PRÉLIMINAIRE

1. L'idée que nous avons des corps est telle, que nous ne supposons pas qu'ils aient besoin de mouvement pour exister. Ainsi, quoiqu'il n'y ait peut-être pas dans Tunivers une seule molécule qui jouisse d'un repos absolu, même dans un temps limité très-court, nous n'en concevons pas moins clairement qu'un corps peut exister en repos.

Mais si ce corps est une fois en repos, il y demeurera toujours, à moins qu'une cause étrangère ne vienne l'en tirer; car, comme le mouvement ne peut avoir lieu que dans une certaine direction , il n'y aura pas de raison pour que le corps se meuve d'un côté plutôt que de tout autre; et, par conséquent, il ne se

Statique P. i

mouvra point. Donc , si un corps en repos vient à se mouvoir, on peut être assuré que ce n'est qu'en vertu d une cause étrangère qui agit sur lui. Cette cause, quelle qu'elle soit, qui ne nous est connue que par ses effets, nous l'appelons force ou puissance.

La force est donc une cause quelconque de mouvement.

2. Sans connaître la force en elle-même, nous concevons encore très-clairement qu'elle agit suivant une certaine direction , et avec une certaine intensité.

Nous acquérons presque en naissant Fidée de la direction de la force et de son intensité. Le sentiment de la pesanteur qui nous sollicite toujours du même côté, la vue d'un corps qui tombe ou qui reste suspendu au bout d'un fil , la différence des poids que la main éprouve, et une foule d'autres phénomènes aussi simples, nous donnent une idée de la direction et de l'intensité de la force, aussi incontestable que celle de notre existence.

Ainsi, nous regarderons comme évident que toute force agit au point où elle est appliquée ^ suivant une certaine direction et avec une certaine intensité.

5. Maintenant, si nous représentons les directions des forces par des lignes droites, et leurs intensités par des longueurs proportionnelles prises sur ces lignes, ou par des nombres , il est clair que les forces pourront être soumises au calcul comme toutes les autres grandeurs ; et de là résulte ce problème général, dont la solution est lobjet de la Mécanique :

IJn corps ou système quelconque de corps étant sollicité par de certaines forces données, trouver le mouvement que ce corps prendra dans l'espace.

Et , réciproquement ; Quelles doivent être les relations des forces qui agissent sur un ^stème, pour que ce système prenne dans l'espace un mouvement donné; ce qui est, au fond, la même question que la précédente.

4. Pour résoudre ce problème général, ou commence par résoudre ce cas particulier où Ion demanderait quelles doivent être les relations des forces, pour que le système auquel elles sont appliquées prenne un mouvement égal à zéro , c'est-à-dire demeure en équilibre. Ce problème une fois résolu, il est très-facile d'y ramener Tautre; et voilà pourquoi on commence ordinairement l'étude de la Mécanique

par celle de la Statique, qu'on définit la scieti de r équilibre des farces.

I/autre partie de la Mécanique traite ensu de toutes les questions qui se rapportent mouvement des corps ; elle s'appelle Djn inique, ou science du mouvement. Mais ne ne nous occuperons ici que de la science Téquilibre.

5. Remarquez d abord que dans la Statii proprement dite , il n'est pas nécessaire de c naître l'effet actuel des forces sur la matie c'est-à-dire les divers mouvements qu'elles i capables de lui imprimer, eu égard à leurs tensités et à leurs directions; mais qu'il si de considérer les forces comme de simples g deurs homogènes, et, par conséquent , con: râbles, et d'assigner les rapports qui doi exister entre elles pour qu'elles se détrui mutuellement. Ijorsque l'on passe de la the de l'équilibre à celle du mouvement, il fau nouveaux principes sur l'évaluation des for car, ne calculant plus alors que leurs effet faut savoir les y rapporter : estimer, par ei pie , si une force double produit sur le rc corps une vitesse double, ou si la même fc appliquée à un corps de masse double , pn

DK STATIQUE. 5

une vitesse deux fois moindre, etc. Mais ici, quelle que soit l'action des forces sur les corps, que les forces soient proportionnelles ou uon à leurs effets sensibles, les vérités que nous allons exposer nen subsisteront pas moins, parce que ces vérités résultent de la seule présence actuelle de plusieurs forces qui n'obtiennent aucun effet, mais qui se détruisent avec évidence : de sorte que l'état d'équilibre des corps reste comme un moment singulier de l'état de mouvement, où la mesure des forces par leurs effets, et leurs effets mêmes ont disparu.

6. Rigoureusement parlant , un corps en équilibre est dans le même état que s'il était en repos; car l'effet des forces étant anéanti pour toujours, ou s'anéantissant à chaque instant, si les forces sont sans cesse renaissantes, tout corps en équilibre est actuellement capable de se mouvoir en vertu d'une certaine force donnée, absolument comme il se serait mû en vertu de la même force, sll eût été en repos. Cependant on peut distinguer l'équilibre d'avec le repos, en ce que, dans le second cas, le corps n'est sollicité par aucune force, au lieu que, dans l'autre, il est sollicité par des forces qui s'entre-délruisent.

