DES CENTRES DE GRAVITÉ DES FIGURES

Lemme.

f47. Touie figure dam laquelle il se trouve un point tel, qu^un plan quelconque mené par ce point coupe la figure en deux parties parfaitement symétriques, a son centre de gravité en ce points que Von nomme ordinairement le centre de la figure.

En effet, si l'on fait passer un plan quelconque par le centre de la figure, comme ce plan la coupe en deux parties parfaitement symétriques, il n'y a pas de raison pour que lé centre de gravité, qui est un point unique, et dont la position ne dépend que de la figure, se trouve d'un côté de ce plan plutôt que de l'autre 5 donc.il sera dans ce plan : le centre de gravité devant donc se trouver à la fois dans tous les plans que l'on pourrait conduire par le centre de figure , sera en ce point même, qui est la commune intersection de tous ces plans.

148. Il résulte de là : i^ Que le centre de gravité d'une ligne droite est au milieu de sa longueur *,

2^ Que le centre de gravité de Taire d'un parallélogramme quelconque est à l'intersection de ses deux diagonales , ou au milieu de l'une d'elles ;

3*^ Que le centre de gravité de la solidité d'un parallélipipède est à l'intersection de ses quatre diagonales , ou au milieu de l'une d'elles.

On pourrait encore en conclure que le centre de gravité du contour ou de l'aire d'un cercle est au centre de ce cercle ^ que le centre de gravité de la surface ou de la solidité d'une sphère

est au centre de cette sphère ; que celui de la surface ou de la solidité d'un cylindre à bases parallèles est au milieu de son axe; etc»

Mais dn remarquera surtout les trois premiers corollaires sur les centres de gravité de la ligne droite, du parallélogramme et du parallélipipède, parce que l'on peut regarder ces figures comme les déments de toutes les autres.

Problème I.

149. Trouver le centre de gravité du contour âun polygone gu^tcangue, et, en général, d'un assemblage de droites disposées eoimne an voudra dans V espace.

On r^ardera chaque droite comme concentrée en son centre de gravité, lequel est au milieu de sa longueur; et l'on n'aura plus à considérer qu un assemblage de points reprélenlés, pour leurs poids respectifs, par les longueurs des lignes dont ils sont les centres de gravité.

On. trouvera donc le centre de gravité du système par la composition successive de ces poids, ou parla théorie des moments, comme il a été dit plus haut.

150. On pourra souvent, par des considérations particu-lières, déterminer les centres de gravité plus facilement que par la méthode générale.

S'il s'agit, par exemple, de trouver le centre de gravité du contour d'un triangle, on n'aura qu'à joindre les milieux des trois côtés par trois lignes, ce qui formera un triangle semblable au triangle proposé-, et, partageant les angles de ce triangle en deux parties égales par des droites, ces droites s6 couperont au centre de gravité cherché.

C'eslrà-dire que le centre de gravité ducontour d'un triangle n'est autre chose que le centre du cercle inscrit au triangle formé par les lignes qui joignent les milieux des trois côtés.

laa ÉLÉMENTS

Problème IL

151. Trouver le centre de gravité de Faire d'un polygone quel'conque^ et, en général, d'un assemblage de figures planes et rectilignes disposées comme on voudra dans -T espèce.

Tous les polygones pouvant se décomposer en triangles^ nous allons voir d'abord comment on- trouve le centre de gravité d'un triangle quelconque. Après quoi, prenant les centres de gravité de tous les triangles qui composent le système proposé, nous n'aurons plus à considérer qu'un assemblage.de points donnés dé position, et dont les poids respectifs seront représentés par les aires des triangles dont ils sont les centres de gravité ; et le problème se résoudra comme le précédent.

Du centre de gravité du triangle.

152. Soit ABC (fig. 38) le triangle proposé : considérons sa surface comme composée d'une infinité de tranches parallèles à la base BC. Il est visible que la ligne droite AD, menée du sommet A au milieu D de la base, divisera toutes ces tranches en deux parties égales. Leurs centres de gravité respectifs seront donc tous sur la droite AD, et, par conséquent, celui de leur système, c'est-à-dire celui du triaqgle, y sera aussi.

Par un raisonnement tout à fait semblable, on ferait «voir que le centre de gravité du triangle doit aussi se trouver sur la ligne BE qui serait menée du sommet de l'angle B au milieu E du côté opposé AC.

Le centre de gravité, devant donc se trouver à la fois sur les deux lignes AD, BE, sera nécessairement à leur intersec^^ tion C.

Mais si l'on joint DE, puisque les points D et E sont les milieux respectifs des côtés CB, CA, la droite DE sera parallèle à AB et en- sera la moitié. Or, si DE est moitié de AB, à cause des triangles semblables DGE, AGB, le côté DG sera aussi moitié de son homologue AG.

Donc, DG sera le tiers de AD, et AG en sera les deux tiers.

Donc, le centre de gravité de taire d'un triangk quelconque e$t situé sur une ligne menée de F un quelconque des trois angles au milieu de la base- opposée, et se trouve au tiers de cette ligne à partir de la base, ou aux deuœ tiers à partir du sommet de tangte.

