X:Q ::sinQBC:sinABC

Q: Y :: sin ABC : sinQBA.

3oa ËLEHENS

L'équilibre du point C donnera de même

Y : R :: si'n RCD : sîn BCD.

R:Z :: sîn BCD : sin BCR.

On aura de même pour le point D deux proportions, etc.;«et ainsi de suite, s'il y ayait un plus grand nombre de points.

En multipliant par ordre un nombre convenable de ces proportions, on trouvera le rapport de l'une quelconque des forces, à telle autre force ou tension que l'on voudra. Si l'on multiplie les trois premières , par exemple, on aura le rapport de N à Q. Si l'on multiplie lei quatre premières , on aura celui de N à la tension Y; etc.

21 5. Si les directions prolongées des forces P, Q, R, S divisent en deux parties égales les angles respectifs, NAB, ABC, BCD, CDT du polygone funiculaire, les cordons AN, AB, BC, CD, DT seront tous également tendus; car on aura , par les rapports précédens,

De plus, en nommant act, 2j8, ny^ nS" les angles du polygone, on aura, par les mêmes proportions ,

P : Q : R : S :: cosa : cosjS : cosj. : cos/;

DE STATIQUE. 3ol

c est- à -dire que les forces appliquées aux divers angles du polj^goae seront proportionnelles aux cosinus dés moitiés de ces angles. Donc, si, au lieu des forces P, Q , R, S, on substitue des points fixes A, B, G, D par-dessus lesquels passe la corde N ABCDT ; d'abord , les deux forces N et T qui tirent les extrémités de cette corde seront égales entre elles , et la corde serai, partout également tendue; et en second lieu , la corde pressera sur chaque point en raison du cosinus de la moitié de langle formé en ce point ; car chacun des points fixe»

A, B, G, D, tient lieu d'une force qui divise eu deux également l'angle formé par les deux

parties de la corde qui y pa£e (2i3),

ai6. Supposons qti#le$ deux côtés contigus AB, BC soient égaux : le cosinus de la ttioîtié de l'angle compris est marqué par le rapport de l'un des côtés au diamètre du Cercle qui passerait par les trois points A, B, G. Donc, si tous les côtés du polygone funiculaire sont égaux entre eux , on peut dire que les forces P , Q , R , S sont réciproques aux diamètres dé ces différées cei^les dont chacun passe par troîfe angles consécutifs du polygone.

Oi*, en considérant une courbe comme un polygone d'une infinité de éôlés égaux, chacun

3o4 ÉLÉMENS

des cercles dont il s'agit de yient , en chaque point de la courbe , ce qu'on nomme le cercle osculateur, c^esl-à-dire le cercle qui a la même courbure.

Donc^ lorsqu'une courbe funiculaire^ rentrante sur elle-même , ou dont les deux bouts sont fixes , est tirée en tous ses points équidistans par une infinité de forces normales qui se font équilibre , la corde est partout également . tendue ^ et chaque force normale à la courbe est réciproque au rayon de la courbure dans le point où cette force est appliquée .

On a un exemple très simple de cet équilibre dans une corde tendue par deux forces sur le contour d'une courbe fixe quelconque; car chaque point de la courbe fixe tient lieu d'une force qui serait dirigée suivant ia normale à cette courbe. Ainsi dans l'équilibre de la corde, la tension est partout la même , et chaque point de la courbe fixe est pressé suivant la normale en raison inverse du rayon de courbure.

2 1 7 . Le polygone fiiniculaire NABCDT étant en équilibre en vertu des forces N, P, Q, R, S , T , concevons que sa figure devienne parfaitement invariable, de manière que les points A, B, C, D ne puissent plus changer leurs

DE STATIQUE. 3o5

distances muttieUes ; il est clair que l'ëquilibre subsistera toujours. Mais alors les forces N , P, Q, R, S, T étant en équilibre sur un système invariable, l'une d'elles est égale et directeraent opposée à la résultante de toutes les autres; ainsi ces autres forces ont une résultante. Or, comme cette résultante est exactement la même que si toutes les composantes s'étaient réunies parallèlement à elles-mêmes en pn point quelconque de sa direction, il s'ensuit que chaque cordon est tendu par la force qui le sollicite y comme il le serait par la résultante de toutes les autres forces qiCon y transporterait paraU lèlement à elles-^mêmes.

