DANS LA MÉCANIQUE

Des Couples,

Dans ma Statique, j'ai nommé couple l'ensemble de deux forces parfaitement égales, parallèles et de sens opposés. On sait que ces deux forces n'ont pas de ré^ sultan te , c'est-à-dire ne peuvent être tenues en équilibre par aucune simple force dirigée comme on vou-> dra dans l'espace. A la vérité , le calcul qui donne , pour cette résultante, une force nulle appliquée à une distance infinie des composantes , ne nous apprend plus rien alors, puisqu'il donne la même expression pour deux autres forces quelconques égales , parallèles et de ^ens opposés , dont l'efiet pourtant n'est pas le même que celui des deux premières ; mais il est évident à priori que de telles forces ne peuvent avoir de résultante unique : car si l'on pouvait assigner la position de cette résultante à l'égard de l'une des forces du couple , on lui en trouverait sur-le-champ une autre parfaitement symétrique et de sens contraire à l'égard

de la seconde; et elle aurait à la fois deux positions différentes , ce qui est absurde.

L'effort d'un couple ne peut ^.tre contre-balancé que par celui d'un autre couple. J'ai fait voir que cet effort a pour mesure le produit de Tune des forces par b. distance qui les sépare ; de sorte qu'en nommant ce produit le moment du couple , deux couples contraires se font équilibre, quand leurs momens sont égaux.

Com,positîon des. couples, analogue à la composition

des forces.

J'ai d'ailleurs établi sur les couples tous les théorèmes qui correspondent à la composition des forces ; et même cette proposition (dont on fait si souvent usage) , qu'une force peut être transportée en un point quelconque de sa direction, trouve ici son analogue, qui consiste en ce qu'z/n couple peut être transporté partout oii Von voudra dans son plan , ou dans tout autre plan parallèle, et tourné comme on voudra dans ce plan, sans que son effet en soit changé.

Ainsi des couples situés arbitrairement dans le même plan ou dans des plans parallèles sont des couples de même direction ; d'où l'on voit combien est illusoire l'expression que donne le calcul pour la résultante d'un couple, puisque, d'après cette propriété, il n'y aurait pas de lieu de l'espace où l'on ne pût la supposer appliquée , ce qui n'a plus aucun sens.

Mais la proposition précédente est principalement utile dans la composition des couples , où elle permet de les rapprocher et de les disposer entre eux de la manière la plus favorable à la démonstration, et nous conduit par une voie très simple aux théorèmes suivans:

MÉMOIRE. 33g

1*. Deux couples situés éCune manière quelconque dans le même plan ou dans deux plans parallèles, se composent en un seul égal à leur sommcy ou à leur différence, selon que ces deux couples sont de même sens y ou de sens contraires.

2**. Deux couples situés d^une manière quelconque dans deux plans perpendiculaires aux deux côtés d'un parallélogramme, et représentés en grandeur par ces côtés, se composent en un seul situé dans un plan per~ pendiculaire à la diagonale, et représenté en grandeurpar cette diagonale.

D'où l'on peut conclure que trois couples perpendiculaires aux trois arêtes contiguës d'un parallélépipède quelconque, et représentés, pour leurs m omens, parles longueurs de ces arêtes, se composent en un seul, per~ pendiculaire à la diagonale , et représenté pour son moment par la longueur de cette diagonale.

Ces théorèmes , comme nous le verrons tout k l'heure 9 renferment la théorie des moniens, considérée de la manière la plus générale , et la théorie des aires, qui ne sont autre chose , dans le mouvement des corps, que les momens des forces qui les animent; mais ils se démontrent avec autant de simplicité que le parallélogramme des forces , et font descendre ainsi dans les Élémens les propositions les plus élevées de la Mécanique.

Qu'on me permette ici d'en rappeler en peu de mots l'usage dans la Statique, et, sans cesser de tendre vers l'objet de ce mémoire , d'y arriver dans l'ordre naturel de nos idées

Usage des couples dans la Statique.

Une force étant appliquée en un point d'un corpg ou système quelconque solide , si Ton prend un autre point quelconque dans ce corps , ou au dehors , pourvu qu'on l'y suppose invariablement attaché , et qu'on applique à ce nouveau point deux forces contraires égales et parallèles à la première y il est clair que l'élat du corps ne sera pas chan^^é ; mais on pourra considérer actuellement , au lieu de la simple force proposée , i°. une force parfaitement égale, parallèle et de même sens, appliquée au nouveau point ; 2**. un couple formé par les deux forces parallèles restantes. Si , pour plus de clarté , on transporte ce couple ailleurs , dans un plan quelconque parallèle au sien , ce qui est permis, il ne restera au point dont il s'agit qu'une force parfaitement égale et parallèle a la force primitive, et qui ne serait en quelque sorte que cette même force qu'on y aurait transportée parallèlement à elle-même.

On peut donc dire qu*une force peut être transportée parallèlement à elle-même en un point quelconque, pourvu que l'on considère le couple qu'elle engendre dans cette translation , et qui a pour mesure le produit de la force par le chemin qu'elle a parcouru.

Cela posé, tant de forces que l'on voudra étant appliquées d'une manière quelconque à un corps , si on les transporte toutes parallèlement à elles-uiéines en un même point quelconque , elles viendront s'y composer

en une seule que je nommerai la résultante, et tous les couples qu'elles ont produits dans leur translation se composeront en un seul , que je nommerai le couple résultant.

Composition générale des forces.

Ainsi , des forces dirigées d'une manière quelconque dans l'espace, peuvent toujours se réduire à une seule, et à un couple unique, lesquels sont, en général, situés dans des plans différens. Sur quoi l'on peut observer que la direction , la quantité et le sens de la résultante seront toujours les mêmes en quelque lieu qu'on ait pris Y origine, c'est-à-dire le point où l'on a transporté toutes les forces. £n variant la position de ce point, la résultante ne fera que se transporter parallèlement à elle-même en divers lieux de l'espace , mais le jplan et la valeur du couple changeront nécessairement.

Lois de Véquilibre,

Mais quelle que soit la position de l'origine , un couple ne pouvant jamais être tenu en équilibre par aucune simple force dirigée comme on voudra dans l'espace y il résulte de ee que nous venons de dire qu'il ne pourra jamais y avoir équilibre entre les forces, à moins que la résultante et le couple résultant ne soient tous les deux nuls k la fois.

Ainsi toutes les forces appliquées au corps, étant transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque, doivent sy foire équilibre entre elles, et tous les couples qu* elles produisent en se transportant en ce point doivent aussi se foire équilibre entre eux ,^

Telles sont les propriéte's générales de l'équilibre, c'est-à-dire les conditions qui existent nécessairement dans l'équilibre de tout système libre. Elles fournissent les six équations connues , entre les forces décomposées suivant trois axes quelconques dans l'espace , et entre les couples décomposés suivant trois plans différcns qu'on peut supposer conduits par ces axes.

A quoi se réduisent les conditions précédentes y quand il y a un point fixe dans le sjfsthme.

Ces trois dernières équations suffisent , lorsqu'il y a un point fixe dans le système , en supposant qu'on ait pris ce point pour l'origine : car la résultante , se trouvant déUruite par sa résistance , peut avoir telle valeur qu'on voudra , et il suffit que le couple résultant soit nul. On voit bien nettement par là que la pression exercée sur le point fixe est identiquement la même que si toutes les forces du système y étaient transportées parallèlement à leurs directions : car elles y sont actuellement transportées ; et pour les couples qu'elles ont produits , comme ils doivent être en équilibre d'eux-mêmes , c'est-à-dire quand bien même le corps ne serait pas soutenu , il est évident qu'ils ne peuvent nullement charger le point fixe.

Propriété noui^elle de V équilibre d}un corps solide.

Lorsque des forces sont en équilibre autour d'un système quelconque invariable de forme , on sait qu'elles peuvent toutes varier proportiounelleMient à leurs grandeurs sans cesser de se faire équilibre. Mais

on voit ici qu'elles peuvent encore s'approcher ou s'éloigner toutes d'un même point quelconque , proportionnellement à leurs distances à ce point , sans que cet e'quilibre soit trouble' : car si chaque force se meut ainsi parallèlement à elle-même , dans le plan formé par sa direction et le point dont il s'agit , elle augmente ou diminue le couple qu'elle donne à son égard dans le même rapport que sa distance à ce point , et par conséquent tous les couples du système conservent leurs positions y et demeurent proportionnels. Ainsi la résultante et le couple résultant étant une fois nuls y le seront toujours , et Ttéquilibre subsistera.

Condition nécessaire pour qu^un sjrstème quelconque de forces ait une résultante unique.

Les forces appliquées au système étant ramenées, comme nous venons de le voir, à une seule force et à un seul couple-, si la force se trouve parallèle au plan du couple, on pourra amener ce couple dans un même plan avec elle , et les réduire tous deux à une force unique : et réciproquement, comme on a démontré qu'une force et un couple ne peuvent se réduire à une force unique sans être dans le même plan ou dans des plans parallèles , ce qui est ici la même chose , il s'ensuit que des forces dirigées d'une manière quelconque dans Vespace ne peuvent jamais se réduire à une seule, à moins que la résultante de toutes ces forces transportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque, n'ait une direction parallèle au plan du couple résultant.

C'est par là qu'on peut voir comment trois foA'cei^

Sjfil . MÉMOIBS.

dMgébft dût dêi |Mns dUEéirMty pcvfmt wèMtapoief mktn» wmàef'WOÊB ffaFSkij dit ftocaiiefimoMitrettrfn' lAsÉi diiecCioiit; «t c«muBaitiiiiè farce peat ie ^déconiH poier ioifiuit trob dwectMmt qui neiencontrent^pai la ôemie at qui M M rencontieat pM aittv cBei. •

Esprnêien muiifiiqu& dùÊpropriMf prêcédvnàiM.

Pour soâmettre lei pcoporitiont préttfdenles au calr cdL^.coiicevQns.è Forinpiie où Ton traniporte tome» IwlinKefty trpu aiM.qoelcoiupet» qw noi» praidront rgctaijgnlajrm entre eux, ^poiir phis daeimpUcîté dans Ife eypreniopi,

SoitRlavésçltaiitegâiënle; X,T»Zse8 trouxom* piDieiite» niÎTmf ,1^ IDia des a?f^, «; eoieiit «, ji, y lèi troie angles fespectift qae ta directioii fonoe avec eux*

On a»m, par le paiallélépipèdedea forcée ,.

et eo8 «= j» ca8/8 = ^, cosv= g-.

Or Xy Y, Z sont respectivement égales aux sommes des forces décomposées parallèlement aux trois axes des Xjjr^ z. On trouvera donc facilement par ces équations la valeur et la direction de la résultante générale. La première condition de l'équilibre , qui veut que cette résultante soit nulle , donnera ce qu'on nomme les trois équations de l'équilibre de translà" tion y qui reviennent à ce que la somme des forces estimées suivant trois axes quelconques soit nulle d'elle^ même par rapport à chacun de ces axes.

Soit G le moment du couple résultant ; L , M , N les momens respectifs des trois couples dans lesquels il se décompose perpendiculairement aux trois axes des x^ jr^ z; soient A, /m, y les trois angles que forme avec ces akes la perpendiculaire au plan de ce couple j et que nous avons nommée Vtuce du couple.

On aura , par le parallélépipède des couples,

et cos A =-T7 y cos f« = r^r 9 cos y = 77*

Or, on voit (n®* 102 et io3 de la Stat.) que les couples L , M , N sont respectivement égaux aux sommes des momens pris dans l'acception ordinaire par rapport aux trois axes Xyjr^Zj c'est-à-dire aux sommes des produits qui résultent des forces projetées sur chacun des plans coordonnés , multipliées par leurs distances à l'axe qui lui est perpendiculaire : on trouvera donc facilement par les équations ci-dessus la valeur et la position du couple résultant.

