théoAk nodvelle

on peut suivre, «l’un côté , le mouvement de ce point qiii ne peut décrire qu’iuie certaine ligne dans l’espace, et, de l'auA;iecôté, le mouvement dn corps qui ne peut que tourner eu meme temps sur ce point conime autour d’un cenjre fixe. Mais ce second mouvement , c’estrà-^ire cefui d’un corps mobile autour d’un point sur lequel il \ a la.^ljberte pirouetter dans tous les sens , ne présente lui-inénie qu’une idée très-f)bsc\ire. , *

Ce n'est pas <pi’en rapportant les points du corps à des |dans ou objets fixes dans l’espace, on n’ait su trouver ce qu’on appelle les équations dijfcrcrititUe'f de ce mou- Nljinent , et même qu’on ne soit venu à bout d’intéfimr ces ix|uations, o*u du moins d’en ramener les intégrales a\x\ quadeatuivs , dans le cas simple d’un corps libre de toute action étrangère. Euler ci d'Jlembrrt , à peu prés dans le même temps, et par des méthodes difrérêntes, ont les premieis résolu cette importante et difficile quos- • tion de la Mécanique : etTlVin sait que, depuis, l’illustre Litgranfc a repris de nouvWu ce fameux problème', pour l’approfondir et le dévelopi>er â'sa manière,, je venx dire par une suite de- formules et dé transformations analyticpies qui présentent beaucoup d’ordre et de symétrie. Mais il faut <;onvemr que, dans toutes ces solutions^ on Ile voit guère <iue des calculs, sans aucune image nette de la totation du corps. On peut bien^ par.cés calciils, plus OH moins longs et 'compliqués, parvenir ü déterminer le lieu où se trouvera le corps au bout' d’un temps donne: mais on ne voit point'dii tout conimeht le corp^ y arrive; on le perd entièrement de vue, tandis qu’on \oiidraii , f’observer , et le Suivre, pour ainsi-dire, des veux dans tout le cours de-saTolatûîn. ,

DE tA ROTATION DES CORPS. 4^7 ■ ..Or t c’cst«<5çtte idrc claire du mouvement de rotation v]u« j’ai tâché de découvrir, afin de mettre sous jes yenK

ce que personne ne s était encore représente.

Il en résulte iiné Solution toute nouvelle du problème de la rotation d'un êbrps abajidonne â liii-mém», soit qu’il tourne librement sur son centre' de grainlé, ou spr tout •autre point fixe autour duquel il serait forcé de se mouvoir : véritable solution di| pi'qblème, en ce cpi’elle •fait image, et qu’on y voit , le mouvement du corps avec ai4ant de clartc.qiie le mouvement d’un point. Et si , de cette démonstration géométriijuc de la rotation des corps', on veut passer au çalcul, pour mesurer toutes des dif-

férentes propriétés ou affections de ce mouvement, on n’a' plus que. des formules directes et toujours claires, parce que chacune d’elles n’y est-que l’expression d’un théorème dynamique dont on a l’idée, « qui tend à son objet. Ainsi , notre analyse présente encore cet avantage , que tout s’y exprime et s’y développe par les seules données immédiates du problème, sans aucun mélange de cçs angles ou de ces coordonnées étrangères qui ne tiennent point à la nature de la question , et qui ne viennent que de la méthode indirecte qu’on“qrn|)loie pour, la réî* soiidre. Car c’est une remarque q'oe,nous pouvons faire dans toutes nos recherches mathéinatiqpCs ; (^ quantités auxiliaires , ce» calculs longs et difficiles où l’on se trouve entraîné, y sont .presque toujours la preuve que notre esprit *n’a point, <fôs le commencement, con'sfdéré fes chos« en ellevmémes et d’une vue assez directe , Juiisqu’il nous faut tant d’artifices et de détours pour y arriTer ; tandis que tout s’abrege. et se simplifie sitôt qu’on se place au vrai point de vue.

/}88 THÉOHIK NOfVKlJ.E.

Jjai doue peuM:.<|M'uD(‘ «oluliun si &ini|;le,.el si piv^pre à jeter un nouveau' jour sur les (jul-stiuqs les plus (UrTi-

riles de la Dynamique, pouvait servir à ravaiiceiuent reel da la science, et méritait ainsi l’attention des géomètres ; et c’e^ cette considératioii pbilosoplitque qui lu’a surtoi|t délerininc à composer le nuuveaq Mémoire que. j’ai l'honiienr de présenter aujourd’hui à l'Academie..

Je le divise eu trpû parties princi|>alqÿ.:.dans la première , je eopstdère le mouvemeut du corps en lui-même,, et les forces qui seraient capables de le piyuluire; dan% la seconde, je dqtme la solution du problème de la rotation des cocjis libres^ et dans la troisième, je développé les caleiilsqui se rap|>ortent à cette solution. ' .

Mais , pouc donner une idée plus pns:ise ,de çe travail , je. vais ex|>oser, en |m,hi de mots, les notions simples et les premiers priiici|>es de notre théorie nouvelle, et paiv -cou'rb' ensuite les thcuréiqes les plus- remarquables qui^ en sont l'objet et le résultat. ^

DU MUOVKMKHT DSS^ COBPS (aiNSlUÉHl. ES l.Ut-MEMF ; ET' UES 'FoacEs'qAi’SBLES d'uh MOUVFJIEST UUÜNB.

. Jder {If. la rotation simulr et de la •vitesse dneutairr.

Lé seul inouveiueHt de roUtion dont nous ayons une idée-claire est oclqi d’un rorps qui tourné sur un axe immobile ; car on voit <-lairemcnt loiijes les circonférences

DE LA ROÏA#IQq Djt;S ^ÔllPS. 489 (le eei'des que les points "cRi co^s dé-crivent uiUour do (Ot axe , et ([u’ils peuvent rrellcnlenl décrire eiiseiuljle , c’est-à-dire sans cptc leur disposition mutuelle, ou ce qu]on peut nommer \a figure du (jl^ soit 'rien

clîangee. .

' >'ous avons egaleinenl une idee nette^de la quantité ou de U mesure de cetlc rotation : car, comme tous les points décrivent en même temps des arcs semblables , le rapport de, la vitesse d’un point’ au rayon du .cercle qu’il décrit est le mémê pouf tous les points du corps -, et c'est ce rapport constant qui fuit la mesure ou ce qu'on appelle la vitesse angutiiin: de la rotation.

. CompositiuH des fnowsemeuls de ruttHÎun.

De ces notions ^impies , et des premiers . éléments de la- (jéon)etrie , Tin |ieut conclu re> que si, par, den.x éausès «melcoriques, un corps tendait à tourner à la fois autour des deux côtes d’un parallélogramme avec deux vitesses angulaires proportiAnnelles àlix longueurs de ces'oôtés, le corps'tournerait sur la diagonale avec une vitesse, angulaire proportionnelle à la longueur de cette diagonale.*

D’où il résulté que des ■ rotations autour de différents axes qui passent en un même point se coiuqi^sent exactement parla même loi qiie de simples forces appliquées en ce point..' '

Et cette similitude de composition n’ést pas bornée à des rotations dont les axes se croisent en un même point ; mais, .ce <pii est fort remarquable , elle s’étend à des rotations autour d’axes qiH seraient situés d’uUc manière qUel^ .conqiK- dans l'eqiace.

4yo , T^lftORIE ISOUVELLE

Ains», <leiix rotatioju autour de deux axes parallèfes se romposent eil une seule., égale à .leur somme, autoAr d’un axe parallèle, et qui divise la distance des deux pre- .iniers en jéfàspi^j^iÇerse des deux rotations composaptes. .Si CCS deux ÿc^tions sont de sens contraires , la rotation résultante Cst égalç à leur différence , et la position de son ax'e se trouve comme s’il s'agissait de deux forces parallèles qui agissent en sciis contraires. ’ •

Si Cés deux rotations parallèles et contraires sont égales, elles ne peuvent jamais se réduire à une seule. Elles forment alors ce qu’on peut nommer un couple de rotations : c’est, pour ainsi dircj une rotation sui generis , et qui ne peut jamais être minenée à une rotation simple autour d’aucun axe,.quel qu’il soit. Et en effet, il est très-aisé de voir que le résultat d'-un t^ couple serait de donner au -corps un pur. mouvement de translation dans l'espace, suivant une direction perpendiculaire au plan de cç couple, et mesuré par son moment, c’est-à-dire par 'le produit d’une des deux rotations multipliée par la distance qui sépare leurs, axes, parallèles. Un ^uple dv rotations equjvaiit donc à une simple force qu’on .appliquerait au centré de graxitc du 'eorps, suivant une direction perpendiculaire au plan de 'ce couple , et qu’on prendrait égale à son tnomeiit multiplié parla masse du corps.

