Comme on peut toujours concevoir

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qu'à toutes les forces de la pesanteur qui animent les molécules d un corps , on ait substitué leur résultante générale, qui produit absolument le même effet, on peut considérer le centre de gravité d'un corps comme un point où toute la masse de ce corps est réunie et concentrée. Ainsi, dans la solution des problèmes, si l'on veut avoir égard à la pesanteur, on pourra regarder chaque corps comme réduit à son centre de gravité , qu'on supposera sollicité par une force égale et parallèle à son poids ; et , combinant ensuite ces nouvelles forces avec celles qui sont immédiatement appliquées au système, on trouvera les conditions de l'équilibre d'après les principes donnés dans les chapitres précédents, comme si tous les corps du système étaient dépourvus de pesanteur.

11 ne s'agit donc plus actuellement que de savoir déterminer les centres de gravité des différents corps ou assemblages de corps qui peuvent se présenter.

159. Lorsqu'on peut considérer le corps ou le système comme composé de parties dont on connaît en particulier les centres de gravité et les poids respectifs, il est très-facile de déterminer le centre de gravité de ce corps ou système.

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Car ce centre nétant autre chose que le point d application de ia résultante générale des forces de la pesanteur appliquées à toutes les molécules, on peut concevoir que, pour le dé» terminer, on a d abord cherché les points respectifs où sont appliquées les résultantes partielles des forces qui agissent sur chaque corps , et qu'ensuite on a cherché le point d'application de la résultante générale de ces diverses résultantes.

Donc , si Ton connaît déjà les centres de gravité respectifs des différents corps , on n*aura qu à supposer appliquées à ces points des forces parallèles et respectivement égales aux poids de ces corps , et l'on trouvera le centre de gravité du système absolument de la même manière que Ion trouverait le centre de ces forces parallèles.

On pourra donc employer dans cette recherche ^ ou la composition successive des forces, comme au n^ 29, ou la théorie des moments, comme au n° 86.

Et puisque la distance du centre des forces parallèles à un plan se trouve en divisant la somme des moments des forces, pris par rapport au plan , par la somme de toutes les forces, il s'ensuit :

Que la distance du centre de gmvité d'un

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système quelconque de corps, à un plan, est égale à la somme des moments de leurs poids, par rapport au plan , divisée par la somme de tous les poids: ou (comme les masses sont proportionnelles aux poids) égale à la somme des moments des masses^ divisée par la somme de toutes les masses; eu entendant par ie moment d une masse, le produit de cette masse par la distance de son centre de gravité au plan que l'on considère.

En calculant ainsi les distances du centre de gravité à trois plans quelconques , qu'on pourra supposer rectangulaires entre eux pour plus de simplicité , on trouvera facilement la position de ce point dans lespace.

140. Dans le cas où toutes les masses du système sont égales, on trouve sur-le-champ la distance du centre de gravité à un plan quelconque^ en prenant la moyenne distance des centres de gravité de tous les corps à ce plan.

141. Lorsque le plan par rapport auquel on estime les moments passe par le centre de gravité du système , la distance de ce centre au plan est nulle; et, par conséquent, la somme des moments des masses, pris par rapport à un plan qui passe par le centre de gravité du système, est toujours égale à zéro.

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G est-à-dire que la somme des moments des masses qui sont d'un même côté du plan est égale à la somme des moments des masses qui sont de lautre côté.

Et réciproquement, lorsque la somme des mo-ments des masses, par rapport à un plan , est égale à zéro , le centre de gravité du système est dans ce plan.

Car la distance de ce centre au plan est nulle.

142. Il résulte de là que si les centres de gravité de tous les corps que Ton considère sont dans un même plan , le centre de gravité du système sera aussi dans ce plan; et que si les centres de gravité des corps sont sur une même ligne droite, le centre de gravité sera aussi sur cette droite.

Car, dans le premier cas, tous les corps ayant leurs centres de gravité dans un même plan, les moments de leurs masses par rapport à ce plan sont tous nuls; la distance du centre de gravité du système à ce plan est donc nulle aussi, et, par conséquent, ce centre est dans le même plan.