La démonstration précédente est si naturelle et si simple, que nous ^^avons pas cru devoir Tomettre ici. On pourrait lui donner toute la rigueur possible^ au moyen de cette méthode connne, dont les exen£ples sont si multipliés dans les éléments de Géométrie ; mais le lecteur peut y suppléer.

Au reste, voici une démonstration nouvelle qui ne laisse rien à désirer du côté de Texactitude.

1S3. Par le milieu D de la base BC du triangle ABC {fig. Sp), menés aux deux autres côtés les parallèles DE, DF, qui les rencontrent en E et F : le triangle proposé sera décomposé ea VA ^rallélogramme AEDF, et deux triangles DEC, DF6, parfaitement égaux entre eux, et semblables au premier.

Le mioment du triangle ABC, par rapport à une ligne quelconque menée dans son plan^ sera donc égal à la somme des momentt du parallélogramme et des deux triangles.

Soit a Taire d'un de ces triangles, 4 ^ sera celle du triangle proposé. Donc, si l'on nomme x la distance du centre de gra-- Tité de ce triangle à la base BC, on aura 4<3^pour son moment pur rapport à cette ligne.

Soit'h la hauteur du triangle; - sera la distance du centre de gravité du parallélogramme à la base ; et comme son aire est a a, son moment sera 2 a X -^ c'est-à-dire ah.

Ensuite, les deux triangles BFD,DEC ont visiblement leurs centres de gravité à même distance de la base BC ; donc, si f on nomme a/ cette distance, la somme de leurs moments sera aoo/.

On aura donc 4 ««^ = «^ 4- 2 «a/ , ou bien , en divisant

ISl4 ÉLÉUEBTS

par 4a>

Si l'on supposait, avec Ârchimède, que, dans les triangl

semblables, les centres de gravite sont des points semblabl

ment placés; alors, comme les dimensions du triangle 6FD <

DEC sont moitiés de celles du triangle ABC, on aur

4* j/ = - *, et substituant dans Téquation précédente, on trou^

rait sur-Ie-cbamp

Ce qui fait voir que le centre de gravité du triangle se trou placé au-dessus de chaque côté , à une distance égale au tiers la hauteur de Tangle opposé, et que, par conséquent, il est point déterminé ci-dessus.

Mais on peut parvenir à cette conclusion sans aucune hy{ thèse : car, puisque Ton a trouvé pour le triangle ABC,

X=is 7 . Ah j

X étant la distance de son centre de gravité à la base BC, el la distance du centre de gravité du triangle BFD à sa base B en imaginant que Ton fasse, dans le triangle BFD, la même o struction que Ton a faite dans le triangle ABC, si Ton nom od' la distance analogue à celle qu'on a nommée a/, et si 1 observe que la hauteur du nouveau triangle est deux fois p petite que celle du premier, on aura

42 2 Et continuant la même construction, on trouvera

etc., etc.,

x'^ x"j etc., désignant les distances des centres de grayité à la base dans les triangles successifs, distances qui diminuent sans cesse, et dont la dernière peut être rendue moindre que toute grandeur donnée, puisqu'elle est toujours plus petite que la hauteur du triangle dans lequel on la considère.

On aura donc, en substituant successivement dans la première équation, à la place de a/^ a/\ oi" ^ etc., leurs valeurs,

dottâ?=: 7* Ce qu*il fallait démontrer.

Remarque.

154. Soient trois masses égales ayant leurs centres de gravité situés aux trois angles respectifs du triangle ABC [fig, 38). Le centre de gravité de ces trois corps sera le même que celui du triangle.

Car, pour trouver celui des trois corps, il n'y a qu'à prendre d'abord le centre de gravité de deux quelconques d'entre eux, celai des deux corps B et C par exemple, lequel est au poiiit D, milieu de BC; ensuite joignant DA, on n'a qu'à diviser cette droite au point G dans la raison réciproque de 2 à i .

Or cette construction donne aussi le centre de gravité du triangle, ABC.

Il résulte de là et du n^ 140, que la distance du centre de gravité d'un triangle à un plan situé d'une manière quelconque dans ^espace, est égale à la moyenne distance, de ses trois angles au même plan.

G&MTe de gravité du trapèze.

155« Si l'on prolonge jusqu'à leur rencontre les deux côtés du trapèze, on forme deux triangles semblables de même sommet, et qui ont pour bases les deux bases du trapèze ; et comme la ligne qui va du sommet commun au milieu de la base infé-

I a6 ÉLÉMENTS

rîeure passe au milieu de la base supérieure, il s'ensuit qui cette ligne passe à la fois par les centres de gravité des deu: triangles, et, par conséquent, par celui du trapèze qui en est L diilérence. Le centre de gravité du trapèze est donc sur la Ufjm qui joint les milieux de ces deux bases parallèles : ainsi il éI reste qu'à trouver sa distance à Tune ou à Tautre de ces baseï^ ou, si l'on veut, le rapport de ces deux distances. '

Nommons x la distance inconnue de ce point à la base iuSti rîeure, et H et ft les hauteurs des deux triangles semblables. || l'on représente par H* l'aire, ou le poids du grand triangle, Ifi sera le poids du petit, et H* — A* celui du trapèze. Le momefd du premier de ces poids, par rapport à la base inférieure, sera

donc H*. Y? ^® moment du second sera h^ (--|-H — ii),et

le moment du troisième (H" — h^) x. Ainsi, en égalant le pitN mier de ces moments à la somme des deux autres, on aui%^ pour déterminer a?, l'équation I