De. tels c^pples' peutfent se traiudbnner en d’autres équivalents, se tourner et se transporter comme on voudra dans leurs plans, ou dans d’autres plans parallèles, sans que le' mouvement- du corps en soit changé : ils se composent et: iç décoin/>a»e/if exactement par la même loi que les couples de forces;' et l’on peut leur appliquer , sans, en rien excepter, tous les théorèmes qui concernent lès couples ordinaires.

DigiliîBd hy Goo^k

DE LA ROTATION UES CORPS. 4y‘

Du parallélogramme des rotations simples et du parailelügraiumê des couples de rotations , résulte la composition de tant de rotations qu’on voudra autour d’axès situés d’une manière quelconque dans l’espace; et cetle composition, générale est , entièrement semblable -à celle des forces.

Ainsi comme tant de forces qu’oti voudra se |>cuveur toujours réduire à une scide passant par un point quelconque donné, et à un seul couple; de même. tant de rotations qu’on voudra, autour de différents aXés' situés d’une manière quelconque dans l’espace, peuvent toiijoursse réduTie .1 une seule rotation autour .d’un axe passait par un point pris à. volonté, et à un seul couple de deux rotations i-gales et contraires autour de deux axes parallèles entre eux. Et si, comme pour les forces, on veut une réduction où i^ ii’y ait rien d’Mbitrairc, on pourra totijours choisir le point dont if s’agir, de manière que le plan du couple de rotations soit {>er|K'ndicidaire à l’axe de la rotation résidtanje , letpiel devient ainsi ce qu’on pourrait nommer 'axe centcal des couples <le rotations (*). • ,

(’) On voit la partaite symétrie de cette composition des rotatidns Vl de celle de» »im[des-Juroe8. nmil pre^quA idcnûqiics < CQVr

si Ton arnil primltiven|cat donné le nom de force h la caime capable de faire tour^icf hùr un axe, on aurait eii} pour ces nouvelle» fuTccs, une ^ita tique toute semblable. Seuletnorit , dans celle-ci, les fiuiplcs forces (toujours considères comme transportées au centre du corps] auraient répondu à nos couples dans là Stfltîqtu* ordinair#, et léii couples auraient réf>ondu à nos simples foirt's- M.iis il ctoii bien pfus simple et plus naturel de conimenc« r, comme on Pa.fait > par donner lé nom de' force ù la cause capable d’uii pur mn»iK*n:ent <lc tratntlotion j et de voir ensuit»* 'hiu.< K* couple cau^e d*uri pur niouvorocnt de /ohitu/n-

4y2 THÉOKIE NOUVELLE

Couiiim; un (;uupk< de rotations équivaut à une pure translation'du corps suivant la direction de l'axe de ce couple, on'voit que tout le mouvement du corps se réduit, e/i dernière analyse, 'à tourner sur- un certain axedéterluiné , «t à glisser en même tpmps le long de cet axe. Ce ^ qui est, comme nous le verrons plus loin , le mouvement , , * ie plus général que' puisse avoir un corps dans l’espace absolu. i •

Voilà, ep pen 'de mots , tout ce (jui regarde l’idcc de la rotatiob simple sur un axe, et la composition de semblables rotations autour de differents axes sitirfv. d'une manière quelconque dans l’espaçc. Mais il faut se faire maintenant une idée fie la rotation d* un coq>$ autour fPun point sur lequel il semble pirouetter en,tuiis sens^ \

• Idée de la ratation atijour il’ un point:

Le mouvcmqit d’un corps qui- tourne sur un axe immobile ('-tant le seail 'dont nous' ayorts upc idée claire, c’est donc à cette , idée qu’il f^iit Licber de réduire celle du mouvement d’un corps qui pirouette d’une manière quelconque autour d’un |>oint fixe.

■ Of on fait voir^que ce moiivcment, quel qu’il soit, si od -Of^ le regai^é que -durant un instant , n’est autre chose qu'une rotation 'simple autour d’un- certain axe passant par le point -fixe , et dont la direction' reste immobile |>endant cet instant. D’où l’on conclut que, daps l’instant suivant c’est de même li^ rotation simple, inàis dutour d'im autre axe; et ainsi-de suite d’un instant à d’autre : de ^sorlc que le mouvement du corps peut être' considéré comme tinc suite de ces rotations simples et ((ont chacune • ne présente à res]iril qu’iine idée nette. C’est ainsi ipie,

DK LA U,OTATION UKS COUPS. ipj

pour se faire ridee*du mouvement Hiim point en ligne courbe , on je représente ce poiA comme décrivant les cAtes sucressifs d'un polygone infinitésimal inscrit k cette courbe. Et il en est de Taxe ihMantané de rotation dans le mouvement des' corps, comme de la tangente à, la' courbe dans le mouvement du point qui la deprit. '

Itnage sensible de cette rotation. ■ '

Quoique l'analyse preoedente soit exacte , et que je me • , sois efforcé de la rendre claire, il me semble qne l’idée d’un corps tournaint sur un>axe qui varie sans cesse est encore un peu obscure ; je veux dire qu’on ne voit j>as bien ce qui arrive au corps , et r[u'on a de la peine à le suivre dans cette espèce de rotation changeante. Il faut donc tAcher d’éclaircir encore cette idée, ‘et de présenter à l’esprif quelque image plus nette et plus sensiblç.

Or, je fais voir, de la manière la' plus simple, que la rotation d’un corps sur un axe fiai varie sans cessa de' position autour d'un même point fixe., .n’est autre chose que le matàvemcnt d'un certain cône, dont le sommet est\en ce point, et qui aouLE actuellement , sans gumu, sur la * surface d’un autre cône fixe de même som/nrt.

Je veux dire que le cône mobile, considéré comme at-i, taché au corps et l’entraînant avec soi , s’il vient à rouler sur l’autre cône qui est fixe dans l’espace absolu , fera décrire à ce corps Ig mouvement -précis dont on le sup[>ose! animé; que la ligne de contact de ces deux cônes sera ü chaque instant l’axe autour duquel le corps tourne dans cet instant , ou ce que l’on appelle Vaxe instantané ; -d’oii l’on voit comment- cet axe est à la fois mobile dans le corps et dans l’espace absolu , décrivant dans l’espace la

4y4 THkOKIK NOÜVpLLE.

surfan* du nuit* fixe, -el dans l’intérieur du corps la surface dif cône mobile dom on vient de parler.

Tel est ,, je crois , le plus haut point de clarté où l'on puisse porter l’idée si complexe et si obscure du mouvement d’un corps qui tourne d’une mkniére quelconque autour d’un centre fixe. Il n'y a |M>int de mouvement de cette nature qu’on ne puisse exactement produire en faisant rouler un certain eùne sur un autre 'cône fixe de môme sommet; de sorte que. si l'on imagine tous les cônes •possibles qu’on ferait ainsi roulër l’un sur l'autre , on a l’image' fidèle de tous les mouvements possibles dont un corps soit capable autour d’un point sur lequel il a la liberté de pirouetter en toiis sens.

Et même, s'il s’agissait d’un mouvement de rotation qui fût discontinu y c’est-à-dire où l’axe de rotation , au lieu de vaner déposition par degrc^ insensibles, sauterait brusquement d’une position à la suivante par un .angle fini , on pourrait egalement imiter le mouvenient du corps en prenant, au lieu de deux cônes, deux pyramides de même sommet, et de faces respectivement égales, et faisant rouler l’une sur l’autre, de manière que la pyramide mobile, tournant sur la commune arête, vînt appliquer l’une après l’autre toutes ses différentes faces sur les faces respectivement égales de la pyramide fixe.

Si le mouvement du corps est donné , il est clair que ces deux cônes ou p3rramides sont ajussi donnés, aussi bien que la vitesse angulaife de rotation, sur la ligne de contact, et par conséquent, la vitesse avec laquelle l’axe instantané trace à la fois les deux surfaces; et réciproquement , si de ces differentes choses qu’on peut considérer dans l’etude de ce mouvement , troii qiielcon- (jues sont connues , on peut dire que la (piatriémc l’est

DE LA ROTATION DES CORPS. t\ij3 aussi, cl-le niouveincut du cor}» cntièrcipeiU' Jéterininc.