La seconde condition générale de l'équilibre , qui veut que ce couple soit nul , donnera ce qu'on appelle les équations de l'équilibre de rotation, qui consistent en ce que la somme des momens de toutes les forces , par rapport aux ti'oisaxes coordonnés, soit nulle d'ellemême relativement à chacun de ces axes.

Que ces sortes de produits qu'on appelle momens, n étaient au fond que la mesure de certaines forces cachées que les couples ont mises en évidence.

On voit ici , par l'identité des couples avec les mo-

mens tels qu'on les considère ordinairement en Statique y quel rôle jouent ces sortes de produits dans la composition géne'rale des forces et dans les lois de leur équilibre. A la vérité , dans l'équilibre d'un corps assujetti à tourner autour d'un axe fixe , les lois connues du levier nous montraient bien ces produits comme les efforts des puissances pour faire tourner le corps autour de cet axe, puisque l'on trouvait que la somme des momens des forces qui tendent à faire tourner dans un sens doit être égale à la somme des momens de celles qui tendent à faire tourner dans le sens contraire. Mais, lorsqu'il n'y avait aucun point d'appui, et que le système était parfaitement libre dans l'espace , les momens ne restaient plus dans les conditions de l'équilibre que comme de simples expressions de calcul , et perdaient cette espèce de signification que leur donne la présence d'un axe fixe , et qui les avait fait nommer momens par les anciens géomètres. Or, par la théorie des couples , ils reparaissent dans l'équilibre des corps libres, comme dans l'équilibre des corps gênés par des obstacles. Estimés par rapport à un point quelconque du corps , ils mesurent certains efforts particuliers que Ton peut concevoir comme engendrés par les puissances qui se transportent parallèlement à elles-mêmes en ce point , et qui , tandis que ces puissances s'y composent et s'y font équilibre à leur manière , doivent aussi se composer et se faire équilibre à la leur. Ce n'est pas qu'au fond les valeurs des momens et des couples ne soient parfaitement les mêmes. L'analyse n'a pour objet que de simples rapports , et les diverses grandeurs , sous ses formules , ne conservent plus aucune trace des premières idées

qu'on y avait jointes. Mais , en Gëome'trie comme en Algèbre , la plupart des idées différentes ne sont que des transformations ; les plus lumineuses et les plus fécondes sont pour nous celles qui font le mieux image , et que l'esprit combine avec le plus de facilité dans le discours et dans le calcul : or, les couples ont éminemment cet avantage sur les momens ; et , si l'on considère que la théorie des momens se présente d'ellemême dans la réduction générale des forces et dans les conditions de leur équilibré; que , d'un autre côté, dans la Dynamique , la composition des mouvetnens de rotation est ausfsi nécessaire que celle des motive-mens de traînâlation , pour l'analyse complète du mouvement d'un corps de grandeur sensible , on verra que la composition des couples exposée ci-dessus , tant par la symétrie des théorèmes que par la simplicité des démonstrations, vient se ranger naturellement à côté de la composition des forces , et forme ainsi la seconde partie essentielle des Ëlémens.

Équation de condition pour qu^un système de forces

ait une résultante unique,

' Nous avons vu tout à l'heure que si des forces quelconques sont réductibles à une seule, la résultante générale sera parallèle au plan du couple résultant. Pour exprimer cette condition dans le calcul , il n'y a donc qu'à exprimer que l'axe du couple est perpendiculaire à la direction de la résultante , ou que le cosinus de leur inclinaison mutuelle est nul. Mais, d'après les dénominations précédentes, le cosinus de cet angle est

COS m . COS A -+• COS /S . COS fê -J- cos y . cos V ;

mpremàon qui étant égiJée à irfro, >prtg y atoir wlb»> tifné à la plaoe'des coéûmi teiirt talenriy donne nurl*<li«inp réfnatîpii ' '

«jni'iAàliKthTdftCita diêit^ etlêon

Éwvmaiit estiniéi par rapport ink trdH'n^^

' ■ * unique jui poste en un pêimémmé»

. Hais n l'on toolait exprimer qoe les forces sont rék dnctSdet à une aenle qnipaMe en nn.pmnt donntf , on tranipor^^Wt. l'i^ngpç en ce pomt ^ . et Fon cupûnelait .«pie le couple résoltuit y. est noL Ainsi a^b, e étant les coordonnées de la noaTcUe origine, il sdlt> raiti dans les expressions L, H, N , de mettre ^-^5> jr-^bf M'-^Cf àlaplacede Xyj*, s, ce qoi donnerait lesnonTcanx moovemens V^ IT, If, et Ton anrsitles trois équations

qui nous font voir que la somme des momens doit être nulle par rapport à trois axes qui se croisent au point donné.

Si le point n'est pas donné , et qu'on cherche au conr traire s'il y a dans l'espace quelque point où les forces peuvent donner un couple nul , on aura les trois mêmes équations, mais où Oj bj c seront alors les inconnues. Or, en les éliminant , on trouvera d'abord, entre les forces proposées, l'équation de condition XL4-YM-f-ZN=^o, sans laquelle les trois premières ne peuvent subsister, et qui nous redonne ainsi la condition d'une résultante unique , comme cela doit être.

Des Couples ou tnomens rapportés à àifférens axas.

Le couple résultant G décomposé perpendiculaire** ment à un axe qui forme avec le sien un angle d , étant égal à <j t:os 4 ; si l'on nomme a', i/i ^ 9 j les trois angles que cet axe forme avec ceux des coordonnées , comme on a par la Géométrie

COS 6 = COS X COS a' -f- COS/M COS fA + cos 9 cos /,

on trouvera

G cos ô = L cos a' 4- M cos ^' + N cos /,

formule très simple qu'jEi/ier a donnée dans le tom. VII des Nouveaux Actes de Pétersbourg y mais à laquelle il n'était parvenu que par de longs circuits d'analyse* Cette équation nous apprend que si Von connaît les sommes L, M> N, des momenspar rapport à trois axes rectangulaires, on trouvera sur-le-champ la somme des momens par rapport à un axe quelconque , en multi^ pliant ces trois sommes respectives par les cosinus des angles que les trois axes font avec le nouvel axe donné. C'est ainsi qu'en Géométrie , pour projeter une ligne sur un axe quelconque , on peut d'abord projeter cette ligne sur trois axes rectangulaires; projeter ensuite ces trois projections sur l'axe donné , et ajouter ensemble ces projections de projections.

Du Moment maximum entre les momens rapportés aux différens axes qui passent par un même point.

Puisque la somme des momens , par rapport à un

axe qui ùâi , avec celai du couple résultant, un angle 6, est G cos 6 y il s'ensuit :

i«. Que de fous les axes qui passent par Forigine, Taxe du couple résultant est celui par rapport auquel la somme des momens est la plus grande y

a*. Que la somme des momens est la mémeparrapport à tous les axes qui font un même angle avec celui dm plus grand moment , ou quiforment une surface conique décrite autour de lui sous cet angle j

3". Que la somme des momens est nulle par rapport à tous ceux qui font cet angle droit , ou quiforment un plan perpendiculaire à sa direction.

L'axe et ]|l Taleur du moment maximum ne sont autre chose que Taxe et la valeur du couple résultant, et se déterminent par les mêmes équations. D'où VoA voit que le carré du moment maximum est égal à là samnte des carrés des momens par rapport à trois axes rectangulaires, et que son axe est la diagonale dû parallélépipède construit sur les trois lignes qui représenteraient sur ces axes les grandeurs respectives des trois momens précédens.

Ce sont les résultats que M. Laplace avait déjà tirés de l'Analyse ; ils formaient de beaux théorèmes de Mécanique, et Ils ne sont plus ici que des corollaires ésfidens de la composition des couples.

Mais voici de nouvelles conséquences , entièrement dues à nos principes , et qui achèvent toute la théorie des momens.

MÉMOIRE. 35i

Du Moment ininiman) entre l'infinité des momens maxima relatifs à tous les points de l'espace.

Observons que tout ce que nous venons de dire est relatif à l'origine que Ton a choisie pour y transposer toutes les forces. En prenant cette origine ailleurs , la quantité , le sens de la re'sultante générale , ne changent pas , et sa direction demeure toujours parallèle à elle-même ; mais le moment maximum varie de grandeur, et son axe s'incline sur sa première position. Pour chacun des points de Tespace , considérés succès» sivement comme origines, il y a donc un axe autourduquel la somme des momens est un maximum, relativement à tous les axes qui se croisent au même point. On pourrait donc demander en quel lieu il faudrait prendre l'origine ou le centre des momens , pour que le moment maximum, y fut plus petit que partout ail* leurs j et par conséquent fut le minim^um des momens maxima relativement à tous les points de l'espace.

Pour trouver facilement la position de ce point, regardons toutes les forces comme réduites à une seule et à un couple, par rapport à un point quelconque connu , et suivons les variations qu'éprouve ce couple par le déplacement de l'origine.

D'abord il est visible qu'en déplaçant l'origine dans la direction même de la résultante générale, le couple résultant ne change pas ; car le couple que fournit la résultante en se transportant en un autre point de sa propre direction est nul de lui-même, et le couple pri-^ niitif n'est pas altéré. Nous voyons donc que les mométis maxima sont constans pour toutes les origines

35l MÉMOIRE.

prises le long dune même droite parallèle à la direction de la résultante générale, et que leurs axes s&ni parallèles entre eux. Ainsi, tout ce que nous avons dit plus haut des momens par rapport aux axes qui se croisent en un même point subsiste de la même manière et avec les mêmes valeurs , pour tous les points de la résultante qui y passe.

Supposons donc que l'origine s'écarte de cette direction, et soit tellement placée dans l'espace, que le couple résultant soit perpendiculaire à la direction de la résultante ; je dis qu'alors ce couple est dans la position du minimum; car si l'on déplace actuellement l'origine d'une manière quelconque , il ne pourra qu'augmenter. En effet, la résultante, en changeant de position , produira un couple perpendiculaii*e sur le premier ; et puisque ces deux couples sont recCangu^ laires, ils donneront parleur composition le nouveau couple résultant plus grand que l'un ou Tautre d'entre eux : donc le premier couple résultant aura augmenté ; donc il se trouvait dans la position du minimum, lorsqu'il était perpendiculaire à la direction de la résultante générale, ou lorsque son axe coïncidait avec elle.

Comment on détermine Vaxe du couple minimum.

Soit donc G une ligne qui représente à la fois Taxe et la valeur du couple résultant par rapport à un point connu ; R une autre ligne qui représente la valeur et la direction de la résultante en ce point; ^ l'angle que forment ces deux droites.

Pour avoir l'origine du couple résultant minimum, il faudra transporter la résultante R parallèlement à

elle-même y de telle sorte et d'une telle quantité p, que le couple R/? qu'elle produira, étant composé avec le couple primitif G , forme un couple résultant dont Taxe soit R.

L'axe du couple R/) doit donc être dans le plan des deux lignes R et G qui font un angle ç ; d'ailleurs il est nécessairement perpendiculaire à la direction R ; donc on aura, par le parallélogramme des couples,

Kp = G sin ^ ,

et, pour la valeur K du couple minimum,

K = G cos ^.

Ainsi , en élevant au sommet de l'angle ç , et sur le plan

de cet angle , une perpendiculaire p = — -^r— ^ , et me^

nant par l'extrémité de cette perpendiculaire une parallèle à la direction de la résultante générale , on aura l'axe du minimum, des momens mcuvima, et l'origine pourra être prise partout où l'on voudra sur cet axe.

