CHAPITRE II

ÉTaloatîon numérique des «oot par les TÎbrationB des cordes, des tuyaux cylindriques^ des lames, de la sirène et des roues dentées.

32. Lois générales des vlbralloBs des csrdes et des sobs hsr- Mssiqnes 4B*elle8 prednlseiit. — Lorsqu'on pince une corde tendue sur un instrument quelconque , les vibrations qu'elle accomplit sont beaucoup trop rapides pour que l'on puisse en compter le nombre absolu : cependant Ton peut alors distinguer assez nettement deux phénomènes remarquables : premièrement, le son monte et devient plus aigu dès qu'on raccourcit la corde ou qu'on lui donne une plus forte tension, et secondement, le nombre des vibrations augmente d'une manière sensible. Ainsi,* il y a certainement une dépendance entre le son de la corde , sa longueur, sa tension , et la rapidité de ses vibrations; mais cette dépendance, si iacile à constater par l'expérience, ne peut être déterminée que par le secours du calcul ; elle constitue ce que ion appelle en mécanique \e problème des cordes vibrantes^ problème qui fut résolu en premier lieu par Taylor {Methodus in^ crementorum j etc., 1716), et qui eut beaucoup de célébrité, parce qu'il excita pendant près d'un demi-siècle de vives discussions entre les plus grands géomètres. Jean Bernouilli, d'Alembert, Euler et Daniel Bernouilli , avaient beaucoup écrit sur ce sujet, quand Lagrange, en 1759, presque à son début dans la carrière des sciences, eut la gloire de lever toutes les difficultés, et de mettre un terme à la discussion.

Voici les résultats auxquels on arrive par le calcul , et qui expriment les lois des vibrations des cordes :

V Les nombres de vibrations d'une corde sont en raison in* verse de sa longueur ^ c'est-à-dire que si une corde sonore quelconque est tendue sur un instrument, comme le violon, la basse, la guitare, etc., et qu'elle fasse dans un certain temps un nombre de vibrations représenté par 1 , lorsqu'elle vibre à vide ou dans toute sa longueur, elle fera dans le même temps des nombres de vibrations représentés par 2,3, 4 , etc. , lorsque ,

sans changer sa tension , Ton fera vibrer seulement | ? 5 ? {^^ etc., ' de sa longueur ; elle ferait des nombres de vibrations représentés > par 1, 1, I5 etc. , si Ton faisait vibrer seulement 1, |, *, etc., y de sa longueur. Pour limiter ainsi la partie vibrante , il suffit de 1 promener un petit chevalet sur lequel on presse légèrement la '■ corde avec le doigt.

2* Les nombres de vibrations d'une corde sont proportionnefs i aux racines carrées des poids qui la tendent; c'est-à-dire que si Ton représente par 1 le nombre des vibrations d*une corde qui est tendue par un poids 1 , ce nombre de vibrations dans le i même temps deviendra 2,3,4, etc., quand , sans changer se • longueur j on la tendra par des poids 4, 9, 16, etc. ■

3* Les nombres de vibrations des cordes de même matière sorti \ en raison inverse de leur épaisseur ou de* leur diamètre , c'est* , à-dire que si l'on prend , par exemple , deux cordes de cuirre ou deux cordes d'acier comme celles d'un piano, dont Tune ail un diamètre double de l'autre , qu'on les tende par un même poids et qu'on en fasse vibrer des longueurs égales^ la plot mince fera dans le même temps deux fois plus de vibrations qoe la plus grosse. H est probable que deux cordes à boyau ne suivraient pas exactement cette loi , parce qu'on n'est jamais sâr qu'elles soient absolument de même matière.

4* Les nombres de vibrations des cordes de matières différentes sont en raison inverse des racines carrées de leurs densités; c'est-à-dire que si l'on prend , par exemple , une corde de cuivre dont la densité est presque 9 , et une corde à boyau dont la densité est à peu près 1 , qu'elles aient le même diamètre , qu*on les tende par des poids égaux et qu'on en fasse vibrer des longueurs égales, le nombre des vibrations de la corde de cuivre sera trois fois moindre que le nombre des vibrations de la corde à boyau. Il est évident que les lois précédentes ne peuvent s'appliquer qu*à des cordes homogènes dans leur longueur et dans leur épaisseur, et que, par exemple, elles ne s'appliquent nulle* ment aux cordes à boyau revêtues d'un fil de métal , dont on se sert pour la harpe et pour les quatrièmes des basses et des violons. Le -métal enveloppant est ici une masse inerte qui doit être entraînée par Télastirité de la corde, et qui augmente par conséquent la durée dt» vibrations.

Ces principes une fois posés, H devient très-facile de représenter les sons par des nombres. On se sert pour cela d'un instru-