CH\P. II. — REFRACTION DE LA. LUMIÈRE

La sixième enfin {fig. i86) est le ménisque diifetgent; elle «st formée par deux surfaces sphcrique^, l*une concave et Cautre convexe , le rayon de la première étant plus petit MMfr le rayon de la seconde.

-« ' Les trois premières sont à bords tranchants et conver*

^ Les trois dernières sont à bords larges et divergentes. M Uaxe d'une lentille est la ligne mathématique ce' qui |oint les deux centres de courbure de ses deux surfaces ; pour les lentilles plan- concaves et plan-convexeS| Taxe cp «te la perpendiculaire abaissée du centre de courbure sur le plan.

tf I Pour démontrer que les lentilles ont des foyers^ réels ou fwirtuels^ nous prendrons d'abord une lentille d'une épais^ meuT indéfinie tournant sa convexité vers un point lumineux^, situé sur son axe. Soient sd (fig, 187) un rayon inci- 5tlent , cd la normale au point d'incidence, et dt le rayon ïrffracté qui vient couper l'axe au point t; désignons par x, ^Zjles angles qui ont leurs sommets aux points s^ e, /, miî qui s'appuient sur l'arc ad; par b, r, m, les distances de 4fies points au point a, c'est-à-dire as, ac, at; enfin ^ par^ et ;^, les angles d'incidence et de réfraction sdp et cdt. Tous \mes angles sont supposés assez petits pour qu'on puisse les éprendre pour leurs sinus ou pour leurs tangentes, et^ en représentant par n l'indice de réfraction de la substance de %ÊL lentille, il est fiicile de voir que l'on a d'abord : Bï sin.p:=zn sin,q on p:=inq; p=x + jr;jr:=zz -+- q.

En éliminant /? et 9 au moyen de ces trois relations, l'on obtient :

** x+nz=zx{n — i)y

mil devient

ad . n.ad ad . . l . n n — 1

'r + — — = — (n— i) ou

lorsqu'on substitue les tangentes au lieu des angles, puis-

fi'd peiil tMre considéré comme une ligne' !tiliure à as.

résultat étant indépetidant des angles dlncidence d étractîon , il en résulte que sous tes conditions que nooi ftvons admises, tous tes rayons émanes du point s^ qui tOD> lient sur lalentille^ vont ensuite après la réfraction se trn^ per au même point r de Taxe à une distance m. Il 7 A donc là unjoyer par réfraction ^ et ce foyer $era ré^l B*il est réellement le point de concours des rayons^ et viriunl s il ttX seulement le point de coïî 1 de leur proloogement.

Il parait facile de dîscu toute sa génëralitéj mais. »^^ ré^uUatSj nous la discul 6oit de Terre : dtora, n et

a formule précédente dam *n faire mieux apprécier 1@ m supposant que la lenlilli* ^ à I, cette formule deirieot:

g° Pour i=^; 0© , *j c'est-aKlire que sî le point

lumineux est à Tinnui, ou si ecj rayons incidents sont pamt lèles à laxe^ le point de conec rs a lieu à une distance fi est triple du rayon de courbure de la lentille. De plus, b ?aieur de m étant positive, le foyer est réel,

a"" Pour i^ar^ on a fH=oo; c'est-à-dire que le poiJU lumineux se rapprochant depuis TioËni jusqu a ar, le fojtf i éloigne depuis 3r jusqua finfini.

3* Pour i < 2r, on a pour m une valeur négam; c^est-à^lire qu alors le foyer est wrinel, la lentille n'est plus assez eiîicace pour rendre ses rayons convergents dam son intérieur j ils restent alors divergents, et c*est leur prolongement qui va concourir sur Taxe, mais en dehors de 1* lentille et au delà du point Sy comme il est facile de le wîl

4"* Si Ion donne à 6 des valeurs négatives, cela signiîe que les rayons incidents sont déjà en état de convergence, et les valeurs que Ton en déduit pour m donnent le nouveau point de convergence plus rapproché que la rétractjotj

CHAP. II.-— Binucnoir db. Uk lumiIole. m

ir donne dans Tintérieur de la lentille; on peut le Téri» r par des applications numériques ou par des constnio* ins graphiques.

Nous avons trouve la formule prëcëdente en supposant lentille convexe du côte du point lumineux; mais il est aie de voir, par une construction directe, que, pour raff» qaèr à une lentille concave, il suffit de changer le signe

r, en conservant la condition que les valeurs positives

m indiquent ses foyers réels.

Ces principes posés, nous pouvons examiner maintenant qui arrive aux lentilles ordinaires^ à deux sur&ces cour- B, dont l'épaisseur peut être négligée.