* .Ainsi , la terre tourne en un jour sur son axe , tandis qnc cct axe décrit, en »ns contraire , un cône droit-autour de l’axe de l’écliptique, et avec une vitesse ihesuree |jar le^ mouvement rctro{;radf des 'équinoxe^, et qui est d’environ tierces centésimale} par jour; on

}>eut donc dét«miner dans U Terre le cône qlii , roulant sur le }>remiel', et dans TintéHeur de sa surface', ièrait décrire à la Terre le mouvement -précis qu’on y observe. Et il est facile^de voir que; sur le globe, la circonfévenpe du cercle qui séirt de base à ec |>etit cône raphile est 'à celle dn cercle qui sert de base au cône fixe, comme uu jour est art temps de la révolution VopipléK des- éqiii- /noxes : ce qui ne donne que ({uelques pieds de longuelir(i ) à la petite circonférence que le pôle instantané de rotation de la Terre déc-rit chaque jour à sa surface. (Tout cehi dans rhy|>othèse d’une prccession diurne uniforme.)

Idée du mouvement le plus, général que puisse ayoir un corps dans i'espnee absdfit. ' . .

, De l’idi^' simple d’un pur mouvemen} de translation qui. emporte à chaque instant* toutes les molécules .égales du corps par de petites lignes égales et parallèles dans l’espace, et de l'idée simple de la rotation du corps aufoiir d’un axe qui reste immobile pendant cet instant, résulte l’idée coftiplexe du mouvement le plus général que puisse avoir un corps dans l’espace absolu, n n’y a riep de plus clair que cette résolution d’un mouvement quelconque en deux autres que l’on conçoit parfaitement et qu’on }>eut même considérer à }>art, parce

;t)5 pi<NU a pouces environ.

49fj TlIKOKllC NOUVELLE

r|irils sont' tels que-sr, à chaque instant , on les exécutait l'un 4|>rès l’autre^ on amèneraitchaque point du rorp^ au méior lieu où iL arrive par son mouvement naturel an bout dé l'instant que l’on considère.

Mais dn pourrait être cur\euK de se faire une im^ge de ce raouvemenl réel et unique qui anime le corps, afin de .yojr en quelque sorte la nature des courbes simultanées que les 'différents points décrivent , et peuvent rcellemént décrire ensemble sans, 'que la fi)(nre du corps en soit cIvaiTgce. . ■

^ Or, pnisqu’iin mouvement de translatftn peut toujours être considère comme un couple de rotations égales - parallèles et edrittaires , il s’ensuit tpie le mouvement d’un corps’, quef qu’il s«t, peut toujours étrè réduit à une simple rotation autour d’un axe passant par un point p/is à ‘volonté dans l’espace, et si un certain couplé de rotations dont le plan sera généralement incliné à cet axe. Mais, au lieu de prendre le point à volonté,, on peut toiijour» |e choisir de manière que lé plan du couple soit perpendiculaire ît la' direction de l’axe de la rotation simple ; et alors tout le mouvement est' réduit' à une-rotation sur un certain axe détermine et à une translation le long de cet axé. D’où il resuite que ée mouvement est exactement le même que celui d’une vis -qui tourne dans son t'rmii. Tous lès points du corps décrivent donc , sur d«» cVlindi-cs concentriques , de jietits arcs à’ hélices qui -ont toutes le mèmé'pas. Dans l’instant suivant, c’est une autre vis, d’un autre axe et d'un pas différent ; et ainsi de suite : d'où l’on voit comment se forment Im courbes simidtanées que tous ces points <l»'frivent dans l'espace , el le long desquelles ils se meuvent conii^ dans autant dc'canaiix curvilignes on ils seraient enfermes.

DE LA ROTATION DES CORPS. 497' Quelquefois le pas de cette vis est nul , et alors tout le iiiouveinent so réduit à. une simple cotation autour de l'axe de cette vis, lequel devient ce qu'on appelle un axespontané de rotation. * * ' •

Maisi en général, le. pas de la vis n’est pas nul, et il n’y a point d’axe spontané proprement dit : c’eSt-à-dire que dans le corps*il n’y a pas de ligne droite dont tous les points demeurent immobiles pendant un instant. Mais il y a toujours ce qp'on pourrait nohimer un axe spontané glissant, c'est-à-dire une -suite de ^ints, tombant enligne droite, qui n’ont d’autre mouvement qu’une sim'ple translation le long de cette droite. ' -

Telles sont les notions les* plus simples et les images les {dus claires qu’on puisse se former du mouvement des corps. Le pur mouvement de translation , et lé pur mouvement de iptation sur un axe, se. conçoivent d'euxmêmes. Un mouvement quelconque se peut toujours réduire, et cela d’une infinité de manières, à deux pareils mouvements. Or, pamti cette ihfinité de réductions, il y en a toujours une qui nous présenté l’axe de la rotation , dans la direction m'ème de la translation : de sqrte t]ue le mouvement le plus général d’un corps est , eontme on Va dit, celui d’une certaine vis qui tourne actuellement dans son éerou.

Après avoir considéré le mouvement des corps en luiméme , et sous un point de vue purement géométrique , je vais chercher les forces capables de le produire , afin de voir réciproquement quel est le mouvement que doit ' prendre un corps en vertu de forces quelconques données ; re (|ui est le problème naturel de la Dynamique.

Statiqdi P.

•498 THÉORIE KOüVF,IXE ‘

Des forces capables ffun mouvement donnç.

■ Quel que soit le mouvemedt d'un corps , U existe toujours des forces capables de le. produire.

Car, dans le moureinent du. co^ps , on peut considérer chaque molécule comme ai elle ét^ten repos, inais'animée par une force capable deJui donner la vitesse actuelle qu’on lui suppose. Donc l’infinité des forces semblables , appliquées individuellement' à toutes les mt^lécules égales du corps, sont capables d’y produire le mouvement qu’on y observe;- et cela même d’une manièn spontanée,'je‘veux dire quand bien même ces molécules ne seraient pas liées entre elles , et par conséquent sans exciter , dans lesliens qui les unissant , aucune traction brusque qui tenéUt à les voiiipre.

Telles sont les forces élémentaire capables d’un mouvement donné sur un système de molécules libres, on liées entre ellesrcomme on iroudra. ■

Mais si ces* molécules fonnent , comme je le suppose ici , un système invariable de figure, il sera jWrmis de composer ebtre elles toutes ces forces élémentaires , et de les remplacer ainsi par une seule force et un seul couple t'- lesquels seront .également capables du mouvement donné sur le corps ro//de dont il s’agit.

Voyons donc quelle est cette force et quel qst ce couple dont l’ensemble répond à un mouvement donné.

Et d’abord , si le corps -n’a dans l’espace qu’un pur mouvement de translation , de manière que toutes les molécules égales aient des vitesses égales , parallèles et de même sens, il est manifeste que toutes les forces élémentaires ràpables de produire ces vitesses sont aussi égales , paralléleset de même sens, et par conséquent réductibles à

DE LA BOTAtlON DES COIU>S. ^99 nnf seule force parallèle cf de im'-mc sens, égale à leur somme, et qui passe par le cenirc de grayité du corps. D’où l’on voit, réciproquement , qiie,/>jfrt une forçe quelcom/ue applitjnêe comme on voudra au cenirrHé gravité d'hftcorps , est d’en transporter toutes 1rs parties dans sà propre direction ,■ et avec une vitesse mesurée par la grandeur de cette forer divisée par' la masse entière dit corps. Ce quiest,^pour ainsi dire , «rident de «oî-même. # '■

En second licii , <i le corps '^a qn’im pur mouvement de rotation sur un axe quelconque , il est évident que lés vitesses, et jiar conséquent les forces dont lesmolémles sont individuellement animées, sont toutÂ. proportion-' nelles aux distances des moléculM à cet axe , etedç dirix*tions .tout à la fois perpendiculaires à ces ‘distances et ù l’axe dont il s’agit. Or ces forces élémentaires sont toujours réductibles à une seule et à un couple. Mais si l’^xe passe par Je centre de gravité du eprps ,ia force est nulle, et tout’se cé<iuit à un couide,, dont le plan est en génénft incliné à cel^xe. Si de plusi’axe est un de ces trois axes rectengulaires qui existent <lans tous les corps ^ et qu’on iq>pelle les trois axes principaux , on trouve que le couple est jierpendiculaire à cet axe, et qu’il a pour mcrfiire le protliiit de la vitesse angulaire par le. rf

du corps autour de cet axe principal. D’où l’on oonclnt réciproquement , que l’effet d'un couple appHifué sur un corps dans' un plan perpendiculaire h l’uh ' tir 'set trois axes prinçipaiix, est défaire tourner le corps sur cet axe lui-méme ,'avec une vitesse angulaire égale au moment du couple divisé partie moment d'inertie du corps autour de cet axe. Or, ce seul tliéoréniic particulier donne ' sur-le champ l’efTct d’un couple .appliqué sur un corps dans tel plan qu’on voudra.

