P:Q:R :: MN:MO:NO

c'est-à-dire que , la puissance étant représen-^ tée par la tête du coin y les deux forces qui en résultent perpendiculairement aux côtés se^ ront représentées par ces côtés eux-mêmes.

Si le triangle MNO est isocèle , les deux forces Q et R sont égales , et la puissance P est à Tune d'elles comme la tête du coin est à l'ut»

DÉ ftTATIQtJE. 9c)&

des o6téi > ^'on peat oominer dans ce eâs H longueur da coia.

On Toit^ par ce que dous yenoiis dé dire^ qu'à pDissâuees égalf^^ Feffort exercé par te coi|i est d'autaat plus grand , que la tètfr eii est plus petite par rapport à la longtieur.

Da quelques Machines e&mp&sées.

2og. Jusqu'à pnésent nous |i*avons wmiéréqu'un seul corps solide > gèaé dans ses mott*^ reinens par difiRérens obstacles ; et c'est ce q^î forme les diverses machines simples. Nous al^ Ions considérer actuellement un. assemblage de machines simples qui réagissent les unes sut? les autres eu vertu de leur liaison mutuelle ; et e'est ce que l'on nomme une maehinAcomposées.

Si l'on ne suppose; que deux forces appèi^ quées à la machine ccmiposée, on yta't que la machine sirafJe, qui reçoit immédiatexneitt l'action de l'utie d'elles^ transmet cette action,, d'après les lois de son équilibre, à la macfawe sii&plô avec kquelle elle est liée ; que oelli^ ci la transmet de même i la machine suivante ; «I ainsi de suite,, jusqu'à lat demière qui ccimmuniqûe l'aetion à k Seconde forcer ou à 1»

feésistdtice qci'il ÎAiki taiticre. Ainsi il ést fou--

jours fiicile de déterminer le rapport de h puissance à la résistance , par une suite de pror portions données par les lois de l'équilibre des machines intermédiaires; et c-est ce qu'on ya vérifier tout à l'heure sur quelques exemples très simples.

Mais nous devons faire observer que les questions suivantes se rapportent naturellement au problème le plus général de la Statique, c'e8t-4i-dire ifonf partie de cette théorie étendue où l'on recherche les lois de l'équilibre dans les systèmes dont la figure est variable suivant des conditions quelconques données. Les deux axiomes qui servent de base à cette théorie sont : •*

i^. Que si un sjrstème quelconque de points est en équilibre ^ chaque point doit être en équilibre de lui-même^ tant en vertu des forces qui lui sont immédiatement appliquées ^ qu^en vertu des résistances ou réactions qu'il éprouve de la part des autres points du sjstème /

a"". . Que deux points ne peuvent agir Hun sur Vautre que dans la direction de la droite qui les jointe et que V action est toujours égalé et contraire à la réaction.

Au moyen de ces deux axiomes et des con-' ditions connues de l'équilibre d'un corps libre^ on peut trouver les conditions de l'équilibre

d'un système quelcorique de corps , pourvu qu'on sache évaluer les résistances qui naissent de leur liaison mutuelle : car ces résistances étant une fois évaluées , il ne s'agit plus que de les combiner avec les forces données immédiatement par la question , et d'exprimer les conditions de réquilibré.de chaque corps, comme s'il était parfaitement libre dans l'espace.

Quoique nous ne puissions , sans passer les bornes de cet Ouvrage , traiter ici ce sujet avec toute la généralité dont il est susceptible, nous donnerons néanmoins les conditions de l'équilibre de quelques systèmes variables qu'on emploie souvent dans les arts, et que l'on a coutume de considérer dans lés élémcns de Statique, parce que les réactions des différens corps les uns sur les autres y sont très faciles à évaluer, et ne supposent guère que la composition des forces et les deux axiomes précédons •

Des Cordes.

2IO. Considérons premièrement un polj'^ gone funiculaire f c'est-à-dire un assemblage dé points liés entre eux par des cordons parfaitement flexibles^et inextensibles.

On sait d'abord que si trois forces P, Q , R

agS ÉLÉMENS

^if-74' (%• 74) dirigées suiraot les axes de Itois cor^ dons APf AQ, AR^ sont en équilifiihe aiitour d*un même point A^ chacune de ces forces doit être égale et directement opposée à la résultante des deux autres.

n faut donc , i *• que les axes des trois cordons soient dans un même plan ; â^. i^é hi rapports des forces soient tels^ c(né chacune d*elles puisse être représentée par le sinus de l'angle formé par les directions des detix autres. Ainsi Ton a, pour Téqtiilibre, cette suite de rapports:

. ? : Q ; R :: sinQAR : sinPAR : sinPAQ.

ail. Si Ton suppose «jue les extrémités dei cordons AQ, AR, soient fixes, les valeurs de Q et R, données par les rapports ci-dessus, exprimeront les efforts que supportent <^s points fixes en vertu de la force P , ou les tensions des deux cordons ÂQ , AR.

