ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES

rortM‘i|nence de» trois équations ( A ), comme ii n'y a ^ sui vanl ces trois fignes m, n, p, que d»s forces nuttrs pour s'opposer à ces' trois variations , il s'ensuit qu'il n’y a rien dans le système cpii puisse eraprôher les deux forces de produire la variation de la distance q des deux points i|u'elles sollicitent en sens contraires, et cjue par consc qiient il ne peut y avoir équilibre à moins que ne soit nulle d’elle-méme.

0|i voit donc que toutes ces forces Xt P» f, etc. , sont nécessairement milles, et que les forces proposée M', N', PVQ', R', S', T', etc., par cela seul qu’on les suppose capables d’être en équilibre sur le système, doivent rentrer-toutes dans les mêmes expressions que les premières M, N, P, Q, R, S, T, etc. ; c« qu’il fallait démontrer.

Cette démonstration est générale : c’est uniquement pour abréger le discours qu’on a pris ' l’exemple d^ln système oir les |K)ints ue sont liés que par troix équations > mais ii est clair que notre raisonnement n’emprunte rien de cet exemple, et qu’il A- 'ferait de la même manière si les points étaient liés par un*nomb^ quelconque d’éqiiations. .Ainsi le théorème qui fait l’objet de cette Note se trouve'complétement démontré.

De plus, il faut remarquer que notre théorème ne convient passeulcment à iiii système libre, et où parconséqjfht la liaison des corps ne peut jamais consister que dans des é(|uadons données entre leurs Histanres mutuelles : il est également vrai pour un. système de points liés par des équations quelconques entre leurs coordonnées relatives k des objets fixes ; car il e«f facile <ie raqiener la consic^ation d’un tel système à celle d’un système entièrement libre, comme on l’a vu au titre IV de notre Mémoire. On peut donc dire, de la manière la pUis généthle. que'/’é-

472 • . KQU1UBRE •

(luilihrt dUui systèmi’ </uelcunque défini par plusieurs équalions , peut toujours se décomposer en -autant d’équilibres, dont chacun, relatif à chaque équation , a réellement lieu à part en vcj^ude cette seule équation. G’ est, en quelque sorte, fTi superposition de tous ces équilibres partiels sjiii fait ré(|uilibre général du système.

Mais il y a encore quelques conséquences délicates à

tirer de cette analyse.

En Mécanique, on pourrait noniiucr simple tout système où les points ne sont liés que par une seule équation : car il n’y a alors que des forces de proportion et de directions déterminées qui puissent s’y faire équilibre. Ce groupe de forces est donc simple, ou indécomposable en groupes différents capables d’un équilibre séparé. Or, de l'analyse qui .précède il rc-sulte <|ue , dans chaque cas d’équilibre, on peut toujours voir comme simple un système quelconque complexe, c ’i-st-ù-di re dont les points ‘sont liés à la fois |>ar plusieurs é(|uations.

En effet , qu’oii multiplie re^ectivement ces equadons par des coefllcieitts constants indéterminés À ,« p , v , etc. , et qu’on les ajoute tout'es ensemble pour n’en former <|u’une seule éipiation (|ui peut être nommée la résultante; il sera toujours permis de supposer que les points du syVtèiiie ne sont liés entre eux que par cette seule équaüon. Car, si l’on en tire, suivant cette hypothèse, les expressions des forces capables de l'équilibre , on est sûr tpie ces e.xpressions, au moyen des coe®cienLs indéterminés X,*p, v,^etc. qu’elles renferment, seront propres à repn-senter tous les. groupes imaginables de forces capal^i-s d’être en équilibre sur le système complexe dont il s’agit.

Considérons un de. ces groupes eu particulier, et pa|

ET MOUVEMENT DES .SYSTÈMES. 4?'^ ' r,^iucquem dannuns n, etc., les valeurs particu-