Si l'on cherche de même la distance y du centre de graviH à la base supérieure, où si l'on observe simplement que eettfc distance y est formée de (H — h) diminuée de x^ on trcdî* vera

Comparant ces deux équations membre à membre, et ôtant, d'une part, le facteur commun 3 (H* — A*), et, de l'autre, lé facteur commun) (H — A)*, on trouvera, pour le rapport cherché,

xlyiiE-h Q^h:h-h aH^

ou bien, mettant à la place des hauteurs H et h des triangles, leurs bases 6 et 6 qui sont dans le même rapport, on aura }a proportion

x:y ::B-f-26:6-f.aB,

DE STATIQIE. lay

(1 OÙ résulte ce thébrème :

Le eetUre de gravité Hun trapèze est sur la ligne qui va du milieu de rune de ses bases au milieu de Vautre^ et il coupe cette Kgne dans le rapport des deux sommes qu'on trouve, en ajoutant itmcôié, à la première hase, deux fois la seconde , et, d'un autre fAHyàla seconde hase^ deux fois la première.

On peut lîrer de là cette construction très- simple : Prolongeu, vers la droite, l'une des deux bases, d'une longueur égale aTautre; et celle-ci, vers la gauche, d'une longueur égale à la première ; et menez la ligne qui joint les extrémités de ces deux prolongements ; elle coupera celle qui joint les milieux des deux bases au centre de gravité du trapèze.

On peut remarquer que la proportion précédente ne dépend point de la hauteur du trapèze, mais uniquement du ^rapport des deux bases, de sorte qu'elle est la même pour tous les trapizes possibles de bases proportionnelles.

Si les bases sont égales, on sl x = y\ ce qui doit être, car Je trapèze est alors un parallélogramme, dont le centre est qg[alement éloigné de ces deux bases opposées.

Si l'une des bases 6 devient nulle, on a y = 20:5 et, en effet, le trapèze devient un triangle dont la base est B, et dont le centre est deux fois plus près de la base que du sommet.

Problème III .

156. Trouver le centre de gravité de la solidité (fun polyèdre ^kdnqUe, et, en général, d'un assemblage de polyèdres disposés comme on voudra dans t espace . *

Tous les polyèdres pouvant se décomposer en pyramides triangulaires, nous allons voir d'abord comment on trouve le centre de gravité d'une pyramide triangulaire. Après quoi,, prenant les centres de gravité de toutes les pyramides qui com^ posent le système proposé, on n'aura plus qu'à chercher le centre de gravité d'un assemblage de points, représentés pour leurs poids par les volumes des pyramides respectives dont ils

sont les centres de gravite ; et le problème se résoudra comme il a été dit ci-dessus.

Du centre de gravité de la pyramide.

157. Soit ABCD (/î^. 40) une pyramide triangulaire quelconque. Si nous considérons cette pyramide comme composée d'une infinité de tranches parallèles à la base BCD, il est visible qu'une droite menée de l'angle A en un point quelconque de la base couperait toutes ces tranches et la base ellemême, en des points semblablement placés : donc, si cette droite est menée au centre de gravité I de la base, elle passera par tous les centres de gravité des tranches parallèles. Le centre de gravité du système de ces tranches, et^ par consé^ quent, celui de la pyramide, devra donc se trouver sur la droite AI.

Mais , par un raisonnement tout a fait semblable, on voit que le centre de gravité de la pyramide doit aussi se trouver sur la ligne CH qui serait menée de l'angle C au centre de gravité H de la face opposée : donc il sera nécessairement i l'intersection G de ces deux droites.

Ainsi les deux lignes AI et CH doivent nécessairement se rencontrer; et c'est ce que l'on voit d'ailleurs, indépendamment de la considération du centre de gravité : car si l'on tire CI, cette droite ira couper le côté 6D en son milieu E, puisque le point I est le centre de gravité du triangle BCD 5 par la même raison, si l'on tire AH, cette droite ira rencontrer BD au même point E, et, par conséquent, les deux droites AI, CH seront dans un même plan, qui est celui du triangle AEC, et elles se couperont nécessairement.

Actuellement, si l'on remarque que le point I est au tiers de EC, et le point H au tiers de EA (152), il est clair qu'en joignant IH, cette droite sera parallèle à AC et en sera le tiers. Mais si la droite IH est Id tiers de AC, à cause des triangles semblables IGH^ AGC, le côté IG sera le tiers de son homologue GA, ou bien sera le quart de lA, et AG en sera les trois quarts.

DE STATIQVË. 129

Donc, le centre de gravité d'une pyramide triangulaire est situé sur une ligne menée de fun quelconque des quatre angles au centre de gravité de la base opposée^ il est au quart de cette ligne, à partir de la hase, ou aux trois quarts, à partir du som^ met de Vangle,

Remarque.

1S8. On peut aussi appliquer à la pyramide triangulaire une démonstration analogue à celle que Ton a donnée pour le triangle.

