EQUATEUR

sentir toute Timportance qu'on doit attacher aux notions primitives et aux vrais principes des choses; car le calcul n'est qu'un instrument, qui ne produit rien par lui-même, et qui ne rend en quelque sorte que les idées qu'on lui confie. Si nous n'avons que des notions imparfaites, ou si l'esprit ne regarde la question que d'un point de vue borné, ni l'analyse ni le calcul ne lui apporteront plus de lumière, et ne donneront à nos résnltats plus de justesse ou plus d'étendue : au contraire, on peut dire que cet art de réaliser en quelque sorte par le calcul de fausses ou de vagues conceptions n'est propre qu'à rendre l'erreur plus durable, en lui donnant, pour ainsi dire, une sorte de consistance.

Au reste, si l'on veut voir, par le calcul même, le défaut des formules de Laplace, il n'y a qu*à considérer les trois équations qu'il emploie, et d'où il part comme d'une expression exacte de la conservation des aires sûr les trois plans rectangles des axes coordonnés.

En plaçant l'origine ou le foyer des rayons vecteurs au commun centre de gravité de tous les corps m, m\ m% etc., qui composent le système proposé, et nommant x^ j, z les trois coordonnées du centre du corps m\ x\ y\ z' celles du centre de m'y etc. ; et employant, pour abréger, le signe 2 pour indiquer la somme de tous les termes semblables à celui qu'on écrit à la suite de ce signe, les trois équations dont il s'agit sont représen^ tées simplement par

(dy dx\ x^ — / — - I = c = constante^

(dx dz\

z-^— a:^i=c= constante y

l dz dr\

Im IJj *T')~ constante.

Or je dis que ces formules ne sont vraies qu'autant que les corps dit système y sont réellemœt des points dont les masses respectives seraient m, m\ m'y etc.

Que si m, par exemple, est un corps de dimension finie, le terme

"* ( ^ ^ "" «^ 3" ) ' ^"^ ®'y rapporte dans la première équation, n'exprime

pas la projection, sur le plan des xy, de l'aire décrite autour de l'origine par le mouvement de ce corps m. Et, en effet, il est évident que xïette aire est la somme de toutes celles qui sont dues au mouvement de toutes les particules du corps. Or, nommant X et Y les coordonnées de la particule dm par rapport aux mêmes axes, il est clair que 1^ somme dont il s'agit

/* / /lie /i Y\

est rintégrale / (X--i ^~7r) ^^ ^^i^^^^ ^ ^^ masse entière du

corp6. m; et Ton va voir que cette intégrale n*est pas exprimée, comme on

le suppose, par le terme ^[^-i ""^^)'

Soient, en effet, Ç et )i les deux coordonnées de la particule dm^ paraU lèles aux x et /, mais rapportées au centre de gravité du corps m , de sorte' que Ton ait

et

dt ~ dt'\ dt' dt ~ dt'^ dt* Si l'on substitue ces valeurs dans l'intégrale précédente

et si Ton observe que, l'origine des S et >] étant au centre de gravité de m, on a

/|i//w = o, fmdm=:Oj j •-pdm = o^ j ^rf/w = o,

/* /' //Y rlW

on trouvera que l'int^rale ; (^-^ — Y-^) rf/w a pour valeur la somme des deux termes

{4-^Èym-'§y-

de sorte que la valeur de Taire décrite diffère précisément de la valeur

qu'on emploie, de l'intégrale / { 5 ^ — " ;5r ) ^'^ > Q^^ exprime Taire

due à la rotation de m sur son propre centre; quantité qui doit être ajoutée

à Taire ^ {^"^ '^X'jip s^'a rotation du corps a lieu dans le même

sens que son mouvement de révolution , et qui doit en être retranchée dans le. cas contraire.

Les véritables équations qui expriment la conservation des aires dans lo «ystème sont donc, en nommant i la troisième coordonnée de dm relative

^5o EQUATEUR

au centre de w,

D'où Ton voit que, dans cette théorie des aires appliquée au système du monde, lorsqu'on réduisait les planètes et le Soleil lui-même à des points massifs placés dans leurs centres de gravité, on supprimait, sans s'en apercevoir, toute cette partie des aires qui naissent de leurs mouvements de rotation sur eux-mêmes. L'erreur est toute semblable à celle qui nous ferait prendre pour le moment d'inertie d'un corps relatif à un certain axe extérieur le produit de la mas^e de ce corps par le carré de la distance de sqb centre de gravité à l'axe que l'on considère ; tandis que la vraie valeur de ce moment d'inertie est égale au produit précédent, augmenté du moment d'inertie du corps par rapport à l'axé parallèle qyi passe en son centre de gravité.