lières X,, IX,, V,, etc., qui répondent à ce groupe. L’equa-, tion résultante devient alors une cquatioti tout à fait détenninée. Or il est clair que, pour ce groupe , on peut, sans que l’équilibre soit troublé', juppoaer que les points ne sont plus liés entre eux que par cette seule téquation, et supprimer en conséquence dans le^ système tous les divers liens représentés par les diéS-ses équatiems, pourvu qu’on les remplace par le lienuniqiH représenté par l’équation déterminée dont il s’agit. Ainsi le système complexe pourrait se transformer tacitement en un système simple sans que l’éipiilibre fût rompu. Voici la seule différence de ces deux équilibres. Si l'on conserve entre les corps tous les liens donnés, le groupe de forces pourra se décomposer en autant de groupes différents dont chacun serait en équilibre à part en vertu de chaque lien : si l’on ne met entre ces corps que le lien unique dont j’ai parlé, le groa|>e de forces reste en équilibre , mais il devient indéccpi^sable; il faut alors que toutes les forces y agissent' à la fois ou que le^roupe reste un , comme dans le cas d’un système parhiitement simple.

Ob connaît cet axiome de toute évidence, qu’op trouble pas-l’équilibre de plusieurs corps en ajoutant, aux liens qu’on suppose déjà les unir entre eux, tant de nouveaux liens qu’on voudra : mais on voit ici une espèce de proposition inverse qui ne parait pas si évidente.' C’est qu’on peut aussi , sans troubler l’équilibre , tous les liens donnés qui unissent les différents points d’un système , pourvu qu’on y substitue un seul lien convenablement choisi : de sorte que ces points peuvent passer de l’état de la plus grande dépendance à celui de la plus grande liberté , saq| cesser d’être en ^uilibre sous l’action des

47‘i ÉQUILIBRE

mêmes ■ forces (j'cnten<l$ ici la {los grande liberté que * des points puissent avoir quand ils font encore un sy$tôme, c’est-à-dire lorsqu’ils restent liés ensemble au moins par une équadoh),.

Cette cquadon, quifieut. tenir lieu de toutes les autres, s'en déduit facilement , comme on l’a vu tout à l’heure : mais on |>eut aussi la trouver, ou du moins. en former une équivalente, sans éonnaître en rien les équations du syslème : il suffit de dhnnaître le groupe des forces^qu’on y suppose en équilibre. Car soient M, N, P, Q, R, S, etc. , U-s valeurs actuelles de ces forces décomposées suivant les distances mutuelles m, /», p, q, r, s, etc.., dos différents corps , il est clair qu’on peut prendre simplement l’é<|uation linéaire

Mm -I- N/i P/» -I- Qq -4- Br -I- Sr -I- etc. = const.,

pftiif représenter le lien cherche.

C’est ce qui résulte évidemment- de notre apalyse , et ce qu’on pourrait voir aussi par la simple théorie des polygones funiculaires : car la liaison exprimée |)fer l’équation précédente peut être réalisée , en Mc-canique , au moyen d’un Ku| fil fiexiblc et- inextensible. Supposons, en effet (ce qui est ici permis), que les forces M, N, P, Q, R, S, etc. soient coinmcnsurables entre elles, et prenons |M)uj; unit^la demi commune mesure. Les valeurs M, N,' P, etc. ,%vicndrout des nombres entiers et tous pairs. Or, on peut démontrer que , -dans ce cas , il est toujours possible de conduire par tous les points du système, comme par autant d’anneaux ^ un même fil qui revienne au [loint de départ, après avoir passé M fois sur la distiincc m, N fois sur la distance /», P fois s«r la distanc^/c, etc., de

ET MOUVEMENT DES SYSlICMES. 47-‘> manière que la longueur totale de. ce fil , qu’on-pourra fermer, soit exprimée par Mm N/i -l-.P^ + etc.

Si donc ce Æl flexible, le long duquel les points peuvent couler librement , n’est pas susceptible de s’allonger, et que les fbrees agissent de manière à ce qu’il soit tendu, il représènlera la liaison dont il s’agit. Or, pour l'équilibre d’un tel système , il-estbicn évident que;le fil doit avoir partout la même tension; que par conséquent les valeurs des forces égales et contraires qui ont lieu entre les points, suivant leurs distances m, n, p, q, r, Sf etc., sont précisément entre elles comme les nombres M, N, P, Q, R, S, etc. : de sorte que les points a, b, c, d, e, etc. du système ne pourront être tenus en équilibre que par autant de forces appliquées* A , B, C, D, E, etc., qui soient capables de te décomposer en cell(;s-là, etc., etc.

liêmnnstratwn, du principe des vitesses virpulles. Identité de 'ce principe avec le théorème général qui fait l’objet du Mémoire précédent. ' ■ . ’