Si l'on veut tout rapporter aux trois axes coordon<nés,. soient «, /8, y les inclinaisons de R sur ces axes, et A, ^, f celles de G sur les mêmes lignes; on aura, pour l'inclinaison mutuelle ^ de R et G ,

cos ^ = cos et cos A + cos fi cosft + cos y cos y ;

ou bien , en mettant , au lieu des cosinus , leurs valeurs données précédemment,

XL + YM + ZN

eos^= gg ,

d'où l'on tire

XL+YM + ZN

MÉWOTRE.

1 irts simple de la valeur du conple mi-

Acluellement , soient a,b,e les (rois coordonnées de rextrétiiité de la perpendiculaire p ; on aura d'abord û' + A' + f' := p', qui donne , en mettant pour p sa Tttlenr,

Ensuite, comme p est à la fois perpendiculaire à R et à G, il est clair qu'on aura

aX + ftY + cZ = o,

ce qni fait trois équations au moyen desquelles on pourra déterminer a, b, c, et par conséquent la pt tjon de l'axe du couple minimum dans l'espai

De Faxe central dei moment.

Cet axe remarqnable , oà la somme des liioitiEns est à la lois un rrMtximmn relativement aox axes qui se croisent au même point que lui , et Dn minimam rdativetneut h ceux qui donnent les momens maxime aux divers points de l'espace, pourrait se nommer l'axe central des inomens; et cette dénomination, déjà motivée en ce qu'il jouit d'une propriété exclusive par rapport à tous les auttas, se trouve j)leinement justifiée , si l'on observe qu'aux mêmes dbtances autour de lui, tes momens miurima sont les mêmes , et que lesrs axes ont , à son ^^u;d, dès po^ttions iKmblables.

En effet, le même raisonnement qui nous a fait pas-

ser tout à l'heure du couple résultant G au couple mini-' mum K , nous ramène , dans l'ordre inverse, de celui-ci au premier, et par les mêmes équations ,

Rp = G sin ^ , et K = G cos (p.

Mais ici, de quelque côté qu'on transporte la résultante R , pourvu que ce soit à une même distance p de sa position actuelle ou de l'axe central, on trouvera toujours un couple résultant G de même valeur, et une même inclinaison ç entre son axe et la résultante; et , de plus, le plan de ces deux droites sera toujours perpendiculaire à la ligne p : puisque , si tout cela n'avait pas lieu comme ci-dessus , en ramenant la résultante dans l'axe central , on ne retrouverait plus le même couple minimum K, ce qui ne peut pas être.

Les momens maxima sont donc constans, non-seulement pour toutes les origines prises le long dune parrallele à la résultante, comme nous fassions déjà remarqué, mais encore pour toutes les origines prises sur le cylindre que décrirait cette droite autour de Taxe central qui lui est parallèle.

Pour les axes de ces momens, tant que V origine ne sort pas d'une même génératrice de ce cylindre, ils de^ meurent parallèles entre eux et forment un plan ^ m>ais si r origine passe dune génératrice à Vautre parla cir^ conférence dun cercle, ih forment un hyperboloïde de révolution autour de Taxe central.

Les momens maxima G ne carient donc qu'avec les distances p de leurs origines à l'axe central , et les deux équations précédentes nous donnent

éq[9atioii. qoi nous £ût voir que eet moment croiiteiiti poar les origiuet prises à didEnrenles distances de Taxe central , comme les ordonnées d'une hyperbole dont ces distances seraicfnt les abscisses ; ainsi leurs Taleors augmentent sans bornes, et il n'y a pas de moment maximum maximorum; ce qui était d'ailleurs asses évident de soi-même.

On a de plus, tangfss-^, ce qui donne Içs inclinaisons des axes des momens maximasar l'axe central, et nous montre que leurs tangentes varient dans le rapport des distances de leurs origines à cet axe.

Remarquons encore que , dans le cas où la résultante générale est nulle , on a , par la première équation , GssK, quelle que soit la valeur de p.

Lors donc que les forces appliquées sont telles, qu'étant transportées en un même point , elles se font équilibre entre elles , les momens maxima sont les mêmes pour tous les lieux de l'espace , et leurs axes sont tous parallèles.

Si les forces appliquées ont une résultante unique, comme on a pour cette condition cos ^ = o , l'équation K = G cos ^ donne K = o ; c'est-à-dire que le moment minimum maximorum, est nul , comme il est clair que cela doit être , puisque l'origine tombe alors sur la direction même de la seule force à laquelle se réduisent toutes celles dû système.

Classification de tous les axes de l'espace auxquels on voudrait rapporter les momens dun sjrsthme defiyrces.

Telle est donc la théorie générale exposée ci— dessus, que tous les axes de l'espace auxquels on peut rap-

porter les momens d'un système quelconque de forces, peuvent être distingués et classés entre eux de la manière suivante :

D'abord, si , pour simplifier les choses^ nous no considérons que les axes qui se croiseraient aux divers points qu'on peut prendre sur un même plan perpendi-^ culaire à la direction de la résultante, nous observons :

1^. Que, parmi tous les axes qui se croisent en uu même point , il y en a uu seul distingué de tous les autres, en ce que la somme des momens y est un maximum.

Les autres se classent autour de lui en diverses surfaces coniques circulaires dont il serait l'axe commun. Pour tous ceux qui forment la même surface , les momens sont égaux , et ils varient d'un cône à l'autre en raison des cosinus des angles sous lesquels ces cônes sont décrits.

2°. Parmi tous les axes qui donnent les momens maxima relativement aux divers points du plan , il y eu a un seul distingué de tous les autres, en ce qu'il donne le plus petit de ces maxima , ou le minimum maximorum des momens.

Les autres axes des maxima se classent autour de lui en diverses surfaces d'hyperbolo'ides de révolution dont il serait Taxe commun. Pour tous ceux qui for-ment la surface d'un même hyperboloïde, les momens maxima ont la même valeur, et ils varient d'un hyperboloïde à l'autre, suivant les lois que nous avons données ci-dessus.

Actuellement , tout ce que nous venons de dire relativement aux diverses origines prises dans un même plan perpendiculaire à la résultante, subsiste de la

3 déduire

e du ukomeni

tiiêiiie uianièi'e , et avec les mêmes valuurii, pour lous leslieuï qu'occuperaient successivemeut tous ces points en transportant le plan parallèlement à lui-même. Les momeus maxima restent les inémea autour des munies axes (|ui deviennent parallèles ; et comme il n'y a, parmi eux, que l'axe du moment minimum maximorum qui soit perpendiculaire au plau mobile, on voit qu'il est te seul qui n'ait absolument qu'une même position dans l'espace ; que , de plus , tous les axes qui ont à son égard des positions semblables , doi mêmes momens ; et c'est ce qui nous a fait n cet axe unique, Vaxe. central des n

Au reste, les résultats précédons, ncmens les plus simples , pourraien du calcul par la méthode ordinaire de n nimi's- et l'an trouve aise'mcnt, poui minimum maximarum, les e'quations suivantes :

(N4-T:c— X^) Y — (M + Xï — Zj:) Z = o, (L + Zj' — Y2) Z — fN + Yj:— X^)X=o, (M + Xz--Zar) X — (L + Z^ — Yz) Y = o,

où x,j; X sont les coordonnées de cette ligne par rapport i trois axes autour desquels les sommes respectirei des inomens sont L , H , N , tandis que X , ¥^ Z, sont les sommes des forces décomposées paraUèlemeut aux mêmes axes.

L'une quelconque de ces équations est une snile nécessaire des deux autre», «t par conséquent elles ne représentent qu'une seule et même ligne droite , laquelle est manifestement parallèle à la direction 3e la résultante générale des forces.

On trouve encore , pour le lieu de tous les fton^ts re-

laiiireinent auxquels les mota€na maxima «opt égaux ei représentés par H y l'équation suivante :

(L — Yz + Zj-y + i^ — Zx^Xzy

qui appartient à une surface cylindrique à base circulaire décrite autour de la preixiière drpite , ce qui est conforme à ce que nous avons vu précédemment.

Mais nous ne nous arrêterons pas à ces détails , et nous passerons sm*-le-cbairap, aux applications de la théorie des momens à la dynamique.

Application delà théorie précédente à la Dynamique,

Soient tant de corps libres qu'on yQudr<ii qui se v^tMr vent y sans aucune dépendance mutuelle , avec des vitesses uniformes suivant des droites quelconques , dans l'espace.

Puisque chaque coips se meut uniformément en lijgne droite, la force qui l'anime demeure constante et dé même direction.

Donc la résultante générale de toutes le.s forces qui animent, las corp^ du système, et leur moment résultait par rapport, à un point fixe quelconque., demeurent cofistaminent les mêmes dans tout le cours du mouvement.

Conseryatioh des forces et conservation des momens.

Ajctuelkioeiit, si l'on suppose que. tous ce^. corps qui étaient libres viçpnent tout à coup à se lier ensemble d'uue manière quelconque , et à réagir encçre les uns

lutreti en vertu de nouvelles forces quelconques, irijiroques, c'est-à-dire telles qu'entre deux corp» I BL'uon soit toujours parfaitement égale et contraire à réaction, ce qui comprend toutes les forces de la " . les inouvemens individuels des diQorens corps changés, et les forces qui les animent vnrieroDt ae { dpurs et de directions, et continueront de varier à haque instant du mouvement. Mais ce qui est bien nariiuable . et forme un des plus beaux principes ae la jue la résultante générale de toutes ces fon lonient résultant par rapport au point fixe, demeureront toujours Its iiiênies qu'auparavant, et seraient encore conservés, si tous les corps redevenaient libres, et que cbacun d'eux s'échappât en ligne droite avec la nouvelle vitesse dont il est actuellement animé.

Démonsiralion très simple de ces deux lois générales.

Ce principe , qui se déduit des équations différentielles du mouvement, peut aussi se démontrer par un raisonnement si simple , que je ne croîs pas devoir l'omettre ici. .

Il est clair, en effet, qne ai diàque corps, à cause de sa liaison avec les autres , ne peut pliia obéir pleinement à l'impulsion qu'il a reçoe , sa force se décompose en deux autres , l'une qui est détruite, et l'autre qui subsiste actuellement. Tout se passe comme à la rencontre d'un obstacle invincible; excepté qne la composante, qui serait anéantie par l'obstacle, va se Teporter sur leS autres corps qui la détruisent par leur action. La force de chaque corps étantainsi remplacée par deux semblables composantes , la résultante dfa

MÉMOIRE. 36i

toutes ces nouvelles forces et leur moment résultant sont toujours les mêmes qu'avant cette substitution. Mais les composantes , qui se font équilibre entre elles, donnent leur résultante et leur moment résultant nuls, comme nous l'avons vu dans les lois générales de l'équilibre : donc la première résultante et le premier moment résultant sont conservés, et n'ont souffert aucune altération par l'action mutuelle des différens corps du système. Quant aux autresforces qui pourraient exister entre ces corps, comnae elles sont réciproques, c'est à-dire deux à deux égales et contraires, elles ne changent rien non plus aux valeurs précédentes , car leur résultante et leur moment résultant sont évidemment nuls d'eux-mêmes.

On voit donc que , dans un sjrsthme de corps qui ont reçu des impulsions primitives , et qui réagissent dune manière quelconque les uns sur les autres , la somme de toutes les forces qui les animent, estimées suis^nt une même droite, et la somme de, leurs momens par rapport à un même axe fixe quelconque, demeurent constamment les mêmes, malgré les variations quér proui^ent les mouvemens individuels des corps, et soit que ces mouvemens changent par des nuances insensibles , soit qu'il survienne entre eux. des changemens brusques par r action réciproque des corps, ou par toute autre liaison nouvelle qu'on voudrait établir su >* bitement entre ces. corps.

