V'I^MENTS

pourrait lui donner, un nom particulier : mais celui de couple nous sufBt et peut très-bien désigner à la fois l’ensemble des deux forces contraires dont il s’agit , et le genre d’effort auquel ce couple donne naissance.

Au reste, comme on verra tout à l’heure (pie l’effort d’un couple est mesuré par son motucnl, on pourra souvent substituer ce second , mot au’ premier, ou les prendre quelquefois l’uD pour l’iiutre. '

•La composition des couples formera la' seconde partie essentielle des principes de notre Statique , et se reproduira dans le cours de cet ouvrage presque aussi souvent que la composition des forces. On en verra bientôt dériver les lois deFéquilibre d’une manière si naturelle et si simple, que l’on nouÿ pardonnera d’avoir paru nous arrêter ici à l’examen d’un cas singuber , lorsque nous tendions peut-être le plus directement possible vers le but principal.

Ce que nous allons dire sur les couples est tout à fait indépendant de l’effet qu’ils produisent sur les corps; mais lorsqu’on voudra se faire une idée des sens respectifs de différents couples situés dans le même plan, on pourra se représenter (pie les milieux de leiu;^ bras de levier sont fixes : alors l’effet de chaque couple sera. visiblement défaire tourner le corps au-

tour (lu milieu de son bras de levier, et l’on distinguera facilement le sens des couples en distinguant les couples qui tendent à faire tourner dans un sens, d’avec ceux qui tendent à faire tourner dans le sens contraire. Mais ne perdons pas de vue qu’il n’y aura réellement aucun point fixe (à moins que nous n’en avertissions expressément), et que l’idée de rotation, qui jusqu’ici est purement accessoire, ne servira qu’à faire image au besoin.

Translation des couples.

48. Nous avons vu plus haut qu’une force peut être transportée en un point quelconque de sa direction, pourvu que ce point soit lié au premier d’une manière invariable : voici une proposition analogue pour les couples, qui n'est pas moins remarquable que la première, et dont nous ferons le plus grand usage par la suite.

Lemme.

49. Un couple quelconque peut être transporté partout où l’on voudra dans son plan, ou dans tout autre plan parallèle, et tourné comme on voudra dans ce plan, sans que son effet sur le corps auquel il est appliqué en soit changé, pourvu qu’on suppose le nouveau bras de levier invariablement attaché au ptvmier.

Statique P.

ÉLKMENTS

Pour démontrer plus facilement cette proposition , nous la décomposerons en deux autres.

Fie- 18. Soit d’abord le couple (P, — P) {fiy. i8) appliqué perpendiculairement sur AB; prenons où l’on voudra, dans le plan de ce couple ou dans tout antre plan parallèle, la droite CD, égale et parallèle à AB; joignons AD et BC, qui seront dans un même plan et se couperont visiblement au milieu I de leurs longueui's respectives; et supposons enfin les droites AB et CD liées entre elles d’une manière invariable.

Si l’on applique sur la ligne CD, parallèlement aux forces P et — P , deux couples contraires (P', — P'), (P", — P"), égaux entre eux et au couple proposé (P, — P), il est évident que ces deux couples se détruiront d’euxmémes, et que par conséquent l’effet du couple (P, — P) ne sera pas changé. Mais, d’un autre côté, il est facile de voir que les deux couples (P, — P) et (P", — P") se détruisent aussi d’eux-mémes; car le point I étant à la fois le milieu des deux lignes AD et BC, les deux forces égales et parallèles P et P", appliquées sur AD, donnent une résultante parfaitement égale et opposée à la résultante des deux forces — P et — P", appliquées sur BC. On peut

donc supprimer les deux couples (P, — P),

(P", — P*), et il ne reste plus que le couple (P', — P') appliqué sur CD, lequel n’est autre chose que le couple primitif qu'on aurait, pour ainsi dire, transporté parallèlement à lui-méme, de manière que son bras de levier AH fût venu dans la position parallèle CD.

Soit, en second lieu, le couple (P, — P)

{fig. 19) appliqué perpendiculairement sm- AB.pig. , g Tirons dans le plan de ce couple, sous un angle quelconque avec AB, la droite CD = AB, et supposons que ces deux droites se coupent an milieu I de leurs longueurs respectives et soient invariablement fixées entre elles.