Mais pour cela considérons d'abord le prisme triangulaire : soit ARCàbc {fig. 4i) le prisme. Par le milieu E du côté AB de sa base ABC, conduisons deux plans EF/, EDd parallèles aux faces respectives BCc6, ACca, Nous décomposerons ce prisme en deux autres, et un parallélipipède.

Si Ton nomme a la solidité de l'un de ces deux prismes, lesquds sont parfaitement égaux, on aura 4^ pour celle du prisme proposé, et la pour celle du parallélipipède. * Cela posé, soit x la distance du centre de gravité du prisme total à la face BA ab ; on aura 4 o>^ pour son moment par rapport à cette face. Soit de même, pour les deux prismes partiels, x' les distances de leurs centres de gravité au tnème plan, distances qui sont parfaitement égales entre elles; on aura rïax' pour la somme de leurs moments. Enfîn^ nommant h la hauteur de l'arête Ce au-dessus de plan parallèle BAab, le

moment du parallélipipède sera évidemment 2a-» ou simplement ah. On aura donc 4 «^ = «^ -+- ^ax\ et, par conséquent,

«= -, + ^5 et si l'on applique mot à mot tout ce qu'on a

dit (i53), on trouvera ^ = ^•

Cp qui fait voir que le centre de gravité d'un prisme triangulaire est, à l'égard de chaque face, au tiers de la hauteur de Farète parallèle à celle face; d'où il est facile de conclure qu*il est sur la ligne G9, qui joint les centres de gravité des

l'io ÉLÉMBJNTS

deux bases. Et d^ailleurs îl est aîsé de voir que ce point tombe an lAîlicu I de celle droite GgF^ que je nommerai pour un moment l'axe du prisme. En efTet, imaginez le prisme partagé en un nombre quelconque de prismes égaux par des plans parallèles à la base, et soit i la distance du centre de gravité de l'un de ces petits prismes au milieu de son axe. II est clair que le centre de gravité O de leur système, et, par conséquent, celui du prisme total, se trouvera aussi à la même distance â du milieu I de son axe G g. Or, quelque petite que soit la longueur d'un prisme, îl est évident que le centre de gravité est toujours dans l'intérieur du solide : donc, puisque la longueur de chaque prisme partiel peut être rendue moindre que toute grandeur donnée, la distance OI = 3 est moindre que tout ce qu'on voudra, et par conséquent nulle.

159. Actuellement, soit une pyramide triangulaire ABCD (fig. 4^)» P^ï* le point L, milieu de AC, faites passer la section LMK parallèle à la base 6CD, et la section LEF parallèle à la face ABD. Menez KH parallèle à LE, et joignez EH.

La pyramide proposée sera décomposée en deux prismes équivalents, Tundont la base est EDH, l'autre dont la base est LEF, et en deux pyramides triangulaires ALMK, LÇEF parfaitement égales entre elles, et semblables à la pyramide proposée.

Cela posé, égalons: le moment delà pyramide totale, par rapport à la base BCD, à la somme des moments des deux prismes et des deux pyramides partielles, par rapport au même plan.

Soit a la solidité de Tune de ces deux pyramides, 8a sera celle de la pyramide entière; et si Von nomme x la distance de son centre de gravité à la base, on aura 8ax pour son moment.

Soit k la hauteur de la pyramide entière ; le prisme dont la base est EDH aura son <xntre de gravité élevé, au-dessus de la

base, de — ; et comme sa solidité est 3a, son moment sera

DK STATIQUE. l3l

3« j. Le second prisme, dont la base est LEF, aura son centre

I A de gravité élevé au*dessus du plan BCD de -•- (188); et,

eomme sa soliditë est 3 a, son moment sera 3 a ^ •

Enfin, si Ton nomme x' la hauteur du centre de gravité de la pyramide LCEF au-dessus de la base BCD, la hauteur du centre de gravité de la seconde pyramide ALMK sera évidemment a?' H — » et Ton aura, pour la somme des moments de ces pyramides,

/ f f à\ ah ,

aar -h aix -\ — j^ ou -^ -{- ^ctx

On aura donc, en réunissant,

Q^^ ^a/i 3ah ah

orw? = —7 — — T» — I \r ^axi

réduisant, et divisant par 8 a,

Si Ton supposait que , dans les pyrapiides semblàbleSi les centres de gravité sont des points semblablement placés, comme Us dimensions de la pyramide LCEF sont deux fois plus petites, que celles delà pyramide proposée A6CD, on aurait

et, substituant dans Féquation précédente, on trouverait

Ce qui nous ferait voir que, dans toute pyramide triangulaire, le centre de gravité est élevé au<lessus de chaque face

l32 Él^ÉJdENTS

au quart de la hauteur de T angle opposé ^ d*où il est facile de conclure qu'il est au point déterminé ci-dessus. Mais on peut parvenir à Péquation précédente sans aucune hypothèse.

En effet, si Ton imagine que l'on ait fait dans la petite pyramide LCEF la même construction que l'on a faite dans la pyramide ABCD, en nommant a/' la distance analogue à celle qu'on a nomniée j/, et observant que la hauteur de là nouvelle pyramide n'est que la moitié de la hauteur h de la première, on aura, comme ci-dessus,

et continuant la même construction dans les pyramides successives, on trouvera

etc.,

etc.

