etc

Or, dans le second membre de cette équation, r* est multiplié parm* -hmm'+mm" + etc. =m (m 4- m' 4- m" 4- etc.) = mM; 'e carré r'* est multiplié de même par m' M, etc. ; donc enfin, en Nuisant, on aura cette équation remarquable :

M«ii«= M/(mr^)—/ (mm' a«), <^ù le sighc /(mr^) indique la somme des produits des masses

l44 ÉLÉMENTS

par les carrés des distances de leurs centres au point A ; et le signe/ ipim' a^) la somme de leurs produits deux à deux pai les carrés des distances mutuelles de ces centres.

Par cette formule, qui ne contient plus que les distancer mutuelles des corps, et leurs distances à un point quelconque il de Tespace, on peut trouver à quelle distance r de ce point h est situé le centre de gravité G du système \ de sorte qu'en cherchant ainsi cette distance par rapport à trois points donnés, on aurait la position du point G dans Tespaee.

Si le point A change de position, ces distances r et r, r', /', etc., varient 5 mais les distances mutuelles a, jS, y, etc., des différents corps ne changent point par hypothèse, et le terme /(mm' a*) est constant : donc, puisque Téquation précédente nous donne

M/(mr«) =/(mm'««) -h M*r%

il s'ensuit que le point A de l'espace pour lequel / [mr"^) a la plus petite valeur est celui pour lequel on a r = o, et que, par conséquent, ce point est le centre de gravité G du système.

Ainsi, h centre de gravité cFun système de corps jouit de cette propriété, que la somme des produits des masses par les carrés dm distances de leurs centres respectifs à ce point est un minimum^ c'est-à-dire est plus petite que pour tout autre point de V espace.

Quant à celle valeur minimum de f[mr^)^ on voit, par l'équation ci-dessus où l'on fait r = o, qu'elle est égale à la somme des produits qu'on peut faire en prenant les masses deux à deux, les multipliant l'une par Tautre et par le carré de leur distance mutuelle, et divisant le tout par la masse en* tière du système ; ce qui donne un second théorème qui peut être utile dans plusieurs occasions.

Si le point A, en variant de position, reste toujours sur une sphère décrite autour du centre de gravité du système, r es constante, et, par conséquent, J(mr^) ne change point, quoi que les distances individuelles r, /, /', etc., varient par c< déplacement du point A ; et il en serait de même si, le point A

DE STATIQUE* l45

restant fixe, le système tournait d'une manière quelconque autour de son centre G. *

Le cenire de gravité d\n système jouit donc encore de cette profriété, que si ton fait tourner comme on voudra k système a%Uowr de ce centre, la somme des produits des masses par les carrés de lewrs distances à un point fixe qmlconque reste toujours la même. Si l'on suppose, comme nous l'avions fait d'abord, que tontes les masses m, m', m'\ etc., soient égales entre elles et a lunitë, M en marque le nombre, et l'équation précédente devient

M/(r')=/(««) + M«ii%

formule plus simple, et qu on appliquerait également à tous les systèmes possibles, en imaginant que les différents corps y soient tous divisés en parties égales.

Dans le cas de r = o, on a M/(r*) =/ (a"), d'où l'on tire ce tbéorème de Géométrie :

La somme des carrés des distances mutuelles de M points égaux esi égale à M fois la somm^ des carrés de leurs distances â leur commun centre de gravité.

On voit par là que la somme des carrés des six arêtes d'une pyraniîde triangulaire est égale à quatre fois la somme des carrés des distances des sommets au centre de gravité de la pyramide; car ce centre est le même que celui de quatre corps égaux placés à ces -sommets ^ etc., etc.