On s’est contenté d’observer , dans le Mémoire , q’ue du théorème où l’on est parvenu sur l’expression générale des” forces de l'équilibre, on pouvait passer aisément au principe des vitesses virtuelles. Mais ce principe est si célèbre dans l’histoire de la Mécanique, que jé ne puis m’empècber de marquer en- de mots ce passage; et j’y reviens d’autant plus volontiers, que non-seulemcnl le principe des virtuelles est un corollaire de la pi'oposi-

lion générée établie ci-dessus, 'mais qu’il me paraît encore identique avec elle lorsqu’on le regarde sous son vrai point de vue, et qu’on l’énonce d’une manière complète.

Soit le système défini par les équations suivantes entre les'boordonnées des corps

? (x, y, z; x', y', z', etc.) = o, etc.

Supposons qu'on imprime à tous ces corps des vitesses ({uclconques qu’ils puissent avoir actuellement sans violer les conditions de la liaison: les coordonnée^ x, y, z; x', y', z'f etc., varieront avec le temps/, dont il faudra les regarder comme ' fonctions ; et, pour que les

. . ■ ■ . . dx dy dz dx'

vitesses impnmees —, etc., soient per-

mises par la liaison, comme on le suppose, il faudra qu’elles satisfassent aux équations {

'dt

Ÿ (x)^ + +/'W J + etc. = o,

'dt

^dt'

~dt

etc. ,

tirées des précédentes ( A ) ; et il suffira qu’elles y satisfassent pour que les conditions de la liaison soient observées.'

Ou bien , si l’on muÜfiplje ces équations par des coefficients quelconques inJetcrniiiiés >, fi, etc., et qp’on les ,'ijoutc, il' suffira que' les vitesses satisfassent à la seule

ET MOUVEMENT DEi SYSTÈMES. /(-jy i-quation suivante , indépendamment de X, p, etc.

[X/'(x) -+- p/(x) + etc.]^

+ [X/'(*) + p^'(s) 4- etc.]^

-f- etc.

Or les fonctions qui multiplient les vitesses Hz dx'

etc. , ne sont autre chose (d’après ce qui a élc

démontré) que les expressions générales des forces capables d’être en équilibre sur le S3rstéme. Supposant donc des forces X, Y, Z; X', Y', Z', etc., qui s’y feraient actuellement équilibre ; on aurait nécessairement

dx' dr'

Z^+Y'^-l-etc. = o.

dt dt

An lieu des trois composantes X, Y, Z, multipliéc's par les vitesses respectives on peut mettre la

résulunte P, multipliée par la vitesse ri-sultante , iVic)-

jetëe sur la direction de P, et que je nommerai — ; et de

même pour le$ autres, et l’on aura

c’est-à-dire que, si des forces se font équHibm: sur. un

sysrrme quelcnnqui:, la tomme de -leurs produit^ par les vitesses, quelles qu’elles soient , qu’ort voudra imprimer aux corps, mais que leur liaison permet' sera toujours égale à zéro, en estimant ces vitesses suivant les directions des forces. . , .

' On voit par là qu’on peut prendre des vitesses quelconques finies, que l’on mesurerait par des 'droites quelconques qui seraient simultanément décrites par les corps, 's’ils venaient tout à coup à rompre leur liaison et à s’échapper Hbreraent chacun de son côté.

Quand on veut inésurer ces vitesses par les’ espaces mêmes que les corps décrivent réellement , comme elles varient à- chaque instant par la liaison des corps; il faut prendre ces espaces inUniment petits, sans quoi ils ne mesureraient plus les vitesses impriméés; et c'est ainsi qu’on tombe dans les vitesses virtuelles proprement dites, où le principe vient perdré une partie de sa clarté.

Il résulte, en effet, de ce que nous venons de dire, que cette belle propriété de l’équilibre peut s’énoncer de la manière suivante :

Lorsqu'on voit suivre aux ^différents corps d’un système Jes mouvemetus quelconques qui ne violent point la liaison établie entre eux, c’est-à-dire qui nous présentent continuellement le système dans des figures où les étpiations de condition subsistent, on peut être sûr que les forces qui seraient capables de refaire équilibre sur une de ces figures , dans le moment où le système y passe, sent telles que, multipliées par les vitesses actuelles des corps projetées sur leurs directions , la somme de tous ces produits est nécessairement égale à zéro.

