DES CENTRES DE GRAVITÉ DES FIGURES
Lemme,
\4tl. Toute figure dans laquelle il se trouve un point tel^ quun plan quelconque mené par ce point coupe la figure en deux parties parfais tentent symétriques , a son centre de gravité en ce point y que l'on nomme ordinairement le centre de la figure.
En effet, si l'on fait passer un plan quelconque par le centre de la figure , comme ce plan la coupe en deux parties parfaitement
symétiîques , il n y a pas de raison pour que le centre de gravité , qui est un point unique , et dont la position ne dépend que de la figure, se trouve d'un côté de ce plan plutôt que de I autre; donc il sera dans ce plan : le centre de gravité devant donc se trouver à la fois dans tous les plans que Ion pourrait conduire par le centre de figure, sera en ce point même, qui est la commune intersection de tous ces plans.
148. Il résulte de là : i®. Que le centre de gravité d^une ligne droite est au milieu de sa longueur;
2?, Que le centre de gravité de Taire d'un parallélogramme quelconque est à Imtersection de ses deux diagonales, ou au milieu de lune déciles;
3®. Que le centre de gravité de la solidité d^nn parallélipipède est à Tintersection de ses quatre diagonales, ou au milieu de Tune d'elles.
On pourrait encore en conclure que le centre de gravité du contour ou de Taire d'un cercle est au centre de ce cercle; que le centre de gravité de la surface ou de la solidité d une sphère est au centre de cette sphère; que celui de la surface ou de la solidité d'un cylindre à bases parallèles est au milieu de son axe; etc.
iga ÉLÉMENTS
Mais on remarquera surtout les trois premiers corollaires sur les centres de gravité de la ligne droite, du parallélogramme et du parallélipipède , parce que Ion peut regarder ces figures comme les éléments de toutes les autres.
Problème I.
149. Trouver le centre de gravité du contour d'un polygone quelconque , et ^ en général , d'un assemblage de droites disposées comme on voudra dans l'espace.
On regardera chaque droite comme concentrée en son centre de gravité, lequel est au milieu de sa longueur; et Ion n'aura plus à considérer qu'un assemblage de points représentés, pour leurs poids respectifs, par les longueurs des lignes dont ils sont les centres de gravité. *
On trouvera donc le centre de gravité du système par la composition successive de ces poids, ou par la théorie des moments, comme il a été dit plus haut.
150. On pourra souvent, par des considérations particulières , déterminer les centres de gravité plus facilement que par la méthode générale.
T)K STATIQUK. \ç^'5
S'il s'agit, par exemple , de trouver le centre de gravité du contour dun triangle, on n'aura qu à joindre les milieux des trois côtés par trois lignes , ce qui formera un triangle semblable au triangle proposé; et, partageant les angles de^ce triangle en deux parties égales par des droites , ces droites se couperont au centre de gravité cberché.
C'est-à-dire que le centre de gravité du contour d'un triangle n'est autre cbose que le centre du cercle inscrit au triangle formé par les lignes qui joignent les milieux des trois cotés.
Problème II.
151. Trouver le centre de gravité de l'aire d'un polygone quelconque y et, en général y d'un assemblage de figures planes et rectilignes disposées comme on voudra dans l'espace .
Tous les polygones pouvant se décomposer en triangles, nous allons voir d'abord comment on trouve le centre de gravité d'un triangle quelconque. Après quoi, prenant les centres de gravité de tous les triangles qui composent le système proposé, nous n'aurons plus à considérer qu'un assemblage de points donnés de position , et dont les poids respectifs seront représentés par les aires des triangles dont ils
Statiquk p. i3
194 ÉLÉi<fKlSTS
.sont les centres de {çravilé; et le problème se résoudra comme le précédent.
Du centre de gravité du triangle.
Fi0. 38. 152. Soit ABC ( fig. 38) le triangle proposé : considérons sa surface comme composée d'une infinité de tranches parallèles à la base BC. Il est visible que la ligne droite AD, menée du sommet A au milieu D de la base, divisera toutes ces tranches en deux parties égales, lueurs centres de gravité l'espectifs seront donc tous sur la droite AD , et, par conséquent, celui de leur système, c'est-à-dire celui du triangle, y sera aussi.
