V : a : : sin çp : cos çp

ou V = a tangf ^ d'où l'on tire ce théorème relatif à la ligure que prend le polygone en vertu des forces appliquées : la tangente de rinclinaison de chaque côté .mr F horizon est proportionnelle à la somme des puissances verticales appliquées sur le contour ^ depuis le côté le plus bas jusqu'à celui que l'on considère.

De la Chaînette.

220. On peut considérer une corde pesante comme un fil chargé d'une infinité de petits poids distribués sur toute sa longueur, ou comme un fil sollicité en tous ses points par de petites forces verticales, et, par ronséquent, parallèles. On voit donc que si cette corde est attachée à deux points fixes S et T {fig, 78), elle ne p<Mit demeurer en équilibre, à moins qu'elle ne soit tout entière dans un plai! vertical. Elle forme alors un polygone funiculaire d'une intinité de côtés, ou plutôt une ligue courbe que Ton nomme la chaînette.

UK STATIQUE. 1^5

Pour trouver les etlbrts que la corde exerce sur les deux pintsSetTqui la soutiennent, on mènera à la courbe en ces points deux tangentes SO, TO, qui seront comme les prolongements des derniers côtés du polygone funiculaire ; appliquant ensuite au point O une force ^gale à la résultante de toutes les forces qui la sollicitent, c'est-à-dire égale au poids total de la corde, on décomposera cette force en deux autres dirigées suî- ?ant les tangentes OS, OT; et qui exprimeront les charges napectives des deux points de suspension (218).

On trouverait de même la tension de la corde en un point ^elconque, en imaginant que ce point est fixe , et en cherchant, comme ci-dessus, la charge qu'il éprouve par le poids du reste de la corde qui demeure en équilibre au-dessous.

Au reste, si Ton nomme t la tension en un point quelconque M de la chainette, a celle qui a lieu au point B le plus bas, V le poids de Parc s compris entre ces deux points, et f l'angle formé me la ligne horizontale par la tangente à l'extrémité de l'arc #, on aura entre ces quatre quantités les mêmes équations qu'au n*»219.

On voit donc, par la première équation ^ = a séc ç, que, dans une corde pesante en équilibre, la tension en chaque point varie comme la sécante de l'inclinaison de la courbe sur la ligne horizoniale.

Par la seconde équation V = t sin ©, on voit que la tension à r extrémité d^un arc quelconque de la corde est égale au poids de cet arc divisé par le sinus de V inclinaison de la corde en ce point. Et l'on doit remarquer que ces équations ont lieu, quelle que soit l'inégalité de la corde ou chaîne pesante que Ton considère.

Si la chaîne est uniforme, on p(»ul rcpréscnler le poids V de Tare s par la longueur de cet arc lui-même, et la troisième équa ^ tion devient s = a tangç : équation très-simple de la chaîiiolte entre les coordonnées s et (p.

Ainsi, la chaînette est une courbe telle, que la tangente de son inclinaison sur un axe horizontal augmente comme la longueur de l'arc, à partir du point le plus bas.

Cette courbe est Joue la même à gauelie et à droite de Taxevertical qui passe par le sommet B, et, comme la parabole, elle^ a deux branches égales qui s'étendent à Tinfini.

Il est même aisé de voir que le rayon R de la courbure y es^m: exprimé par R=a : cos'y, et qu'ainsi il est réciproque au» carré du cosinus de l'inclinaison de la courbe sur son axe ho — rizontal.

Car, en considérant une courbe comme un polygone d'untr infinité de côtés égaux c, on a, pour le rayon R du cercle décrit sur deux côtés consécutifs comme cordes,

R=;c : 2sin s,

en nommant ae Tangle extérieur du polygone (216).

Or, (f étant l'inclinaison du premier côté, et, par conséquent, (p -I- 26 étant celle du second, on a ici par les deux équations s = a tang y et « -H c == a tang (ç -H se), l'équation

c = a[tang(y-f- 2e) — tangç],

expression qu'on peut ramener à celle-ci :

2sinE.cose

ces flp . cos (tp -h 2 s)

On a donc

cose

COS flp . ces ( y -4- 28) '

d'où Ion tire, en faisant l'angle extérieur 26 égal à zéro (afin de passer du polygone h la courbe même),

Ce qu'iV fallait démontrer.