Si l'on applique à angle droit sur CD deux couples contraires (P', — P'),"(P*, — P") égaux entre eux et au couple proposé (P, — P), ces deux couples se détruiront d’eux-mémes, et par conséquent l’effet du couple (P, — P) ne sera pas changé. Mais, d’un autre côté, les deux couples (P, — P), (P", — P"), se détruisent aussi d’eux-mémes : car, avec un peu d’attention, on voit que les deux forces égales P et — P" qui se rencontrent en G, donnent une résultante égale et directement opposée à la résultante des deux forces — P et P" qui se rencontrent en H. Ou peut donc supprimer les deux couples (P, — P), (P", — P"), et il ne

reste plus que le couple (P', — P') appliqué sur CD, lequel n’est, pour ainsi dire, que le couple primitif qu’on aurait tourné dans son plan , de manière que son bras de levier AB fût venu dans la position oblique CD.

De ces deux propositions réunies, on peut conclure qu’un couple quelconque, sans que son effet soit changé , peut être transporté dans son plan , ou dans tout autre plan parallèle , en telle position qu’on voudra : car on peut d’abord le transporter parallèlement à ses forces dans le plan donné, de manière que le milieu de son bras de levier tombe au point donné qu’on voudra, et l’on peut ensuite le tourner autour de ce point , de manière à l’amener dans la position donnée, ou, réciproquement, on peut le tourner d’abord dans son plan , de manière que ses forces deviennent parallèles aux nouvelles directions qu’on veut leur donner, et ensuite le transporter immédiatement dans la position donnée.

2'ransfomiotion des couples; leur mesure.

Lemme.

, 50. Un couple quelconque (P ^ 20)

appliqué sur Un bras de levier AB , peut êlie

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changé en un autre (Q, — Q) de même sens, appliqué sur un bras de levier BG différent du premier, pourvu qiion ait P 1 Q ; BG AB , ou P X AB = Q X BG , c'est-à-dire pourvu que les moments de ces couples soient égaux.

Prenons, en effet, sur le prolongement de AB une partie quelconque BG, et appliquons sur BG parallèlement aux forees P et — P, deux couples (Q, - Q), (Q', - Q') égaux et contraires : leur effet sera absolument nul, et pai' conséquent celui du couple (P, — P) ne sera pas changé. Mais, d’un autre côté, si l’on suppose que les forces P et Q , et par conséquent P et Q', sont en raison inverse des lignes AB. etBG, leur résultante, qui est égale à P -f- Q', passe en B , et détruit évidemment les forces contraires — P, — Q' qui s’y trouvent. On peut donc supprimer les quatre forces P, Q', — P, -Q', et il ne reste plus que le couple (Q, — Q ) appliqué sur BG, lequel l'emplace le couple proposé (P, — P) appliqué sur AB.

Corollaire.

51. Il n'est pas difficile de conclure de là que les efforts des couples sont proportionnels à leurs moments.

En effet, on peut voir d’abord que deux

54 ÉLKMENTS ''

Fie ai. couples (P, — P), (Q, Q)(yîÿ. 21), qui agissent sur les bras de leviers égaux AB, CD, sont entre eux comme les forces P et Q de ces couples : car si l’on suppose les forces P et Q entre elles comme deux nombres entiers, comme 5 et 3 par exemple, en partageant chaque force P et — P en 5 forces égales , et chaque force Q et — Q en 3 forces égales entre clics et aux premières, on pourra considérer le couple (P, — P) comme la somme de 5 couples égaux et de même sens , appliqués parfaitement l’un sur l’autre, et le couple (Q, — Q) ’ comme la somme de 3 couples égaux entre eux et aux premiers, aussi appliqués l’un sur l’autre. Les intensités des couples (P, — P), (Q, — Q), seront donc entre elles comme 5 à 3, ou comme P à Q. Si les forces P et Q sont incommensurables, on fera le raisonnement connu, etc.