Mais, indépendaipment de ces aires dues aux rotations du Soleil et 4^ planètes, on avait encore oublié celles qui naissent des mouvements particuliers des satellites : car, pour en tenir compte, il ne suffît pas, comme on peut le croire, de prendre pour la valeur de m la masse de la pianète réunie à celle de ses satellites; il faut encore ajouter les termes qui expriment les aires dues aux révolutions particulières de cette planète et de ses satellites autour de leur commun centre de gravité; et il faudrait J9ktai9 ajouter les petites aires qui sont dues aux rotations des satellites sur euxmêmes, si l'on voulait être dans toute la rigueur des choses.

xn.

Les formules employées par Laplace ne peuvent donc (même en faisant abstraction des satellites) exprimer exactement les aires décrite^ que dans le cas où les corps m , /ti', m"^ etc., seraient privés de toute rotation %\ff eux-mêmes, ou bien encore seraient de^ pbints massifs ( et dont'il faudrait mteie supposer que la rotation n'est pas in&ûe ) ; car il n'y a <pie l'use m l'autre de ces hypothèses qui puisse faire dispai-aitre les termes qu'il ^ oubliés dans son analyse. Ces formules ne donnent donc point, et ne donneront jamais les valeurs des aires décrites dans lesystème des corps céleslas, car tous ces corps sont de dimension finie, et ils tournent actueUeratet sur leurs aibes;* et quand hiien même il arriverait, par quelque cause que ce fût, que chacun d'eux se condensât, et se iMuisît en quelque sorie à

DU SYSTÈME SOLAIRE. aSf

son centre de gravité, les aires actuelles dues à leurs mouveHients de potation ne s'évanouiraieint point. Par le principe môme des airas, à mesure que chaque corps se condenserait, il serait, pour ainsi dire, forcé de tourner plus vite, et de manière que l'aire due à sa rotation fût tocyours conservée : d'où Ton voit que les expressions qui forment les premiers ■embres des équations de Laplace n'en senaient pas moins incomplètes qu'auparavant, et qu'ainsi ces équations ne peuvent jamais donner le plan du maximum des aires, le seul qui soit rigoureusement invariable.

xra.

A la vérité, si chaque corps étmt infiniment petit, et que, par conséquent, les dittanoes de ses différentes molécules à un centre extérieur d'aitraedon pvaaeni éCre regardées comme égales entre elles, on pourrait dire que la roUitiDn de ce corps sur lui-môme ne serait point altérée par Tattraction d« «aires» Et il en serait de môme si chaque corps, au lieu d'être un point IBDaflsif, était un globe parfait de dimension finie , formé de couches eonoentiiques dont chacune serait d'une densité uniforme dans toute son étenàmb\ car, pour chacun de ces globes, les attractions des autres se réduitant toujours à une force simple qui passerait par le centre de ce giobe, i aet évident que son mouvement de rotation n'en serait pas plus troublé qw dans le cas précédent. Dans' l'une ou l'autre de ces deux suppositions, on pourrait donc dire que la projection des aires dues aux rotations des eerfs serait à part une quantité constante sur chacun des plans coordonnés; que, fkar conséquent, les projections des aires dues aux seuls mouvements de révolution seraient aussi à part des quantités constantes sur les nômes plans, et qu'ainsi le plan déterminé par les équations de Laplace, 8^1 n'est plus, comme je l'ai fait voir, le plan du maximum des aires, est du moins un certain plan qui demeure invariable de position, malgré l'aciiea mutuelle des différents corps du système.

Quoique les deux hypothèses précédentes n'aient point lieu dans la nature, et qu'on puisse se dispenser de les examiner, il n'est peut-être pas inutile de montrer ici tout ce qu'elles ont de faux en elles-mômes et de coutcaire à la question de plûlosophie naturelle dont il s'agit.