Dans ce qui précède, on n'a considéré qu'un système inva-. riable de figure, c'est-à-dire dont les points sont liés de manière qu aucune de leurs distances mutuelles ne puisse. changer. Mais on voit encore ici que, si la figure du système était 9mable suivant cette condition, que la somme des carrés des dis- Pences mutuelles des différents points fût constante, la somme des ^rrés de leurs distances au centre de gravité demeurerait aussi ^(mstante, et réciproquement. ^

Mais je passe à d'autres propriétés des centres de gravité.

lO

l46 ÉLÉMENTS

167. Soit une courbe plane quelconque ABC (fig, 44)? ^vlw^ tourne autour d'un axe PZ situé dans 5on plan, de manière que tous les points de la courbe demeurent toujours aux mêmes distances de cet axe ; cette courbe engendre une surface que l'on nomme surface de révolution.

Pour en déterminer l'aire, on peut remarquer que chaque élément ds de la courbe génératrice produit une surface de cône tronqué dont l'aire est égale au côté ds multiplié par la circonférence du cercle que décrit son milieu, ou son centre de gravité t, autour de l'axe PZ.

Donc, si l'on suppose tons ces éléments égaux, la surface entière sera égale à leur somme multipliée par la circonférence moyenne entre celles que décrivent tous leurs centres de gravité.

Mais cette moyenne circonférence a pour rayon la moyenne distance de tous ces points à Taxe de révolution, ou bien (140) la distance du centre de gravité de la courbe au même axe. Donc on peut dire :

Que V aire d'une surface de révolution est égale à la longueur de la génératrice multipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité autour de taxe de révolution.

On voit de la même manière que si plusieurs courbes situées dans le même plan tournent autour d'un axe situé dans ce plan, la somme des surfaces engendrées est égale à la somme des génératrices, multipliée par la circonférence que décrit le centre, de gravité de leur système.

Mais il faut observer que, lorsque la génératrice ou les génératrices ne sont pas situées en entier d'un même côté de l'axe, l'expression précédente ne donne plus que la somme des aires engendrées parles parties qui sont d'un côté de cet axe, moins la somme des aires engendrées par les parties qui sont de l'autre côté.

Ou peut appliquer aussi la théorie des centres de gravité à la cubature des solides de révolution^ et il n'est pas difficile de

voir que le volume éCun solide de révolution est égal à faire de la section génératrice multipliée par la circonférence que décrit son mire de gravité autour de taxe fixe.

En effet, si Ton considère un rectangle hcde (fig. 45) qui tourne autour de l'axe PZ parallèle à l'un de ses côtés 5e, il est clair que le solide engendré par ce rectangle est égal à la différence de deux cylindres de même hauteur cd, et dont Tun a pour rayon la distance, ca du côté cd à l'axe fixe, et Taulre la distance ha du côté he au même axe. Ce solide est donc

exprimé par \xs ac -r- es ah ) cd ^ en nommant X5 le rapport de la circonférence au diamètre. Si l'on met ca-^ch à la place

de a6, l'expression précédai te devient xs^^acxhc — hc )rd,

ou 6cX<?rfX2Cj( ac )> c'est-à-dire égale au rectangle

hede^ multiplié par la circonférence décrite d'un rayon moyen entre les rayons ca et 6a, ou bien égale à la distance du centre de gravité du parallélogramme à l'axe de révolution.

Donc, si l'on conçoit la section génératrice ZMN comme partagée en une infinité de petits rectangles égaux, on pourra dire que le solide total engendré est égal à la somme de tous ces rectangles, ou à l'aire de la section ZMN, multipliée par la circonférence moyenne entre toutes celles que décrivent leurs centres de gravité autour de l'axe. Mais cette moyenne circonférence a pour rayon la moyenne distance de tous ces points au même axe ou la distance du centre de gravité à cet axe. Donc, etc.

On pourrait voir encore, par un raisonnement à peu près semblable au précédent, que si une surface plane terminée par une courbe quelconque se meut dans l'espace de manière que son plan soit toujours (au même point) perpendiculaire à une courbe quelconque à double courbure, le solide engendré est égal à l'aire de la surface génératrice multipliée par la lon-^ gueur de la courbe que parcourt son centre de gravité.

Mais nous ne nous arrêterons pas à démontrer cette proposition, que l'on pourrait déduire, aussi bien que les précé»