Maintenant soient deux couples quelconques (P, — P), (Q, — Q); soient p le bras 'de levier du premier , et q le bras de levier du second : le couple (Q, — Q) agissant sur la ligne q, est

équivalejjt au couple qui agi-

rait sur la ligne P ; car les moments sont égaux de part et d’autre, le premier étant Qq, et le

second, -Q./> = Qq. Ainsi, au lieu des deux

couples proposés, on a ces deux-ci (P, — P),

Q, — ^ qui ont un même bras de levier p.

Mais les intensités M et N de ces deux couples sont entre elles comme leurs forces , et par

conséquent l’on a M ; N ;; P : ?Q, ou bien M ; N ; ; Pp : Qq.

52. Puisque deux couples sont entre eux (^s le rapport de leurs moments , il s’ensuit que le moment d’un couple est la mesure dè son effort ou de son intensité ; car si l’on prend pour unité de couple, celui qui est composé de deux forces éf^ales à l’unité de force, appliquées sur un bras de levier égal à l’unité de ligne, le couple (P, — P) au bras de levier p , contiendra autant de fois l’unité de couple , que le moment P X p contiendra le moment i x i , c’est-à-dire contiendra l’unité.

Remai^ue.

53. Pour comparer entre elles les grandeurs ou les intensités des couples , on pourrait prendre aussi, au lieu des produits Pp, Qq des forces par leuis bras de levier rectangulaires, les produits de ces mêmes forces par des bras de levier obliques sur leurs directions. Mais il faudrait pour tous les couples que les bras

(•LÉMENTS

de levier fissent le même angle avec les forces. 11 est clair qu’alors les bras de levier obliques seraient tous proportionnels aux bras de levier rectangulaires , et que par conséquent les nouveaux moments seraient proportionnels aux premiers.

Nous emploierons quelquefois ces nouveaux moments dans la mesure relative de différents couples; mais nous regarderons toujours les autres comme la mesure absolue de leurs intensités.

Composition des couples situés dans un même plan, ou dans des plans parallèles.

Théorème I.

54. Deux couples situés comme on voudra dans le même plan ou dans des plans parallèles, se composent toujours en un seul, qui est égal à leur somme, s'ib tendent à faire tourner dans le même sens , ou égal à leur différence s’ils tendent à faire tourner en sens contraires.

En effet , on peut d'abord ramener ces deux couples dans un même plan , ensuite ramener leurs forces au parallélisme , enfin les changer en deux autres équivalents qui auraient un

même bras de levier, et alors les appliquer l'iin sûr l’antre.

Soient P et Q les forces composantes des denx conples; petq, lenrs bras de levier respectifs; et soit D la longueur du bras de levier commun aux deux couples transformés. Au lieu du couple (P, — P) au moment Pp , on substituera le couple équivalent (P', — P')» dont le moment P'D serait égal à Pp. On substituera de même, à la place du couple (Q, — Q) au moment Qq, le couple (Q', — Q') au moment Q'D=Qq ; et ces deux couples transformés étant appliqués l'un sur l’autre , sur le même bras de levier D, on aura un couple unique résultant, [(P' -b Q'), — (P-t-Q')], dont le moment sera

(F -H Q')D, ou PD -t- Q'D = Pp -+• Qq.

Ainsi , le moment résultant sera égal à la somme des moments composants, ou bien à leur différence, selon que les forces P' et Q', qui agiront à la même extrémité du bras de levier D , seront de même sens, on de sens contraires.

Corollaire.

On voit donc, en combinant ainsi les couples deux à deux , que tant de couples qu’on voudra, situés d’une manière quelconque dans

un mémo plan ou dans des plans parallèles, so réduiront toujours à un seul, égal à la somme de ceux qui tendent à faire tourner dans un sens, moins la somme de ceux qui tendent à faire tourner dans le sens contraire.

Et réciproquement, on pourra décomposer un couple, donné en autant d'autres qu’oil voudra, situés dans le même plan ou dans des plans parallèles. On pourra même prendre à volonté tons ces couples, hors un seul; car il suffira que la somme de ceux qui agissent dans le même sens, moins la somme de ceux qui agissent en sens contraire , soit égale au couple proposé.