Et d'abord on pourrait remarquer que si chacun des corps célestes était un ^obe parfait, tel que je viens de le dire, il serait fort inutile de faine un long calcul (et dépendant même de données assex mal connues), pour trouver un plan qui fût invariable dans le système du monde : car il suffirait de prendre conmw tel le plan de l'iquateur de l'un de ces globes, et, pnr exemple, celui <ki -801011, ou, ce qui serait encore plus simple et plus

252 ÉQUATEtn

facile, celui de la Terre que nous habitons. Il est clair que cet équateur resterait toujours parallèle à lui-même dans l'espace, et qu'on y pourrait rapporter avec précision les plans des différentes orbites des corps célestes. Cette supposition, comme on voit, ne convient guère à notre système, puisque le seul aplatisseniént très-petit de notre globe vers ses deux pôles suffît déjà pour déranger à chaque instant notre équateur, comme on le reconnaît dans le ciel par le phénomène sensible de la précession des équinoxeSp

Mais, pour en venir à cette hypothèse imaginaire où les planètes seraient des globes parfaits, je dis que, même dans ce cas, il ne serait pas permis de proposer comme un 'plan qui doit rester invariable dans toute la suite des siècles, ni l'un des équateurs de ces globes, ni le plan déterminé par les formules de Laplace, où l'on ne tient pas compte des aires dues aux rotajtions des corps du système. Et en effet, pour affirmer qu'un tel plan demeurera invariable, il faudrait être assuré que la figure des corps ne sera point changée, soit par quelque rencontre ou choc mutuel qui poomit survenir entre eux, soit par quelque force intérieure qui viendrait à s'y développer, ou même par quelque explosion subite qui ferait éclater le corps en plusieurs fragments, comme M. Olbers, et après lui quelques géomètres, conjecturent que cela est déjà arrivé à l'une des anciennes planètes de notre système, laquelle, en se brisant, aurait produit les quatre planètes nouvelles qu'on a nommées PaUas, Junohy Cérès et Festa. Or, la figure du corps étant ainsi changée, soit par une de ces causes, soit par tout autre qui nous est inconnue, l'aire due à la rotation de ce corps sur lui-mène commencerait d'être altérée par l'action des autres, et cesserait d'être i part une quantité constante* Les aire? dues aux mouvements de révohition cesseraient donc aussi d'être constantes, et ni l'équateur du corpal ni le plan dont j'ai parlé ne seraient plus invariables de position dans l'espace. Ainsi, Ton voit que tous ces plans viendraient à changer, tandis que le nôtre resterait le même, 0t que la grandeur de l'aire qui y tombe n'au* rait pu éprouver la moindre altération par aucune de ces causes qui auraient troublé toutes les aires individuelles qui la composent.

Tel est donc, pour un système libre de toute action étrangère, le pi» unique dont l'invariabilité puisse être assurée dans toute la suite des siècles. Ce grand équateur seul, et Taire qui s'y projette, ne dépendent ni de la liaison mutuelle des corps, ni de la loi de leur attraction, qui pourraient même changer arbitrairement, soit par degrés insensibles, soit d'une ma^ nière brusque, comme on voudra le supposer. Ainsi , dans notre système planétaire, on pourrait imaginer que la loi d'attraction devint tout autre, ou que la gravité même vint à cesser, ou que la figure des corps f(kt all^

DU SYSTÈME SOLAIRE. !à5}

rée par des forces quelconques, ou même par les mouvements volontaire» deB ôtres animés qui les habitent ; on pourrait supposer que les planètes, qui aujourd'hui nagent librement dans l'espace, vinssent tout à coup à se lier ensemble d'une manière quelconque, et, par exemple, de manière à former un système entièrement solide, etc.; et, malgré tous ces change" ments, le plan invariable des aires se retrouverait exactement dans la position qu'il occupe aujourd'hui, et qu'il a toujours occupée depuis l'origine des choses : propriété remarquable qui caractérise ce plan, et qui n'appartient à nul autre déterminé sans tenir compte de toutes les aires actuellement décrites dans le système.

On trouvera peut-être que j'insiste sur des vérités claires; mais la question mérite d'être développée: et d'ailleurs, par quelques difficultés qui ont été faites à ce sujet, j'ai pu croire que notre théorie n'avait pas été bien comprise. J'ai donc voulu montrer avec évidence que, dans notre système, il n'y a qu'un seul plan invariable, comme il n'y a qu'un seul point qui soit le centre de gravité, et une seule droite qui en marque la route dans l'espace ; que la forme des mobiles, la loi particulière de l'attraction réciproque au carré des distances , n'entrent absolument pour rien dans cette théorie, et que, par conséquent, elle ne peut être modifiée par audonè raison qu'on voudrait tirer de ces circonstances étrangères; que d'ailleurs ce plan invariable ne saurait être déterminé avec trop de préci-^ sien, et qu'il doit l'être, autant que possible, indépendamment de toute aatre théorie, puisque, par l'hypothèse même, il est destiné à faire reconnaître les plus petits changements qui peuvent survenir dans le système, et à rectifier ou confirmer nos autres calculs sur les variations des mouvements célestes.