Par un raisonnement tout à fait semblable, on^ ferait voir que le centre de gravité du triangle doit aussi se trouver sur la ligne BE qui serait menée du sommet de langle B au milieu E du côté opposé AG.
Le centre de gravité, devant donc se trouver à la fois sur les deux lignes AD, BE , sera nécessairement à leur intersection G.
Mais si Ion joint DE, puisque les points D et E sont les milieux respectifii des côtés GB, GA , la droite DE sera parallèle à AB et en sera la moitié. Or, si DE est moitié de AB , à cause des triangles semblables DGE, AGB, le côté I)G sera aussi moitié de son homologue AG.
DK STATIQUE. IqS
Donc, DG sera le tiers de AD, et AG en sera les deux tiers.
Donc, le centre de gravité de Vaire d'un triangle quelconque est situé sur une ligne menée de l'un quelconque des trois angles au milieu de la base opposée y et se trouve au tiers de cette ligne à partir de la base , ou aux deux tiers à partir du sommet de l'angle,
La démonstration précédente est si naturelle et si simple, que nous nWons pas cru devoir l'omettre ici. On pourrait lui donner toute la rigueur possible , au moyen de cette méthode connue, dont les exemples sont si multipliés dans les éléments de Géométrie; mais le lecteur peut y suppléer.
Au reste, voici une démonstration nouvelle qui ne laisse rien à désirer du côté de l'exactitude.
155. Parle milieu D de la base BG du triangle ABC {fig, 39), menez aux deux autres côtés Fig. 39. les parallèles DE,DF, qui les rencontrent en E et F : le triangle proposé sera décomposé en un" parallélogramme AEDF, et deux triangles DEC, DFB, parfaitement égaux entre eux, et semblables au premier.
Le moment du triangle ABC, par rapporta une ligne quelconque menée dans son plan ,
sera donc égal à la somme des moments du parallélogramme et des deux triangles.
Soit a Taire d'un de ces triangles, 4 ^ sera celle du triangle proposé. Donc, si Ion nomme x la distance du centre de gravité de ce triangle à la base BC, on aura /^ax pour son moment par rapport à cette ligne.
Soit h la hauteur du triangle; - sera la distance du centre de gravité du parallélogramme à la base; et comme son aire est 2 a, son moment sera 2 a x - > c'est-à-dire ah.
Ensuite, les deux triangles BFD, DEC ont visiblement leurs centres de gravité à même distance de la base BG ; donc , si Ton nomme x^ cette distancé , la somme de leurs moments sera nax'.
On aura donc ^ax = ah-{- 2 ax* , ou bien , en divisant par 4^?
Si Ton supposait, avec Archimède , que, dans les triangles semblables, les centres de gravjj^té sont des points semblablement placés ; alors , comme les dimensions du triangle BFD ou DEC sont moitiés de celles du triangle ABC ,
on aurait x' = -; et substituant dans Téquation
précédente, on trouverait sur-le-champ
Ce qui fait voir que le centre de gravilé du triangle se trouve placé au-dessus de chaque côté, à une distance égale au tiers de la hauteur de l'angle opposé, et que, par conséquent, il est au point déterminé ci-dessus.
Mais on peut parvenir à cette conclusion sans aucune hypothèse: car, puisque Ion a trouvé pour le triangle ABC,
X étant la distance de son centre de gravilé à la base BC, et x' la distance du centre de gravité du triangle BFD à sa base BD; en imaginant que Ion fasse, dans le triangle BFl), la même construction que Ton a faite dans le triangle ABC, si l'on nomme x" la distance analogue à celle qu'on a nommée x', et si Ion observe que la hauteur du nouveau triangle est deux fois plus petite que celle du premier, on aura
Va continuant la même coustruclion , on
trouvera
etc., etc.,
x"\ .r*^, etc., désignant les distances des centres de gravité à la base dans les triangles successifs , distances qui diminuent sans cesse ,. et dont la dernière peut être rendue moindre que toute grandeur donnée , puisqu'elle est toujours plus petite que la hauteur du triangle dans lequel on la considère.
On aura^donc , eu substituant successivement dans la première équation, à la place de a:', a", x"\ etc., leurs valeurs,
a: = 7 H- 7-7 -+- 7-^ -+- etc., à l'infini ; 4 4-4 4-44
d'où .r := ^- Ce qu'il fallait démontrer.
Remarque.