Composition des couples situés dans des plans quelconques.

Théorème II.

55. Deux couples situés comme on voudra dans deux plans qui se coupent sous un angle quelconque, se composent toujours en un seul.

Et si l'on représente les moments de ces couples par les longueurs respectives de deux droites tirées sous un angle égal à celui des deux plans, et qu’on achève le parallélogramme, le lAoment du couple résultant sera représenté par

la diagonale de ce parallélogramme, et le plan de ce couple partagera C angle que font entre eux les plans des couples composants, comme la diagonale du parallélogramme partage l’angle que font les deux côtés adjacents.

Soient , en effet , les deux couples proposés, situés dans les deux plans A GM, AGN {fg- aa),FiB. aa. qui se rencontrent suivant AG; et supposons qu’on ait d’abord changé ces deux couples en deux autres respectivement équivalents, qui auraient un même bras de levier.

En quelque lieu que soit situé le couple (P, — P) dans le plan AGM, on pourra le ramener dans ce plan à angle droit sur l’inter^ section AG , de manière qne son bras de levier AB tombe sur l’intersection AG (49). De même, en quelque lieu quesoitsitué le couple (Q, — Q) dans le plan AGN, on pourra le ramener aussi à angle droit sur la même intersection , et de manière que son bras de levier, égal an premier, coïncide avec lui en AB.

Alors les deux forces P et Q appliquées en A, se composeront en une seule R appliquée au même point A, et représentée par la diagonale AR du parallélogramme construit sur les deux lignes AP, AQ, qui représentent les forces P et Q. Les deux forces — P, — Q appliquées en B , se composeront aussi en une

6o ÉLÉMENTS*

seule — R appliquée eu B, parfaitement égale , parallèle et contraire à la première ; et l'on aura, au lieu des deux couples (P, — P), (Q, — Q), le couple unique (R, — R) appliqué sur le même bras de levier AB.

Puisque ces trois couples ont un même bras de levier , leurs moments respectifs sont proportionnels aux valeurs des trois forces P, Q, R. Donc, si l’on représente les moments des deux couples composants par les deux lignes ÂP, AQ qui leur sont proportiounelles , le moment du couple résultant sera représenté par la diagonale AR do parallélogramme APRQ construit sur ces lignes. Or, il est visible que les angles formés par les trois lignes AP, AQ , AR , mesurent les angles que font les trois plans ; donc le plan du couple résultant partage l’angle des deux autres plans, comme la diagonale AR partage l’angle PAQ des deux côtés adjacents AP, AQi Donc, etc.

Corollaire.

56. On. pourra donc toujours réduire à un seul tant de couples que l’on voudra , appUqués à un corps d’ime manière quelconque dans l’espace : car, en les composant successivement deux à deux, comme nous venons de faire, on arrivera nécessairement à un couple unique

dont on connaîtra le plan et la {grandeur, et qui sera équivalent à tous les autres.

Réciproquement, on peut toujours décomposer un couple en deux autres situés dans deux plans donnés , pour\'u que ces plans et celui du couple proposé se rencontrent suivant une même droite (ou suivant des droites parallèles; car, en transportant le plan de l’un de ces couples parallèlement à lui-même, ce qui est permis (49), on rassemblerait leurs trois intersections parallèles en une seule ).

Remarque I.

57. Pour opérer cette décomposition, on n'aura qu’à suivre dans l’ordre inverse le procédé que nous venons de donner pour la composition de deux couples ; ou bien l’on emploiera la méthode suivante, qui est très-simple, et dont nous nous servirons quelquefois.

Soit AZ {fig.23) la commune intersection fîc. a3. des trois plans : menons à volonté un plan YAX qui les coupe suivant les trois lignes respectives A Y, AV, AX; et soie ZAV le plan du couple proposé.

