COMPOSITION ET DÉCOMPOSITION DES FORCES
axiomes, lemmes préliminaires, etc.
12. Il est évident que deux forces égales et contraires appliquées à un même point sont en équilibre.
Il est encore évident que deux forces égales et contraires appliquées aux extrémités d'une droite considérée comme une verge invariable de longueur^ et agissantes dans la direction de cette droite y sont en équilibre; car il n y a pas de raison pour que le mouvement naisse d'un côté plutôt que de l'autre , comme dans le premier axiome.
l6 ÉLÉMENTS
Corollaire.
15. Il est facile de conclure de là que Teff d une force qui sollicite un corps ne peut et changé en quelque point de sa direction quV la suppose appliquée , pourvu que ce poi soit un des points du corps lui-même, ou, j est au dehors ^ qu'il lui soit invariahleme attaché.
Fig. I. Car, soit une force quelconque P (fig. i) a pliquée au point A d'un corps ou système que conque : si Ion prend, sur la direction de cet force , un autre point B invariablement lié . système, de manière que la longueur AB res toujours constante , et si Ion applique au poi B deux forces P', — P' égales entre elles et à force P, et agissantes dans la direction de A] le point A sera encore sollicité de la même m nière qu'auparavant; carTeffet des deux for< P' et — P' est nul de lui-même. Mais en con dérant la force P et son égale et contraire — appliquée en B, il est manifeste que leur ef est aussi nul. On peut donc les supprimer, e1 ne reste plus que la force P', qui n'est au chose que la force P, mais appliquée au point de sa direction ; et le point A n'a pas cessé d'ê solhcité de la même manière.
On peut donc appliquer une force en un point quelconque de sa direction, pourvu que ce point soit lié au premier point d'application par une ligne droite rigide et inextensible.
Remarque.
Lorsque nous changerons ainsi les points d application des forces, nous ne répéterons pas toujours que Ton doit supposer les nouveaux points invariablement attachés aux premiers, mais il faudra toujours le sous-entendre.
Lemme.
14. Lorsque deux forces P et Q {fig. a ) sont Fig. !». appliquées à un même point A sous un angle quelconque, on conçoit bien qu'une troisième force R , appliquée convenablement au point A , pourrait faire équilibre aux deux forces P et Q; car, en vertu des efforts combinés des deux forces P et Q , le point A tend à quitter le lieu où il est : or, il ne peut s échapper que d'un seul côté , et , par conséquent , si Ton applique une force convenable en sens contraire, ce point demeurera en équilibre.
Les trois forces P, Q, R, étant en équilibre autour du point A , la force R est égale et directement opposée à la résultante des deux autres (10) : donc deux forces P et Q qui concourent ont une résultante.
Statique P. 2
l8 ÉLÉMENTS
Eu second lieu , il est visible que cette rés tante doit être dans le plan de leurs directe Fig. 3. AP, AQ{ fig. 3) ; car il n y a pas de raison pi qu elle ait au-dessus du plan une certaine p< tion, plutôt que la position parfaitement syi trique au-dessous.
De plus, elle doit être dirigée dans Tac PAQ des deux forces; car il est clair qw point A ne peut se mouvoir dans la partie plan qui est au-dessus de la ligne AQ , vers de même, il ne peut se mouvoir au-dessus la ligne AP, vers B; et, par conséquent, i! pourra se mouvoir que dans langle PAQ; < résultante R devra être dirigée dans Tinter de cet angle.
Remarque.
15. Il n'y a qu un seul cas où l'on puisse à priori quelle sera la direction de la r^ tante : c'est celui où les deux forces P et Q égales. Alors il est clair que la résultante d en deux également langle qu'elles forment i elles; car il n'y a pas de raison pour que résultante fasse avec l'une des composante angle plus petit qu'avec l'autre.
Axiome fondamental.