Ces deux propriétés générales du mouvement correspondent, en quelque sorte, aux deux propriétés générales de l'équilibre; les mêmes sommes qui doivent être nulles dans l'état d'équilibre demeurent constantes dans l'état de mouvement ; et la conservation des forces

36a MEMOIRE,

et des momens , présentée de celle cuamcte, subsislG e'galctacnt pour Loules les lois possibles entre la force et la vitesse du corp en mouvement.

A quoi répondent les lois pri'cédeniex dans la nature. — Conservation du mouvement du centre de gravitéj conservation des aires.

Dana la nature, la force d'un corps en mouvement se mesure par le produit de la masse et de la vitesse ; et le premier principe répond à la conservation du mouvement du centre de gravite, qui consiste en ce que ce centre se meut toujours uniformément en ligne droite, et delà même manière que si tous les corps du systttme y étaient réunis, et que Us forces qui les animent s'y fussent u-ansportees parallèlement à ellesmêmes.

En effet . puisque la somme des forces estimées sui- ▼aqt tue même droite est constante, on p<eut dire que la sorané des vitcMes de toutes \t». uolécules tfg^lfftdfl système, e« par cansriquead, UW' moyeane. ntww, ponrt'éloigBepd'mi plan peipenditmlwv cetta,4lft^> est aussi une quaadtéccmalftntst Or t'à.«liaque ifi«ta»t, te* 'ritesies des molëcalca sont mesiuces par Us. p4ti(« accroissemeos, positif* ou qégotifs , de leurs dis^nce* aa plan que je considère » ainsi lamoyenne vitesse a'est autre chose que le moyen accroissement, oul'aecuoîfrsement de la moyenne de toutes ces distapce»» et par conséquent, cVst la vitesse même du point qiu est le centre d« gravite de tout le système. Donc la vitcssede ce point, estimée suivant une ^ovte quelconque dass l'espace,' est ténfeun.la même iet^ooNime die repié-

MÉîifOIRE. 363

sente la moyenne vitesse die toutes \fi^ molécules^ ^lle s'exprime par la somme, de toutes les yites$^s , divisée par leuT'nombre, ou parla somme de toutes le£i forces^ divisée par la masçe entière du système.

Si Ton prend, pour cettç droH^ à laquelle poi rapporte les forces , la dir^tion même de la résultatite générale, on voit que le centre de gravité s^e meu,^ précisément dans cette direction ; car ^i l'on cherchait actuellement la yitçsse de ce centre, pour i'éloignçr d'un plan quelconque mené suivant -cette droite , on trouverait, cette vitesse nulle, puisque la somme deâ forces , çstiinées dans un sens qu/elçonque perpendicu-r lair,e. à la résultante générale , est toujours nulle.

Ainsi le centre de gravité d^y, sjrM^rne se meut urtU

Jbrmément , en ligne droipe, dans la direction mêjnç de

la résultante générale ^ et sa vitesse est exprimée par

cette résultante dii^isée par la masse entière du ^sthrne,.

Si ç<;tte résultante gépe'rale. Qst nulle, et qu'ainsi toutes les forces appliquées soient rédpctibles à »» couple , Iq centre de gravité du sy^tèm^ reste donc e^ repos dans l'espace., quels que soj<çnt le^ mouvem^ns particuliers des dijQférens corps qui le composent.

SI tous ces corps sont liés entre exxt, de. manière à former un système invariable de figure , 1« système ne peut donc avoir qu'uja mouvement, de dotation autour du centrç de gravité; d'où l'on voit que l'efifet d'un couple sur un corps ou système ^lide, e8.t de le f^ire tourner autour d'^ point déterminé » qui ne dépend ni.de 1a grandeur ni de la direction du couple appliqué , mais uniquement de la figure du corps, ou.plutôt de I4 disposition mutuelle des différentes particules qui. le <;p«ipo^nt. Àin^ Iç centre de> i^avité des corps

te présente d'une manière aussi naturelle dans la ibéo^ rie du mouvement que dans celle de l'équilibre : et il ne faut pas, avec quelques géomètres, le regarder seulement comme un point qu'il est préférable de choisir, parce que certaines expressions analytiques qu'on y rapporte se simplifient, ou que certaines intégrales s'y évanouissent , mais bien comme un point dont la considération s'offre d'elle-même dans la nature , et vient, pour nous ; de cette loi qui fait simplement la force proportionnelle à la vitesse. On doit dire la même chose de ces trois axes principaux de rotation, autour desquels un corps peut tourner librement, parce que les forces centrifuges s'y contre-balancent. C'est en vertu de cette ihême loi dont je viens de parler , qu'il y a de tels axes dans tous les corps , qu'il y en a trois, qu'ils passent au centre de gravité et qu'ils sont rectangulaires entre eux.

Mais je passe au second principe de la conservation des moniens. Si l'on prend un point fixe quelconque et que, de ce point fixe oxx foyer , on mène à tous les corps du système des rayons vecteurs, en projetant toutes ces droites sur un plan quelconque, on verra facilement que le moment de chaque force par rapport à un axe perpendiculaire au plan de projection, et passant par le foyer, est proportionnel au produit de la masse du corps par l'aire que trace sur ce plan la projection de son rayon vecteur.

Ainsi , dans la loi de la nature , la consen^aiion des momens revient à la conservation des aires, qui consiste en ce que la somme des produits des corps par les aires respectives que tracent les projections de leurs rajrons vecteurs sur unplanjîxe quelconque mené par le foyer,

est proportionnelle au temps, c'est-à-dire est toujours la même, en temps égal, pendant tout le mouvement du sjrsteme.

Si toutes les masses du système étaient e'galeis entre elles, on n'aurait pas besoin de considérer leurs produits respectifs par les aires précédentes, mais simplement ces aires elles-mêmes , et le théorème reviendrait à ce que la somme des aires décrites par les rayons vecteurs . autour du foyer est toujours égale en temps donné. C'est ainsi qu'on peut toujours énoncer le principe des aires ; mais en supposant que les masses du système soient divisées en parties égales , et qu'on ait tiré du foyer des rayons vecteurs à toutes ces parties.

Plan du maximum des aires.

Gela posé , puisque les aires tracées par les rayons vecteurs ne sont autre chose que les momensdes forces, il s'ensuit qu'on peut appliquer à la composition des aires tout ce que nous avons dit de la composition des momens.

£t d'abord , on voit que, parmi tous les plans menés par le même foyer, et qui reçoivent de la part des rayons vecteurs des aires différentes , il y en a un seul qui reçoit la plus grande ; et si l'on nomme L , M , N les sommes respectives des aires tracées sur trois plans rectangulaires quelconques, menés par le foyer, on aura pour la valeur G de l'aire qui est un maximum ,

Et , à l'égard du plan qui la reçoit , si l'on nomme A , ^ , y, les trois angles respectifs qu'il forme avec les

trois premiers ) on aura pour les cosinus de ces angles

ce qui détermine sur-le-champ la position de ce plan remarquable.

Lorsqu'on connaît Taire maximum G, et le plan sur lequel elle tombe , on trouve facilement les aires que reçoivent les divers plans menés par le foyer ; car t étant l'angle que forme un plan quelconque avec celui du maximum des aires , on a pour l'aire décrite sur ce nouveau plan , G cos 9 ; d'où l'on voit que les aires sont égales sur tous les plans qui font le même angle avec celui du maximum, ou qui touchent un cône décrit sous le complément de cet angle autour de l'axe perpendiculaire à ce dernier plan ; que , de plus , elles sont nulles quand l'angle 9 est droit , c'est-à-dire sur tous les plans perpendiculaires à celui du maximum.

Plan du minimum des aires maxima.

Actuellement, parmi tous les plans qui donnent les aires m.axim.a, relativement aux divers points de l'espace considérés comme foyers , il y en a un seul qui donne le minimum de ces maxima, ou Taire minimum maximorum.

Ce plan est perpendiculaire à la direction de la résultante générale, ou du mouvement commun qui emporte le système. Son axe, c'est-à-dire la perpendiculaire qui y serait élevée au foyer, se trouvera absolument de la même manière que Taxe central des momens , et le foyer pourra être pris partout où Ton

MÉMOIBE. 367

voudra sur cette ligue. Pdur tousr les foyers qui en seraient aux mêmes distancés dans un plan pei^pendicitculaire, les aires maxima auront les mêmes valeurs, et leurs plans seront perpendiculaires aux diverses gé-^ nératrices d'un hyperboioïde de révolution décrit autour de cet axe centtal. D'ailleurs , ces aires maxinià et lés inclinaisons de leurs plans varieront , en vertu des distances précédentes , d'après les mêmes lois que nous avons données plus haut ; et Ton trouvera sur les aires tous les théorèmes analogues à ceux qui out été rapportés sur les momens.

Usage de ces plans; de ceux qu'il faut choisir pour jf rapporter les corps du sjrstème.

Cette coiistance des aires décrites sur des plans <[ui restent immobiles au foyer nous donne d'-abqrd l'idée de les observer sur les plans auxquels nous rapportons les difFérens corps, afin qu'à toutes les époques du mour vement nous puissions retrouver la position de ces plans , et reconnaître les changemens survenus dans le système. Mais d'après ce que nous venons de dire, on voit qu'il y a un choix à faire entre ces plans ooordon« nés ; car si un plan qui reste immobile au foyer reçoit constamment la même aire de la part des rayons vecteurs, un plan qui recevrait constamment une même aire donnée ne serait pas pour cela immobile , et pourrait se mouvoir d'une manière quelconque tan- ^entiellement à uii certain cône décrit autour du foyer. Donc si l'on avait rapporté primitivement tous les corps du syéfème à un certain plan , et qu'on ne sût rien autre chose dé ce plan , sinon qu'il recevait une

li qui rece-

e propriété

aire donnée , on ne pourrait plus recouuaitre actuellement sa position dans l'espace , parce qu'il a pu changer , ou , plus eiacteinent, parce qu'il y en a une iofinilé d'autres qui jouissent de la même propriété que lui.

Mais si l'on savait que le plan chercbé et tous ceuï qui passent au même foyer , celui vait l'aire La plus grande, on le retrouvei champ, parce qu'il est unique et jouit d'un exclusive par rapport à tous les autres.

C'est donc ce plan qu'il faut choisir , de préférence à lOUSceiiT qui passent en un même point, pour y rapporter les différens corps du système; et, sans connaître la grandeur de l'aire qui y est décrite, on pourra retrouver sa position dans tous les temps , pourru qu'on connaisse le point fixe d'où partaient les rayons vecteure, ou du moins quelque autre point fixe qui soit, avec le premier , dans la direction du mouve-

veaa foyer, le plan de l'aire maximum serait parallèle au premier.

Si l'on ne connaissait point la posiUou de ce foyer, quand bien même on saurait que l'aire maximum décrite sur le plan cherché avait une valeur donnée, on ne pourrait pas encore distinguer ee plan d'une infinité d'antres perpendiculaires aux génératrices d'un certain byperbolo'îde de révolution , parce que cbacan de ces plans jouirait de la même propriété de recevoir une aire égale, et maximum entre celles des plana qui se croiseraient avec lui au même p<nnt.