221. Ce qu'on vient de dire d'une corde pesante, ou d'uiiP assemblage de peiits corps pesants unis ensemble par un fil inextensible, pourrait s'appliquer à plusieurs globules appuyésr les uns contre les autres, et qui se soutiendraient mutuelle-

DE STATIQUE. Igy

ment eu voûte. Ils doivent atTecler alors la forme d'une chaînette renversée 5 car, si tous ces globules, à cause de leur impénétrabilité mutuelle, sont eu équilibre eu vertu de leur poids ou des forces verticales qui les sollicitent, il est clair qu'ils dmeareraient encore en équilibre, si ces forces venaient à agir en sens contraire, pourvu qu'alors on supposât tous ces globules liés deux à deux par un fil inextensible; mais alors ce fil formerait une chaînette renversée : donc il a actuellement cette figure.

Cest encore la figure que prendrait une voile verticale enflée par le vent; car, considérez dans cette voile une section quelconque horizontale s que nous regarderons comme un polygone d'une infinité de cotés égaux : il est visible que le 'nombre des molécules d'air qui viennent rencontrer un de ces côtés est proportionnel, non pas à la longueur c de ce côté, mais à sa projection c.cos ç sur une perpendiculaire à la ditection du vent. Ainsi, la force qui vient sur chaque élément delà courbe s est proportionnelle au cosinus de son inclinaison f à la perpendiculaire dont il s'agit. Mais celte force n'agit pas tout entière sur la voile : car, à la rencontre du côté c, la vitesse V de chaque molécule d'air se décompose en deux : l'une V sin (f parallèle à c, et qui ne tend qu'à faire glisser cette molécule sur la voile sans y produire aucun elïet; l'autre îjcos y perpendiculaire au côté c, et qui seule agit pour tendre cette voile. La force normale qui presse chaque élément de la courbe « est donc proportionnelle à cos* (jp.

Mais ime courbe étant tenue en équilibre par des forces normales appliquées en tous ses points équidistants , chacune d'elles (21(5) est réciproque au rayon de la courbure dans le point où cette force est appliquée : et vice versâ^ ce rayon est réciproque â la force. Or ici la force est proportionnelle â cos' <f : donc une section quelconque horizontale , faite dans une voile verticale enflée par le vent, est de telle nature, que le rayon osculatcur y est réciproque au carré du cosinus de l'inclinaison de la courbe sur une perpendiculaire à la direction

(lu vent : ce qui est précisément une chaîueUe dont Taxe serait dans cette direction ( 220 ) .

Des Poulies et des Moufles,

93li. Considérons maintenant un système de poulies mobiles A, A', A'^ {fig- 79)' La première A, qui soutient un poids F^ attaché à sa chape, se trouve embrassée par une corde dont: l'une des extrémités F est fixe, tandis que l'autre est attachée à la chape de la poulie suivante A'j cette seconde poulie est de même embrassée par une corde dont l'une des extrémités F est fixe, tandis que l'autre est attachée à la chape de la troisième poulie A'^5 et ainsi de suite jusqu'à la dernière, dont le cordon, arrêté d'une part à un point fixe F'', est tiré de l'autre par une. puissance Q.

Si tout le système est en équilibre, chaque poulie est en équilibre d'elle-même, en vertu des forces ou des tensions qui agissent sur elle.

Ainsi, nommant r, r', r'^ les rayons respectifs des poulies, c, cfy d^ les sous-lendantes des arcs embrassés par les cordons, X la tension du premier cordon, Y celle du suivant; on aura, pour l'équilibre de la poulie A (185),

On aura de même pour l'équilibre de la poulie A',

Y;X::r':r; et poiu* la troisième A'',

en multipliai! par ordre, il viendra

Q:P ::r/r'':rc'c^

c'est-à-dire, la puissance est à la résistance comme le produit det^ rayons des poulies est au produit des sous-lendantes des arcs em-^ brassés par les cordons.

DE STATigi i:. lyc)

223. Si tous les cordons devioiiiionl parallèles (/ig. 80), les sous-lciidantes c, r*', c" dcvieiiiicnl égales aux diamètres 2r, sf', ar", et l'on a, en divisant les deux termes du dernier rapport par le produit rr^r'^

cett-à«-dire qu'en général, la puissance est au poids comme l'urnUé est au nombre 2 élevé à une puissance marquée par le nombre ^ poulies.

