchi est polarisée dans le plan d*io dence. Ce qui justifie la loi importante que M. Arago avait li de Texpérience avant que la théorie vînt l'expliquer.