II

En regardant la flamme d'une bougie par réflexion sur un morceau de verre dëpoli, on ne distingue pas son image quand l*angle d'incidence est très-petit^ mais on la distingue assez nettement quand cet angle est très-grand. On peut même alors la distinguer sur un morceau de bois, ou d'étoffe, ou même sur un morceau de papier noirci au noir de fumée. Ces expériences prouvent en même temps que tous les corps réfléchissent régulièrement une certaine proportion de la lumière qu'ils reçoivent ^ et que cette proportion va croissant avec l'obliquité des rayons.

370. Goniomètre de Charles. — Les lois de la réflexion de la lumière ont été appliquées à la mesure des angles dièdres des corps polis, et particulièrement des cristaux. Les appareils dont on se sert pour cet objet se nomment des goniomètres ; nous nous bornerons à décrire ici le goniomètre de Charles.

Cet appareil est représenté dans la figure 1 45 : il se compose d'un cercle de cuivre a, porté par un pied à troil vis calantes qui servent à le mettre horizontalement; sur ce cercle se monte une alidade b formant vers le centre 1 une capsule c, sur laquelle on dispose avec de la cire molle le prisme ou le cristal dont on veut mesurer les angles; la seule condition à remplir est que Tarêle qui forme le sommet de l'angle dièdre dont on cherche la mesure, soit bien exactement verticale, et par conséquent parallèle à l'axe de rotation de l'alidade sans avoir une trop grande excentri» cité. Pour cela, on se sert de la lunette fixe d y au foyer de laquelle se trouvent disposés des fils parallèles et verticaux; avec cette lunette on regarde une ligne verticale éloignée) comme un paratonnerre ou l'arête d'un édifice, puis, après avoir constaté la coïncidence de cette ligne avec l'un des (ils micrométricpies de la lunette, o!i regarde cette même ligne par rédexion sur 1 une des faces de l'angle dièdre, et ensuite sur l'autre iace du même angle ; si ces deux images rélléchies (|ue l'on obtient successivement en tai-

CHAP. I. — VirLEXlOIS DE LA LUMIÈRE. 163

saut tourner Iftlidade, Tiennent lune et Tautre tomber soui le même fil micrométrique 9 il est évident que les deux hces de Fangle dièdre sont Tune et lautre verticales au moment où elles réfléchissent Tiroage de la ligne qui sert de mire : par conséquent elles sont toujours verticales pendant le mouvement de rotation , et Taréte de Tangle dièdre est elle-même verticale. Il suffit de quelques tâtonnements pour arriver à cette coïncidence. Lorsqu'elle est bien consutée, on met l'alidade au zéro de la division du cercle a , et Ton fiiit tourner ensemble le cercle et l'alidade jusqu'à ce que l'image réfléchie de la mire tombe sous le fil mîcrométrique central ; alors on fixe le cercle par sa vis de pression , et l'on fait tourner l'alidade seule jusqu'à ce que Timage réfléchie sur l'autre face vienne tomber sous le même fil , et l'angle dont il a fallu faire marcher l'alidade est le supplément de l'angle cherché. On voit en effet sur la figure i46 que, si la première réflexion a eu lieu sur la face $Xy la deuxième a lieu quand la face sy a pris la posi* tion ^y^y et par conséquent lorsqu'elle a décrit un angle mpplément de l'angle cherché.

37 1 . Réflexions sur deux plans parallèles. — Le point p {fig. 147) se trouve entre deux miroirs parallèles m et m'j et l'œil , placé en Oj aperçoit derrière le miroir m un grand nombre d'images dont on peut facilement se rendre compte. Les rayons qui tombent directement sur m forment une image en a ; ceux qui tombent directement sur m' forment une image en a'. Ces derniers rayons, après leur réflexion , sont donc comme s'ils partaient du point a', et, en venant tomber sur le miroir m ils forment une image qui se trouve tn i {le point b étant symétrique de a' par rapport à m) ; derrière m', il y a pareillement une image en c (le point c étant symétrique de a par rapport à in). Les rayons qui ont éprouvé une première réflexion sur m, et une deuxième réflexion sur m', reviennent donc de nouveau en m ; ils sont comme s'ils partaient du point c, et donnent par

164 LIVRE \1. OFTIQUE.

conséquent une image en «2 ( le point d étant symétrique de c par rapport à m)^ etc.