Hais si l'on ajoutait que l'aire maximum dont il ■'«git était le minimum des aires maxima relatives aux

mémoire: 869

diveirs foyers de l'espace, on retrouverait sur4^-cliainp laiSosition du plaii cherché, parce qu*il jouit, noii^ seulement d'une propriété exclusive par rapport à ceux qui passeraient au même foyer, mais encore d'une autre pr<^riété exclusive par rapport à tous ceux qui auraient la première commune avec lui»

C'est donc ce nouveau plan qu'il faut choisir de pré>férence à tous ceux de l'espace ; et l'on en pourra retrouver la position à toutes les époques^ sans c.onnattre ai la grandeur de l'aire qui y est déciite ni le point qu'on a pris pour centre des rayons vecteurs. Mais-, pour. le déterminer^ il faudra toujours avoir quelque point fixe d'où l'on puisse partir actuellement , et connaître en outr^ la grandeur et la direction de la résultante générale qui emporte le système dans l'espace.

bans le cas des aires relatives; que taire minimum maximbrum est la même que Vaire maximum autour dtunfojer quelconque,

Lorsqu on ne connaît aucun point fixe auquel on puisse rapporter les rayons Vecteurs ^ et qu'on partage Ms mouvemens des corps eux-mêmes que' l'on consi-^dère, on ne peut plus observer que des aires décrites autour de foyers mobiles dans la direction du mouvez ment général. Or , ces aires sont alors les mêmes que si le mouvement général était nul, ou que le centra de gravité du système fut en repos.

On a pu voir, en effet, par l'équation G*=sK*-f-R»^*, qu'un moment maximum G, relatif à Une certaine origine , se compose du moment minimum maximorum K) et du moment Yip de la résultante générale par la distance de l'axe central à cette origine; de même

Sfo MÉWQIRE.

Vêifçe ïïfwtimum^ pariapportà iii^fiycÉftBfr|[4MlrlBii^

juiltto^te rdfi| l'aire ntirmutm mdx m wk tu m et-^àmVnt jqm ianût dëerite par le rayon TOstearifelaiiiuuBeMii- ^ikf^ datyttèine, coBiidtfiéa<omaaeipéiiiBV|cliufs Hoa ^Ual» et aoiœéey toivaiit cet a»èv'.Jte>l«'irfpr>nc'tfaMi mime. Si doQcJe fofer que roD'Cbiiilici|^;'IMi>'liMi 4'^^fiaédaiia(l?ei|iaoe}^ aeimautavee la ^HiiihtkliiMliiamPftiparallèleiiieml àl-axe bentral, cettaiiNifde^iMi fûmi^iû kMt d^oriteaett ^ertu dti- naoil>riiM|BmH fgêÉÊiM '4Juipf>''*tt:d'eUo-tiiiême;/elile0 aivêé o ba e^ i r d ca «tciii; pÉ»» ia^UmeiiAles mémeacpia ii la aéf«It«nte 9ÉifétfliIi»<ÂifC

rçppf da|A#.lfei|pace* . ... ) • . /:- '^. .; ..;-. } ; |,;Ma^ qjBiwA la Tgitiiltente fâiémlie «dituaHejleaiàtitt mftxj^m^ fPl»|^glda$-pow tons les fojpnUrlAnipaite^'ét lears plant sont tons parallèles ; donc alors le foyer de l'aANiiftfniiikion maximdhtm pent 'être prît' partoiit où l'on Todaih. ■■■■'■■ ^ ■ ■■ -■

Application au sjrstème du monde.

Ainsi, dans le système du monde, confimei çù ne i^onnaît ai^çun point fixe auquel on puisse rapfMVrter'lés différens corps célestes,. et qu'on ignore d'arlieors dans quel sene et avec quelle force ce système -est etnt^tttë dans. Tespace , on ne peut de'terminer ni- -le plan ni h valeur de l'aire minimu7nTnaximorttfnyet¥0ti'^\àti choisir simplement le plan du rtiaxirfnim'Aés'kitës, relativement à un point quelconque , qui'se» ndéu^ en ligne droite avec la vitesse commune du système. Ob p^Ut donc prendi^ le foyer au centre de ^a Vite , "qui jouit de cette propriété dans'€ont' le toûts dninbuvt^ ment; et c'est ce qu'a fait l'auteur de 'la 'Mé^Huqiée

MÉMOIRE. 37t

céleste, qui,' lerpreiuier, a C4ps48i<l4ré ce plan dans notre 6yatèm^^planétaire^ et quVlaîra: domié le non; depla^ iuwanaàle, . ^

- Au reste y on peut encore^ pren4xe le fqyer^u cenlti^ 4e l'ufi.quelconqiie des,corp$ considéré pomme fixcf^ chaque instant^ c'est-à-dire comn^e actuellement privée jdêsa vitesse relative : ce point, n'ayant plus alors .que la vitesse commune, sera daus< lelinéme-càs que le centre de gravité ;laiBsi le plan 4e l'aire ipaximum re-^ lative à 'Ce point sera parallèle aUipremiei? , et recevra la méddéaire. , ,

Si'done, pour 'OOnaidér^rij^alein^ut .tans r les icoi^pp -du syttèMie ^ otk prend sucçessi vemeK^t les .àirçs .^éUmç^ taires décrites autour de chaque corps pa.r tous lies lra.tres, en multipliant ces diveip$es .sqni|nea/par Us inasses respectives des:Coi|>s qui ont servi: ^uçç^sii^ef -mentdé/foyerd, on trouvera, en les.;ajout|mt^ t^u&jliQS produits des masses, prises d^iu^ 4 ,à^\ki^ , mult^plié^ i>ar les aires qu'elles .tracent daçs le uième ^tetyps» l'une autour det l'autre eonsidAr^'e cpniiiae imn^qbil^.

Le plan dont nous avons parlé jouit donc enc^^ de 4:eÉteiprbpriétéTemai^uahle^ ^que la somme 4e%.|iroduits fMréCiédeiift y^ es( un maxifnun%y •ausàlbi^.<|ue,8tt|r floiis OBux q^i lui so^ parallèlesji^llfofi v^t 4{ue,cf^ Bpmnfte «'estautrèvchose que. l'aîreiHi^sgE^jmifinrelaJtiv^ au centre. de>giaVité^:ii^nUiplié.e>par>'Uj4l)asse:«fttî^ 4tt système. C'est ainsi quejMt L^ij^içQ prési^n^ «MopiPe la théorie, de ce plan in(^ar/a6fe^>Qn-ramenaPfi)oprii^-^ cipe des aires à des relations entre les dif^noes/inu^ tuelles des difFérens corps du système.

Ce plan forme en quelque sorte nhiniiiable équateur* du système • du 4non4e. . Quels . que spie^t» ;les- dt^u^e^

9^ ItÉMOIlIK.

t O ém que la mte dot tièdei amèM cbIm les eorpt cé^ IhÉteii' il dnDeineni llit|o«r» prailèle'àitMnénic; •ty poiaqa'oD «n p«at rctnniTer la pontianduMloai lèi lenqpt^ comnie onntronre cells da ceftlve de gm- Vil#i «n y ir^ipcirCuit tons les corps da sy^lèwe, aft êiWNk fMQOiin le moyen de c o w nps r ef f d ine nssfHèfe fHtfdùM , Iss obiemtioiii de l'AstfoUMnie finies ans ' é ptHf mu les plas ^Ungnées,

~ ''WiMui'tiqpfÀilennis 'encore ce coroUttie semmrfaeUe lifr ts* théorie préeldente, ignoi dans vn aystèase de moUenles solides et fluides, animées piwi^jfemg^l ^f$t deS'fiHCOi ^Beleoniiiies et somnîses A ienr adkm tlklitaÉlle> ffû anife qo^aprts nn smnd noasbte.dW ^sillritlotisv œs.moléenl^ se fixent à on état perm^neni ^ kofslton, antoor d^tan axe inmiéUe pessanifsr iMUr iééttinnn centve dp gm^ité (et ron/reoBjeetains^ WjfcU'ÉÉseA'd^iwsendidanoe que cW le cas des corps ^ëéwÉlM)^ alorii leur éqnatenr , on le plan pi^pendiciilaire à cet axe, sera parallèle à celui qui recerait, à rorigiùe du temps, le maximum des aires relativement au centre de gravité.

Mais nous n'étendrons pas plus loin ces dernières considérations , qui ont été assez approfondies par le géomètre que nous avons cité. Notre objet principsl était de fonder une nouvelle théorie des nH>men8 et des aires , d'étendre et de simplifier à la fois toute cette partie de la Mjécanique , et de faire passer ainsi. daas les élémens les plus beaux théorèmes qa'on y eut trouvés jusqu'ici. '

Remarque nousfelte sur les aires^

Nous finirojDS par observer , siir là loi des aires, que

MÉMOIRE. djZ

les plans ne sont pas les seules surfaces sur lesquelles elles se conservent sans altération pendant le nsouvement du système. La même proprie' té appartient aussi à toute surfiice conique circulaire dont le sommet est placé au foyer des raypns vecteurs ; mais il faut projeter ces rayons sur le cône par des lignes parallèles à son axe.

Les aires décrites sur les surfaces de différens côneSs de même axe et de même sommet seront réciproquement proportionnelles, aux sinus des angles sous lesquels ces cônes sont décrits; d'où Ton voit que le cône qui recevra l'aire la plus petite sera le cône décrit sous l'angle droit autour de l'axe commun , c'est* à-^dire le plan perpendiculaire à cet axe.

Entre tous les cônes semblables de même sommet, mais d'axes diffiérens , il y en aura un seul sur la surface duquel l'aire tracée par Les rayons^ vecteurs sera un maxiThuTit;

Parmi tous ceux qui donneraient de même les aires maxima relativement aux divers foyers de l'espace , il y en aura un seul qui donnera le mimmuTn de ces aire^ maxifTuu,

Pour les axes de ces cônes remarquables , ils ne sont autre cliose que les axes des momens ou des aires qui jouissent des propriétés anjalogues, et ils se détermine* ront absolument de la même manière. Enfin l'on trouvera, en considérant les aires tracées sur des cônes quelconques semblables, tous les théorèmes que nous avons donnés par rapport aux aiires qui sont tr&cées sur de simples plans^

Sur le double rhoui^ement de la Terre et des

corps célestes.

Pour montrer encore, par* un nourel exemple, h simplicité et l'avantage de notre théorie des couples, je dirai' deux mots sur là manière dont on explique ordinairement le double mouvement de rotation et de translation qui anime la Terre et les autres corps ce* Idstesi

Jean BemoulU est, je crois, le premier quiûte^ Ifidée'de cette explication; mais la voici telle qu'elle est présentée par M. Laplace , dans son Exposition du Système du Monde , liv. III , chap. v.

« Lorsqu'un corps , dit l'auteur, reçoit une impul- M sion suivant une direction qui ne passe point par le »• centre de gravité , les diverses parties du corps ont » des vitesses. inégales , et de cette inégalité résulte uu » mouvement de rotation du corps autour de son centre » de gravité , en même temps que ce centre est transn porté avec la vitesse qu'il aurait prise, si la direction » de l'impulsion eût passé par ce point. Ce cas est celui V de la Terre et des planètes. Ainsi, pour expliquer le )» double mouvement de rotation et de translation de » la Terre , il suffit de supposer qu'elle a reçu primiti- » vement une impulsion dont la direction a passé à une » petite distance de son centre de gravité , dislance

NQTE. a-jS

M qui » dans lliypqtjt^èç^ de r^ïoipogénéité de cette pla* » nète, e$t à peu. près Ifi jceut^^oixantième partie de » sou rayon. 11 est infiniment peu probable que la pro- » jciçtion primitive des planètes, des satellites et des M comètes a passé exactement par leurs centres /de gra<- » vite j tous ces corps doivent donc tourner sur eux- » mêmçj^» Par une r^pn sei^l^la})le , 1q Soleil, qui » torn^e suf Iui7meii;ie9 d.oit avoir reçu une impulsion M qu| y n'ayant point passé p^ le centre de gravité,. I9 «> XxfiSi^wxtA dans JLf espace , avec le çyst^me planétaire. Il à inQin^;q}ifu^e. impulsion 4aLn$..u|i £^ns «çontraM^ » n'aJLf afiéanti (^ n\ou]rexfi|ept, ce qui n'est pas vr^ir-

» semmai^jief »

Mais.j['9l>sçrve d'abord que cette hypothèse d'u^e impulsiop uniquç , imprimée à chaque planèt^ ,. est elle-]p,êmç trop particu^ièr^e , et par conséquent très peu vraisemblable; et, ce qu>. est plus digne de re^ marquey;onpeut voir qu'elle est entièrement inutUe à Vexplicatiofi du, phénomène naturel dont il s'agit.