5oo , TIlÉOhiE NQUyELLE

Et en effet, quel-que sent ce coàple, on peut toujours le décomposer en trois autres respectivement -perpendiculaircsaux trois axes principaux du corps ; et divisant chacun d'eux par le moment, d’inertie relatif à son axe , on aura les trois vitesses angulaires respectives avec lesquelles ces trois couples tendraient à faire tourner ^ur leurs axes. Si donc, .à partir du centre, on porte 'sur ces diréctions trois lignes poiu* rcprcKnter à la fois les axes^et les gràn* deurs de ces trois rotatiofs, et qu’on achève le parallélipipède , 011 aura , dans la diagonale , Taxe et la grandeur

de la rôtapon à laquelle le couple proposé donne nais-

saticç au premier instant; ce qui est, comme oq le voit, de la pfus^rande simplicité.

£)« mouvement que, prend un corps en vertu de fofres • . ' .• quelconques données.

Quelles que soie'nt ces forces, on peut toujours les réduire à une seule passant par le centre de gravité du cor|>s, ot àoin seul couple.' Or, l'efTet de la force tstpn pur mouvement de translation suivant la direction meme dexette forcé, et l'effet du couple est d'imprimer au corps une rotation autour d’un certain axe passant par le centre ^ de gravite, et dont Ja direction est déterminée par cequ’on vient de dire tout à l'heure.

Mais on .peut avoir une expression liien plus claire de ce .qui ^arde.la direction que prend l’axe instantané par rapport, au plan da couple qui lui donne naissance ; et c’est ce que l’on va voir dans l’article suivant.

. De l'ellipsoïdé central des corps. ^ '

■ Si l’oTi observe que les trois composants du couple proposé donnent trois rotations qui sont proportionnelles

DE LA ROTATION DES CORPS. 5oi à ces couples et réciproque aux tiibments d’inerde autour des trois axes, en reconnaît, par la Géométrie, quel’àxede ■La rotation résultante se dirige suivant* le diamètre qui serait conyug'ué au p/a/i du' couple dans un ellipsoïde dont les axes^seraient de longueurs ri-ciproques aux racim's •carrées des moments d>'inertie du çoc|>s autour des mêmes axes.

J’imagine donc qii'^utour du centre de gravité du corps, et sur -les directions de" ses trois axes 'principaux, on construise un ellipsSïdc avec des axes dont les carrés soient rsciproques' aux moments d'inertie -an corps autour deS mêmes axes ; et j’observe en 'passant 'que^ cet eIKpsotde' jouira , dans toute son Rendue , de cette propriété remarqnable’i que le moment d'inertis du corps aiitôur de l'.un quelconque de ses diamètres y sera réciproque au carré de la longueur de ce diamètre. .

Or, quelles que soient la ligure et la constitution d’un corps, il y a toujours dans ce corps un centre de gravité et trois axes principaux' aussi 'nettement déterminés que dans le corps 'Je plus'bomôgênc el le plus régulier. On

peut donc toujours y concevoir décrit un ellipsoïde tel

que JC viens de le définir, et qui a ce triple avantage : de

mettre à la fois sous nos, yeux' lo Centre et’les'axes princi- » *• *• • paux du corps; de omis donner tous les moments d'iner-

tic qu’on pourrait avoir à considérer, en montrant' éhacun d’eiix, autour d’un axe ou diamètre 'quelconque , comme exprimé par une même fbnetion simple de la longueur de ce diamètre ; et enfin de.nous offrir une expression d’aède de ce qui regarde la position de l’axe-instantané,.p'ar rapport à celle du couple d’impulsion.- Or c’est cet ellipsoïde , dont la considération va jeter le plui grand jour sur la tliéorie-de la rotation des corps’, que-je nom'iiicrai dcsniroais VgUips^ïde rentrai.

5o2 TlIÉOniE NOUVELLE

£j:pivisioa claire <lu mourem^nt cjm prend un corps en vortil d'un couple quelconque.

Supposons -qu’im corps en repos, soit frappé par un couple dans nn plan quelconque, mené par le centre de gravité, et qu’on peut regarder comme un plan diamétral de l'ellipsoïde tentral du corps*: on vient de voir que l’axe instantané de la rotation à laqy^lle ce couple donne naissance n’est autre chose que le diamètre conjugué. n\i plante ce couple dans l’ellipsoïde que i’on^cqpsidère ; et il est clair d’ailleurs que la vitesse aillai ne sera ntesurée par le moment, du .couplé estimé perpendiculairement à ce diâinètre, et divise par le. moment d’inertie -du cor{is autour du même diamètre.

C< lUimc lui couple peut toujours, être transporté dans un plan quelconque parallèle au sien sans que son effet sur le corps en soit changé , on peut toujours supposer que ' le plan du couple 'd’impuTsion , au lieu d'être c0nduTt par le centre, soit mené tangent à la surface de notre ellipsoïde; et‘ alors on peut dire : ' * <

. Que si un corps cstfrqppé par un couple situé dans un ]dan qUclconcjuc tangent à l’elliptoide central de ce corps, le. pôle instantané de la rotation à laquelle ce couple ' donne nais.rance est ptécisémçnt au point de contact..

Et réciproquement que si un corps tourne sur un diamètre quelconque de son ellipsoïde central ; le coujde ao tiiel.qui l’anime est dans le platt tangent au. pôle.

Ce qui nous parait un des théorèmes les plus élégants tpi'on .puisse offrir en Dynamique sur la théorie si dif6cilc et si ôbstmre de la rotation des corps. .;

On voit toutes les con$ê<iuençes clairps et faciles qui dé-

DE Là rotation DES CORPS. 5o3

coulent de cette lumineuse propt^tion : mais je ne yeux

point m'y arrêter } il faut c(ue j'avance et que ^ par le

seul raisonnement-, j'arrive de suite à la solution com>

. • • • ** • pjètedu problème qu'on se-propose : car il ne s’agit .pas-

seulement de determirier la rotadon' du corps au premier

instant, ^mais de voir encore^ comment cette rotation

change d’un instant à l'aiitrq , et de peindre , poiiV ainsi

dire , le mouvement du corps dans toute là. suite de son

cours. .

SOLUTIOM I>U PRO»LiNK UB LA BOTATlOIf DES CO BPS .

^ UBBBB, * • • .

Et d'abord , il est clair que cet axe de-rotation que l’on nomme instantané- n'eA ën effet immobile qu’un instant; car, de larotaüon même qu’on suppose autour de cet axe , naissent pour toutes les molécules 'égales, du corps, des forces centrifuges proportionâeUes aux rayons des cerclés que ces molétules mndqnt k décrit^ et dirigées suivant ces rayons. Or,’ l’axe dont il S’agit n’étain pojnt , par Iry- * potbèse, un axe principal du corpsj ces fqrces centrifuges qe se font point équilibre entre elles. Transportées.parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité , elles donnent bien une résultante qui est nulle; mais leur-couplc résultant ne l’est point.* Il, provient donc.de la 'rotation même du corps un couple accélérateur dont l’efRirt A chaque instant imprime, à. ce corps une rotation infiniment petite, laquelle se compose avec la rotation actuelle qui l’anime, et fait' ainsi. varier l’axe et la grandeur de cette rotation.