En quelque lieu que ce couple (P, — P) soit situé dans le plan ZAV, on peut le placer

de manière que ses forces soient' parallèles à l’intersection A7, et que la direction de l’une d’elles , comme de la force — P , coïncide avec cette même intersection. Alors la direction de l’autre force P rencontrera quelque part’*en B la droite AV, et l’on aura le couple (P, — Pj appliqué d’une manière quelconque sur AB, comme on le voit dans la figure. Maintenant formons, suivant les directions A Y, AX, 9vec AB comme diagonale , le parallélogramme BCAD; et à l’un des angles C ou I), en D par exemple, appliquons deux forces contraires P', — P', égales et parallèles aux forcesP et — P du couple proposé. L’effet de ce couple ne sera pas changé. Mais actuellement , au lieu du couple (P, — P) appliqué sur la diagonale AB , on peut en considérer deux antres : l’un (P' , — P) appliqué sur le côté AD dans l’uii des plans donnés ZAY ; l’autre (P, — P' ) appliqué sur BD parallèlement à l’autre plan ZAX. Or, ce couple peut être transporté parallèlement à lui-même dans ce plan ZAX , sur le côté AC = BD ; et l’on aura alors , au lieu du couple (P, — P) appliqué sur la diagonale AB, deux couples (P, — P), (P, — P), composés de forces égales et parallèles aux premières, appliqués dans les deux plans donnés sur les côtés AD, AC.

Remarque II.

58. Si l'on supposait que le plan YAX fût mené perpendiculairement à la commune intersection AZ des plans des trois couples , les forces de ces couples seraient perpendiculaires aux lignes AY, AV, AX, et comme ces forces sont égales, les moments des couples seraient proportionnels à leurs bras de levier AD, AB, AC; et , d’après ce que nous venons de dire, on retomberait sur le théorème précédent (55) ; ce qui fournit, comme on voit, une nouvelle démonstration de ce théorème.

Remarque III.

59. Cette double démonstration vient de la double manière dont on peut transformer les deux couples avant de les composer. Dans la première, on commence par leur donner un même bras de levier avec des forces différentes; dans la seconde , on leur donne les mêmes forces avec des bras différents.

Il y aurait une troisième démonstration qui se ferait sans rien changer aux deux conples proposés. Car soient (P, — P) et (Q ,. — Q ) {Jig- 23 bis), deux couples appliqués perpen- F*g diculairement au plan du triangle ABC , sur

les bras, respectifs AB, ÂC; et supposons que les deux forces P et Q qui tirent en B et C soient de même sens. Il est clair que ces deux forces se composent en une seule P Q de même sens , et appliquée au point g qui divise la base BC dans la raison réciproque de P à Q. Les deux forces — P et — Q qui tirent en A se composent de même en une seule — (P-f-Q) appliquée au point A ; et si l'on fait , pour abréger, P-V-Q = R,on a le couple résultant (R, — R) appliqué sur Ag dans un plan perpendiculaire au triangle ABC.

Maintenant,. que du point ^ on mène deux parallèles aux côtés AB et AC , et qu’on achève ainsi le parallélogramme Algm ; il s’agirait de prouver que les moments de nos trois couples , savoir.

P X AB, Q X AC, R X Aÿ,

sont entre eux comme les côtés A/, Am ét la diagonale Ag de ce parallélogramme. Or, c’est ce qui est facile; car en mettant, au lieu des forces P, Q, R , les trois lignes C</, Bÿ, BC , qui leur sont proportionnelles , on voit que ces moments sont entre eux comme les trois produits

Cgi X AB, Bÿ X AC, BC X Ag.

Mais les triangles semblables donnent

e^X AB = BCx A/, et Bÿ.x AC:^BG X Am.

Substituant ces deux nouveaux produits à la place des deux premiers, et supprimant partout le facteur commun BC, on a les trois moments dont il s’agit dans, la proportion des ^impies lignes A/, Ani,Ag; ce qu’il fallait démontrer.

On peut varier encore ces démonstrations; mais il y a une manière bien plus simple de présenter la composition des couples, comme nous allons le voir dans l’aiticle suivant.

Expression plus simple des théorèmes qui concernent la composition des couples.

BO. Au lieu de déterminer la position d’un couple par celle de son plan , on peut la déterminer par la direction d’une droite quelconque perpendiculaire à ce plan , et que l’on pourra nommer l’oxe du couple- Puisqu’un couple peut être supposé appliqué où l’on voudra dans sou plan ou dans tout autre plau parallèle ('i'B), il est visible que l’on conuaitra- la position d’uii . couple dans l’espace , lorsque l’on connaîtra la direction de son axe : car, en élevant où l’on voudra sur cet axe un -plan perpendiculaire, on pourra prendre ee plau

pour celui dû couple proposé.