16. Lorsque les deux forces P et Q ag dans la même direction et dans le même sens.
visible y et l'on doit accorder comme un axiome, que ces forces s ajoutent et donnent une résultante égale à leur somme P -f- Q.
Remarque.
Cet axiome est le fondement de toute la science de l'équilibre. On peut le regarder, si Ton veut, comme une espèce de définition, ou de demande, qu'il ne faut pas essayer de démontrer; car elle est comprise dans Tidée même de la force considérée comme grandeur, c'està-dire comme susceptible d'être augmentée ou diminuée. Et, en effet, quelle idée pourrait-on se faire, par exemple, d'une force double ou triple d'une autre, si l'on ne regardait cette force comme la réunion actuelle de deux ou de trois forces égales qui tirent à la fois le même point dans le même sens? C'est ce qui a été naturellement sous-entendu dans tout ce qui précède. Au reste, ce postula tum est le seul que la science exige; après quoi tous les théorèmes de la Statique rationnelle ne sont plus, au fond, que des théorèmes de Géométrie.
Corollaire.
17. De Taxiome qui précède on peut conclure (en combinant successivement les forces deux à deux) que la résultante de tant de forces que l'on
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voudra , qui agissent dans une même direct! et dans le même sens, est égale à leur somi totale, et agit dans la même direction ;
Que lorsque deux forces inégales P et agissent en sens contraires dans une même < rection , leur résultante est égale à la différei P — Q des forces, et qu'elle agit dans le sens la plus grande; car on peut concevoir danî plus grande, que je suppose P par exemple, i force égale et contraire à Q, et qui la détri On peut supprimer ces deux forces-là, et le pc est actuellement tiré par la différence P — Q deux forces P et Q.
D'où Ion voit qu'en général , la résultant tant de forces que ion voudra , agissantes dar même direction , est égale à l'excès de la son de celles qui tirent dans un sens, sur la somm celles qui tirent dans le sens contraire, et qu'elle dans le sens de la plu& grande somme.
18. Telles sont quelques-unes L\e^ prof tions les plus élémentaires, dont on déco la vérité à priori, et presque à la premièn spection. Le cas le plus simple de la conij tion des forces, et en même temps celui où connaît tout d'un coup la résultante, est demment le cas des forces qui agissent
une uiéme dirc^cliou. Nous allons donc com« mencer la composition des forces par colles qui s'y ramènent immédiatement.
Composition des Jbrces qui agissent suiiui/it des directions parallèles.
Théorème I.
19. Si deux forces quelconques P et Q (fig. 4) > ^^s 4parallèles et de même sens, sont a/ypliquées aux extrémités A e/ B d'une droite rigide AB^je dis :
I®. Que ces deux forces ont une résultante, et que cette résultante doit être appliquée à la ligne AB entre les deux points A etB;
2°. Que cette force est parallèle aux composantes V etQ^ et égale à leur somme.
ï°. Appli(|uez à volonté aux deux points A et B deux forces M et N égales et contraires , et qui agissent dans la direction AB. Fi effet de ces deux forces sera nul, et, par conséquent, Teffel des deux forces P et Q ne sera pas changé : mais les deux forces M et P appliquées en A ont une résultante S appliquée au point A , et dirigée dans langle MAP (14). De même, les deux forces N et Q ont une résultante T, appli- <]uée en B et dirigée? dans raii{;lc NBQ. Concevez qu'on ait pris ces deux résnhaiiles, er qu'on les
ait appliquées toutes deux au point D où le] directions vont nécessairement se couper; résultante des deux forces S et T sera abso ment là même que celle des deux forces P et or, étant appliquée en D, et devant être rîgée dans l'angle ADB, elle ira passer entr et B, en un certain point G, où Ton pourn supposer appliquée.