Soit un point lumineux s {fig. i88) situé sur Taxe d'une itiBe bi-convexe; si cette lentille avait tme épaisseur infinie, la distance V du point de concours des rayons inlents serait donnée par la formule

net rétant les mêmes que tout à Theure; maiS| presque , sortir de la [vemière surface, les rayons réfractés vont Doontrer la deuxième pour passer du verre dans Tair, et ir nouveau point de concours aura lieu à une distance m »nnée par la formule

ins laquelle ^ est le rayon de courbure de la deuxième ir&ce,. et n' Findice de réfraction du verre par rapport à

ir, en sorte que ri -=1 -\ sur quoi il faut faire remarquer

le le premier terme est ici affecté du aigne moftii, parce le V a nécessairement des valeurs de signes contraires, rsqu'on le considère par rapport à la premièna ou par pport à la deuxième surface de la lentille. En éliminant V entre ces deux équation»» et en nnuttinl

XTVRF Vf* OPtIQtm.

- au lieu de n\ nn unive à U relation stii?aîite :

qui donne m au moyen de £, r^r^ et n : suivant que la valeur de m est positive ou négative^ le foyer est réel ou Vu* tuel

Si Ton suppose £^ go , et si Ton tlesigiie par^ la valeur correspondante de m, il en résulte

Cette valeur dey, ou la distance focale des rayons pr4tllèleg, est ce que Ton appelle la distance focale prîncipak d'une lentille. On est alors conduit aux deux ëqiijiijom

qui renferment toute la théorie des lentilles.

En discutant la première, il est facile de voir que lavileurde^est toujours positive pour les lentilles couvergeiitti) et toujours négative pour les lentilles divergentes j d'où 3 suit que le foyer principal est réel pour les premières,*! ^^r^iie^pour les dernières. En effet,

Lentille hi-convexe, r=^H-^r'^ — ,y=-|- P!an-convexe, r ^ +, r':^5o ï/=+

Ménisque convergent,r^+,r'=:H-,y=4- par ce quer>r Lentille bi-coucave, r=z= — , r'^+,y^ — Plan-concave , r i^:: — ^ r'^=ao ^f=^ —

Ménisque divergent, r:^^ — ,^= — ,yb= — ^parcequer'>l Quant aux valeurs absolues de f^ il est facile de lesrolculer, lorsqu'on connaît r, r* et n. Réciproquement, /et u étant donnés , on peut déterminer le rapport des deui i rayons de courbure, ^

àP. II. — RÉFRACTION DE LA LUMIÈRE. 205

cutant la seconde des équations précédentes, on

bz=co donne ni=zf b=2f m— If

[u'il est facile d'interpréter d'après ce que nous ; précédemment à l'occasion des miroirs, et qu'il aussi de vérifier par l'expérience, soit au moyeu aîère solaire, soit au moyen de la lumière d*une

;e qui précède nous n'avons considéré que des mineux situés sur l'axe de la lentille, mais nous re voir que les mêmes formules s'appliquent aussi ts qui sont situés hors de l'axe, sous la condition tes secondaires correspondants ne fassent que des ès-petits avec l'axe principal. On appelle axe sela ligne menée par le centre Je la lentille et par quelconque , pris hors de l'axe principal. Soit s ) un point lumineux , sat Taxe secondaire corres- , sd et sd' des rayons arrivant à la lentille et réar elle ; tous ces rayons viennent concourir au »int / de l'axe secondaire, et les distances o^ et at^ ; désignerons par belm^ sont liées entre elles par n :

i distance focale principale de la lentille. En effet, ns les points if et ^ en s' et ^', en sorte que l'on as"=bj at"z=^m^ les triangles o^/', ati' pourront 3 considérés comme des triangles rectangles en s' Considérons le rayon incident j^ et son rayon émersoient / et t les points où ils coupent Taxe, b' et nî

206 LIVEE Vr* *— OPTIQUE,

les distances eorres pond a fîtes a^ et tU*j ces dis tances sout ëvidemtuent âuumiâes a Tocjuntion :

i/^ ni f^

el| si la première et|uatIon est vraîe^ comme nous l'avoiii admis, il en résultera :

Or, il est facile de voir que cette équation est en effel exacte, car en désigna tjt par ^j langle des deux wxes^ par X et z les angles dsa^ ck^a^ on a

f ad ^ ^ , ^^^ * ^ (

taiigx=-^, tangx =^zrZ^' ^^S "^ = m^IIl

d'où

tan^ s^ iw' , tang ^'

tang jï:'

tang s' ô' ' taog v i^-^¥ tang i* iw'^ — m En égalant les deux valeurs de 7 qui résultenl et

ces trois dertiîères équations , Ion a

Um'---m) m' ,, . 1 i 1 . * -^ïfr^^T' dou - + -=^4-,

ce qui démontre lexactitude de réquation

appliquée à Taxe secondaire sat.