ûd"^ x'*, etc., désignant les distances successives des centres de gravité des pyramides à la base. Or ces distances diminuent sans cesse, et deviennent plus petites que toute grandeur donnée, puisqu'elles sont toujours moindres que les hauteurs des pyramides dans lesquelles on les considère. On aura donc, en substituant successivement dans la première équation, à la place de a/, ocf\ a/'', etc., leurs valeurs,

d'où l'on tire

x = lh;

ce qu'il fallait démontrer.

DE STATIQUE. l33

Remarqué,

Soient quatre masses égales dont les centres de gravité soient placés aux quatre angles d'une pyramide triangulaire : le centre de gravité de ces quatre corps est le même que Celui de la pyramide.

Car, pour trouver celui des quatre corps, il n'y aurait qu'à prendre d'abord le centre de gravité de trois quelconques d'entré eux, lequel est au centre de gravité de la face même aux angles de laquelle ils sont placés (154), et joignant ensuite le centre de gravité du quatrième corps à ce point, il faudrait diviser cette droite à partir de la face, en raison réciproque de 3 à I : or celte construction donne aussi le centre de gravité de la pyramide.

Il résulte de là que la distance du centre de gravité d'une pyramide triangulaire à un plan situé d'une manière queloonqae dans l'espace est égale à la moyen np distance de ses quatre angles au» même plan.

La même propriété appartient aussi au prisme triangulaire.

Remarque générale.

160. Pour déterminer le centre de gravité d'un polyèdre, il n'est pas toujours nécessaire de le décomposer en pyramides triangulaires; il se présente souvent des simplifications dont il faut profiler.

Par exemple, on trouvera le centre, de gravité d'un prisme quelconque à bases parallèles en prenant le centre de gravité delà section parallèle aux bases, menée entre elles à égales distances, ou bien, en prenant le milieu de la ligne qui joint les centres de gravité de ces deux bases.

Cette proposition est si facile à démontrer directement, ou à déduire de ce que nous avons dit sur le prisme triangulaire, qu'il est inutile de s'y arrêter.

161. Si l'on considère un cylindre quelconque à bases parallèles comme un prisme dont la base est un polygone d'une

l34 É|.ÉME1«T8

infinité de côtés, il résulte de ce que nous venons de dire que le centre de gravité de ce cylindre est au milieu de la droite qui joint les centres de gravité de ses deux bases.

162. On a pu voir précédemment que le centre de gravité d^une pyramide triangulaire est le même que le centre de gravité delà section parallèle à la base, menée au quart delà hau^ teur du sommet.

Cette propriété s'étend k une pyramide quelconque ; car si Ton partage la base en triangles par des diagonales, et que l'on conduise des plans par ces lignes et par le sommet^ on décomposera la pyramide proposée en autant de pyramides triangOrlaires qu'il y a de triangles dans la base. Toutes ces pyraniides auront une même hauteur^ qui est celle de la proposée, et^ par conséquent, leurs solidités respectives seront proportionnelles à leurs bases ou à des sections parallèles faites à même hauteur. Donc, si Ton coupe toutes ces pyramides par un plan parallèle au plan de leurs bases, mené au quart de la hauteur du sommet commun, puisque leurs centres de gravité respectifs sont les mêmes que ceux des sections triangulaires correspondantes, et que leurs solidités (ou leurs poids) sont proportionnels à ces sections, il s'ensuit que le centre de gravité du système de ces pyramides est le même que celui de tous les triangles ou du polygone qui résulte de leur assemblage.

Mais, si l'on tire une ligne droite du sommet au centre de gravité de ce polygone, cette droite ira passer au centre de gravité de la base, et sera coupée par le plan du polygone aux trois quarts de sa longueur en partant du sommet, ou au quart en partant de la base*

163. Donc le centre de gravité d'une pyramide à base quelconque est sur la ligne menée du sommet au centre de gravité de la base, au quart de cette ligne en parta/nt de la base, ou aux trois quarts en partant du sommet .

164. En considérant le cône comme une pyramide dont la base est un polygone d'une infinité de côtés, on voit que te

DE STATIQUE. li^

centra de gravité d'un cône à base quelconque est sur la ligne qui joint le sommet au centre de gravité de la bast^, au quart de cette ligne à partir de la base, ou aux trois quarts à partir du sommet du cône.

Centre de gravité du, tronc de pyramide,

165. On voit d'abord que le centre de gravité d'un tronc de pyramide est sur la ligne qui joint les centres de gravité de ses deux bases : car supposez rétablie la pyramide entière dont on a retranché une pyramide semblable, par une section parallèle à la base, pour former le tronc dont il s'agit. Comme la ligne qui va du sommet au centre de gravité de Tune des bases passe au centre de gravité de Tautre, il s'ensuit que cette ligne passe à la fois par les centres de gravité des deux pyramides semblables, et, par conséquent, par celui du tronc qui en est la difl'érence. Ainsi, il ne reste qu'à trouver la distance de ce point à Yiine ou à l'autre base, ou, si l'on veut, le rapport de ces deux dlîstances.