5o4 * THÊOniE NOUVELLE^

Pptir étudier le inouvement du corps, il (aut donc ♦ # * * • rommencer par chercher ce couple accélérateur qui pro-

vient d« forces centrifuges. Or, il est' très-facile de voir • dirtctciucnt on de conclure dO principe général de la ronservatièn de* couples, ’O^no si l’on considère deux lignes, dont l'une représente l’axp et la grandeur du couple’ d’impulsion , et l'autre l’axe.et la grandeur de la rotation instantanée, le couple accélérateur dû aux ftArces oenteifugeg est touioiu's représenté , et pour son plan et'pour sa quantité, par la surface du parallétograrame construit sur les deux lignes dont il s’agit : théorème simple et remarquable, qui renferme a lui seul toute la théorie de la rotation des corps, -et qui, traduit en analyse, donne sur-le-champ les trois équatiods si élégantes que -l’on doit à Euler, mais qu'pu ne démontré ordinairement que par de longs circuits (le furuiules algébriques. ’ ‘

' Le couple, accélérateur, né des forces centrifugM, étant donc toujours situé dans le plan conduit pard’axe instantané et l’axe (lu couple d’impidsion , la dràte sur laquelle H'Uindà faire tourner le corps' n’(^t autre' chose (pie Te ■ diamètre conjugué aü plan de ceÿ deux axes.; et par cohsèquein , c’est le diamètrç q(ii est à la fois conjugué à l’axe instantané et à^sa projection sur-le plan du couple. t)’où je conclus d’abord» que l’axe sur lequel les forces centrôfuges fout tourner est toujours situe dans-lt plan même du couple'd'impulsion. • . * i

Donc-ai l’op. prend deux Ugpes’dont l’une représente cette rotation infiniment petite, l’autre la rotation actuelle, et qti’on acliève'.le parallélogrampi’e, afin d’avoir, dans la diagonale, la ligne qui représenté la rotation au bout d^uii insunl’, il est clair que rextremité de cette diagonale reste toujours à la meme hauteur au-dessus du plan du couple.

DE^LA nOTXTlblN DES CORI'S. 5o5 D'où l’on tire sur-le-cliamp c«s deux/orollaires : lej>rè- ■nier, c’est que, t/a/n t(lUt le cffurs du mpuvement, la vitesse angulaire est proportionnelle A là-longueur même du rayon qui va di,' centre au pdtc instantané sur la surfyce de'itellipsotde central ; le second , 'West que lé plan, du couple, considéré sans 'cesse comme tangent au pMe , reste toujours à la même distance du centre de cet ellipsoïde,

Mais ce centra est immobile dans l’espace aBsolji , et lè plan du couple toujours parallèle à Jui-mèuufc donc ce plan , qui touche sans. cesse l'ellipsoïde central au pâlèin- •stantaaé de rote/Hon, est toujours un seul et'même plan-fixe "dans t’espace absolit. • ■ " ,

Dône le mouvëiAent du corps^ off, ce q^iest la' même . chose, le raoirvement de l’ellipsoide central, est de telle nature, que cçt ellipsoïde rçÿte en contact avec un même 'plan fixe dans l'eSpace absolu; qu’il tourne à chaque instant sur je rayoq vecteur qui ya du centre au point de contact ,. et qu’il tourne avec june vitesse angulaire proportionnelle \ la longueur même de ce rayon. ■

•Cet ellipsoïde ne lait donc quê rouler, sans gliasef; sur le plan fixe c|ue l’on considère : car, comme tout’sen mouvement consiste a tourner pendant un instant sur la ligne 'menée dû cen^eaii^int de contact, l’ellipsoïde amène, au bout 'de cet instant, un nouveau point de sa sflrface en contact avec ce plan^ çt gg nouveau point, qui devient le pôle de la rotation pourTfnstant suivant , reste à son tour immobile pepdant cet instaiît, et ainsi de suite à l'infini; d'où il est manifeste (ffl’aucun de.ces points par les<|uels l’ellipsoïde vient so mettre en contact avec lé plan fixe lie peut jamais glissqr sur ce meme plan. * ‘ '

Telle fst donc l’idée 'claire et nouvelle qu’on |>eut se former du mouvement si complique et si obscur d'un

5o6 ' THÉORIE It^OÜyELLE

corps de figure quelconque qui. tourne librement, soit autour de son eentre de gravité; sdit autotar d’un point fixe quelcpnque, .en vertu, d'un coH(de .dont U. a reçu priaiitiveqieDt l’impulsion dans *tel plan doiiné qu’on voudra. \ .

« Gogsidéretfie centre .de gramté dû corps, ou, si le » corps h'est-pas libre, fe point fixe qui fait le centre de ^ sa rdtatk>n. Autour de. ce point, et sur les directions d» trûfs axes principaux d’ibertie qui s’y rapportent , » imaginez un ellipsoïde construit avec trois axes de Ion- » gueoes réciproques aux bras de l’ineetie An corps» au> •> tour des mêmes axes , èt faites maintenant abstraction » de 'la figure du torps pour n’y plus voir que' Celle » de cet ellipsoïde que j’ai nommé V ellipsoïde central,

« Sî^vous supposez que , cet ellipsoïde^ dont le centre

> est retenn immobile' au même point de l’espace, roule

U sans glisser sur un plan fixe avec lequel on l’a mis en ' * • • •

• contact, vous aurez la représmitation exacte du mOu-

» vem'ent géométrique que suit le corps en ver^ du coii' » pft qall’a frappé dans, le plan fixe que l’on cpnsidère ;* •'et si vous ajoutez que. la vitesse angulaire avec laquelle

> ii-tonme ii chaque instant sur le rayon mené du centre

> ah point ‘de contact est proportieiroei)e à la' longueur »' même de ce rayon , vôus'anrez à la fois le mouvement

• géométrique et dynamique ^ ce corps : c’est-iï-dire » que vous verrez avec clarté', non-seulement la suite

• continue . des lieux que \f corps doit vepir occuper ,

• mais encore la" proportion deS’ temps qu’il met à les

• parcourir ; ce qui est l’idée > complète dn mouvement

• du corps considéré dans le cours iqfini de sa rotatioa. >

DE LA ROTATION ' DES CORPS, 5oi Réflexion générale.

Mdus vrrilàd|BC condaitÿ par le/eul ralsonntinent à une idée cTairc qaRls gétomètres n*bnt pu t^r des fon&ujes del’analjise. Cest iln nouvel exemplequi montre l'avantage de cette méthode «mple et naturelle de considérer les choses en elles-mémés', ét sans les perdre de v«e- dans, le cours du raisonnement ; car, si L’on se oontenle;^ comlna .on le fait d’ordinaire^ de traduire les ptohlèmes en équations^ et qu’qme’en rappoÿe ensuite au transformations dti calcul pour méttré au jour la solution qu’on a en yué^’On trouvera le plqs souvent <jue cette solution est encore- plus cachée dans ces symboles Analytiques, qu’elle ne .l’était dans la nature même de U question proposée. Çe . n'est doDç point dans le calcul que réside oet an.quT nous fait découvrir*, mais ‘ dans oette 'considération attentive, des choses, où L’assit cherche avant tout à s^cn faire une . idée , én essayant-, par l’analyse' proprement dite , de .las décom(y>sêr en d’autres {ilus* simples, afin de -1a revoir ensuite comme si êllas étaient formées par la réunion de ces choses simples dont il a une pleine connaissance. Ce n’est pas que les choses soient composées de cette mftnièrc, mais c’est nôtre seule manière de- les voir , de nous en faire une idée', et partai|t de les connaître. Ainsi notre vraie méthode n’est que cet heureux mélange de l’analyse et de la sÿnthèse , où le oalçul n’est employé que cominc un instrument : instrument précieux et nécessaire sans donte, parce qu’il assure et', facilite notre marclie ornais qui.n'a par lui-même aupunê vertu propre ; qui ne dirige • point j'wprit , mai» que. l’esprit doit diriger eommè tout autre instruniéut. ' . -