Statiouk P.

Ainsi la pôsition de différents couples pai’allèles peut être donnée par une seule droite perpendiculaire à tous CCS cduples , et qui en sera , pour ainsi dire, l’axe commun.

Si les couples sont situés dans des, plans quelconques, on supposera d’abord, pour plus de, clarté, qu'ils soient transportés dans des plans respectivement parallèles, tous conduits par un seul et même •point A, pris à volonté dans l'espace , et qui deviendra le commun centre de tous ces couples : et si. l’on prend ce point pour l’origine des perpendiculaires qu’on élève à ces plans respectifs, la position des différents couples se trouvera donnée par celle d’autant de droites partant d'un seul point, et faisant entre elles les mêmes angles que les |)laus des couples proposés.

üc plus , si, à partir de ce point A , on porte sur ces droites des longuem-s ATj,.AM, AN, etc. , proportionuellès aux moments re.spectifs de ces couples , que je désigne ici par les simples lettres L, M, N, etc., chacune de ces lignes terminées, telle que AL, suffira pour représenter à la fois l’a.\e et la grandeur du couple L qui lui correspond.

Enfin, si l’on veut que la mpme ligne AI. |)iii.sse encore indiquer le sem dans lequel ce couple agit (ce (|ui est néce.s,sairc pour achever

DE STATH^DE. 67

la <léteriiiioation complète du couple), il n'y auca qu’à faire uue convention toute semblable à celle qui regarde les simples forces. Or, pour une simple force P appliquée en A et qu’on représente par line certaine ligne AP , cette convention consiste, comme on l’a dit (11), en ce que l’action de cette force a tpujours lieu de A vers P, ou que la force tire de A eu .P. Ici , pour un couple L appliqué autour du centre A, et dont je représente l’axe et la grandeur par la ligne terminé* AL , je supposerai toujours que le -sens du couple ou de la rotation qu’il tend à produire est tel que, si l’on se plaçait au point L, considéré comme le nord, pour regarder devant soi le point A, considéré comme le midi, on verrait la rotation se faire de l’orîent à l’occident,. ou de la gauche à la droite, comme se fait à nos yeux le mouvement du soleil, ^’est d’ailleurs le sens ordinaire dont la main fait tourner la plupart des instrume’nts de rotation ; et c’est dans ce sens convehu qu’agira pour nous le couple représenté par l^igne AL.

On peut adopter, si l’on veut, la convention contraire, pourvu qu’on s’y conforme avec le même soin pour tous les couples dont il s’agit dans une même figure, ou dans l’énoncé'd’iinc même proposition.

68 KLÉMENTS

Au l'este, on voit qu'une des deux çcfiiveutioiis, comme la première, nous sufBt; oar, s’il fallait indiquer dans la figure un couple L' contraire à L,"’on le représenterait de., même par une ligne AI/, ih’ais portée’ de l’autre cAté du point A sur le prolongement de. la première. Il est clair, en effet , que ce second cofuple qui, vu du point ferait tourner dans le sens convenu, c’est-à-dire de gauche à drôite, étapt vu du point L, ferait tourner de droite à gauclft , et serait réellement contraire au prenlier.

Par cette manière de déterminer les couple.s et d’en indiquer les sens simultanés, on voit donc que la représentation géométrique de tant de couples qu’on voudra,’ appliqués ‘sur un corps dans des plans quelconques, devieut parfaitement la même que celle d’autant de simples forces applicfuées sur un point; et l’on va prouver tout à l’heure que leur composition peut s’exprimer par des lois toutes semblables. Tout se réduit en effet à fa démonstration du tliéorème suivant, qui remplace le théorème II, et qu’on peut très-bien nommer le pnmlléloyrarmne des couples.

nÇ STAT.IQÜE. 69

Théorème.