£t çn ç^t I quel qup soit le ;aombre des inapulsions^ ^fférenUa} qu'u^ corps ail;pux^.c§iVoir ei^ tanjt dejppints, ft suiyapt telles ^eçt^>ns q;a'pn voudra dans l'espace,

Pfi. a.d^i|iç(ntré que;ces.fp];ces sont toujours i^çductibles

i une seulç. appliquée au centre de giravité de ce corps , ejt qui çn transppçt^ ég^ip^t, Jputç^ les parties ftijiivant des di^eçtLpns para}lèl^ , ^ à, un seul, ppuple ou iifomqnt q^^ii^jt tourii^f I^^.^iÇpfps f^utou|:.de ce centre mobilq. I^e dpHbl^s.i^puyisment q^'pn obsprye d^s la Hlçtre eX danSi}(çs c^Q)s célestes .^t donc un p)ie>)0« mè^ na]t^rel qui n'% besoii]^ d'ajocune explication , ni d'ajuciu^ hypothèse particulière , puisque c'^t le mpuvement le plus général. de tofis les corps qui se men-

▼nt M rerla de forces on impaltioiii qadcoDqiics. Ainn toutes les pknète» doÎTent natnnUement tourner sur elles-mêmes, en même temps qi^elles sont emportées dans Tespeee s et, si elles Àe «onmaient point, ce fenût, àtt contraire, on phénomène très Siàgnlier, et qm demsoideiait nne ei^icatioqL toute particnlière; car il fiiudndt supposer, iV me toutes' Ses impulsions primilÎTes se sont pré ci sément fëdiâles à une seule force, et a*, que la direction deicrtte force passait p«r le centre de gravité de la planète que l'on conrfdère. Et de même, si -la planète ne fiûnit que touMier sur sou axe , sans éprourer aucun dëph^cement dans l'espace , il faadiait supposer que toistorles impulsons transportées au centre de ipra^ité s^ i6nt eiactcment fait équilibre, et que, de toutes les forces appliquées, il n'est ainsi résulté quHm seql coiqde ; ce qui présenterait un second cas particulier* torut'aiitfsi invraisemblable que le précédent. Hais celui de la nature n'a rien qui doive surprendre , puisque ce double mouvement des corps célestes est le résultat (réaérai de forces pu impulsions primitives quelconques qui ont pu être imprimées à ces différens corps. On peut même- dire que, dans un corps libre, l'observation d'un seul de ces deux mouvemens fournirait, au besoin, une preuve naturelle de l'autre; et qu'ainsi la rotation connue du Soleil indique , avec une extrême vraisemblance, son mouvement de translation dans Tespace ; motiveinent insensible pour nous , mais peutêtre très rapide , et qui ne nous échappe que par ' réuorme distance où nous sommes des étoiles , seuls corps de respace auxquels nous pourrirons le rapporter

çQmiue à autant de points fixes.

Quoi qu'il en soit , et pour reTenir à nos pritM^pés-^' ' je remarquerai encore un autre dëCaut , dans l'expli-^ cation qu'on a donnée du double tndnyement* de Terre, par l'hypothèse d'une impulsion unique ; pour *la rigueur du raisonnement , il aurait faltu àjoliter encore une condition piarticùlière qu'on a dimse-r c'est que cette impulsion primitive aurait eu lieu pré-^ cisément au périhélie ou à l'^aphélie 'de cette pla^^ nète. Et, en e£fet, Téquateur étant le plan même du couple primitif imprimé à la Terre , si ce couple provenait, comme on le suppose , d'une seule force transportée parallèlement à elle-même au centre de gravité, il^udrait d'abord que cette force se fut trouvée dans le plan de l'équateur. Mais d'un autre côté , cette même force devait être parallèle à la tangente de l'orbite sur laquelle elle emportait la Terre : donc il faudrait que l'impulsion unique eût été appli* quée à la Terre , au moment où celle-ci se trouvait à l'une ou à l'autre des deux extrémités du grand axe de son orbite , c'est^'à-dire au périhélie ou à l'aphélie ; car ce n'est qu'en ces deux points qu'une ligne située dans l'équateur peut être en même temps parallèle à la tangente de l'orbite de la Terre. En tout autre lieu ^ cette tangente est inclinée à l'équateur, et par conséquent la direction de la force est inclinée au plan du couple : or la force et le couple , étant inclinés l'un à l'autre , ne peuvent jamais se réduire à une seule force, et par conséquent ne peuvent être regardés comme provenant d'une impulsion unique. D'où l'on voit que , même pour l'exactitude de cette explication , que notre théorie des couples rend d'ailleurs inutile , il fallait encore supposer que la Terre a été frappée

NGTE.

^aili mi^ direction perpendiculaire à la droite qui joigmît|.à Gjettçéppque, le centre dç la Terre et celui dl^Spleil; et.il faudrait ajouter la même condition ptwr lei antres planètes , ce qui, augmenta encore, s'il (Bit ppsipbik I reztrème invraisemblance de rb][po^ tfi^4'upe imy^lsioii unique , ou , ce qui est la même clMMe, de. pli^ieurs impulsions dilCérentes qui eifSf^t ^Mt^x^ctipin^t réductibles à une seuls..

SunJa théorie et la détermination deré^poLteup

du ^sterne solaire.

Je ne j^uis laisser réimprimer le Mémoire qui précède, sans y ajouter les considérations nouvelles que j'ai présentées à l'Académie le 24 mars 18128 , et qui ont pour objet Uune des questions les plu3 élevées du système du monde. Il s'agit de la détermination exacte 4u seul plan des aires qui soit vraiment invariable dans notre système planétaire , et qui en forme en quelque sorte Véquaieur; car le plan que M. Laplace a nommé fm^ariable et détem^iné comme tel dans sa Mécanique céleste, n'est point le véritable; et nous allons voir qu'à cet égard l'analyse de l'auteur avait besoin d'être rectifiée. Mais , auparavant , je crois devoir rappeler les premières idées qui ont donné naissance à la théorie . des aires , afin de jeter un nouveau jour sur l'origine et la suite naturelle de ces considérations.

Op.i^ vil <^u&^ dians le mouvement de pluaieiM:^ ixNrps qui réagissent d'une nianière quelconque, les uns sur les autres, mais dont le système est supposé parfaîte«meut UbrïQ de toute action étrangère , si Ton projette sur un plan les aires que^ tracent , autour d'un poii&t fixe avk/qjrcf'f les rayons vecteurs menés de ce foyer à

38o EQUATEUR

toutes les particules égales du systeioe, la somme de ces aires projetées demeure constante , c*esl-à-dire est toujours la même en temps égal, maigre les variations qtt'j^ronve chacune d^elles par l^iction réciproque des différens corps : et c'est dans cette propriété générale du mouvement des systèmes que consiste le principe si connu de la conservation des aires.

Les géomètres ne se sont pas élevés tout d^un coup à cette loi générsde de la Dynamique. L'origine de c«s idées remonte à Kepler, qui le premier imagina de considérer l'aire du secteur que décrit le rayon vecteur d'uqe planète dans son mouvement autour du soleil. Et si Ton cherche ce qui a pu lui donner cette idée , on trouvera , ce me semble , qu'il y parvint, non point par hasard comme on pourrait le croire d'ar bord , mais par une certaine marche naturelle , quQ je veu^ indiquer en passant , parce qu'elle se retrouve dans toutes nos recherches, et qu'elle résulte,. pour ainsi dire, de la nature même de l'esprit humain. , EjL en effet, nous ne connaissons en toute lumière qu'une seule loi : c'est celle de la constance et de l'uniformité. C'est à cette idée simple que nous cherchons à réduire toutes les autres, et c'est uniquement dans cette réduction que consiste pour nous la science. Ainsi, quand nous étudions les choses qui cbsmgent pour découvrir ce qu'on appelle la loi de leurs variations , notre unique objet est de trouver ce qu'il peut y avoir d'uniforme et de constant au milieu dé ces choses qui varient. Que si, avec le temps et par un nouvel examen , nous venons à reconnaître que des

DU SYSTÈME SOLAIRE. 38k

rapports qui nous aTaîent paru constahs tofit èkx^ iBêrae» vanables , aiorg ce n'est pins dans ces rapports, niais dans <}iielqae autre formé de leur combinaison , 4{i|e notre esprk va rechercher cette loi de constance qui lui avait , pour ainsi dire échappé dans ses premières conctusions. Tel est, ^ crois, le mouvement naturel de l'esprit humain, qu'on pourrait même remarquer dans .la Géométrie et dans l'Analyse, mais dont l'As^ tronoinîe nous o£fre ici l'image la plus sensible.

Ainsi les anciens astronomes, d'après les presiières apparencee des mouvemens «élestes^ avaient cru naliftrellement que les planètea décrivaient dans leur Gom» des cercles parfaits, et qu'elles' les décrivaient d'un mouvement uniforme •: de sorte que la ligne menée du •centre à la planète et sa vit^se angulaire étaient regardées commeconstantes. Malgré quelques inégalités que l'ol^servatîeu avait rendues sensibles, cette première loi du mouvement des planètes subsista très long-*tpmps^ parce qu'on fusait di^araitre à très peu près ces in^jalitésen essayant de mieux placer le centre de ce cercle parfait qu'^n avait imaginé. ' Mais Kepler ayant re^ -connu , par la comparaison attentive de nombreuses •observations, que le mouvement d'une planète se £Mt| non -dans un cercle^ mais dans une ellipse dont le soleil occupie un des foyers y de sorte que le rayon vectieiur «t l'angle qu'il décrit étaient tous deux variables ;: «t ne trouvant plus ainsi , ni dans ce rayon ni daens cet angle , cette constance qu'on y avait d'abord supposé^, imagina de la retrouver dans une quantité nouvelle composée de ces deux- là : et considérant dans:'<ette vue l'aire du secteur elliptique que trace le rayon Vecteur de la planète autoiur du soleil , il trouva enfin ^que

38a EQUATEUR

oeite fùre était constante , c'est-^^nliré toujoim^ la jnème en temptiégal, cm, en d'autres ternies enoorcii queFaire décriteétait proportionnelle au temps écoulé. I [Cette loi de Kepler^ qui n'était proi^vée que par ^observation , l^ewtoula démontra .ensuite commeun ithéarème mathématique qui doit avoir làeu dans le iBOUviement. de tout corps attiré par une forée quel- -eoDÎque'i^ers un centre fixe : et réciproquement, ilfit voir que si cette description uniforme des àîrea est ob- ■ sexuée . dans, le mouvement d'un corps , elle . est ^ime fomÊiv€ derrattraction ou de la tendance de ee corps au otntre des rayons vecteurs ; ce qui coiidui|t naturdkr mèntiau principe -de la pesanteur «ittiverseUe.