Digilized by GoogU

5o8 . ■ THÉORIE K0UVE1,LE

Ce qui a pu faii-c illusion à quelipies esprits sur, cette

espèce de force qu’ils supposentaux formules de l'analyse,

c’est qu’on en retire, avec assez de facilité, des vérités , déjà conndes, et qu’on y a,‘ p(hir ainsi:,^ire , soi-mcme introduites ; et ii.semble alors que l’analysfe nous donne ce qu’elle ne fait ^qtie ’noui rendfc dans’ un autre langage. Quand un thc-orème est connii , on n’a qu’à l’exprimer par des éqiiaiiO[is: si. le théorème est vrai, cjjacune d’elles, ne peut manqher d’étre exàctè, aussi bien que les transformées qu’on en peut déduire; et si l’on arrive aiifti'à quelque 'foVmule évidente ou b ici» établie d’alReurs, on n'à qu’à prendre éelte cxiitnessibn comme un point- de départ, à* revenir sur ses pas, et (e calcul -seul. paraît as'bir conduit comme de luHjnéme au théorème dont il s’agit. Mais c’-est'en rela'quc le lecteur est trompé. Ainsi, pour prendre un exemplç dans la qnestibir meme qûi fait l’objet «le ce Mémoi|-e, il est bien dair qu’auj^rd’bui rien ne serait plus aisé que de retrouver nos idées dans les expressions analytiques d’Euler ou de Lagrange , et même de les en dégager avec’ un air de facilite ipii ferait croirc^tie ces formules devaient les produire spontanément. Cependant, comme ces idées ont échappé jusqu’ici à tant de géomètres qûi ont transforinfe ces formules distant de manièi-cs, il faut convqpir que cette analyse^ ne les donnait point , puisque, pour les yvoir, il aura^allu attendre qu’un autre y parvint par une voie toute différente. *

TVous auriooa bien d’autres réflexions à faire ot de plus grands exemples à produire , si nous voulions montrer, d'une part, tout ce que l’esprit doit de- lumière à cette méthode naturelle , telle que je l’ai définie plus haut et qui constitue notre véritable analyse.; et de l’autre , le peu de • vérités nouvelles qu’on a su tirer de cés formules analy-

DE LA DOTATION DES CORPS. 5og tiques où üçp croit' enfermer une question , «t quelquefois ^niéme une science tout eiftière. Sans doute la science ÿ est 'Contenue ,'c6rameclle'le serait dans tô^ autre principe énoncé en termes généraux ; mais.la difficulté reste de'

1 en faire sortir : et cette difficulté n’en devient-elle 'pas plus grande? Et, par exemple, ne faut-il parf «Üéjà conuaî».* tré et la Mécaniqiic et les arûficesdu calcul, pour tirer de la seqje formule générale des vitesses virtuelles je ne dis pas quelque^ nouveau .théorème (ce dont je né vois ^ère d’exemples), mais seulement les propositions particulières qui' nous sont le mieux. connues ? I>a'Hraduction n’estelle pas ici plus difficile que le texte lui même, je veux dire que la considération immédiate des choses que l’on veut étudier ? L’illustre atitenr qui a voulu transformer la Mécanique en une questioi) de calcul à.sans doute, rempli son objet avw toute la clarté et tonte l’élégance tjü’on en pouvait attendre ; mais si la véritable analyse brille quelque part dans la Mécanique analytique , j’oserai dire que c’est bien moins dans rcs calculs que l’auteur range avec tant fl''Ordre et de symétrie, que dans ccs -courts passages où il rapproche les méthodes, et dans ces admirables préfaces qu’il a placées à la tète des différents livres de son oii^ vrage, où il examine et discute les principes fondamentaux de la science, et fait riiistoire instructive' du mouvement de l’esprit lAimain dans cette suite délicate ’d’idéeS fines et de solutions' ingénieuses qui ont peu à- peu formé la Meca-, nique. C’est par là surtout que ce bel ouvrage pourra servir aux progrès ultérieurs de l'esprit, çn lui montrant U route qu’il a suivie, et qui est encore la route il doit continuer de marcher. Car, eno>re'une fois , gardoùsnous de croire qu’une science soit faite qiiand on 1'» réduite à des formules analytiques. Rien ne nous dis|ieuse

5lO - mÉORIR WOüVEtLB

(i’étndicr les choses en ellcs-ihémes , et de nous bien rendre compte des idées qui font l'dbjet de nos spçctdations. N’oublions p^nt que les résultats de nos calculs tint presque toujours besoin d’être vérifiés d’un' autre coté , par 'quelque raisonnement simple, ou par l'expérience. "Que ai le ’ctllcàl seul peut quelqiKibis nous ofFrir une vérité nouvelle , il ne' faut pas croire que sur oe point même l'esprit n’ait plus rien'à faire ; mais, au contraire, il faut songer que, cette vérité étant indépendante des méthodes ou des artifices qui ont .pu nous 7 conduire, il existe certainement quelqise démonstration simple qui pourrait la porter à l’évidence : ce qui doit être le grand objet et. le dernier rosultat de la science mathéma^que.

Qn’oa mepârdopneces r^exions, que je fais , j’ose le dire, dans rnnique'intériétde U science. Je connais |e caractère propre et distinctif de l’analyse algébrique, et je (lourrais ménte dire avec précision en quoi cet hrt a pu perfectionner- la' logique ordinaire du discours : je sais tout ce que les bons écrits -doivent au calcul; mais je t:)che d’éclairer i-eux qui se trompent^ur la naturç de cet instrument, et en" meme temps de prévenir l’abus que d’autres ch peuvent faire , en profitant de. cette illusion même. Car, sitôt qu’un auteur ingé-Oieux a su parvenir à quelque vérité nouvelle , -n’est-il pas é craindre que le caicniateur le plus stérile ne s’ero'presse d'aller vite la rechcrôhei'dans ses formules, comme poitr la découvrir une seconde foiS( et àsa maniéré, qu’il dit être la bonite et la véritable;- de telle sorte qu’on ne s’en croie plus redevable qu’à son analyse, et que l’auteur lui -même, quelquefois peu exercé", ou même ctràiiger k ce langage «t à ces symboles sous lesquels ntl lui’dén>l>e ses idées, qsc à peine réclamer ce-qui liij appartient , et se retire presque confus, comme s’il avait ntal

DE llA ROTATION DES COItrS. 5 I I invento ce qu’il a.» bien^fcou^ert ? Sint^lier ar(ifi<« , que je n’âî pas besoin -de ‘Caractériser davantage., mais qu'il est' bon de signaler ct^me un des plus nuisibles aRK progrès des sciences , pa^ce qu’il est saifs contredit un jles plus propres à décourager les'iqventeurs ! ^

•Mais je n’étendrâi pas plus loin ces réflexions : et. si le peu qu’on a dit est assez sensible par les eteasples qui précèdent, on le verra se confiriner eiteore par ceùx qui pourront suivre. ».. * . *• . ’

OeVELOPPEM CNT ' DE LA SOLUTION.

Des deux tourbes que ie pôle instaritani de rotation décrit

• à ta /pis da/u le corps et dans t'espace, • .

Dans cette image si claire que nous avons donnée de la rotation des. corps, on voit sur-lc-champ toutes les circonstances et toutes les variétés que ce. mouvement peut oflrir, et l’on est conduit comme par la main aux operations et aux calculs qu’il faut faire , si l’on veut en mer' surer toutes les différentes affections. * ‘

'Et d’abord , cette suite de points par lesquels l’ellipsmde central du corps vient se mettre .en contact avec -le, plan fixe du couple d’impulsion , étant considérée sur la surface de-Tellipsoïde , y marque la route du pôle -instaptanc dans l’intérieur du corps ; et ces mêmes points, étant considérés sur le plan fixe*, y marquent sa route dans l’espace absolu. On peut donc déterminer’ sur-le-champ ce$ deux lignes courbes, et les considérer comme les -bases de deux

5l?. . THÉOBIE NOUVELLE'

surfaces coniques de même Sqpimet, (iunt l’une, mobile avec le corps , roulant sur l’autre qni est fixé* d»nÿ l’e^ paoc absolu , donnerait à ce le inouvemént préds

qiii l’anime. •- '

Pouiÿ trouver la- première courbe , il n'y a donc qu’ê cherpher la' suite des pAnts oà^l’ellipêoïdp serait toiKhê par un p{an mobile qui resterait toujours à la mcmei distance du centre <|e cetelKpaoide ; ou , ce qui est îa même chose , qui'toucherait it la fois çat ellipsoïde et'une sphère concentrique d’un rayon égal à la distance-donnée.