Or, soit X la distance de ce centre à la base inférieure, et nonunons H et A les hauteurs des deux pyramides semblables. Si Ton représente par H* le volume ou le poids de la grande pyramide, h^ sera le poids de la petite, et H* — h^ celui du tronc : et les trois moments de ces poids par rapport à la base

inférieure seront H' ••^? A' ( -^ + H — h\ et (H* — h^)x. Donc,

en égalant le premier de ces moments à la somme des deux autres, on aura, pour déterminer j?, l'équation

4 (ir A») 0? = H* — 4 A'H + 3 A*,

dont le premier membre est divisible une fois, et le second deux fois par (H — A), qui est la hauteur du tronc.

Si l'on cherche de même la distance y du centre de gravite à la base supérieure, ou si l'on observe simplement que y est composée de H — h diminuée de a?, on trouvera l'c(jiiaiion

4 (H' — h')y=ih'^^ R'h + 3 H\

l36 ÉLÉMENTS

dont le premier membre est divisible de même par H — fc^ et le second par (H — A)'.

Compa rant donc ces deux équations, et supprimantles facteurs communs, on aura, pour le rapport cherché, ar : y :: H'-f- 2HA -H3ft* : A' -h -2 AH -4- 3 H' : ou bien, comme dans les pyramides ou les cônes semblables les bases sont proportionnelles aux carrés des hauteurs 5 si l'on met pour H' et K* les deux bases B et 6 du tronc, et, par conséquent, pour HA une base ^B6 moyenne géométrique entre les deux, on aura la proportion

x:y :: B-l-av/B6"H-36 : 6 + 2V'B6-h3B5

d'où résulte ce théorème :

Le centre de gravité d!un tronc de cône ou de pyramide est sur la ligne qui va du centre de gravité de Vu/ne des bases au centre de gravité de C autre, et il coupe cette ligne dans le rapport des deux sommes qù*on trouve, en prenant (tun côté : une fois^ U^ première base^ deux fois la moyenne géométrique entre celle-ci et la seconde, et trois fois la seconde^ et d'un autre côté, dans F ordre inverse^ une fois la seconde base, deux fois la moyenne et trois fois la première.

Au reste, on voit qu^il n'est pas nécessaire ici de mesurer ces' bases (dont la quadrature pourrait être longue, ou même assez difficile dans le cas d'une base courbe), mais qu'il suffit d'avoir trois quantités qui leur soient proportionnelles, et, par conséquent, de prendre dans les deux bases semblables du tronc proposé, deux lignes homologues A et a, défaire les carrés A' et a*, et le rectangle Aa qui sera moyen géométrique entre eux.

On peut remarquer que, dans la proportion précédente, le rapport dex ky ne dépend point de la hauteur du tronc, mais uniquement du rapport des bases, et que, par conséquent, il est le même pour tous les troncs possibles de bases proportionnelles.

Si les deux bases du tronc sont égales, la proportion donne X = y'^ et, en eflet, le solide devient alors un prisme ou un

DE STATIQUE. liy

cjlinâre dont le centre est également éloigné des deux bases.

Si rane des bases 6 est nidle, on a pour la distance x du

centre à Pautre base Bjix:=sy : et, en effet, le tronc dont il

s'agit devient alors une pyramide ou un cône, dont le centre

est trois fois plus près de la base que du sommet.

On pourrait multiplier les exemples, mais ce que nous avons (fit suffit pour Tobjet que nous nous sommes proposé. Nous terminerons ce chapitre par quelques propriétés remarquables des centres de gravité.

Propriétés générales du centre de gravité.

166» Lorsque les forces P, Q, R, S, etc., (flg. 43 )? dirigées comme on voudra dans l'espace, se font équilibre autour d^un même point A, on sait que ces forces, estimées suivant une droite quelconque AX passant par ce point, doivent aussi se£dre équilibre.

Donc, si ces. forces sont représentées par les parties AP, AQ, AR, AS, etc., de leurs directions, la somme de leurs projections Ap, A^, Ar, As, etc., sur Taxe AX, doit être égale à zéro, en comptant comme positives les projections qui tombent d'un même côté du point A, et comme négatives celles qui toidbent de l'autre côté. Mais si Ton menait par le point A un plan MN perpendiculaire à AX, les projections Ap, Ag, Ar, etc. , exprimeraient les distances des extrémités des forces au plan MN; donc, puisque leur somme est nidle, la moyenne distance de ces points au plan MN est aussi nulle.

Donc, lorsque tant de forces que l'on voudra sont en équilibre sur un point, ce point est le centre de gravité de corps ou points massifs égaux qui seraient placés aux extrémités des lignes qui représentent les forces en grandeurs et en directions.

Et réciproquement, si Von considère un assemblage quelconque de niasses égales, et qu'on mène de leurs différents centres , des lignes au centre de gravité du systèmey il est visifde que des forces

l38 ÉLÉMEUTS

représerUées en grandeurs et en direeUons par ces lignes se feraient équilibre entre elles.

Car la moyenne distance des extrémités de ces forces à un. plan quelconque passant par Je centre de gravité^ serait nalle; la somme de ces forces estimées suivant un axe quelconque passant par ce point serait donc nulle aussi, et> par oonséqueu^t, il y aurait équilibre.