Dans le second cas , tous les centres de gravité étant en ligne droite, si 1 on fait passer deux plans quelconques par cette droite, les centres

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de gravité des différents corps seront à la fois dans ces deux plans. Le centre de gravité du système y sera donc aussi, et, par conséquent, ne pourra se trouver que dans leur intersection, qui est la droite proposée.

Au reste, les deux dernières conséquences que nous venons d'énoncer paraîtront évidentes d'elles-mêmes , en se représentant que l'on cherche le centre de gravité du système par la composition successive des forces ou poids appliqués aux centres de gravité respectifs des différents corps.

145. Lorsque tous les centres de gravité des corps sont dans un même plan, comme le centre de gravité du système se trouve déjà dans un plan connu , il suffit , pour déterminer sa position, de chercher ses distances à deux autres plans. Or, si on les prend , pour plus de simplicité, tous deux perpendiculaires sur le premier, les distances des différents centres de gravité à ces deux plans seront les mêmes que leurs distances aux traces de ces plans sur le premier.

Donc , si dans le plan qui contient les centres de gravité de différents corps y on tire deux droites ou axes quelconques non parallèles , on aura les distances respectives du centre de gravité du sys-

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tème à ces deux droites, en prenant les sommes respectives des moments de toutes les messes, par rapport à ces droites, et divisant par la somme de toutes les masses.

(Ayant soin de regarder pour chaque droite, comme positifs , tous les moments des masses qui sont d'un même côté de cette ligne , et comme négatifs les moments de celles qui sont de l'autre côté.)

On trouvera de cette manière à quelle distance, et de quel côté, le centre de gravité du système est placé à l'égard de ces deux axes; et menant alors, aux deux distances trouvées, deux parallèles à ces axes , le centre de gravité sera à leur intersection même.

144. Lorsque les centres de gravité de tous les corps sont en ligne droite , comme le centre de gravité du système se trouve déjà sur une ligne connue, il suffit, pour le déterminer, de chercher sa distance à un seul plan. Or, si on le prend, pour plus de simplicité, perpendiculaire sur la ligne des centres, les distances des centres de gravité respectifs à ce plan seront les mêmes que leurs distances au point où le plan coupe la ligne.

Donc , lorsque plusieurs corps ont leurs centres de gravité respectifs sur une même droite, la

distance du centre de gravité du système, à un point quelconque pris sur cette droite, est égale à la somme des moments des masses, par rapport à ce point, divisée par la somme de toutes les masses.

(Ed prenant avec un même signe tous les moments des masses qui sont d un même côté à regard du point, et avec le signe contraire les moments de celles qui se trouvent de l'autre côté.)

On saura alors à quelle distance et de quel côté le centre de gravité du système est placé à regard du point que Ton a choisi , et si Ion porte ensuite de ce côté , et à paYtir du point , une longueur égale à la distance trouvée, l'extrémité de cette longueur marquera sur la ligne le centre de gravité lui-même.

14^. On voit donc combien il est facile de trouver le centre de gravité d'un corps ou sysr tème, lorsqu'on connaît ceux des différents corps qui le composent; il nous reste à voir comment on obtiendrait les centres de gravité des corps qui ne seraient pas susceptibles d'une pareille décomposition.

A la vérité, comme on peut toujours regar^ der un corps comme un assemblage de points matériels qui sont eux-mêmes leurs propres

igo ÉLÉMENTS

paraître , au premier coup d'œîl ^ de pure spéculation y il est facile de voir qu il est , en Statique, ce que la quadrature des aires, ou la cubature des solides est en Géométrie. Comme les résultats que la Géométrie nous donne sont d autant plus exacts dans Tapplication , que les figures sont plus semblables à celles que la Géométrie suppose, ainsi dans la détermination des centres de gravité^ on trouvera ces points d autant plus près des lieux que la théorie ^leur assigne, que les corps seront dune substance plus homogène , plus uniformément répandue, et terminés par des surfaces plus parfaites.