218. Lorsque les cordons extrêmes AN, DT sont dans un même plan, les deux (brces N et T ont une résultante; et d'après ce qu'on yîent de dire , cette force doit êti^ égale et directement opposée à la résultante Y des autres forces P, Q, R, S, comme si le polygone était invariable de figure. La résultante des forces P Q, R , S appliquées aux angles du polygone, doit donc passer par le point où vont concourir les deux cordons extrêmes; et par conséquent si les deux extrémités N et T de ces cordons sont fixes, on aura sur-le-champ les deux efforts que supportent ces points fixes ,

So6 ÉLÉMEHS

OU lés tensions des cordons AM, DT, en dé- ^oomposant, au point 0^ la résultante Y en deux forces N et T dirigées suivant ces cordons.

On trouverait de même les tensions de deux cordons quelconqties situés dans un même plan , en prenant la résultante des forces appliqua sur les nœuds intermédiaires ^ et la décomposaût Suivant ces deux cordons au point où ils concourent : car si un polygone funiculaire est en équilibre^ une partie quel-* conque de ce polygone est aussi en équilibre d'elle-même , en vertu des forces appliquées &ur cette partie^ et des tensions des deux derniers cordons que l'on y considère.

8 19. Lorsque les directions des forces P , Q, ^•«5 77- R, S, sont toutes parallèles ( fig. 77), on a toujours pour les forces et les tensions les mêmes proportions que ci-dessus (214); w^^^s il faut une condition de plus pour l'équilibre : c'est que toutes les forces P, Q, R, S et les côtés du polygone soient dans un même plan.

Car, autour de chaque nœud , les cordons doivent être dans un même plan (210) : mais, si le cordon BQ , est parallèle au cordon AP, le plan PAB des trois premiers cordons est le ^même que le plan ABQ des trois suivans, et ainsi de suite.

DE STATIQUE. îo^

I)an$ cette hypothèse de puissàttces pàrallèleâ/comme on a

siaPAB=:sin QBA, sin QBC=siaRCB, etc.,

on trouvera par les proportions ( 214 ) que les tensions successives N , X, Y , 2, T, sont r^ *

^proques aux sihns des inclinaisons des tàté^ stirla direction des puissances parallèles t,Q, R , S, et qu'ainsi chacune des tensions est repW'ésentée par la sécante de son inclinaison sur une perpendiculaire à ces puissances.

Cela pourrait se voir aussi, comme au n® 218, en comparant immédiatement les tensions dé deux côtés quelconques , qui seront tot^Ours ici situés dans un même plan.

Mais, pour avoir des expressions plus simples et plus commodes, regardons toutes les fbfces appliquées au polygone cOmme étant verfi* cales, et supposons qu'un des cotés de ce polygone soit horizontal. •

Si Ton voulait comparer la tension ^d'tm tàté quelconque à la tension a du côté hori>- 20ntal d'où Ton part, ort imaginerait cèsdeux côtés prolongés jusqu'à leur iHsrtcontre , et Ton supposerait en ce point une fot*ce Vertî-r cale V égale à la somme des puissances appliquées sui* les nœuds iuterinédiaires , et qui ferait équilibre au:^ deux tensions a et t.

ao8 ÉLÉMENS

On aurait donc^ en nommant p l^inclinaison de la tension / sur la tension horizontale a,

tlaiiilcos^,

ou ^ = a sec <p : d'où Ton voit que , dans ré-quiUbre if un polygone Jimiculaire tiré par des puissances verticales^ la tension de chaque côté est proportionnelle à la sécante de Fangle que fait ce côté avec Fhorizon.

On aurait ensuite

< : V :: i :sin^;

ce qui donne la tension d^un c6té quelconque exprimée par son inclinaison sur le côté bori* zontal , et par la somme des puissances parailèles qui agissent entre ces deux côtés.

On aurait enfin (ce qui, d'ailleurs, est une suite des deux proportions précédentes),