Cette distinction, qui est nulle dans IVlal

rigoureux des choses, devient sensible da les équilibres que la nature nous offre : presq aucun corps nest exactement en équilibre; lorsqu'il nous parait dans cette situation, existe néanmoins entre les forces qui le solli tent une lutte perpétuelle qui le fait osciller finiment peu, et le ramène continuellemen une position unique qull abandonne toujou Mais, dans la solution mathématique des p blêmes, on doit regarder un corps en équiti comme s il était en repos; et, réciproqueme si un corps est en repos, ou sollicité par desfot quelconques, on peut lui supposer appliquées tt nouvelles forces quon voudra, qui soient en éc libre d'elles-mêmes, et l'état du corps ne sera p< changé.

On verra bientôt de nombreuses applicati de cette remarque.

7. Ces notions préliminaires étant pose voyons comment on peut procéder à la cherche des conditions de l'équilibre pour système quelconque de corps, de figure ij riable, sollicité par des forces quelconque? Q, R , S, etc. , appliquées en des points donne fe, c , c/ , etc. , du système.

On supposera d abord que tous les corps

sans pesanteur, cest-à-dire tels qu'ils seraient s'ils existaient seuls dans l'espace; de sorte qu'il n'y aura plus à considérer que les efforts des seules forces appliquées P, Q, R, S, etc., qui devront se contre-balancer mutuellement dans Je cas de l'équilibre.

Ensuite il est facile de voir qu'il suffira de trouver les conditions de l'équilibre pour le simple système des points d'application a, 6, c, dj etc., regardés comme un assemblage de points liés entre eux d'une manière invariable.

En effet, si l'on désigne par a\ b\ c\ d\ etc. , les mêmes points a^ b, c^ d^ etc., du système, mais considérés seulement comme des points unis par des lignes droites, rigides et inexten»sibles ; et si l'on suppose que les forces P, Q , R, S, etc., les maintiennent en équilibre, il est évident que les mêmes forcesP,Q,R,S, etc., maintiendront aussi le système en équilibre. Car on pourrait imaginer que le système a été placé sur les points a', 6', c', c/', etc., de manière que les points a, 6, c, c/, etc. , coïncident actuellement avec eux. Le système étant laissé en repos dans cette situation, l'équilibre des points a', 6', c', rf', etc., ne sera point troublé. Mais il est clair que l'équilibre subsisterait encore, si, au lieu de supposer les points a et a', b cl //, c et 0', etc. , coïncidents, on les suppo-

sait unis d une manière invincible , de sorte qu ne pût se séparer de a', b de 6', c de c', et ai des autres; doù il résulte que les conditions l'équilibre entre des forces P, Q, R, S, et appliquées à un système quelconque de cor sont les mêmes conditions qui auraient 1 entre les mêmes forces P, Q, R, S, etc., ap| quées au simple système des points d'appli tion a, 6, c, rf, etc. , liés entre eux d'une mani invariable.

Ainsi, lorsque Ton cherchera les relations certaines forces qui se font équihbre autour c système quelconque solide, on pourra faire i traction de tous les corps du système , et s poser qu'il ne reste plus queues points d'ap cation a, 6, c , c^, etc. , qu'on imaginera liés e eux de manière à ne pouvoir changer leurs tances mutuelles.

D'après ces considérations, on dégage problème et le poids et le volume des corpî la question devient plus simple.

Par la suite, nous rendrons aux corps pesanteur, et nous aurons égard à leurs p respectifs, comme à de nouvelles forces i faudrait combiner avec les autres , pour a l'équilibre. Nous pourrons, de cette mani appliquer les résultats de la Statique à Vé libre des corps naturels qui sont tous pesan

8. Maintenant, puisqu'il ne reste plus à considérer dans l'équilibre des forces que trois choses, savoir : leurs intensités, leurs directions et leurs points d application , il est visible que les conditions de l'équilibre ne sont autre chose que les relations mutuelles qui doivent exister entre ces trois choses , pour que l'équilibre ait lieu dans le système. Or on peut déjà comprendre , et l'on verra bientôt que ces relations peuvent être exprimées par des équations où l'on ferait entrer immédiatement les intensités des forces, leurs directions, au moyeîi des angles qu'elles forment avec des droites fixes dans l'espace, et leurs points d'application , au moyen des coordonnées qui en déterminent les positions respectives.

C'est ainsi qu'on peut se faire une idée du problème de la Statique , et se mettre au fait de Tétat de la question.