Tandis que ce pldn trace sur l’ellipsoïde la route du pôle instantané , on pourrait remarquer qu’il trace sur la sphère la routé que le pôle du couplé, qui est fixe dans l’espace , paraît décrire dans l’intérieur du mobile ; c’est une autre courbe du même genre et que nous aurons aussi l’occaaioni de considérer. ‘

Mais , pour ne parler Ici que de la première , on voit donc que cette courbe est 'lui orbe fcrnif, h fiouble’cour^ hun, qui a, comme L’ellipse, quafre sommets principaux où elle est divisée en quatre parties égales et symétriques : espèce de roue «elliptique dont Taxe bp \ essieu est toujours, bu le rayon majevtr, ou le rayon mineur de l’ellipsoïde central , selon que le rayon de la sphère est donne' plus griAd ou plus petit que le rayon moyen de cet ellipsoïde. Cet qrbe à double courbure se projette en une ellipse entière sur Iç plan perpendiculaire à Celui des deux a*«» qui lui sert d’euieu , en on ari d'ellipse sur î’autre plan , et toujours en un arc d’hyperbole sur le plan perpendiculaire à Voie moyen.

•Les-quatre sommets de cet orbe sont les points où le rayon vecteur, et par conséquent, la vitesSe angulaire de rotation , atteint ses valeurs mnxima ou minima ; et l'on

Digilized by Coogic

DK l.A. llOTA■no^ DES COKI’S.- 3 I i |ieul TVmarquer que’ le maximum a toiyours lieu quand le pâle instaiftanc passe aux deux sommets ipii tombent dans le plan principal moyen de l'ellipsoïde; et le , quand il passe aux deux autres sommets de la courbe.

La seconde courbe, pouvant être' considérée comme tracée par celle-ci qu’on ferait rouler, autwtr du centre., sur le plan fixe du couple, est donc une courbe plane, qui circule autour de la projection de ce 'centre, en formant des ondes égales et r^uUères,' correspondantes aux arcs égaux et symétriques de l'orbâte roulante qpi la produit : c’est U n« espèce de courbe circulaire, mais, d'un rayon variable et périodique , et q,ui serpente ainsi l'infini entre deux cercles concentriqijes dont elle va toucher alternativement l’une et l’autre circonférence.

Si l’angle au centre , qui répond à de^x sommets c6nséeudfs de ces ondes e^uidistantes>, est'coimbènsurable avec quatre angles droits , la courbe se fermp après un certain, nombre de révolutions ; ét le pôle instantané qui la décrit revient au même lieu et dan% le corps et dans l’espace tout à la. fois. Mais, dans le cas contraire, • I» courbe ne se ferme point , et le pôle , qui revient toujours périodiquement au même lieu .dans le corp& ,-ne.peut ja^ niais revenir en même temps au même lieiv dans l’espace.

Telles sont les deux courbes décrites par le pôle instantané, l’une dans l’intérieur du corps, et l’autre dans l'espace absolu. Et quoique ces courbes soient Je formes si différentes , com’me c’est un seul et même -point qiu dicrit à la fois l’une et l’autre ,• leurs équations prises. entre le rayon vecteur et la longueur de l’arc décrit, sont exactement uneseule et meme équation-. , , •

Ije cône roulant, k la surface duquel' la preimèrr courlieserl de base, est sinqtleuienl un cAnr droit du se STiTIQTlF l’. 33 ^

5i4 • 'KJIÉORIK NOUVELLE

rond degrr; mais .le oeJ«c /£rr sur l^quel• il mule est uii c6ne transcendant AdhI la surface ondule à l’iltiilii autour de l’axe fixe du «oiiide : c’est aussi une espèce. de cône droit et circulaiie., mais I® surface serait,' |>our

ainsi dire,- c«w/»c/e'e suivant le contour rpguHèreraent ondtilé de la Wnrbe qui lui sert de hase. •

Des nojns qu'on /lourraij donner à ces deux courbes.

On sait qu’un corp?* pesant, projeté comme on voudra dans l’cspatr, tourne sur’ son centre de gravite, exactement de Ma même manière que s’il était libre de toute pesanteur. On voit donc qoe les courbes reroar- ' quables dont -il s'agit sont deux courbes que lu nature nous offre ü chaque instant dans le mouvement des projectiles , et' qu’ainsi chacune d’elles mériterait d’avoir un nom, anssi bien'qiie'la courbe qui est décrite dans l’espace pstr le centre de' gravité , et qiii s’est trouvée la même que la section tonique déjà nommée la parabole.

Je' proposerais donc de donner à ces deux courbes le nom de polodies , en .appelant la première, qui est décrite dans l’intérieur du corps, la polodie é't la seconde, qui est décrite dans l’espace, la polodie absolue : ou.,*si, ron stiniait mieux les distinguer par leur forme particulière , on donnerait à la première courbe', 'qui est un^ orbe elliptique et fermé, .le simple nom de /7oÔM/<e ; et à l’autre, qui est plane et ondulée, celui A’herjiolodie , -afin de* rappeler , avec l’idée du pôle. qui la décrit, la |>Hopiiété qu’elle a île serpenter en circulant autour d’un mèine centre fixe.

DK K\ HOYATIOX des COAPS.

l'ariétéf que ers deux enurhrs peuvent, offrir dans errtnins cas particuliers. * • .

Ces deux courbes ne dépeùdcnt , cosnme on voit, que de quatre données , savoir :* les trois detni-axes ou rayons prinripaux de Tellipsoide central , lesquels sont toujours donnés par kt nature du corps ; et cnr suite la hauteur du centre au-dessus du ' plan tangent du couple, laquelle est donnée par la direction du couple d’impulsion.

Cas singulier où la polodie divvrnt une ellipse , et l'herfios lodie une spirale.

Dans le cas singulier où cette hauteur serait donnée précisément égale i la longueur du rayon moyen de l’ellipsoïde , la polodie devient une ellipse dont le plan passe' parce rayon moyen ; et alors l’herpolodie «fevient une :.</?/raie , laquelle, considérée dans toute son étendue , est en quelque sorte une spirale rfotté/e; je vaux dire qu’elle a un sommet , à gauche et à droite duquel elle jette deux branches' égales qui vont en sens contraires' tourner en spirales autour d’un meme centre fixe : centre dont elles s’approchent sans cesse , et de plus près que tout ce qti’on voudra, comme d'un point asymptotique qti’elles ne peuvent jamais atteindre. Dans ce cas singulier du mouvement des corps , le pôle instantané de la rotation est donc un point toujours nouveau et dans le corps et dans l’edpace absolu , quoique la longueur de la spirale décrite soit finie et tout au plus égale à la demi-circonférence de l'ellipse roulante qui la produit.

'.THltOHIK NOtiVÇLLK

5iG

Cas particulicH où clics sc rcduiscnt à un point. ^

Si. la distance du Centre au plan tangent est donnée égale' à l’un des deux rayons extrêmes de l’ellipsoïde; cojnnie cela ne peut^ arriver .qu’en un seul point de la . surface, la polodie et l'herpolodie se réduisent toutes deux à iin seul et même point , et le pôle instantané reste immobile et dans le corps et dans l’espace pendant tout le cours du mouvefnent; et la (néme chose aurait encore lieu dans un cas lurique (appartenant au cas singulier qui pntèdc), celui où le plan du couple serait donné tangent au point précis qui fait le "pôle moyen de l’ellipsoïde central du corps.

Cas particulier relatif à l'espèce du corps , et où tes deux courbes deviennent des cercles.

' Enfin-, si Wcoiq)s est de l’espèce de ceux qui ont dçux de leurs \noinenls principaux d’inertie égaux entre eux , ajKluel cas l’ellipsoïde central est de révolution, la polodie devient, un cercle autour de l’axe de ce sphéroïde , et l’herpolodie est un autre cercle autour de l’axe fixe du roupie. Dans tous les corps de cette espèce , W mouvement est celui d’un cône droit à base circulaire qui roule ‘ uniformément sur up aiitre cône fixe également droit et circulaire. C’est un des cas les plus simples du mouvement de rotation, mais où il faut pourtant remarquer que, si les circonférences des deux- cercles dont il s’agit ne sont point commensurahles entre elles, ce qui arrive le plus généralement , le pôle instantané pe peut jamais revenir en un point' qui tombe à la. fois au même lieu dans le corps et au même lieu dans l’espace absolu.

Digilized by

DK KA KyTATION ptS COKI*S. S 17

Il eït inutile de parler du cas le plus simple de tuus, de celui où r-ellipsoidc' central du corps est une sphère parfaite : car, de quelque manière que le couple soit appliqué , l’axe de la rotation et celui du couple se confondent, et le pôle instantané reste immobile daii^ le corps et dans l’espace absolu.

Vitesses du pâle, sc^t pour décrire ces deux courbes-, suit /mur s'approcher ou s’éloigner du C(;ntrr , soit pour circuler autour de l'axe fixe du couple , etc.