61 1 Si deux couples L et M sont réprésetUés , pour leurs axes et pour leurs grandeurs, par les deux côtés AL et AM un parallélogramme ALGM , ces deux couples se composent en un seul G représenté, pour son axe et pour sa grandeur, par la diâgonale AG de cé parallélogramme.

En effet, que du point A et dans le plan du parallélogramme ALMG {fig. 24), on mène^'sdeux lignes II', mm' perpendiculaires et proportionnelles aux deux côtés respectifs AL et AM , et qui soient toutes deüx coupées par leur milieu au point A. Si l’on achève les parallélogrammes Algm, ATg'm', il est claii’ que cesparallélogrammes seront égaux entre eux , et semblables au premier AÏjGM, et que par conséquent la ligne gg' sera aussi perpendiculaire et 'proportionnelle à la diagonale AG, et coupée en soi} milieu au point A.

Maintenant, que sur les lignes U', mm', comme b^as de levier , et dans des plans .perpendiculaires à la figure , on applique 'deux couples composés de forces égales , le premier (P, — P) sur la ligne II ', et le second (P, — P ) sur mm'; et supposons, pour nous coofonuer à la convention ci-dessus (60), que ces couples

tendent tous deux à faire ‘tourner de gauche à droite quand on les regarde l’un apr^ l’autre des points L et M. Il est évident que ces- deux " couples péüvent être pris pour ceux que les côtés AL et AM représentent : car, l' ils sont situés dans des plans perpendiculaires à ces côtés ; -2“ ils ont des moments proportionnels aux mêmes côtés; et 3“ leui-s sens simultanés sont conformes à la convention établie. Or, il est aisé de voir que ces deux couples se composent en un seul , représenté de même par la diagonale AG. En effet , les deux forces P et P appliquées en / et m se cômposent en une seule 'iP parallèle et de même sens, appliquée' au point c, qui est le milieu de bn, et par conséquent, le milieu de Ag. De même les deux forces — P et — P, en t et m', se composent en une seule — 2P appliquée en c', milieu de A(f ; et l'on a -le couple résultant (2P, — aP) appliqué sur la ligne cc\ on simplement, le couplé ( P, — P) appliqué sur la ligue double gg'. Or ce couple est évidemment' perpendiculaire et proportionnel à la diagonale AG, et fait aôssi tourner de gauche à droite quand on le reg’ardc du point G. Donc, etc.

Nous aurions pu tirer ce théorème de l’une c^es démonstrations qui précèdent,- mais nous avons préféré d’en faire ici' la démonstration

immédiate , et sur une uouvelle figpire , où l’on vît très-clairement les sens relatifs que doivent avoir ensemble les trois èouples " que' y considère.

Remarque, I.

ri-

62. On voit ici', par on raisonnement -tout à fait semblable à celui du n" 37, que si deux couples agissent dans des plans qùi se coupept, ou. qui ne sont point parallèles, ils ne peuvent jamais donner un couple résultant nul, à moins qu’ils ne soient nuis tous les deux à ia fois.

* Remarque II.

63. Lorsque les plans des couples composants sont rectangulaires entre eux, les deux axes AL

et AM sont aussi rectangulaires , et dans le

rectangle AI.GM, ou a AG = AL ‘-f- AM ; de plus, si l’on nomme a et |3 les angles que fait la diagonale AG avec les deux (fôtés adjacents AL , AM , on <i

AIj = AG.cos a , AM = AG.cos jS.

Donc, en désignant simplement les trois mo-

inauts respectifs parles lettres L, M, G, on. a

pour le. moment G, G* = L* M®, d’où

(i = viy+M®,

et, pour les aufjles a et ^'que sou axe fait

avec les axes des deux autres, L =-G cosa,

M = G cos jS , d’otf i

cosa = •• cos/3 =

• Reinarcftw II l.

En général , si l’on nomme (p l'angle que font entre eux les deux couples composants, ou leurs axes AL et AM , on atira dans le parallélogramme AliGM",

AG = AL -t-. AM -4- lALx AM. cos y,

et [)ar conséquent

G* = L* M* -t- aLM cos f;’

ce qui donne le couple résultant G par les cnuples composants L et M, et leur inclinaison mutuelle

Si i’angle f est nul, on* a cos 9 = 1 , et il vient '

G=iL-+-M;,

ce qui s’accorde avec ce qu’on a déjà vu ; car les deux couples sont alors dans le méine plan et de même sens , et ils se composent en un seul égal à leur somme.