. ■■ Snfia, vers le milieu du . siècle dèimier, .le chevar' lier d'iAxcy, Daniel fiemouIU ^et Euler découvrirent piwsque. f^ même, temps , mais sous .des- forixies dif- '.ftfrenlcs , ^: théorème ^plusigénéral y et qui n'est en qqelqUe aorte quecdui de Newton étendu à plusieurs -cfitifs qui seraient soumis.à'la'feîs à leurs action» réci- •f^i'oques , et à des forcesquelconques dirigées vers un méme;point fixe. Dans le mouvement du système au- .|iQur«dei ce point comme, foyer, Taire que décrit chs^up .corps>en pai^culier n'e&t>plus constante; elle varie à chaque instant de grandeur et de position. par l'actiop perturbatrice des autres eorps* Mais en projetant toutes ■ces aires variables sur un même plan fixe',, et lesmtiU'H' pliant. par les masses respectives dès corps, on trouve que la somme de ces. projections est constante , et se étaserve sans altération , comme dans le cas d'un seul mobik^

. )0n .Tptt comment les géomètres qui démontrent et qui.généiiaiisent, ont su s'élever' rapidement au prin<^

Dû SVâTÊHB SOLAIRE. 30S

cîpe général tlë8-àirË8^dirtiflr le syilèwke da monde; Iiims ob^enréz en ' jfrïLsSàVkt -que ' si te - ^hicipe n'eâ t f9ip été ahikî déihbntiVF et détbuVert A ràVffnoéV ^ Uiw»p(('Mm\\ et par cétitè' hkéihé iâarcbe de l'^iprit ifiie j^ai iiidî^ q^ée '^lùs feautv klntàit éiMi&ft pu Bom y «imdttirbi Car, à la longiïé '; ' et par' été observaCionr plus ftémêm^ on aurait reconnu que Tair^ décrite par chaque planète n'est pas rigoureusement uniforme : et considérant àloh^léi dHTérënfé^ àirés'^bliv^ aiËt diffétéétéa Variétés', t^bùie'eii'ftihe , \6è ^ui élàit liatUIrèlf h'^ééifiMHnaislôn la ptà^isiVèplè,' cû^iMé tiéUe de'k WttiittÉte de lëwts 'j^rôjéctiifMs feu^'lm'iBiéiil'ëthAéihé plan, i6ii''ilttMdt i^trëavé idans rtéiisemble dé ces aires cette t<ynMàikè figëiii^ufééf ^qùîl tt^êtalt plW'dans chicane d'dlés.

Quoi qu^il en soit/le principe à lieu, cômhie Oîirk dit, dans le mouyémént d^un systèïhe de corps' qiû réàifissent' d^ùne itaahière quelconque les uiis kût Xt^ àiitrè^ ; mais, pour la rigueur du théorème, Il ' fiitifc Vénoncér conbme jlEi Vat tkït'àu è^àmràéntèàieÂ^ 'c*tiiî^ à-dire en cônsidéi^t ,' non ^s le pirodàit 3e d^a(][ùe râaisise pai^ Taire 4^e dédrit'le tuyon vektedr biené au centre de ce corps, mais la somiifïe dés ailles déctites par les' rayons menés à toutes les particules ^les'dâ'sy siiènïe; ce qui donné' là vraie quantité, qui ésfrigo'Areuàënléut constante daiis tout le cbiirs du mbtiVeâà'eùt. ^ si les Cdrp^ ne ài'ùt' point aitllvrés' vers tin * )^ià( extérieur, et n'éprouvent que leur action où attràè'tioii mutuelle , le foyer des rayons vecteurs peut être pris Jpartbutdtt l'miîvcxidrBpiclaiM l'espace. Si,' èoimne'dans 4dsy!Stè«ke.iiH)iiioiide^'<oii>£àît absCiaotion -du ii|o«tT«s

ment général qui emporte le système , pour ne considilrer.que les mouvemens relatifs des corps, on doit placer naturellement le foyer dans leur commun centre de. gravite' , parce que ce point déterminé est en repos, et .tomme fixe, dans l'espace relatif ou s'exécutent les mowremens observés. des différens corps.

^.. ICaintenaut^ si Von considère les, divers plans de pirojection qu'on ' pourrait mener par le même foyer, e% SHr.leiquels la somme des aires projetées aurait en général des valeurs différentes^ il est aisé de voir que, paf^ ^jes plans, il y en a une infinité où cette somme est nulle;}, que. tous ces plans de projection nulle se coupent suivant une seule et même droite déterminée; que tous les plans possibWqui passent par cette droite jouissant de. la mêipe propriété, et sont les seuls qui •en. jouissent. Le plan perpendiculaire à cette droite est donc un plan distingua' de tous les pleins de l'espace |UU; cette propriété^, que la somme des aires se trouve null^ sur tous les plans qui lui sont perpendiculaires, .(^uiyni aux plans . qui . lui sont également inclinés , la SQiiirae des aires y a une même valeur, et cette valeur est proportionnelle au cosinus de l^'inclinaison ; d'où il résulte. que, sur le plan unique et distinct dont il s'agit, cette somme est la plus grande possible, ou ce. qu'on appelle. un maximum. Or c'est ce plan du masçimum des aires que M. Laplace a nommé te plan invari{û?le.

La considération de ce plan remarquable s'était déjà présentée aux géomètres dans la recberche analy-

tique du mouvement de quelques systèmes : et elle , avait même été employée dans le problème de la rotation d'un corps solide qui tourne librement autour de son centre de gravité. En cherchant à simplifier le calcul ) o^ était arrivé naturellement à ce plan de projection, comme à l'un des trois plans coordonnés qu'on devait choisir de préférence, afin de rendre nulle la somme des aires sur les deux autres , et de faire ainsi disparaître deux intégrales ou constantes arbitraires. Or, il faut faire ici une remarque essentielle : c'est que ce seul cas particulier de la détermination du plan invariable dans le mouvement d'un corps ou système solide, en contient au fond toute la théorie ; car, comme l'expression des aires décrites par les diiFérens points d'un système ne dépend ni de la liaison ni de l'attraction mutuelle de ces points , il est évident que le même calcul , ou la même transformation de coordonnées , qui détermine ce plan dans un système de points invariablement liés entre eux , le donne également dans un système de points liés entre eux d'une manière quelconque. Ainsi l'on voit que la théorie du plan invariable se trouvait connue , parce que cette théorie étant indépendante de la nature du système , un seul exemple qu'on en donne suffît pour la démontrer tout entière. Mais on doit dire que M. Laplace e-st le premier qui ait considéré et déterminé ce plan dans notre système planétaire, et qui lui ait donné un nom.

€e grand géomètre a donc cherché la position • que ce plan devait avoir, par rapport a l'écliptique , au

386 ÉQUAtEUR

commencement de l'année 1 750 , et même ceUe q«'îl aura en igSo , d'après les variations calculées qu'auront subies à cette époque les excentricités, les inclinaisons et les nœuds des différentes orbites des corps célestes. Et , par les formules qu'il a données à ce sujet , ou la règle qu'il énonce au chapitre II du livre IV de son Exposition du Sjrsthme du Monde, il a trouvé que l'inclinaison du plan à l'éclip tique était de 1^,7689 au commencement de 1 760 ; et la longitude de son nœud ascendant, de 114^,3979 ; valeurs qu'il trouve devoir être à très peu près les mêmes en igSo , la longitude du nœud ayant seule varié de 4^"* C'est ce qu'on peut voir dans le chapitre XYIl du livre YI de la Mécanique céleste.

Mais , ayant eu l'occasion d'examiner cette analyse, j'ai remarqué qu'elle ne pouvait être exacte que dans l'hypothèse où les planètes seraient regardées comme autant de points massifs > dont chacun serait chargé de la masse entière de la planète et de ses satellites ; et qu'ainsi , pour déterminer le plan invariable du maxi' mum des aires , M. Laplace n'avait considéré que les aires dues aux seuls mouvemens de révolution des planètes autour du soleil.

Or , en appliquant nos principes à cette détermination, j'ai reconnu que la position du plan invariable dans le système du monde ne dépendait pas seulement des aires que décrivent les planètes en vertu de leurs révolutions autour du soleil , mais qu'elle dépendait encore d'autres aires , auxquelles on n'avait peint songé, savoir, de celles qui sont dues aux révolutions

particulières des satellites autour de leurs planètes principales , et de celles qui naissent de la rotation de ces planètes et du soleil lui-même sur leurs propres axes. Il résulte en effet, de notre théorie des couples, que le plan dont il s'agit n'est au fond que celui de Taire qui proviendrait de la combinaison de toutes ces aires simultanées , si on les composait entre elles à la manière des simples forces appliquées sur un point ; que le plan de cette aire résultante est le seul dont on puisse affirmer qu'il demeure immobile dans le ciel , ou qu'il reste toujours parallèle à lui-même, quels que soient les changemens que la suite des siècles puisse amener dans les mouvemens , dans la figure et la position mutuelle des différens corps célestes. Que si l'on ne composait entre elles qu'une partie de ces aires simultanées , on ne pourrait plus dire que l'aire partielle qui en résulte est invariable de grandeur et de position dans l'espace : d'où il faut conclure que le plan invariable déterminé par M. Laplace peut changer , et qu'ainsi il n'est pas propre à faire reconnaître , dans la suite des temps, les changemens réels qui peuvent survenir dans la position des orbes et des équateurs planétaires.

VIIÏ.

Pour remplir ce grand objet , et donner aux astronomes futurs le moyen de comparer avec précision les observations séparées par de longs intervalles de temps , il faut donc recourir à ce nouveau plan que je propose , et qui forme en quelque sorte l'immuable équateur du système du monde. Voici l'expression la plus simple de la règle qui le détermine.

G)iisidérez d'abord , poar chacun des corps célestes , l'aire résultante de celles que décrÎTent tontes ses par-* ticules autour de son propre centre de gravité, aire qui tombe sur le plan de l'équateur du corps , et qui a pour mesure le produit de son moment d'inertie par sa vitesse angulaire de rotation ; et regardez maintenant les centres de ces corps comme autant de points ou leurs masses respectives seraient concentrées :

Considérez ensuite, pour chaque groupe formé d'une planète et de ses satellites , l'aire que chacun des corps y décrit dans son orbite autour du centre de gravité de ce groupe , laquelle se trouvera en multipliant la masse du corps par le carré du rayon vecteur et la vitesse angulaire de révolution ; et réduisez maintenant ce groupe à son centre de gravité comme à un seul point où toute la niasse serait concentrée.

Considérez enfin les aires que les centres de ces groupes et ceux des corps qui n'ont point de satellites, décrivent dans leurs orbites autour du commun centre de gravité de tout le système, et dont chacune se mesurera de même en multipliant la masse par le carré du rayon vecteur et la vitesse angulaire de révolution.

Si , par ce même centre de tout le système , vous menez des lignes perpendiculaires aux plans respectifs de toutes les aires que je viens de considérer , et proportionnelles à leurs grandeurs, et que vous composiez entre elles toutes ces lignes à la manière des forces, la ligne résultante sera perpendiculaire au plan de l'équateur cherché , et sa longueur représentera la quantité de l'aire totale qui s'y décrit.

Sur quoi il faut observer que les lignée composantes dont il s'agit doivent être tirées d'un même côté de

rëcllptique, parce que, dans notre système, les différentes aires que ces lignes représentent , étant vues de ce même c6të, paraissent se décrire dans le même sens. Ainsi en supposant toutes ces lignes menées du côté boréal de l'écliptique, la ligne résultante prolongée jusqu'au ciel, ira marquer le pôle boréal de l'équateur du système du monde.