XVU.

DÉTERMINATION de Véquateur dont il s'agit.

Quant i la détermination effective de ce plan , elle suppose à la vérité que l'on connaisse, outre la proportion des masses des différents corps célestes, les valeurs de leurs moments d'inertie par rapport à leurs axes de rotation. Les masses nous sont déjà à peu près connues; mais les moments d'inertie ne le sont point, parce qu'ils dépendent de. la loi de densité de ces corps , c'est-à-dire de la loi suivant laquelle la matière, de la surface au centre, est répandue dans chacun d'eux. Or c'est ce que nous ignorons entièrement, et c'est ce que le temps seul peut nous apprendre, comme je le montrerai tout à l'heure par la comparaison même que l'on pourra faire de la théorie avec les observations. Mais, quand bien même on n'aurait pu

a54 ÉQUÀTBUR

s'étorer jamais à la coonansafloe précise de ces étéments nécesaaires cki calcul, j'observe qu'il n'en conyenait pas moins aux géomètres de présenter d'abord une théorie exacte, et de lui donner toute cette rigoeor qaà lait le cai^ctère propre des vérités mathématiques. C'était un premier otasel 'qu'il fallait remplir pour l'exactitude et la perfection de la science. Mais je dis plus : c'est qu'il convient aussi aux astronomes d'en commencer dès aujourd'hui l'application au système du monde, en employant les meilleures données que nous ayons sur les masses des corps célestes, et lei valeurs les plus vraisemblables que nous puissions attribuer aux aires qé naissent de leur rotation sur eux-mêmes. £t, en effet, ce premic»' résaltat du calcul et ceux que les astronomes à venir trouveront dans leur temps par des calculs semblables, étant comparés les uns aux autres, pourront servir à corriger de siècle en siècle les valeurs approchées de ces éléments qu'en n'avait pu d'abord mesurer avec précision. En observant la position du plan invariable par rapport aux étoiles, on cherchera si, parmi les ohan* gements survenus, les uns pouvant être attribués aux mouvements propres de quelques étoiles, les autres ne pourraient pas s'expliquer par le seul déplacement du plan que Ton considère; et alors on essayera de rectifier de la manière la plus probable les valeurs employées dans la première détermination.

xvni.

Quoique cette méthode soit conforme à celle des astronomes, et paraiiw ici la seule qui puisse nous conduire, il faut avouer pourtant que, dans cette application de in théorie, l'esprit ne se trouve pas complètement satisâiit. On voudrait, s'il est possible, une approximation directe et sûre, qui fKkt oxènfipte d'incertitude et de tâtonnement. La difficulté paraît grande : enr, ne connaissant autour de nous rien de fixe dans l'espace, et ne pouvant ainsi nous assurer des mouvements réels des corps, il ne nous resie qa'i essayer de les démêler dans les apparences, afin de rectifier successivement nos premières suppositions.

Mais, en y réfléchissant davantage, j'ai trouvé que la théorie même nous offrait une voie directe pour aller au but ; et voici une conséquence nouvelle qui prouve qu'avec des observations très-précises , on peut parvenir un jour à la connaissance des masses et des momemts d'inertie des corps célestes, et, par conséquent, à la détermination du plan invariable, sans rien emprunter d'ailleurs, je veux dire sans supposer aucune autre théorie ai aucune notion préalable des valeurs approchées de ces éléments ({ai noos È6nl inconnus.