On comprend comment les réflexions successives font apercevoir un nombre infini d'images de plus en plus sombres; il serait très-facile d'exprimer algébriquement la loi de leurs distances mutuelles.

Si Ion voulait distinguer parmi les images celles qui résultent d'une première réflexion sur m et celles qui résul* tent d'une première réflexion sur m y on pourrait placer entre les miroirs un corps qui serait rouge, par exemple, du côté de m^ et bleu du côté de m'; alors d'un côté toutes les images seraient alternativement rouges et bleues, et de l'autre alternativement bleues et rouges.

372. Réflexions sur deux miroirs incUnis. — Les phénomènes précédents se reproduisent entre deux miroirs inclinés, avec cette différence que le nombre des images visibles est alors dépendant de l'angle des miroirs. Il suffin d'examiner les cas où les miroirs font entre eux un angle droit : me {fig» i4S) représente la coupe du premier, cl m*c celle du second; du point c de leur intersection conniune on a décrit une circonférence de cercle amni . Un objet placé en a fait une image en b par la réflexion sur me j et une image en ù' par la réflexion sur m'e : de plus, les rayons qui ont subi une première réflexion sur me et qui retombent sur m'c donnent une image en rf (le points/ étant symétrique de b' par rapport à m'c\ et ceux qui ont subi une première réflexion sur m'c et qui retombent sur me donnent une image au même point d (puisque ce point est aussi le symétrique de b par rapport à me). Il es résulte que si Ton place Tœil à l'un des bouts des miroirs et près de leur intersection commune, pour recevoir en niéuie temps les ray(jns directs et ceux qui ont éprouvé une uu deux réflexions^ on verra quatre images du point a, savoir, l'image directe en a , puis les images réfléchies en b, b' et d.

CHAP. I. RlÉFLEXIOrr DE LA UÎMIÈRE. 165

(Test EUT ce principe que repose la construction du ka^ féiddccpe.

Pour avoir, par exemple, 5, 6...ao images du même point, il suffit de donner à l'angle des miroirs ^, ~...^ de circonférence.

373. Réflexiêns sur les miroirs courbes. — On adopte en optique ce principe fondamental, que la réflexion se (ait en on point quelconque d*une surface courbe, comme elle se ferait sur le plan tangent en ce point. Nous verrons tout à rheure que ce principe est en effet confirmé par de nombreuses expériences, mais Ton pourrait aussi le démontrer directement par la théorie. Il en résulte que les lois générales précédentes s'appliquent sans restriction à toutes les surfaces, et que tout se réduit à trouver pour chaque point la direction du plan tangent ou de la normale , ce qui est simplement un problème de géométrie.

Ainsi, un point lumineux, placé au centre d*une sphère cnose et polie à Tintérieur, enverrait des rayons sur tous les points de la surface, et chacun de ces rayons serait rétiiàà sur lui-même, et reviendrait directement au centre après la réflexion. De même, un point lumineux placé à Tun des foyers d'un ellipsoïde enverrait des rayons sur tous les points de la surface, et tous ces rayons iraient par les réflexions se réunir et se concentrer en Vautre foyer; puis, CD continuant leiu* route , ils retourneraient au premier loyer après une seconde réflexion, reviendraient au second foyer après une troisième, et ainsi de suite.

Un point lumineux placé au foyer d'un paraboloîde enverrait des rayons qui seraient tous réfléchis parallèlement iTaxe et s'en iraient se perdre à Tinfini ; réciproquement m point placé à l'infini comme une étoile, et sur Taxe d'un pnaboloïde , enverrait des rayons qui viendraient tous se eoncentrer au foyer.

374. Réflexions sur les miroirs sphériques. — Si l'on imagine une sphère dont Tintérieur soit très-poli, et qu'on la

166 LITRE VI. -^ OFtIQUB.

coupe ptr un plan , on en détache une eahiie qui est un miroir sphérique concave : ce serait un miroir sphéri^Mêcmh Mcre si la aphère était polie en debon*

VouvêTture du miroir est l'angle des deux rajona cm et cm' menés aux bords opposés de la calotte {fig. t49)f MUi diamètre est la ligne mmf qui joint deux b«rde opposés de la calotte; son a^eeest la ligne ae menée 4u oentn dek calotte au centre de la sphère.