Par cette règle générale (ou les formules qu'on en peut facilement déduire) , si l'on suppose connues les ' masses et les momens d'inertie des corps célestes, il est évident' qu'à une époque quelconque , et par les distances et les mouvemens mêmes des corps célestes , observés à cette époque , on pourra déterminer la position de cet équateur par rapport au plan mobile de quelque orbite planétaire, tel, par exemple, que le plan de notre éclip tique. Si donc on imagine que la recherche en soit faite à des époques différentes, et qu'on le trouve situé dans des positions différentes , comme on est sûr que ce plan n'aura pas changé, on conclura le changement réel survenu dans la position de l'écliptique et des différentes orbites qu'on y aurait rapportée». C'est ainsi que les observations des mouvemens célestes peuvent être ramenées à des termes fixes , et dégagées de l'incertitude et de l'erreur que les variations de l'écliptique et le mouvement propre des étoiles auraient pu à la longue y introduire.

Quant à ces aires nouvelles qui doivent entrer dans la détermination de notre plan invariable , on pourrait dire que celles qui viennent des mouvemens particuliers dessatellîties, et même de la rotation de quelques pla"

2go EQUATEUR

ne tes, sont des quantités assez petites , et que le plan invariable déterminé en ne négligeant que ces petites quantités différerait peu du^véri table. Mais il faut remarquer que l'aire due à la rotation du soleil est une quantité considérable , et qui ne peut être omise dans aucun cas ; car en supposant d'abord le soleil homogène^ je trouve que cette aire vaut plus de 5o fois celle que la terre décrit en vertu de son mouvement dans son orbite annuelle. SI, comme il est vraisemblable , la densité du soleil n'est pas uniforme^ mais qu'elle au|;mente de la surface au centre en raison de la profondeur, ou bien encore suivant cette loi de densité que M. Laplace emploie pour la figure de la terre , dans le tome Y de sa Mécanique céleste, et qui fait la densité prppor* tionnelle à la racine carrée de la pression , je trouve que l'aire décrite a encore les deux tiers de la valeur précédente. Et dans l'bypothèse même où la densité irait en croissant, depuis la surface où elle serait nulle, jusqu'au centre où elle deviendrait infinie, comme ferait rordonnée d'une hyperbole équilatère qui s'avancerait parallèlement à elle-même pour se confondre avec Tasyniptote, je trouve que Taire dont il s'agit vaudrait encore la moitié de celle qui a lieu dans le cas de Tbomogénéité. De sorte que , dans cette hypothèse qui paraît extrême, le plan invariable de M. Laplace, déterminé sans tenir compte de cette quantité , diffère autant du véritable que si Ton eût oublié dans le calcul au moins 25 globes tels que le nôtre , qui auraient circulé comme lui , à la même distance du soleil, et dans un plan incliné d'environ 7° au plan de notre écliptique. Cette omission altère donc d'une manière très sensible la position du plan invariable : car il est aisé de voir

qu'elle change de plusieurs minutes son inclinaison à l'e'cliptique , et de plusieurs degre's, la longitude de son nœud ascendant. Ainsi ' il paraît aussi nécessaire pour l'application que pour la théorie, d'avoir au moins égard , dans le système du monde , à cette partie des aires qui vient delà rotation connue du soleil.

Il peut paraître surprenant que M. Laplace, qui le premier a eu l'idée de chercher, dans le système du monde, la position d'un plan invariable déterminé par la condition que la somme des aires projetées y soit un maximum, n'ait considéré dans son analyse que les aires décrites par les planètes en vertu de leurs mouvemens de révolution autour du soleil , et qu'il ait oublié , non-seulement les aires dues aux révolutions particulières des satellites , mais encore celles qui naissent de la rotation de ces planètes et du. soleil lui-même sur leurs propres axes. Et, si l'on est surpris que cette omission singulière ait pu avoir lieu , on ne l'est pas moins qu'elle ait échappé jusqu'ici à ceux qui ont pu étudier ce point important de la Mécanique céleste. Par le peu qu'on a dit , on voit bien ce qui doit manquer aux formules de M. Laplace ; le défaut est sensible ; mais ce qu'on cherche ici est la cause naturelle qui y a fait tomber.

Or, avec un peu de réflexion, il n'est pas difficile de remonter à la source de cette erreur , et de la trouver dans cette théorie même qu'on avait autrefois des aires ou des momens ; théorie imparfaite où l'on ne savait pas d'une manière précise ce que ces quantités représentent, je ne dis pas dans le calcul, mais dans la

3c)7, EQUATEUR

science des forces considérée en elle-même. Et en efiet, pour M. Laplace , comme pour les anciens auteurs, Ie$ momens ou les aires ne sont que de simples quantités numériques ou géométriques, de pures expressions d'analyse, qui se présentent dans les équations de l'équilibre ou du mouvement des systèmes, et aux^ quelles on aurait simplement donné un nx>m pour abréger le discours. Sous ce point de vue géométrique, le plan invariable que l'auteur considère n'est donc qu'un certain plan choisi entre les autres par la condition que la projection des aires y soit la plus gr^de ; ou plutôt , c'est l'un des trois plans coordonnés , choisi de manière que la projection des aires soit nulle sur les deux autres ; ce qui est une pure tvaçsformation de coordonnées j qui parait propre à simplifier le calcul , en faisant disparaître, comme on l'a dit, deux constantes arbitraires. Or, on ne voit là que des quantités abstraites, de simples formules d'analyse, sans aucune idée de la natui^ propre des grandeurs dont il s'agit dans la science de l'équilibre ou du mouvement des systèmes. Et, comme l'idée de considérer les aires dans le système du monde vient de cette fameuse loi de Kepler , qui n'est relative qu'aux secteurs décrits par les rayons vecteurs des planètes dans leur mouvement elliptique autour du soleil, il est assez naturel que M. Laplace ne songe qu'à ces mêmes aires dues aux révolutions des planètes, et que, dans la théorie de son plan invariable, il oublie toutes les autres. Tl semble d'ailleurs que ces autres aires , produites par les mouvemens particuliers des satellites , et par la rotation des planètes sur elles-mêmes, n'étant point tra^ cées, comme les premières , autour d'un même centre,

DU SYSTÈME SOLAIRE. SgS

mais se décrivant à part autour de divers centres particuliers , elles sont en quelque sorte des aires indépendantes , et qu'elles ne doivent ^oint entrer dans la combinaison dont il s'agit. Ainsi , en supposant même que la considération de ces quantités se* fût présentée un moment à l'esprit , on voit qu'elle aurait pu être aussitôt écartée comme une idée étrangère, et sans qu'on en fît aucune mention. C'est ce qui explique naturellement l'omission ou l'erreur dont je parle et qui a pu si facilement échapper dansl'ancienue théorie. Mais dans nos principes , cette omission est impossible; car , pour nous , les aires ne sofit ppint des surfaces qu'on projette sur tel ou tel plan , mais de véritables forces de rotation ou des couples qui s'exercent dans le système : et il ne s'agit pas ici de simplifier un calcul, ou de chercher un plan sur lequel la projection des aires soit un maximum , mais bien de composer entre eux ces couples qui agissent, et de déterminer la grandeur et la position du couple unique qui en résulte j couple remarquable , dont on démontre que le plan et la grandeur se conservent les mêmes, dans tout le cours du mouvement, malgré les changemens qui arrivent aux grandeurs et aux inclinaisons mutuelles des différens couples qui le composent. Par cette notion dynamique des aires, il suffit donc de jeter les yeux sur le système du monde pour voir que l'aire maximum, ou pour mieux dire , que l'aire résultante, doit être comppsée, non-seulement de celles qui viennent du mouvement des planètes dans leurs orbites , mais encore de celles qui naissent des mouvemens particuliers des satellites et de la rotation de tous ces coi^ps sur leurs propres axes : car bien que ces aires soient décrites au-

tour de différens centres , comme elles ne sont qu'une expression géométrique des couples qui les produisent, il est évident qu'elles doivent être toutes rapportées à un seul et même foy er^ et se composer ensemble comme si leurs plans y étaient tous transportés parallèlement à enx-'mêmes.

Ainsi la composition des couples , qui a étendu et simplifié toute la doctrine des aires, aura encore iervi à nous faire découvrir une erreur qui pouvait rester long-temps cachée dans une application de la Mécanique à l'un des plus grands objets du système du monde. Cet exemple nous fait sentir toute l'importance qu'on doit attacher aux notions primitives et aux vrais principes des choses ; car le calcul n'est qu'un instrument , qui ne produit rien par luimême y et qui ne rend eu quelque sorte que les idées qu'on lui confie. Si nous n'avons que des notions imparfaites, ou si l'esprit ne regarde la question que d'un point de vue borné, ni l'analyse ni le calcul ne lui apporteront plus de lumière , et ne donneront à nos résultats plus de justesse ou plus d'éteudue : au contraire , on peut dire que cet art de réaliser en quelque sorte par le calcul de fausses ou de vagues conceptions , n'est propre qu'à rendre l'erreur plus durable en lui donnant, pour ainsi dire, une sorte de consistance.

Au reste, si l'on veut voir, par le calcul même, le défaut des formules de M. Laplacc, il n'y a qu'à considérer les trois équations qu'il emploie , et d'où il part, comme d'une expression exacte de la conservation des aires sur les trois plans rectangles des axes coordonnés.

DU SYSTÈME SOLAIRE. SgS

En plaçant l'origine ou le foyer des rayons vecteurs au commun centre de gravité de tous les corps m ^m'y m" y etc. y qui composent le système propose', et nommant X y jr j z , les trois coordonnées du centre du corps m; x\y y z\ celles du centre de m' ; etc. , et employant, pour abréger, le signe 2 pour indiquer la somme de tous les termes semblables à celui qu'on écrit à la suite de ce signe; les trois équations dont il s'agit sont représentées simplement par

(dy dx\

X ~ — j* -^\ rei CTn constante ,

(dx d%\

je->^— j:-r-) = c =r constanien dt dtj '

(dz dr\ ^

y -7- — z -~- J= c = constante.

Or , je dis que ces formules ne sont vraies qu'autant que les coi*ps du système y sont réellement des points dont les masses respectives seraient m^ni ^ 7n'\ etc.

Que si m , par exemple, est un corps de dimension

finie, le terme m \rx -^ — ^ "T") ' ^^ ^^ rapporte

dans la première équation , n'exprime pas la projec-^ tiôn , sur le plan des xy , de l'aire décrite autour de l'origine pat le mouvement de ce corps m. Et en effet, il est évident que cette aire est la somnie de toutes celles qui sont dues au mouvement de toutes les parti* cules du même corps. Or , en nommant X et T les coordonnées de la particule é/m par rapport aux mêmes axes , il est clair que la somiùe dont il s'agit est l'intégrale /(X:^ ^~J') ^^ étendue à la masse entière

du corps m ; et l'on va voir que Cette intégrale n'est

pas exprimée, comme on le suppose, par le terme / dr dx\

Soient en effet , ( et 9r les deux coordonnées de la .particule dm , parallèles aux x et jr^ mais rapportées au centre de grayité du corps m , de sorte que l'on ait

dX dx d\ ^^.^ ®^ dt "^ dt"^ dt' dt~ dt'*' dt'

Si Ton substitue ces valeurs dans l'intégrale

ffX -7 Y -7- j£?m, et si l'on observe que, l'ori-

gine des 1^ et gr étant au centre de gravité de m, on a

/dJi /Vît

-£?m = o, J —dm=:o;

on trouvera que l'intégrale / (X-3 Y -7-) dm a

pour valeur la somme des deux termes

de sorte que la vraie valeur de Uairc décrite diffère précisément de la valeur qu'on emploie , de l'intégrale

I (i-f ^Tj ^^ > V^^ exprime l'aire due à la rotation de m sur son propre centre ; quantité qui doit