Mais on pourra observer que , dans tout ce que nous venons de dire, il ne s'agit que d'un corps libre dans Fespace, tandis que l'on conçoit bien qu'un corps pourrait être assujetti à de certaines conditions, comme , par exemple , de tourner autour d'un point ou d'un axe fixe ,

de s'appuyer constamment sur une surface in pénélrable , etc. Mais on verra par la suite qi les résistances qu'un corps éprouve à cause d conditions étrangères qui Fassujettissent , pe vent toujours être remplacées par des for( convenables, et qu après cette substitution forces à la place des résistances , le corps pc être regardé comme libre dans l'espace : ains était inutile de compliquer au commencemi la question.

9. Pour découvrir actuellement la route peut nous conduire aux conditions de ïéi libre, représentons-nous un corps ou syst< tenu en équilibre par des forces quelconc P, Q, R, S, etc., dirigées comme on voi dans l'espace.

Puisque toutes ces forces se font équili' on voit que l'une quelconque d'entre elles force P par exemple, s'oppose seule à lai de toutes les autres Q, R, S, etc. ; d'où il p que l'effet de ces dernières est de sollicit système absolument comiiie une simple l égale et contraire à la force P.

C'est, en effet, ce qui a lieu, et ce qu'on porter à la dernière évidence au moyen •

remarque précédente (6), et de cet axiome, que deux forces égales et opposées se font nécessairement équilibre (12).

Car supposons que Ton applique au système une force P' parfaitement égale et contraire à la force P. Les forces P et P' étant en équilibre , leur effet est nul de lui-même, et Ton peut regarder le corps comme n étant plus soumis qu à Faction des forces Q, R, S, etc. Mais, d'un autre côté , la force P faisant équilibre aux forces Q, R, S, etc., leur effet est aussi nul de lui-même, et Ion peut regarder le corps comme n'étant plus soumis qua Faction de la simple force P'. L'état du corps est donc identiquement le même, soit qu'on le suppose sollicité par les forces Q, R, S, etc., soit qu'on le suppose sollicité par la seule force P' égale et contraire à celle qui leur ferait équilibre.

Donc, puisqu'il peut arriver qu'une seule force soit capable de produire sur un corps le même effet que plusieurs, et eu tienne parfaitement lieu, notre premier soin doit être de chercher à réduire les forces appliquées au plus petit nombre possible, et d'observer surtout la loi de cette réduction. Alors les conditions de l'équilibre entre toutes les forces se ramèneront aux conditions de l'équilibre entre ces forces

finales équivalentes aux premières, et dévie dront plus faciles à exprimer.

10. Cette force, qui est capable de produ sur un corps le même effet que plusieurs aut forces combinées 9 et qui peut à elle seule tenir parfaitement lieu, se nomme leurrés tante. D'où Ion voit, en rappelant ce qui a dit plus haut, que si plusieurs forces se font tuellement équilibre sur un corps, l'une quelcon< ([entre elles est égale et directement opposée à résultante de toutes les autres.

Les autres forces , à l'égard de la résultar se nomment les composantes. La loi d'après quelle on trouve la résultante de plusieurs foi se nomme la composition des forces. La même (mais prise dans l'ordre in verse), d'après laqu on substitue à une seule plusieurs forces ca blés du même effet, ou dont la première se la résultante, se nomme la décomposition forces.

N<3us allons donc commencer par ces c recherches , qui , au fond , n'en forment qu seule, celle de la loi qui lie la résultante i composantes.

H, Souvent, pour abréger le discours appellerons/orces/7rtra//é/es, des forces d

DE STATIQUE. l3

directions sont parallèles; forces concourantes y des forces dont les directions concourent, etc.

Nous désignerons ordinairement les forces par les lettres P, Q, R, S, etc., placées sur les lignes qui représentent leurs directions; et si une lettre, telle que A, indique le point d'application dune force, telle que P par exemple, nous supposerons toujours que Faction de cette force a lieu de A vers la lettre P, ou que la force lire de A en P,

Si, pour représenter la quantité de cette force, on prend , sur sa direction, et à partir du point A, une certaine ligne terminée AB, on supposera de même que cette ligne est portée du côté où le point d'application A tend à se mouvoir. Ainsi, quand on dira simplement d'une force , qu'elle est représentée en grandeur et en direction par uue certaine ligne terminée qui part du point d'application, il faudra sousentendre que la force lire ce point vers lextrémité de la ligne qui la représente.

On pourrait adopter Thypothèse contraire, c'est-à-dire supposer que la force représentée par la ligne AB pousse le point d'application A pour l'éloigner de l'extrémité B de la ligne qui la représente : car il ne s'agit ici que d'une simple convention dont on est le maître, et l'on peut faire indifféremment Tune ou l'autre. Mais

l4 ÉLÉMENTS

une fois qu^elle est faite, il faut avoir soin < s y conformer dans la figure, pour toutes J forces que l'on considère , afin de donner chacune d'elles le sens qu elle doit avoir , et l'énoncé du théorème toute son exactitude.

DE STATIQUE. l5