Si l’angle œ est égal à deux droits, on a

COS 9 = — I , et il vient G = L — M; ce <jui doit être; car les deux couples sont^lors de sens contraires , e^ ils se composent en un séul égal à leur différence.

Lorsque ip est un angle droit, cos 9 = 0, et l’on a G = v/ï7+M% comme ci-dessus.

liimarque IV. < .

De la composition de deux couples, il est bien facile de s’élever à la coniposition de tant de couples qu’on voudra, et il est évident qu’on aura des théorèmes tout semblables à ceux qui regardent les simples forces autour d’un point : cependant je crois devoir énoncer et démontrer comiue théorème, le corollaire suivant,

, > à caiise du grand u.sage qu’on en peut faire en

Mécanique.

Théorème.

64. Trois couples représentés, pour leurs axes et pour leurs grandeurs, par les trois arêtes coniiquës ({un parnllélipipède , se composent toujours en un seul représenté, pour son axe et poitr sa (jrandeur, par la diagoiiale de ce parallélipipède. - * - . • 'Soient en effet A. ..G {Ji(j. aS) le pafallélipi-Fie. aJ pede; AL, AM, AN, les côtés qui rcpréssenteiit .* à la fois les axes et les moments des trois couples.

Les deox- couples' représentés par les deux côtés AL, AM du parallélogramme ALOM, sc composeront en un seul représenté, pour son axe et pour sa grandeur, par la dlagonalé AO de ce parallélogramme. Maintenant ce couple , et le troisième représenté par AN, se composeront en un seul représenté par la diagonale AG du parallélogramme ANGO. ür, cette diiigonale est en meme temps celle dji parallélipipède ; donc, etc.

65. O41 \oit encore ici, parle même raisonnement que celui du 11* 42, que si trois couples agissent daùs trois plans qui forment un angle solide bu qui sc coupent eu un point unique, ils ne peuvent jamai.s avoir un couple résultant nul , à moins qu’ils ne soient nuis en meme temps tous les trois.

Remarque.

66. Lorsque le parallélipipède est rectangulaire, en nommant L, M, N les moments compo- Scuits, et G le moment résultant, on a manifestement G* =L®4-M*-hN*.

En désignant par X, [x, v, les trois angles que .la diagonale, ou plutôt que l’axe du couple résultant fait avec les trois axes des couples composants, ou a

L = (i cos )., M cos /X, N = (i COS V ;

d’où ' ,

COS/=g, cos [2.=^, COSV = -g. .

Donc , s’il s’agit de calculer le moment résultant G de trois moments L, M, N, dont les axes

sont rectangulaires , on aura pour sa valeur ,

G = V L*-+-M*-hN* , et pour les angles X, /x, v, que son axe fait avec les trois axes des moments composants,

. cos A = ■ , ■ ,

cos U. = ,

COSV = , • =:r-.

S’il s’agit, au contraire, de décomposer un couple G en trois autres, situés dans trois plans rectangulaires entre eux , ou dont les trois axes soient rectangulaires, on aura, pour les valeurs respectives des moments composants,

L = G cos A , M = G cos p, , N = G cos y ; >

A, p,v étant les trois angles que l’axe du couple donné fait 'avec ceux des couples composants cherchés.

67. Au reste, nous ne nous arrêterons pas siii’.ces détails; nous remarquerons seulement qu’entre les sept quantités L, M, N, (A, ros A,

76 ' KLKMENTS

cos ju, cosv, OU a quatre équations qui sont-: G*=L»-l-M»-|-N^ L=Gcos)-, M=Gcosfi, N=G cosv, au moyen desquelles, connaissant d’ailleurs trois de ces quantités, on pourra déterminer les quatre autres.

Il faut pourtant excepter le cas où l’on «te connaîtrait que les trois angles X, fi, v; alors on ne pourrait obtenir que les rapports des' moments L , M , N , G.