Imaginez, en effet, que l'on forme à une époque quelconque Fex p rs fcsi en analytique de la grandeur de l'aire résultant», ai y mettant les vi^earB des lignes, des angles et des vitesses que peut donner l'obeervatioii à cette époque, et en y laissant comme autant d'indéterminées ou d*ineomHiai tel

mafis^ ei les moments d'inertie des différents corps du système. Si Vous sqpposez qu'on répète cette opération à autant d'époqc^ différentes qu'il y a d'inconnues à découvrir, vous aurez autant d'expressions différentes de cette aire, qui se compose de toutes les aires décrites dans le système; et comme cette résultante est toujours la même, tous pourrez égakt vos eoLpressions deuk à deux , et former ainsi autant d'équations qn*il y a d'inconnues dans la question que l'on considère. Vous pourrez donii alon déterminer ces inconnues, et de là conclure la position du plan invariable, non-seulement à cette époque, mais encx)re à toutes les époques antérieures où les observations auront été faites, Ainsi, la théorie se suffit, pour ainsi dire, à elle-même, et elle n'a besoin, pour être appliquée, que des données immédiates de l'observation. On peut donc , par les seuls mouvements des corps célestes, observés à différentes époques éloignées, s'élever à la connaissance de leurs masses et de leurs moments d'inertie, et cela indépendamment de toute notion sur ces valeurs approchées, sut la nature des orbites que les corps décrivent, et même sur la loi d'attraction qui- existe entre eux.

Voilà sans doute un des résultats les plus remarquables des principes généraux de la Mécanique. De ce lieu de l'espace où nous sommes confinés, nous ne pouvons mesurer que des lignes et des angles, et compter le lemps qui s^écoule ; mais il parait comme impossible de mesurer les masses iei les moments d'inertie de différents corps dont nous ne pouvons approdhër, parce que ces quantités ne dépendent pas des seules dimensions Visibles de la figure, mais de la matière dont les corps sont formés, ou de la loi de leur densité, qui nous est entièrement inconnue. Cependant, s'il arrive que ces corps s'attirent suivant une loi quelconque, connue ou inéoimne, qui soit constante ou même variable avec le temps, nous voyons m qu'il suffira d'observer les distances et les mouvements de ces corps pour découvrir la proportion qui règne entre leurs masses, et même entre leurs moments d'inertie ; car les observations, étant faites à autant d'époques différentes qu'il y a d'inconnues> fourniront toutes les équations nééelMaires pour les déterminer.

Dans le système du monde, en regardant une planète comme très-petite pair' f«pport au Soleil, et un satellite comme très-petit par rapport à sa planète, et supposant d*ailleurs que chaque corps n'obéisse qu'à la force principale qui l'attire, on a reconnu de bonne heure par les vitesses des corps comparées à leurs distances au centre de leurs révolutions, que l'attraction est en raison inverse du carré de la distance ; et de là on a tiré

a56 ÉQUATECR

la proportion des masses du Soleil et des planètes principales qui ont des satellites. Mais cette détermination, quelque ingénieuse et admirable qu'elle nous paraisse et qu'elle soit en effet , ne me semble pas tirée des vrais principes de la science, je veux dire ici des seuls principes généraux qui pourraient également la donner dans toute autre loi d'attraction. Elle est fondée sur la supposition que la masse de chaque corps peut être négligée par rapport à celle du corps principal qui Tattire, et sur la connaissance d'une loi suivant laquelle l'attraction de ce corps s'exerce à différentes distances. Or je trouve ici que la proportion des masses peut se déterminer par la seule observation des distances et des vitesses des corps, sans aucune idée de leurs grandeurs approchées, ni de la loi suivant laquelle ils s'attirent. H suffît qu'ils s'attirent, et que, par cette action égale et contraire, ils troublent mutuellement les aires qu'ils décrivent autour de leur commun centre de gravité. Par cette perturbation même, les aires individuelles et les plans de ces aires sont changés avec le temps ; et comme il y a une quantité qui ne change point, quand bien même la liaison et l'attraction des corps varieraient d'une manière quelconque, il s'ensuit qu'OB peut former avec le temps assez d'équations pour déterminer les niasKS respectives de tous ces corps sans rien emprunter à la théorie de la gravitation universelle.

Ce n'est pas qu'on ne doive à Kepler et à Newton la même admiratioa et la même reconnaissance pour la découverte d'un rapport ou d'une loi qui nous apprend , dès aujourd'hui , la proportion de certaines quantités que le seul principe général des aires n'aurait pu nous donner que dans un avenir très-éloigné. Mais je ne m'occupe ici que de la science considérée en elle-même, dans ce qu'elle a de plus général et de plus parfidt Et d'ailleurs ces principes généraux nous seraient toujours nécessaires : car, pour les valeurs des moments d'inertie des corps célestes, il me semble que la loi connue de l'attraction ne peut rien nous apprendre, et je ne vois pas qu'on les puisse découvrir autrement que par ces principes et des observations très-exactes faites à de très-longs intervalles. Ces quantités, et la position précise de l'équateur de notre système, ne peuvent donc être déterminées de bien longtemps. Que si pourtant on voulait se bornera la considération du Soleil, dont la rotation inûue beaucoup plus que celle des autres planètes sur la grandeur de l'aire résultante, il faudrait un temps moins considérable; car il suffirait de former les expressions de cette aire à deux époques différentes , et de les égaler, ce qui pourrait donner le moment d'inertie de ce grand corps par rapport à son axe de rotation, en supposant toutefois des observations aussi précises et aussi répétées que l'exige une recherche aussi délicate.