Le point a s'appelle aussi le centré de Jigttrm do- nnev, et le point c son Centre de courktre»

Lorsqu'un point lumineux e est situé aor Taxodui {fig. i5o ), tous lesrayons qu'il euYoieà une] angulaire du point a Tiennent, après leur réfleximi, aeiéa* < nir en un même point /^ Pour le démontrer, soit siTunée ces rayons, ci la normale au point d'inoidenoef et jf lenj« j réfléchi ; désignons par x^x^ ' ^^ angles a«î^ md^ efiffml d l'angle d'incidence m et l'angle de réflexion c^qn kii ett égal ; et pari, r, m les trois distances os, oc, m/, qu'on suppose que :r, 7, z ne dépassent pas 3 ou 4 4 ces angles peuTcnt être pris pour leurs tangentea, en 1 temps Tare ai peut être pris pour une ligne droite jÊh^^ pendiculaire k as^ et les triangles rectangles ome, ad^e/t] donnent

ai . ai .

ai m

On

a d'une autre part

x=iy — d et zz=x+d,

d'où

z+x=z7Xf ou -3 = 27 —

qui devient

par les Taleurs précédentes

ai 2ai ai

ou

CHAP. I. «-« B^l^XlON DE lA LIJMIÈRE. 167

Cette valeur de — étant indépendante des angles a:, / et 2,

on doit en conclure que tous les rayons émis par le point s viennent en effet se réunir et se concentrer au même point /j qui s'appelle pour cette raison le foyer du point s; mais cette conséquence est vraie seulement sous la condition que les angles j?, jTy^ puissent étrepris pour leurs tangentes , ce qui limite essentiellement louverture du miroiri et la réduit à ne pas dépasser 8 ou 10^ • Pour une ouverture plus grande, le concours de tous les rayons ne serait plus exact, et il y aurait ce qu'on appelle aberration de sphéricité.

Si le point lumineux était situé hors de Taxe du miroir, on pourrait toujours par ce point et par le centre c du miroir mener une ligne droite qui s'appelle alors axe secoî^ daire; et comme les mêmes raisonnements s'appliqueraient encore à 1 égard de cet axe secondaire, on en conclut enfin que la formule précédente est une formule générale qui convient à tous les cas. Nous devons ajouter cependant que, si l'axe secondaire faisait avec l'axe principal acun an- 1^ gle de iS ou ao^, les angles ^, 7, z ne pourraient plus être ^ assez petits, et c'est là ce qui limite le champ du miroir^ c'està-dire, rétendue conique dans laquelle doit être compris un ^ point lumineux, pour que tous les rayons réfléchis concourent au même foyer avec une exactitude suffisante.

En se concentrant au même point, tous les rayons réfléchis forment une imagenette et brillante du point lumineux d où ils sont émanés , et le lieu de cette image est toujours ficile à trouver, puisqu'elle est d'une part sur la ligne menée par le point lumineux et le centre du miroir, et puis- (pie d une autre part elle est à une distance du miroir donnée par la valeur de m, que l'on obtient aisément quand " on connaît ret &, c'est-à-dire, le rayon du miroir et la distance du point lumineux.

Pour mieux faire comprendre la formule générale, nous liions discuter quelques-uns des résultats qu'elle donne. i^ Quand à a une valeur infinie, tous les rayons sontpa-

16B Lttni%f. — opTfQoi.^^^^^^^^

mllèles; oti o m^= ^ j c est - à - dire que le foyer est alors ï

la tiioitië dti rayon ( fi§, 1 5 1). Ce foyer se noiiiiiie/î>)*^r pnth cipal^ et sa distance au iiiîroir, distance focale principnlc^

La figure t52 reprt^sente la marche des rayons pour ud faîsceau parallèle et oblique à Taxe du miroir.

2^ Pour i ^ loo Tj on a m = —^ j ainsi, il suffit que li

distance de Tobjetau miroir soit égale à loo fois le rayoa, pour que l'image se fasse sensiblement au foyer princîpaL

3*^ Pour J== ar, on a m = -:r \ ainsi ^ pendant que lobjet

se rapproche du miroir depuis Tinfini jusqu'à une distance double du rayon| Timage n éprouve qu un petit d épia cément

et s éloigne seulement depuis ^ jiisqu a — -

4"* PourZi^r, on a /ra^ Tj ce qui doit être j puisque tooi les rayons envoyés du centre doivent revenir au centre*

5*^ Pour i = - , on a ffi =:oo , c est-à-dîre qu'en mettant k

point lumineux au foyer, tous les rayons réflëebîs fonni^iit alors un faisceau parallèle et ne vont se rehcontrer qaj rinfini {Jig* ï5i et iSa), ce qui doit être, puisque rinfim et le foyer principal sont deux foyers conjugués.