Le champ de la lentille est mesuré par Tangle que peu* irent faire les axes secondaires sans cesser de donner images suffisamment exactes.

Tandis que Voiweitme de (a lentille est langle sous lequd elle est vue du foytr principal ^ cet angle ne peut pas, en général^ dépasser lu ou 1 2"^ Quand cet angle esl plus graïKlf

dm I

CHAP. II. •— Eif aAGTION DE LA LUMIÈRE. 207

il y a aberration de sphéruUté^ c est-à-dire que les rayons qui tombent vers les bords de la lentille ne concourent pas exactement avec ceux qui passent prés du centre.

Il resuite de ce qui précède qu un objet ss* {Jig* 190)) qui serait compris dans le champ de la lentille et placé sur la surface d'une sphère ayant son centre en a^ donnerait une image renversée très-nette sur la surface^ d'une autre sphère ayant le même centre. Ainsi , les objets font des images au foyer des lentilles comme au foyer des miroirs , et, vus du centre optique de la lentille , l'image et l'objet sont TUS sous le même angle. Soient v cet angle, ^ et ^ les grandeurs absolues de l'objet et de son image, il est Êicile de voir que l'on a :

^ = wi tang %i , d'où ^ = r f tang v.

liOrsque les objets sont très-éloignés, besl très-grand par ■apport àyi et la formule devient

gf^=:/tang V. ' %

Ainsi, l'angle moyen du soleil étant de 3i', son image a B millimètres au foyer d'une lentille de i mètre de distance focale principale.

Quand les objets ne sont pas très-éloignés, on peut rem*

placer tang. v par sa valeur 1 9 et la formule devient :

Il serait inutile de chercher ici les foyers des lentilles e|rlindriques, nous avons seulement représenté une de ces lentilles dans la figure 19a pour montrer que l'image d un Gdsceau parallèle est sensiblement une ligne droite parallèle à l'axe du cylindre.

388. Lentilles de FresneL — Fresnel est parvenu à construire des lentilles de diverses formes au moyen desquelles

LIVRK Vi. OPTIQUE.

I la lumière des phares est projet4?e sur la mer à la distancA I de douxe ou quinze tieues, avec assez d éclat pour indiquer ■ aux navigateurs leur position précise, et signaler ainsi tel écueits ou les dangers de ta eote. Cette application a Mm si haute importance, et elle a été faite avec tant de succés| qu'il nous a semblé nécessaire d en donner ici une idée. La figure igS représente une lentille imnuiaire coupée pr le milieu j elle se compose du segment de sphère a autour duquel on dispose plusieurs anneaux è^ Cy d^ do m ou voit la coupe b\ c\ tt (Jtg, ig4)- I»a figure courbe de ces anneaux est calculée pour que chacuu d'eux ail le même foyer ^' que le segment a; en sorte qu un fanal étaiat plâoi en /, toute la lumière émise sur la lentille par chaque poiac forme, après l'avoir traversée , un large faisceau qui eit presque parallèle, car il léserait rigoureusement sitou^lo points lumineux du fanal pouvaient être rigoureusement! la distance focale principale^ affaiblissement de rinteoMie n ayant lieu qua raison de la divergence des rayons d'un même faisceau, ^t à raison aussi de la divergence des an des différents faisceaux, il en résulte qu'il est ici peu coM dérable, et qu'on peut éclairer par conséquent à une dis* tance très-grande. On pourrait croire au premier abord qiift des lentilles ordinaires donneraieut le même avantage j laiii^i comme nous l'avons remarqué, les lentilles ordinaire peuvent avoir qu'une ouverture de 13 ou i5% taudis les anneauK de la lentille de Fresnel sont calculés pour sou ouverture puisse atteindre plus de 4» degrés j ces leDF tilles raniènent donc dans la même direction neuf fois plusi lumière, sans compter qu'étant beaucoup plus minces, eu absorbent beaucoup moins. C est d'après ces prind] mais en variant les tbrmes des verres réfringents, et eu letir împriuiant des mouvements de rotation réguliers, que Fre^ nel a fondé un nouveau système d'éclairage dont la supé* riorité est maintenant reconnue par toutes les puissaocâ {^ maritimes de TEurupcINous indiquerons seulement la tom-