On voit par laque si trois forces sont en équililuTe sur ub point, ce point est le centre de gravité du triangle formé par • les droites qui joindraient les extrémités des ligues qui représentent ces forces en grandeurs et en directions ; car le centre de gravité du triangle est le même que celui des trois corp$ égaux dont les centres seraient placés aux trois angles.

Et de même, si quatre forces sont en équilibre autour d'un point, ce point est le centre de gravité de la pyramide trfaiîgu* laire formée par les six droites qui joignent les extrémités des lignes qui représentent les quatre forces en grandeurs et en directions.

Et réciproquement, il y a équilibre entre trois forces exprimées par les distances des trois angles d'un triangle quelconque, au centre de gravité de ce triangle^ et de même, entre quatre forces représentées par les distances des quatre coins d'une pyramide triangulaire quelconque, au centre de gravité de cette pyramide.

Mais voici une conséquence plus générale : si Ton suppose que toutes les molécules égales d'un corps de figune quekotlque soient attirées vers un même point par des forces proportionnelles à leurs distances à ce point, et qu'il y ait équilibre, ce point sera nécessairement le centre de gravite dn corps.

Et réciprotiuement, si le point ycrs lequel toutes les molécules sont attirées proportionnellement à leurs distances est h centre de gravité du corps, il y aura équilibre; et le corps i ne pourra prendre aucun mouvement en vertu de ces attractions.

C'est le cas de la Ici re supposée sphériquc et homogène :

DE 8TATIQCE. lig

car,, dans la loi de Newton, $i une molécule située au dehors du globe est attirée en raison inverse du carrée de sa distance âu centre, on trouve que, dans Tintérieur, chaque molécule pèse vers le centre en raison de là simple distance. Ainsi, toutes les forces de la gravité se font équilibre autour du centre delà terre.

Au reste, je ne donne ce corollaire que comme le résultat flULtliéniatique d'une simple hypothèse, et non pas comme une preuve de Téquilibre de la terre en vertu des différents poids de toutes ses parties ; car il est manifeste que cet équilibre a lieKdans la nature, mais par une autre raison générale qui ne dépend ni de la proportion ni delà direction des forces de la |imvit^. Et, en effet, si le poids de chaque particule de la terre vi0DC de r attraction que toutes les autres exercent sur elles -, euttOiey entre deux particules égales, l'action est nécessairement égale et réciproque, il s'ensuit que le poids de chaque pntkale est la résultante d'une infinité de forces dont chacune a $m égale et contraire dans le système, ex que, par conséqnlant, toutes ces résultantes ou tous ces poids doivent se faire é^piilibre entre eux, quelles que soient d'ailleurs et la forme et la constitution de notre globe, et même la loi d'attraction qui pourrait exister entre les parties de la matière.

Désignons par M-H i le nombre des forces P, Q, R, S, etc., qui s& font équilibre autour du point A, et considérons toujours les M -H I corps ou points massifs égaux placés aux OLtrémités des lignes qui représentent ces forces.

Le point A étant le centre de gravité de tous ces corps, il est dtir que si la ligne PA, qui va de l'un d'eux au point A, est prolongée d'une quantité AG égale à la M'^"'' partie de sa longueur, le point G sera le centre de gravi té des M autres corps. Mais toutes les forces P, Q, R, S, etc., étant en équilibre, l'une d'elles P est égale et directement opposée à la résultantes iles M autres Q, R, S, clc. Donc on a ces théorèmes :

l4o ÉLÉMENTS

!<> lia résultante de M forces représentées par autant de lignes qui partent d^un même point A est dirigée de ce point vers le cen-tre de gravité G de M corps égaux qu'on supposerait placés aux extrémités de ces lignes; et la grandeur de cette résultante est représentée par M fois la distance AG du point d^ application de ces forces à ce commun centre de gravité.

On peut conclure de là que, si les molécules égales d'un corps ou système de 6gur6 quelconque s'attirent en raison de leurs distances mutuelles^ chaque molécule du corps pèse yen le centre de gravité en raison de sa distance à ce centre. Car, en représentant les forces d'attraction par les distances mêmes qui séparent les M points égaux du système, il en résulte pour chacun 4'eux une attraction totale, représentée par M — i fiûi sa distance au centre de gravité des M — i autres, ou, ce qiiî est la même chose, par M fois sa distance au centre de gravité des M points qui composent le système entier.

On voit encore que, dans cette loi d'attraction, des. corps de figure quelconque agiraient exactement les uns sur les au* très comme si leurs masses étaient réduites à des points, et se trouvaient, pour ainsi dire, concentrées dans leurs propre centres de gravité; ce qui, dans la loi de Newton, ne peut avoir lieu que pour des sphères homogènes, ou pour des corps composés de différentes couches sphériques dont chacune serait d'une densité uniforme.

2*^ Si Con considère M corps égaux disposés entre eux comme on voudra, leur centre de gravité G peut se trouver en menant de ces corps autant de lignes à un point quelconque A de V espace, composant entre elles toutes ces lignes à la manière des forces, et prenant, à partir du point A, la M'*"'* partie de la ligne résultante.

