OO^CLUSION GÉNÉRALE DE CE CHAPITRE

Composition des forces dirigées comme on 'voudra dans l’espace.

6^. Soient tant de forces que l’on voudra, F*, P,, P„, etc., appliquées d’une manière quel- ’ conque dans l’espace, à un corps ou système libre. •

^ Je considère d’abord l’une d’elles, la force P Fig. a6.(j^g. a6), par exemple, qui est appliquée au point B. blnsuite, au point A, arbitrairement pris dans ce corps , ou au dehors (pourvu qu’on l’y suppose invariablement fixé), j’applique deux forces contraires P', — P, égales et parallèles à la force P. Il est clair que je 11 ai rien «’hangé à l’état du .système. Mais je puis consi-

DK STATIQL'i:. r-

dérer maintenant, au lieu de la force P. appliquée en B, là force P' appliquée en A , et le couple (P, — P') agi^nt sur ‘la droite 4'B- Si, pour ^lus de darté, on transporte ce couple aillalPs , dans un plan quelconque ftfrallèle au sien,* il <ne rester^ *au point A que la force P ' égale et parallèle>’ à la force P", ‘ et qui n’est en ' quelque sorte que cette même force P qiVon aurait transportée parallèlemeut àtÊHé-même do B en A. * ,

Si' l’on fait la même transformation pour toutes les forces du système à l’igard' du même point A, il est manifeste que toutes ces forces viendront s’y réunir parallèlement à ellesmêmes, mais qu’il y aura de plus dans le système autant de coupla^ appliqués provenant de chaque transformation. Or, toutes. les forces appliquées ayi point A se, composeront eu ime seule-R, et tous.les couples eu un seul couple (S, — S) {fig. 27) appliqué, sur une certainefin droite BG.

Ce qui nous apprend que tant de forces que l’on voudra, appliquées d une manière quelcotique à un corps, peuvent toujpurs ,se réduire à uM‘ seul/e force qui passe par un point donné à volonté, et à un seul couple, dont le plan sera en général incliné à la direction de la force.

Observons,' sur-le-champ, 'que la quantité,

J 8 KLÉM^NTS

la directiôu et le «ens de la résultante R seront

toujours les miêq^cs, en quelque lieu qu'on ait pris le poin^ A.>En variant la position de ce point, la résultante R ne fera <fue se transporter p^raU^lcinent à elle-même en diligents lieux de l'espace ; majs le pL^n et la graddeur du couple résultant (S, — S) changeront nécessaireiTvent.

Qr,^pasiMû:fCettç infinité de réductions relatives à tous les points A de l’espace, il y en a une distinguée de tentes les autres eu ce que le plan du couple résultant est perpendiculaire à la direction de la résultante. C’est>ce qu'on peut démontrer ici d’dîie manière très-prompte. Car tout étant déjà réduit à la seule force R et au seul couple (S , — S) par rapport à un point connu A, imaginez qu’on décompose ce couple (S, ^ — S) en d^ux autres, l’ùn (T, — T) qui tombe dans un plan perpendiculaire à laditectron de la résultante, et Tautre (V, — V) dans un plan qui passe par cette direction AR. Si dans' ce plan, où se trouvent à la fois le couple (V,,— V) et la force R, on transporte cette force parallèlement Aelle-méme de A en O d’un tel côté, et à une telle distance AO, que le couple (R , — R), né de cette translation , soit égal et contraire au couple (V, — V) et le détruise, il ne resiera plus que la seule force R ,

appliquée au nouveau O , aVec le,^ seul

couple (T, qui.pst^an^iyi (^n pcrpj^ndiculaire à ^ direction de ccUc fo^e. Ainsi ImU de Jbrces ^ voudra sont kHtj«ui<s^éSactifdesà une seule force et g un j^ul couple dont, le plan est perpendiculaire à la direction de lu force : de fiorte qu’il y a >,toujours||pns l’espace, ÿiie certaine droite déterminée OR qui peut seiyir à représenter, tout à la fois la diIlpcti^n tii»‘'la n'-sultantc et l’axe.du couple résultant.

• Cette réduction est uuiqi^ : j<? veux direjnu’H n’y a dans l’espace aucun autre lieu où l'on puisse; trouver le couple résumant pcrpei^culaire à la résultante. Car mâiiit«iuqut , de quelque côté qu’on veuille tran^orter la force R, hors de sa position actuelle OR , elle produira un couple (R, . — R) perpendiculaire au couple •(T,^t), et ces deux couples, étant composés en uqseul, donneront le nouveau CQuple résultant nécessairement incliné au couple (T, — T); et même toujours plus grand, puisque les deux composants sont rectangulairos entre eux. D’où l’on voit, non-seulement que le couple (T, — T) est le seul qui puisse être perpendiculaire à la direction de la résultante, mais qu’il est encore le plus petit de tous les couples' résultants qu’on peut trouver par rapport à tous les points ^de l’espace. On voit en même temps que, pour des

illLÉMENTS

poiiUs pris 'autour ü^OH , à égaies distances de ce|tc droifé , couphsi). résullÀits ont des vâlem-s égales, et sont datis-des plans- différents, mais jga lement incthn» à cet,' ^e OR , qu'on peulwisi ndmmor \ axfi central des couples du système. En s’éloignant de cet axe , on trouve dei^couples toujo^-s.plu* grjiods et qui croissent saiM bornts ; mais ils ont tous cette commune pifopriétS" {jpfe chaetin d’eux, estimé sxuc le plan perpendiculaire à la direction constante de la force Rf donné le q^ème couple (T, — T)fd’oii l’on voit que la valeur de ce coiiple niinimtim s’oblient tout -de fuite en prenant un couple réstiltapf quelcQW|ue — S) et le multipliant par le cosinus de son inçlinaisou'au plan dont il s’agit,

, Je ne présente, en .passant, cet axe central , où se fait une réduction si himineu.se de to'utesles forces du système, que pour éclaire^ à.la fois -toutes les autres réductions équivalentes’, et les grouper, pour ainsi dire, dans un seul ta-t bleaii où l’on eif vojt d’un coup d’œil l’ordre et la ch’pendance mutuelle. « ■ '

' On trouvera cette théorie plus développée dans notre Mémoire sur les Moments et sur. tes /lires ; mais je dois me borner ici aux corolfairea généraux qui importent le plus à nos Eléments de Statique. . .

nE STATIQUE.