CÎH4P. II. — BdfAACTIQV BB LA. LUMIÈRE. SOf

MW des ftax de p^rU et celle des fà^ tourmuUs du lier ordre. La figure 196 représente unym déport. La èiia est doonée par une lampe d*Argant qui brûle 46 BBes d*huUe à l'heure; la mèche a deux centimètres de lètre^ et la flamme 5 centimètres de hauteur. Tous les DS sont ramenés dans la direction horizontale, soit par icdon, soit par réflexion. Le système réfringent se comde cinq^ anneaux superposés /i, dont la surface exte^ m m une courbure convenable , et le système réfléchis-* ae compose de huit anneaux prismatiques />, cinq en ».et trois en bas, taillés et disposés de telle sorte que la îève éproure sur leurs grandes Êices une réflexibn totsndis qu'elle entre et sort par les autres faces sous petite obliquité. Par cette combinaison , toute la lune est ramenée dans une couche presque horizontale et 10 petite épaisseur, elle se projette avec le même éclat itaoM les points de l'horizon. Mais, par un système ad- »nel mobile, qui est représenté en m sur Télévation et le plan {fig. 197)» Fresnel produit des éclaU périodi* iqni se renouvellent régulièrement, par exemple, trois par minute. Ce système mobile se compose de deux Iples cylindriques verticales supportées par le plateau jt, est mis en mouvement par un poids au moyen des ensages jr ; le plateau lui-même repose sur des galets e ^empêchent les frottements; les lentilles m ont aussi t foyer au milieu de la flamme , et , par leur construc- \f chacune d'elles ramène dans un seul faisceau parallèle i portion considérable de la lumière. Ainsi , il y a deux nents de l'horizon qui sont beaucoup plus éclairés que este ; l'observateur qui se trouve sur un de ces points Ht une vive lumière , mais, la lentille qui lui donne cet ir continuant son mouvement de rotation , il y a un ■nt d'éclipsé jusqu'à ce que la lentille suivante ait été enée dans cette direction. On comprend combien il lorte de varier les effets de cette nature , et pour por- II. 14

ovHi Ti. "^ otoîqi:î«*

1er plus loin la luintère, et pour que les feux voisins lUîj une même côte puissent être distingué» les uns des autml par les périodes differenteâ de le urK éclipses et de leurs ëcliH

Pour les feux d'un ordre plus élevé, les distances focâfci doivent être plus grandes^ et il serait trop cltlldcîle de ïn- J vailler des anneauiL de verre d'un diamètre suffisant^ tb on y supplée en c<>iii posant le aystème réfringent fiie ( lentilles cylintlriques horizontales pareilles à celle qui êjfl représentée dans les figures tgê^ 199^1 200*Ce5 lenitUeSji nombre deSsi^sont ajustées de manière à former un priinl| à 3^ pans, qui remplace le système circulaire précédent

La figure 191 représente un feu tournant du pr ordre. Ici , la lumière est produite par 4 mèches cond triques qui brûlent j5o grammes d'huile par heure. l«] système réfléchissant est fixe^ et le système réfringente liérement mobile* Le premier se compose de miroîisl verre étaniés ; ils sont disposés en fh^ comme on le Toiti la figure, formante étages supérieurs et 5 étages inféneonil Pour former le cercle de chaque étage^ on empluie pièces pareilles , en nombre plus ou moins grand ; cha^ pièce est travaillée de manière à présenter la courbure < la sphère osculatrice d'un paraboloide de révolution, aj la Uamnie pour foyer, et une ligne horizontale pour 1 comme on le voit dans la figure ig3. Toute la lumière t tombe sur les miroirs est donc réHéchie horizon taletne Le système réfringent est formé de 8 lentilles aunulaireil pareilles à celle de la figure 195, portées au moyen de 1 de fer sur le plateau s, qui est mis en mouTement eointl dans le cas précédent.

Le tableau suivant contient les principaux résultati I latifs aux feux des différents ordres.

CHAP. II.— * EFFRACTION DE tA LUMIÈRE. 2l I

Nombre des

Quantité d^uile oon-

une heare.

750 gr....

Hauteur

delà flamme.

9cent..

Diamètre

de la

flamme.

9 cent.. .

Portée

des

feux.

9 à 15 lieues.

hk sait que la portée des feux, ou la distance à laquelle mmt visibles d*un point donné de Thorizon de la mer, fend de la hauteur à laquelle ils sont placés ; car, pour wservateur élevé de 5 mètres, le cercle de Thorizon est à environ 8,ooo mètres ou a lieues, et la distance mente comme la racine carrée de Télévation , de telle m que pour 5oo mètres il est de 2Q lieues.