Après avoir examiné la nature de ces deux courbes, décrites par le |M>le, et dont l’é<|uation diftcreiitielle est la même entre l'arc et le rayon vecteur émané du cenle»’ de l’ellipsoïde, on peut considérer la vitesse avec laquelle ce pôle instantané décrit à la fuis l’nne et l’autre ; la vitesse qu’il a |K»ur s’éloigner ou se rapprocher du centre, ce qui est la fluxion du rayon' vectettr, et par conséquent de la vitesse angulaire de rotation ; on peut chercher le mouvement angulaire du pôle auhuirde l’axe fixe du couple d’iinpulsion ; etc. Il est donc facile de détenfiincr les points remanpiàl>les où ces rlifférentes vitesses passent à leur maximum ou minimum ; et c’est ce (pii arrive aux sommets alternatifs des ondes de l’herpolodie.

On pourra simplifier ensuite l’équation de rher|tolodie, en la rapportant ù un rayon vecteur émané de son propre' centre, pris dans le plan même de la courbe , et ù l’angle que ce rayon décrit autour du même centre, etc., etv- El toutes coi expressions n’auront aucune difficulté.

f»i8 TiiKOiUK ko«jvi;llk

DcU‘rm:tiatioii du lieu uù le corps arrive au bout d’un . temps donné.

t Enfin , si l’on veut trouver les formules par lesquelles (>n puisse calculer le lieu du corps au bout d’un temps donné, on commencera par déterminer la vitesse angulaire de rotation en fonction du temps, ce qui se fera par une première intégmtion , et donnera le lieu, du pôle instantané à la surface de l’ellipsoïde céntral. Ensuite on intégrera l’équation précédente de l’herpolodie , ce qui donnera le lieu du pôle sur le plan fixe du couple. Et par ces deux quadratures, qui se rapportent naturellement aux transcendantes elliptiques , on pourra dire que le problème propose est entièrement résolu ; je veux dire "(pi’on sera en état d'assigner actuellement le lieu de l'espace où doit SC trouver te corps au bout d 'un temps quelconque donuc. En effet , on n'aura qu’à supposer l’ellipsoïde mis en contact avec le plan fixe, de manière qu’il touché parle point (pi’on- vient de déterminer ^ sa surfaee,. et au poinL qu’on vient de déterminer sur le plan dont il s'agit; et par cette opération , l’ellipsoïde central , et par conséquent le co^ lui-même, se trouvera pose tlans le lieu précis de l’espace où il arrive par son mouvement naturel au bout du temps donné.

On peut varier ces .déterminations de plusieurs manières, en prenant d'antres inconnues, relatives à la jKisitiun du corps; mais, quelles que soient les coordonnées <|u’qii emploie , l’expression de ces quantités en fonction du tcôqis demandera toujours • deujc intégrations tjiii dépendent essentiellement des transcendantes ^Ifipl iques .

Vtdm le cas singulier où la hauteur ilii centre au-dessus

DE LA tiOTATIOm DES CORl'S. 5 KJ du plan fixe est égalé au rayon moyen de l’eUipsoidc , et liù par conséquent la polodie devient une sinrplc ellipse , et l’herpolodie une spirale , la difficulté s’abaisse ; tout sé réduit apx règles ordinaires, 'et ne dépend que des exponentielles ou des logarithmes.

Enfin , pour tous les corps où l’ellipsoidt- central est de révolution, et où par conséquent tout devient uniforme et circulaire, on n'a besoin d’aucune intégration pour déterminer le lieu du corps au bout d’un temps donne. ...

Propriétés des trois axes principaux <lu corps , relatives à la stabilité de la dotation .

Quand le plan du roupie dümpulsion est tel que .le pôle instantané tombe sur l’un des pôles principaux de l’ellipsoïde central , il- y reste toujours; de manière que l’axe instantané, t’axe du^corps et celui dn couple ne. cessent de se confondre en une seule et^méme droite immobile dans tout le cours du mouvement. Les axes principaux du ^orps sont donc tous trois des axes permanents de rotation ;niaisil y a entre eu.x, comme on le smt , une différence remarquable sous le point de vpç de la stabilité que cbacnn de' ces axes peut, offrir dans la rotation du corps,

Si le pôle instantané tombe actuellement au pôle majeur ou au pôle mineur de rcilipsoïde et (jue par. l’impulsion de (ptelque petit couple étranger , il vienne à en être écarté à une |>etite distance, il ne s’en éloignera guère davantage , parce qu’il décrira sa polçdie autour de ce pôle même du corps d’où il a etc écarte., Mais il n’en est |kis de même (piaiid le péilc instatUane tombe au

52o' théorie nouvelle

p6tf moytH de l’ellipaoïde ^ car, pour peu qu'un le dérange , il s’en éloignera davantage , s’en allant alors décrire sa polodie, soit autour du'p61e majeur, soit autour du pôle mineur, selon que -ce dérangement accidentel du pôle instantané aura fait augmenter ou diminuer la distance du plan tangent du couple au centre de l'ellipsoïde. Et si ce dérangement est tel que cette distance ii’ait pas varié , ce qui arrive à la surfece le long de deux ellipses singulières qui se croisent au pôle moyén , le pôle instantané ira décrire l’ellipse singulière sur . laquelle on l’aura porté, ou plutôt la moitié de cette ellipse, pour aller retomber sur le pôle moyen opposé de l’ellipsoïde , ce qui est . le plus grand dérangement qui puisse arriver au corps ; ou bien , si le pôle instantané- était porté sur l’âutr^ moitié de la même ellipse , il ^reviendrait aussitôt au p<)le moyen d’ofi il' est parti , ce qui est le plus petit dérangement possible de la rotation' du corps. Il y a donc ici un cas unique où l’axg instantané de rotation, étant écarté de \'çxe moym où il était diabord, non-seulement ne s’en éloigne pas davantage , ÉÜïis même s’en rapproche aussitôt, et de plus près que tout ce qu’on voudra.' Mais , dans tous les autres câs, il va décrire un cône elliptique , soit autour de- l’axe majeur , soit autour de l’axe mineur , ou tracer le plan de l’une où de l’autre des deux ellipses singulières dont j’ai parlé : et l’on peutdii'e que la i:otation du corps autour dt; son axe moyen n’a point de stabilité.

La rotation n’est donc stable qu’autour de l’axe rla plus grand ou du plus petit moment d'inertie du corps : mais il n’en faut pas conclure qu’elle soit également stable |iuur ces deux axes; car, si l’un d’eux düTère peu de l’axe moyen , il n’aura guèic plus de stabiliti’ que

0£ LA ROTATION DiiS CORPS, i’axe mojen liii-ménie , comme on va le voir tout à l’heure.

Decequi fait la mesuiv de la stabilité pour chaeua des deux axes extrêmes de V ellipsoïde central. , ■

Pour se faire une idée nette de cette slabinté, et de ce qui en fait en quelque sorte la mesure pour chacun de ces deux axes , imaginez la surface de l’ellipsoidp comme coupée en quatre parties ou fuseaux elliptiques par les deux ellipses que j’ai considérées et dont les plans se coupent suivant l’axe moyen. Le p6le moyen est donc à l’intersection de ces deux ellipses; le pâle majeur est au centre de l’un des deux fuseaux , et le p61e mineur au centre du fuseau supplémentaire. v

Or, en premier lieu, si le pôle instantané de la rotation tombe ail gèle moyen de l’elKpsoIde, jl est ehtir que, pour peu qu’on le déplace , il va tpmber dans l’un ou l’autre des deux fuseaux dont il s’agit , et décrire son orbe on sa polodie autour de l’un ou de l’autre pôle principal de l’ellipsoïde : ou bien , si on le déplace sur une des deux ellipsM mêmes, il va décrire la moitié de cetle ellipse pour retomber sur le pôle moyen opposé; ou, s’il est porté sur l’autre moitié de la même ellipse, il revient aussitôt*au pôle moyen même d’où on l’a écarté. D’où il. résulte , comme on )’a dil^dcssus, que, hors de ce cas unique de déplaceihent, l’axe moyen du corps n’a aucune ' stabilité.

Actuellement , si le pôle instantané tombe sur le pôle majeur de l'ellipsoïde , il peut être déplacé , comme on voudra, dans toute IVienducdii fuseau environnant, sans l'csser de décrire sji polcxlie autour dn même pôle majeur;