* Le pHneipe, de cette manière, n’oITre plus aucune trace <1« ces idées de mouvements infiniment petits , et

ET MOUVEMENt (ÎES SYSTÈMES. 47‘J depcrturbadon d’éqàilibrc qui paraissent étrangères à 1» question , et ^ qui laissent dans l’esprit quelque chose d'olMcur. ' ■ ■ I ’

Lorsqu’il y a équilibre, il est clair, que le principe a lieu pour 'tous ■ les systèntes de vitesses que les points pourraient avoir en passant par la figure que l’on cpnsi" dère.

Mais quand on veut partir du principe , et l'énoncer de manière ^’il assure l’équilibre, faut-il dire qu’il a lieu pour ce nombre infinie de systèmes de vitesses'? Il y aurait surabondance de cdiltlitioBS'k ■ et l’on voit qu’il suffit de dire que l’équadon (D) doit se vérifier pour autant de s3rstèmes de vitesses que les équations de condition (fi j en laissent d’in4épendputcs , ou bien (en réunissant, -.comme dn l!a fait, ci-dessus , toutes ces équations en une seule (C), au nroyen* des indéterminées X, P, etc.), U suffit dé dire que l’équation (D) des 'môments doit se vérifier pour autant de systèmes dc-

dx dy dz dx '

vitesses . qu’il v a de ces vitesses-;-, -f-, -r ;

‘ ^ dl dt dt dt

dy' • - V

— , etc. Mais comme chacun de ces systèmes de vitesses doit satisfaire à l’équation (C), par hypotlu'se, cela revient à dire que toutes les- forces' appliquées X, Y, Z; X', Y', Z'; etc., qui multiplient. les vitesses dx dr dz dx' dy' ' ^

dF' t' ir dT' dT'

vent être toutes proportionnelles aux fonctions -

[X/'(x) -|-py'(i)-t-etc.],^ [X/'(y) -i p,'(^)4.etr.]„ [\f'{z) H-p^'(*).H-ctc.], [X/'(;')+p/(.r')-Hctc,]. l^/''0’') + f*v'(r')-^eU:.l, etc.,

48o HQUILinRE ’ '

qui multiplient les mêmes vitesses dans l’équalinn gêiurale(C), qui fait régner -entre elles les seules conditions que la liaison exige. Donc le principe des vitesses virtuelles, bien énoncé , c’est-à-dire avec toutes les idées qui peuvent le faire comprendre , est parfaitemebt identiq'ue avec le -théorème général qui fait l’objet du Mémoire*. Il dit exactement la même chose , savoir, que , pour l’équilibre , les forces appliquées suivant les coordonnées des corps , en vertu de chaque équation , dij^ent 011*6 proportionnelles aux fonctirtts primes de cette équation, relativement,^>à»-'o^frdonnées respectives : mais c’était là préciséme'i^ce|P|^l fallait démonte^.

Au reste. On serait encore condifit à reconnaître cette

identité en paitant de l'énoncé ordinaire du principe des vitesses virtuéltés , et se rendant bien' compte , a^•ant tout, du vrai sens <Ju’on v doit' attacher. En effet, le problème général de la ; Statique n'est pas seulement de chercher les rapports des forces' qui se font actiiellenieni équilibre sur le système , mais bien L'expression générale ties forces qui peuvent s’3Hlraire continuellement équilibre, dans toutes les figures ofi il j^eiit passer en vertu des équations de condition. L’équation générale donnée par le principe des vitesses virtuelles n’est donc pas , s’il est permis de parler ainsi , la relation d’un instant ; elle ne doit p# simplement considérer l’équilibre du système dans la figure où il est , mais encorp dans toute la suite des figures où il peut être, puisque c’est ’cette suite de figures qui le caractérise et en constitue la définition. ‘Ainsi cette é-quation ne dit [ras qu’il faut prendre pour les forces de tels nombres qu’elle en soit satisfaite , mais ( puisque ces forces doivent varier avec la figure) qu’il faut choisir, pour les rqirésenter, de telles fonctions