\ C'est le cas le plus favorable à la puissance; car le produit des. «011s -tend an les c. d ^ d' est h? plus grand possible, lorsquelles sont égales aux diamètres.

Si, dans chaque poulie. Tare embrassé par la corde était le liersdela demi-circonférence, les sous-tendantes de ces arcs seraient égales aux rayons respectifs des poulies, et la puissance Siérait égale au poids.

224. Due moufle est un système de poulies assemblées dans une même chaire, ou sur des axes particuliers [fig. 81 et 82), ou sur le même axe [fig. 83).

Considérons deux moufles, l'une lixe et Taulre mobile, et supposons que toutes les poulies soient embrassées par une uiême corde attachée par une extrémité à la chape de l'une* des moufles, et tirée à Tautre extrémité par une puissance Q, ^/ui fait équilibre à un poids P suspendu à la moufle mobile.

Si Ton suppose, ce qui a presque toujours lieu d'une manière ^t^nsible, que les diverses parties de la corde soient parallèles, U est visible qu'on aura : la puissance Q est à la résistance V, ^emme l'unité est au nombre des cordons qui soutiennent la moufle ^HobilCy car, toutes les poulies étant embrassées par la même i:îorde, et devant être en équilibre, chacune en particulier, les liordons sont également tendus. On peut donc considérer le ftoids P comme soutenu par autant de forces claies et ))aral lèles qu'il v a de cordons qui vont directement d'une mouile à Vautre; cl, par conséquent, la leusion de l'un des cordons, ou

200 ÉLÉM€MTS

la puissance Q, est au poids P comme Tunité est au nombre c:^< cescprdons.

Ainsi, dans le cas de la fig. 81, la puissance est le sixièiKze de la résistance; et dans le cas de la fig. 8a, elle n'en est que le cinquième, parce qu'il y a un cordon de moins pour soutenir la moufle mobile.

S35. Considérons enfin un système de tours, A, A^, A^, qui réagissent les uns sur les autres,^ comme on le voit dans la fig. 84- Soient r, r', r'' les rayons respectifs de leurs cylindres^ R, R', R'^*eux de leurs roues. La corde appliquée tangentiellement au premier cylindre porte un poids P, et la corde appli* quée à la roue, au lieu d'être tirée immédiatement par une puissance, est attachée au cylindre du second tour A^ La roue de celui-ci est de môme tirée par une corde qui passe sur le cylindre du troisième tour A'^; et ainsi de suite jusqu'au dernier, dont la roue est tirée par la puissance Q.

Si le système est en équilibre, chaque tour est en équilibre de lui-même, en vertu des tensions des cordons qui sollicitent le cylindre et la roue. Ainsi, en nommant X la tension du cordon qui va du premier tour au second, on aura (186)

en nommant If celle du cordon suivant, on aura

YrXrir'iR',

et de même pour le dernier tour,

et multipliant par ordre^

Q:P :: rr' /':RR'R^

c'est-à-dire, la puissance est à la résislance comme te produit i^^ rayons des cylindres est au produit des rayons des roues.

Des Roues dentées.

S26, Si Ton rapproche tous ces tours, de manière que la mue du premier devienne tangente au cylindre du second, et que la roue de celui-ci soit tangente au cylindre du troisième, et ainsi de suite; et si Ton suppose que chaque roue s'engage aa cylindre contigu , de telle sorte qu'elle ne puisse tourner uns £Eiire tourner ce cylindre, et réciproquement, on pourra Hij^rimer les cordes qui lient tous ces tours, et Ton aura toujours le même rapport que ci-dessus entre la puissance et la réustaoce.

Pour engager solidement chaque roue avec le cylindre du tour suivant (fig. 85), on pratique à leurs circonférences des imis paiement espacées, qui engrènent les unes dans les autres, de manière que chaque roue, qu'on nomme alors roue dentée, ïïepeut tourner sur son axe, sans que le cylindre, qu'on nomme ùon pignon, tourne en même temps sur le sien.

On a donc , pour l'équilibre de deux forces qui réagissent IWe sur l'autre au moyen des roues dentées : la puissance est 4 la résistance comme le produit des rayons des pignons est au produit des rayons de roues.

Du Cric,