2^ Maintenant , pour démontrer que c« résultante est parallèle aux forces P et Q. égale à leur somme, imaginons qu'au poin on redécompose la force S en deux com santés M' et P', parfaitement égales et parall aux premières M et P; de même, qu'on rc compose la force T en deux composantes et Q', parfaitement égales et parallèles aux ^mières N et Q. fjes deux forces M' et N' se égales; de plus, elles seront directement posées, puisque, appliquées à un même poir elles sont parallèles à une même droite MN par conséquent, leur effet sera absolument Il ne restera donc que les deux forces P' el respectivement égales et parallèles aux fc P et Q. Or, ces deux forces étant évidemi dans une même direction , s(î composeror une seule H, égale à leur somme F*'4-Ç P 4- Q. Ce qu'il fallait démonivcr.
DE STATIQUE. a3
Corollaire I.
20. Si les deux forces P et Q [Jicj. 5) sont Fig. 5. égales entre elles, le point G d application de
la résultante sera au milieu de la ligne AB. Prenons, en effet, les deux forces M et N dont on est maître, égales aux forces P et Q, La résultante S des deux forces égales M et P divisera en deux également langle MAP (iS); et à cause de DG parallèle à la ligne AP, le triangle AGD sera isocèle. Par une raison toute semblable, le triangle BGD sera isocèle; et Ton aura, dune part , AG = CD , et , de l'autre , GU = GB : d'où AG = GB.
Corollaire II.
21. Il résulte de là, que la résultante de tant de forces parallèles qu'on voudra, égales deux à deux, et appliquées symétriquement à des distances égales du milieu d'une même droite, est égale à la somme de toutes ces forces, leur est parallèle, et passe par le milieu de la droite d'application. Car, en combinant successivement deux à deux les forces égales placées de part et d'autre à des dislances égales du milieu de la ligne droite, leurs résultantes successives passeront toutes par ce même point , et s ajou-
a4 élémkjNTS
teront ensuite, comme étant de même sens
de même direction.
22. Et, réciproquement, on pourra décon poser toute force P appliquée à une ligne en ta d autres forces parallèles qu'on voudra , appi quées à différents points de cette ligne, pour que ces forces, deux à deux, soient égales égales distances du point d'application de force P, et que leur somme totale soit égale cette même force.
Théorème II.
?ig 6. 23. Le point C ( fig. 6) d'application de la i sultante de deux forces parallèles P etQqui agisst aux extrémités A etB d'une droite inflexible A partage cette dwite dans la raison réciproque di àQ]de sorte que Von a P : Q : : BC ! AB.
Supposons d abord que les forces P et soient commensurables, c est-à-dire soient en? elles comme deux nombres entiers m et n.
Divisons AB au point H en deux parties din tement proportionnelles aux deux forces P et < de manière qu on ait AH : BH 1 1 P ! Q , et , f conséquent, \\m\n. Sur le prolongement la ligne inflexible AB , prenons AG = AH BK = BH. Le point A sera le milieu de GH, le point B le milieu de HK.
DE STATIQUE. îl5
Cela posé, puisque les forces P et Q sont entre elles comme les lignes AH etBH, elles seront aussi entre elles comme les mêmes lignes doublées, c'est-à-dire comme les lignes GH et HK. Et comme il y a, par hypothèse, dans la ligne AH, m mesures telles que BH en contient n, il y aura a m mesures dans GH, et an mesures égales dans HK. Or on peut décomposer la force P en 2 m forces égales et parallèles, appliquées aux 2 m points milieux des communes mesures de la ligne GH (22); et la force Q en an forces parallèles, égales entre elles et aux premières , appliquées aux 2n points milieux des communes mesures de la ligne HK. Maintenant toutes ces forces égales, étant équidistantes, se trouveront placées deux à deux à égales distances du milieu G de la ligne entière GK, et, par conséquent, leur résultante générale, qui est celle des deux forces P et Q, passera nécessairement par le milieu de la ligne GR.
Mais à cause de GC = AG , il vient , en retrancbtint la partie commune AG, BG = AG = AH; et en ajoutant de part et d autre GH, AG = BH, Donc puisque Ion a P : Q : : AH : BH , on a aussi :
