Si Ton veut considérer actuellement Féquilibre d'un

corps qui s'appuie à la fois contre plusieurs plans, on obsertera que chacun de ces plans fait naître, aux divers points de contact, des résiistances de même sens, perpendiculaires i ce plan, et qui^ par conséquent, se composent toujours en une seule, perpendiculaire au même plan. Il faut donc que toutes les forces appliquées soient en équilibre avec ces diverses réisistances, qui seront en même nombre que les plans d* appui; ^t, par conséquent, les forces qui tiennent en équilibre un corps appuyé sur plusieurs plans doivent toujours se réduire à autant de forces dirigées perpendiculairement vers ces pians respectifs, et qui tombent, pour chacun d'eux, dans rintérieur du polygone formé par les points de contact.

. 196. On voit, par là, que si le corps ne s'appuie que sur 4eux plans, en deux points par exemple, et n'est sollicité que par une seule force, ou par des forces qui aient une résultante unique, cette force ou cette résultante unique doit pouvoir se décomposer en deux autres dirigées suivant les normales ne» nées aux deux plans par les points de contact. Ainsi, il faut qo^ les deux normales aillent concourir en un même point sivai sur la direction de la force qui presse le corps, et se trouvent dans un même plan avec elle. D'ailleurs, cette force doit être dirigée dans l'angle des deux normales, qui est opposé à celui des deux plans, et son action doit avoir lieu vers cet angle, afin que ses deux composantes suivant les deux normales tendent i pousser le corps contre les plans, c'est-à-dire en sens contrairei des résistances qu'ils font naître.

197. Si le corps s* appuie par trois points sur trois plans différents, la force ^ui le presse doit être réductible à trois autres, dirigées suivant les trois normales menées aux plans par les points de contact.

Mais il ne faut pas conclure de là que les trois normales doivent concourir en un même point sur la direction de It force, ni même qu'il doive y avoir une seule rencontre entre deux de ces quatre lignes ^ car trois forces qui ne se rencontrent pas peuvent se composer en une seule, et une seule force

peut se décomposer suivant trois directions qui ne rencontrent pasJa sienne, et qui ne se rencontrent pas entre elles (75)«

AppKeaUon de la théorie à quelqttes exemples.

198. Ce que nous venons de dire contient toute la théorie de l'équilibi^ des corps qui s'appuient sur des plans. Nous JioDS. en faire quelques applications très-simples.

Soit un corps de figure quelconque, appuyé par un nombre quelconque de points, ou par une base finie, contre un plan inébrazilable LDK {fig. 63), et sollicité par deux forces P et Qqoi le tiennent en équilibre sur ce plan.

B'àprès ce qu'on a trouvé (192), les deux forces P et Q doi- ?ent donner une résultante unique N normale au plan ; par âméqnent^ leurs directions doivent concourir en quelque point 9 comme en F^ et se trouver dans un plan perpendiculaire m^tlan LDK. De plus, la direction de cette résultante doit attêf rencontrer le plan LDK en Tun des points de contact du oorps, ou dans l'intérieur du polygone formé par les points de coQUiét.

Supposons que toutes ces conditions soient remplies, et voyons simplement quels sont les rapports des forces P, Q, et de Ta pression N exercée sur le plan.

Puisque les forces P et Q ont une résultante normale au plan, il faut que ces deux forces soient réciproquement pro* portionnelles aux sinus des angles PFN, QFN, que leurs directions foirent avec la normale abaissée du point F sur ce ptau : car on a vu (36) que deux composantes sont toujours eh raison réciproque des sinus des angles que leurs directions forment avec celle de leur résultante : on a donc

Q:P::sinPFN:sinQFN.

On a d'ailleurs, pour la résultante N,

P:N::sînQPN:sinPFQ.

De sorte cpie cKacune des forces P, Q, N peut être représentée

tyÔ ÉLÉMENTS

par le sinus de l'angle forme par les directions des deux autres. Ainsi, toutes les questions que Ton pourrait proposer sur les rapports d^s trois forces P, Q, N, et sur leurs directions, s^ réduisent à la résolution d'un triangle dont les trois côtés représenteraient les grandeurs des forces P, Q, N, et les trois angles leurs inclinaisons mutuelles.

199. Supposons que la force P représente le poids du corps lui-même; sa direction FP sera verticale, et passera au centre de gravité de. ce corps.

, Menons le plan horizontal LDH qui coupe le premier suivant LD, et nommons le plan LDK, sur lequel le corps s'appuie, le plan incliné. Le plan des deux forces P et Q, qui sera, d'une part, perpendiculaire au plan incliné, comme passant par la normale FN, et, de l'autre, perpendiculaire au plan horizontal, comme passant par la verticale FP, couperatces deux plans suivant deux droites A 6, AC, perpendiculaires à leur commune intersection LD, et qui comprendront entre ellei l'angle formé par le plan incliné avec Thorizon.

Représentons simplement le plan horizontal par riiorizontale AC (fig. 64), et le plan incliné par la ligne AB oblique à la première. D'un point quelconque 6, pris sur AB, abaissons une perpendiculaire BC sur AC, et dans le triangle reetangle ABC nommons, suivant l'usage, Thypoténuse AB, la longueur du plan incliné; le côté BC, sa hauteur , et l.e côté AC, sa base.

La ligne FP étant perpendiculaire à AC, l'angle PFN sera égal à l'angle BAC, et la proportion Q:P::sinPFN:sinQFN deviendra

Q : P :: sinBAC : sinQFN.

Si la puissance Q est donnée en grandeur seulement, on trouvera par cette proportion, où il n'y aura que sinQFN dHnconnu, sous quel angle QFN cette puissance Q doit a^r pour faire équilibre au poids P. Or, comme à un même sinus répondent deux angles suppléments Tun de Tautre, on voit

DE STATIQUE. l'J'J

que la même puissance Q pourra être employée de deux minières différentes pour faire équilibre à la résistance : soit eu faisant avec la normale FN au plan incliné un angle QFN Irouvé par la proportion ci-dessus^ soit en faisant avec la même ligne l'angle Q'FN, supplément du premier. On trouvera, par la même proportion, la grandeur de la

puissance Q, lorsque l'on connaîtra sa direction, ou Tangle

QFN qu'elle forme avec la normale.

200. Le cas où la puissance Q est la plus petite, à Tégard de la résistance P, est celui où l'angle QFN- a le plus grand sinus, puisque la puissance est toujours en raison inverse de ce sinus. Mais le plus grand sinus répond à Tangle droit ; donc la puissance est alors perpendiculaire sur la normale FN, ou parallèle au plan incliné*

Dans ce cas, Paugle QFN est égal à l'angle droit ACB (fig, 65), el la proportion précédente devient Q : P :: sinBAC : sin ACB. Mais, dans le triangle ABC, les sinus des angles A et C sont proportionnels aux côtés opposés BC, AB; et, par consé- ^eht, on a