Si Ton suppose que le point A change de position dans l'espace, les forces représentées par les lignes qui vont des corps à ce point changeront de grandeurs et de directions; mais les résultantes de ces divers groupes de forces concourantes ne cesseront pas de passer par le même point G : et il est évident que la même chose aurait lieu si, le point A restant

DE STATIQUE. i^|

Cfe, on faisait varrer d'une manière quelconque la position du sjsiime.

Donc ce point G, qui dans les corps pesants est le centre ! des forces égales et parallèles que Ton suppose venir de la gravité, est aussi le centre des forces qui seraient convergentes nfê un point quelconque A de l'espace, et proportionnelles lox distances des molécules à ce point.

Si donc le centre de gravité d'un corps est fixe, le corps soomîs à de telles forces convergentes sera en équilibre dans toutes les situations qu'on voudra lui donner autour de ce point fixe. Ainsi, comme au dedans de la terre supposée sphérique et komogène, les molécules pèsent vers le centre en raison des simples distances, il s'ensuit que, dans l'intérieur du globe, si un corps est soutenu par son centre de gravitéy^il restera en éqiulibre autour de ce point dans toutes les situations. Mais il n'en sera plus de même au-dessus du globe, où l'attraction devient réciproque au carré de la distance; et si le corps, par exemple, est un cylindre droit soutenu par le milieu de son axe, il ne pourra être en équilibre que dans la position où cet axe est horizontal, ou perpendiculaire à l'horizon.

Comme, dans la nature, les forces de la gravité ne sont, ni exactement parallèles, ni exactement convergentes, ni dans les rapports précis qu'on vient de dire, ou voit qu'à la rigueur il n'y a point dans un corps pesant de vrai centre de gravité^ je veux dire, de point unique autour duquel les forces de la gravité se contre-balancent pour toutes les situations possibles du corps. Mais dans les corps de peu d'étendue que nous considérons sur la terre, le point que nous avons déterminé jouit à irès-peu près de cette propriété, et l'erreur est insensible.

Tout ce qu'on vient de dire de plusieurs points massifs égaux, et des forces représentées par leurs distances à un i&ëme point de l'espace , s'applique naturellement à un système de points ou corps inégaux, dont les masses seraient m.

l4a ÉLéMEJNTS

m', m'^ eic.*, car il sufik de considérer chacun de ces corps, tel que m, comme un groupe de m points égaux, et de prendre pour la force appliquée à ces corps m fois la distance de son centre au point dont il s'agit.

Ain&i, en noi^mant r, r', r^\ etc., les distancesdes cenurei des corps m, m\ fnf\ etc.» à ce point ou foyer cc»nmun A, et faisant m-f- m' -f- m'^ + etc* = M, on peut dire que le cenurt de gravité G de tous ces oorps se trouve sur la direction de la résultante des forces wr, nir^^ m"r^\ etc., et à la M'*"" partie de la ligne qui la représente.

Nommons r cette distance du centre G au point A ; x, .t, i les trois coordonnées rectangles de G par rapport au même point, et soient de même x^y^ z-^ â/, j/, V, etc., les coordonnées de m, ml, etc. Les forces mx^ my, mx'^ rnf a/, wlif^w! z, etc., seront les composantes des forces mr^ rrir^^ etc.-, et Mx, My, Mz, celles de la résultante Mu. On aura donc

Mx = ma? -H w' j/ + m'^a/^ + etc., My = m» -h m^ $/ -+. nvl' f + etc.,

Mz = mj8 + m' y 4- m" d' •+- etc.

Faisant les carrés, ajoutant, et observant qu'on a

etc.,

on trouvera

M* R* = m' r* 4- m'* /* -f- ttt!'^ r''» + eic, -4- 2 mvfi (xa/ ^ yj/ + zz!) + etc.

-h 2 mm^^ {xod' -^^ yf-¥- zzf^) -h etc.

-h etc.

Au lieu du terme 2 mmf { xx^ •i-yyf-^ zji/)^ on pourr»i^ mettre, comme on l'a vu n** 113, le terme 2 mr.W f^ cos f 9

DE STATIQUE. l43

f étant TmcliDaison mutuelle des deux ligues r ei r', et ainsi des antres;. d'où Ton tire en passant ce théorème connu :

Le carré de la résultante de tant de forces qu'on voudra appli-çuées sur un point est égal à la somme des carrés de ces forces, et des dinMes produits qu'on peut faire en les multipliant^ deuip à deux, luiMpetr Vautre et par le cosinus de leur inclinaison mu-

On pcfat encore transformer (ihaque terme

2 mm' (xa/ 4- y}/ + zs/)

d'une autre manière; car, si l'on désigne par a la distance de mi à m*, on a

a^^{x-a/y + (y - VT-^ (^ - «r,

et, par conséquent,

a (xa/'hyy^'h zsi) r^r' + Z* — a';

on a de même, en nommant |3 la distance de m à m"^

2 [xoi/' -h y/ -h z:i') = r« -+. r''* — |3%

et ainsi des autres. Eln substituant ces valeurs, on aura celte nouvelle expression du carré de la résultante Mr,

M* R* =3 m« r' -f- m' V* 4- m"^r"^ -h etc.

-H mm' (r^ + r'* — a' ) -4- etc.