On voit que ces tensions seront d'autan t plus grandes que l'angle QAR sera plus obtus , et qu^elles deviendront infinies , si cet' angle devient égal à deux angles droits.

Une corde tetidue en lignes droite à deux points fixes sera donc nécessairemfint rompue par la plus petite force qui lui serait appliquée

transversalement, si cette corde, n'étant pas susceptible de s'étendre , n'a pas d'ailleurs une ré$i3tance longitudinale infinie.

2Ï2. Les conditions précédentes pour Téqui-.

libre des trois forces P, Q, R, supposent que le point A soit invariablement attaché à chacun des cordons^ ou que le nœud qui les rassemble soit fixe : mais si le point A pouvait couler le long du cordon RAQ (fig^ 70)9 comme ferait Fig.75. un anneau infiniment petit ^ enfilé dans ce cordon , aloi^s il ne suffirait plus que les forces P^ Qf jR. eussent les relations données ci-dessus^ il faudrait encore que la direction de la force P divisât en deux également l'angle formé par les deux parties de la corde QAR.

£n effet, si l'on supposa que l'équilibre ait lieu, et qu'on fixe invariablement deux points F et F' pris où l'oii voudra sur ces cordons, il e$t clair que le point A est dans le même C9^ que s'il avait la liberté de se xnouvoir dàns^ une ellipse dont F et F' sont les deux foyers, et AF , AF' , les rayons vecteurs. Or , pour qu'il soit en équilibre sur cette courbe en vertu de U force P^ il &ut que cette ibrce soil perpendiculaire à la tangente k l'ellipse en ce point ( 190) > et par conséquent divise en deux parties égales l'angle FAF' formé par les rayons^ vectews*

3oo ÉLÉMEli^S

. Ainsi , dans le cas d'nn nœud coalant , les deux .parties de la corde le long de laquelle le nœud peut glisser doivent être également tendues.

:ii3. On voit en même temps que, si Ton suppose le point ou Fanneau A fixe > les deux' forces Q et R, appliquées au cordon QAR qui passe sur cet anneau , doivent être égales entre elles pour l'équilibre , et que la pression exer-^ cée par les deux forces sur le point fixe A est dirigée suivant la ligne qui divise en deux parties égales l'angle formé par les deux parties du cordon.

Quant au rapport de cette pression P à la tension Q du cordon , on aura , en nommant a la moitié de Tangle QAR , P : Q :: sin 2tf : sîn flt ; ou bien , P : Q :: 2 cos a : i .

D'où l'on voit que la pression exercée sur le point A est égale à la tension de la corde multipliée par le double cosinus de la moitié de l'angle QAR.

ai4- Actuellement soient plusieurs points

Fig.76. A, B, C, D (fig. 76), liés entre eux par des

cordons AB , BC , CD , et tirés par des forces

N,P,Q,R, S, T, suivant d'autres cordons,

mais de manière que chacun des points ou

DE STATIQUE. 3oi

nœuds A , B ^ C , D n'eu assemble pas plus de trois en même temps.

Si tout le système est en équilibre , chaque point doit être en équilibre de lui-même , en vertu des forces qui lui sont appliquées et des tensions des cordons adjaced^. Le point A par exemple , n'étant lié immédiatement qu'au seul point B , doit être en équilibre en vertu des deux forces N et P, et de la tension du cordon AB ; car les autres points C et D ne peuveut réagir sur lui que par le cordon AB,

Il faut donc que les trois cordons AN , AP^ AB soient dans un même plan; et, si l'on nomme X la tension du cordon AB, il faut qu'on ait les rapports suivans :

N:P ::sinPAB:sinNAB, P:X::sinNAB:sinNAP.

De même , le point B doit être en équilibre en vertu de la force Q et des tensions suivant BA etBC. Or y la tension du cordon AB est la même que tout à l'heure ; car l'action du point A sur le point B est parfaitement égale et contraire à l'action du point B sur le point A. Nous avons nommé X cette tension, nommons Y celle du cordon BC; on aura