6° Quand b est plus petit que n , c'est-à-dire, quand le

point lumineux est plus près du miroir que le foyer priacîpalj m prend alors une valeur négative : cela ne veut pis dire que les rayons réfléchis ne se rencontrent plus , mai* seulement qu'ils se rencontreraient si on les prolongeiit derrière le miroir {fîg, i53}* Le foyer v se nomme alôw f&yer inrtuel^ parce que les rayons n'y passent pas en na* lité, bien qu'ils soient dirigés comme s^ils y passaient,

H résulte de cette discussion, que si un objet u' (^fig. i5o) était disposé sur une surliice sphérique ayant le même ce»îre c que le miroir, il formerait en r/if/î' une image rem^rm

CHAP. I. B^LCXION DK LA LUMIÈRE. 169

qui en serait Texacte représentation ; on aura une idée du rapport Je grandeur qui existe entre l'image et Tobjet, si l'on remarque que du centre du miroir ils seraient Tun et 1 autre tus sous le même angle.

Si tous les points d*un objet n'étaient pas à la même distance du centre, tous les points de son image n'en seraient pas non plus à la même distance.

Tous ces résultats se trouvent vérifiés par les expériences suivantes :

Un large faisceau de lumière solaire tombant sur le miroir mni {fig* i5i et i5a), on voit une petite image resplendissante du soleil exifoxx enf\ suivant que le faisceau incident est parallèle ou oblique à Taxe. Le soleil étant vu de la terre sous un angle d'environ 3o', son image regardée du centre c serait vue sous le même angle. Ainsi sa grandeur absolue dépend du rayon du miroir : par exemple, an foyer du grand réflecteur d'Herschell , qui a 80 pieds de rayon , Timage du soleil a environ 3 pouces de diamètre, et elle n*a guère que 3 lignes au foyer d'un miroir de 6 pieds de rayon , et 3 millimètres au foyer d'un miroir de I mètre de rayon; grande ou petite, cette image a un très-vif éclat; dans l'espace circonscrit qu'elle occupe, se trouvent concentrées à la fois toute la lumière et toute la chaleur du faisceau incident.

On peut se servir de cette expérience pour déterminer le rayon de courbure d'un miroir donné ; mais alors il faut en couvrir la surface avec un morceau d'étoffe ou de papier dans lequel on laisse seulement deux ouvertures près des bords en v et V {fig< ^^4)j car il est bien plus facile de déterminer exactement le point de rencontre des petits faisceaux 2^ et vj\ que le lieu où l'image complète du soleil a le plus petit diamètre et la plus grande netteté.

On reconnaît aisément que des objets éloignés d'environ 100 fois le rayon du miroir font leur image à trèspeu près au même point que le soleil.

170 LrVRE Yî. — OPTIQUE.

En pToineoani la llamnie iFtine bnugie dans une char lire noire^ à diverses disUnces devant le miroir^ sut liii ou hors dti Tait?, il est facile de vérifier tous les autinrt suluts du calcul que nous airons indiqués^ son joiifeii reçoit sur un petit écran de papier ou sur un morcein^ verre dépoli; si 1 écran était trop large, il arrétÊrail m trop grande partie dm rajons incidente qui anivenia miroir.

Les miroirs convexes ne donnent que deê/ayers wM on des images virtuelles^ Il est facile devoir que pourcs: miroirs là formule principale devient ;

Les valeurs de h et de r étant essentiellement pmidiil les valeurs de m seront toujours négatives, et ^ comme dk sont comptées à partir du point a , c'est une preuve queh foyer tombe toujours derrière le miroir de a vers c (Jig*ii et i56}; ainsi, lefoyernVst jamais produit par la r^nconSi réelle des rayons, mais par leur rencontre inriuelim ouff la rencontre de leurs prolongements*

Pour i :== Qo j on a ïM = ^ ; c est la plus grande négative de m {fig, i55);