, Corollaire

contient les fois de l’équilibré de tout système libre. *'

69. Uu couple ne pouvant jamais être tenu en équilibre par aucune simple force dirigée comme on voudra dans l’espace , 'il résulte dè ce que nous venons de dire qu’il ne pourra jamais y atoir équilibre dans le système, à moins que la résultante R des forces ne soit nulle d’elle-même , et que le moment du. couple résultant (S, — S) ne «bit aussi nul de luimême.

Ainsi, toutes les forces appliquées au syst^e étant transportées parallèlement, à elles-mêmes en un point quelconque du système ou de l’espace , doivent s’y faire équilibre entre elles; et tous les couples quelles -produisent en se transportant en ce point doivent aussi se faire ‘équilibre entre eux.

. Remarque.

70. Telles sont, pour un systèihe libre quelconque, 4e forme invariable, les deux conditions d’équilibre nécessaires et suffisantes , c’està-dire sans lesquelles l’équilibre ne pourra subsister, et telles qu’il aura manifestement lieiv, si elles sont remplies.

Statiqo* P. 6

Hî KLKMENTS

Pour développer ces deux conditions , il faudra remonter à la valeur de la résultante R , et à la valeur du couple résultant (S, — rS), en conservant les lois qui liept la résultante à ses composantes, et le couple résultant aux couplés composants,, faire ensuite la force R et le couple (S , ^ — ' S) ^us4»demt nùls^ et voir quelles relations cela* établit entbe les forces primitives appliquées aiPsystème. On obtiendra de cette maniéré les conditions de l’équilibre, exprimées au moyen des seules forces données immédiatement par l’état -de la question; ce qui est la solution du pinblème que nous avions en vue.

Mais tous c^ développements qui , d’après les principes posés .ci-dessus, ne sont plus qu’une affaire de Géométrie et de calcul , feront l’objet du chapitre suivant.

^Corollaire II

Qui contient les conditions nécessaires pour que toutes les forces appliquées au ^'stème aient une 'résuUante unique, lorsqu’elles ne se font pas " éqttilibre. •

' 71. Tontes les forces ^pliqnées au système étant. rameBées, ainsi que nous venons de le voir, à une seule force et é un couple, soppo-

sons que cette force R et le couple (S, S) puissent se réduire à une seule force; ou, si Ton veut , qu'une force unique R' f^s^e équilibre au .couple (S, — S) et à la force R.

Puisqu’il^ y a équilibre entre les deux forces R , R' et le couple (S, — ^ je dis que les deux forces R et R' doivent former un couple con.^^ traire .et équivalent au couple (S, — S), et situé dans le même plan*, Ou dans un plan parallèle, ce qui est ici la même <;Jiose.

Car il «ne peut arriver que trois cas ; ou les deux forces R et R' seront susceptibles de se

réduire à une seule, et alors cette force ne «

pourra faire équilibre au couple (S, — S); ou elles se réduiront à une seule avec un couplé , et alors ce couple et le proposé (S , — S) se réduiront à un seul, qui ne pourra pa^ être en équilibre avec la ‘force; ou bien enfin elles se réduiront à ün seul’ couple, et c’est le ^ul cas qui puisse arriver. '

n faut donc au moins que les deux forcés R et R' forment ensemble un couple. Mais pour que ce couple fasse équilibre au couple (S, — S), U est nécessaire qu’il soit situé dans te même plan ou dans un plan parallèle , sans quo*i .ces deux couples se composeraieut toujours eb Un seul qui ne pourrait jamais 'être nul '(62), et il n’v aurait pas équilibre. Donc la direction de

84 ÉLÉME^ns

la résultante R <loit être parallèle au plan du couple résultent (S',’ — S ) ; et par' conséquent , toutes les forçes' appliquées au système ne pourront jamais se réduire à une seule^ à moins que la résultante -de ces forces transportées parallèlement à elles-mêmes en un même point, nait une direc'^ tion parallèle ou plan du couple résultant, et cela, en quelque lieu de' l’espace qu’on ait pris d’abord le point où l’on a transporté toutesJes forces.

Cette condition est nécessaire , et il est clair

qu’elle suffit en 'général; car, à moins que la

résultante R ne soit nulle, on sera toujours

maître d’appliquer au système une force R'

qui soit égale , parallèle et opposée à la force

R', et qui forme avec elle un couple (R , — R )

d’un sens contraire à celui 'du couple (S, — S),

et d’un , montent équivalent. ’ Cette force ès-

timée en sens contraire sera 'la résultante* gé-

nérale.' ^ ‘

> Au reste , on pourra prendre immédiatement cette résultante : car si la force R appliquée en A est parallèle au plan du couple (S,, —,8),, on pourra amener ce couple dans up même plan avec la' force R, et alors les trois forces R, S et S étant dans le même plan , se composeront toujours en une .seule , é{>;ale et parallèle A R , et qui sera la 'résultante unique de toutes les forces.

DE STXTIQüE, 85