ET MOrvKMENT 1)ES SVSTÈMKS. 4''^ «les (•oorflonniW'*, (piVlle dpnieiiro con^inuenonuMit satlsfaite, ou soit 'identiqiu-. Or , en' v«Mtu dcsH-onditirtiis moines, on' sait qu’il doit regiier entre les vitossçs simultanées que pourraient avoir Tes corps, une cqiiation linéaire' identique (C l, dont les coefficients sont les fonctions primes des fonctions données par rapport aux fOonIqnnées suivant' lesquelles on estime eps vitesses. L’éqüatiiHi des moments dit donc que les forces de l’équilibrê'doK'entêfre représentées par ces fonctions primes ; et par conséquent, pour lï démontrer, il fallait faire voir romment de telles forces se font effectivement équilibre; ou bien il fallait chercher directement qtielles. fonctions des Coordonnées peuvent représenter les forces de l’équilibre, comme nous l’avons faitd'abocd.

C’est pourquoi la plupart des démonstrations par lesquelles on a ranieni- le prinfc^ des.vitesses'i'irtuelles, ou. à 'd’autres principes, ou- à la loi connue de quelque machine simple, telle que le levier, etc. , nous paraissent bien plulAt des preuves que de véritables'démonstrations. Toutes, en effet, même la plus heuéeuse, qui est 'de Carnot , ^ fetnt sans rien ompnmtef de la définition jçénérale du système , comme si la machine était , ponr ainsi dire, voilée', et qu’on n’en vît sortir qiic'les cordons où sont appliquées les puissances- On peut, bieii prouver, ou rendre sensible par quelque construction plus ou moins simple, que si l’on trouble un peu l’éqtiilibre,.ces puissances doivent être dans un certain rapport avec les allongements permis de ces cordons; m.ii* eda ne peut - offrir que les rapports actuels des forces considérées comme nombres , et ne montre point <hi- touf la forme d’expression (jui leur est propre. Cette perturbation de rèquilibre u’apprrndrail , dans auriiti ras, à

STXTiyi'F. P. 3 1

/.ft2 ÉQL’IMKRF.

' ■ , . Vl‘

qui’llt oiiaui ail à, fair<’, cl les meiDcs rapports

pôiirraicrit^ s’offrir entre. les forces appliquées, quoique, les machines fussent do constitution tout à fait différente et que cKacune d’elles imprimât pourvut -à 1 expression des forces qui lui conviennent une forme différente, qu’on y devrait voir et retrouver sans ces» , si la difficulu- du .thçôrème était entièrement consommée. Ainsi, là propriété des vitesses virluellés n’en restait pas moiiu mystérieuse , ^t l’on n’avait ppint de véritable démonstration , je' veux crupe une explication ouverte <?t claire, où Fort vît non-seulement que- la chose se passe ainsi, mais qu’elle est encore une suite de la définition, générale 'que soi- .méme on a donnw au système que l’on considère.

C’est peut-être • par quelque vue semblable, .et pour arriver â l’équation des moments virtuels comme à upe .quation idenü^uê, que M-<Laplace {Mécanique céleste, tome I, page 4o) ne considère que les équations qui représentent la liaison des parties du système, et ife suppose d’autfcs principes que celui de la coropo>itioii des forces, et de j’égalité entre l’action et la n-actiôn ; ce qu’oH.peutjegardyr comme les élémenU d#; la Récrie de l’équilibre. .M.tis', comme «lans son raisonnement l’auteur ne fait rien entrer «pù vienne de la définition du système donti!s’occu|>e, sa démonstration n’a aucune force, et

la difficulté reste en Son entier. , . ,

’ QpAi qu’il en soit d’ailleurs, soit qu’on veuille partir du principe des vitesses virtuelles pour en suivre jusqu’au bout la signification intime , soit qu’on atta.iue directement fe problème de la Mécanique, ce'qui est bien plus simple , on se trouve nmenè sur-le-champ â cette question générale- : quelles sont, les fonoUons des coçrdonnées qui , dtmnent les forces de l'équiUhre dans toutes les figures

ET MOUVEMENT DES SYSTÈMES. 4!^3 ijuc ]>eut affecter le système , en oBèissant aux éf/uatinns qui régnent entre ief rnnrdonnées des différents corps? Tel est exacleinent le problème' que nous tious sohitties propose; . et notre objet bien net et bien distinct a été de le résoudre par les premiers principes de la Statique et de la Géonu-irie. , . ’