DU SYSTÈME SOLÂIAe. sSj

Mais, pour achever le développement de cette grande théorie, imagl* irions qu*avec le temps la^grandeur et le plan de Taire résultante aient été déterminés dans noire système pianétaire, «it voyons oe qu'au delà de cet avenir les observations et le calcul pourraient encore nous apprendre. U «8t évident que si l'on continuait de former des équations semblables aux précédentes, pour de nouilles époques ultérieures, ces équations devraient «"feiecorder à donner la même valeur pour la grandeur de Taire résultante. Si cet accord a Heu, on conclura qu'on a le véritable équateur du système soiaire, au moyen duquel on reconnaîtra les changements réels survenus dans la position mutuelle des orbites des corps célestes. Mais si les équations viennent à présenter des valeurs différentes, il faudra conclure qu'il y a dafls le système quelque action étrangère qui vient, ou des comètes, tMl des étoiles, ou de quelque corps invisible et ignoré dont on n'a pas tenu compte, et qu'ainsi le couple qu'on a calculé n'est pas le couple résultant de tous ceux qui animent l'ensemble des corps que Ton considère^

Ainsi, la théorie et l'observation continueront d'ajouter à nos connais* sances. On verra si cette action des corps étrangers sur le système des planètes et du Soleil peut être ou non regardée comme insensible; si le grand équateur de ce système demeure toujours parallèle à lui-même dans ^espace, ou bien si cet équateur change aussi à la longue, comme celui de notre globe, et si ses nœuds, par un mouvement bien plus insensible encore, rétrogradent de même sur le grand orbe que le Soleil peut décrire autour de quelque centre éloigné* C'est probablement ce qui arrive, car il fierait hors de toute vraisemblance que les étoiles n'eussent aucune action sur le Soleil et les planètes qui l'accompagnent; et de cette action inégale «ir les différents points du système doit résulter à chaque instant un couple infiniment petit qui altère insensiblement la position du couple actuel qui anime ce système.

xxn.

Â.insi, notre plan invariable lui-môme avec le temps pourra changer. Dans nos théorèmes mathématiques, tout est rigoureux. La conservation du mouvement du centre de gravité et celle des aires ont lieu sans la jnoindre altération, parce qu'on y suppose un système parfaitement libre, c'est-Â-dire tel qu'il serait s'il existait seul dans l'espace^ Mais, dans la nature, OH ne peut plus faire cette supposition , puisque au delà de notre système solaire nous découvrons tant d'autres corps qui peuvent agir sur lui. Ne perdons jamais de vue que ces idées de constance et d^uniformité qui plaisent tant k l'esprit dans Tétude de la nature n*ont, au fond, rien

a58 . Equateur'

d*absolu ; elles ne conviennent qu'à ce peu d'étendue et de durée qui nous est accordé dans le temps et dans l'espace. Il en est du développement de ces grands phénomènes comme d'une courbe immense dont nous ne verrions qu'un arc d'une petite longueur, et que nous prendrions pour une ligne droite dans tout le. reste de son cours. Pour arriver à la constante absolue, il faudrait remonter à tout l'ensemble des corps de^ cet univers, de manière qu'il ne restât plus rien d'extérieur à considérer. C'est alufs qu'on pourrait dire de cet ensemble, que le mouvement du centre de gravité est rigoureusement uniforme et rectiligne, et que la résultante générale de toutes les aires décrites est inaltérable de grandeur et de position dans l'espace absolu. Biais alors, comme il n'y aurait plus aucune raison pour que ce centre f(it porté d'un côté plutôt que de tout autre, ni que Yensemble des corps tournât dans un certain sens plutôt que dans le seos contraire, il faudrait conclure que le commun centre de gravité est parfaitement en repos, et que la résultante générale de& aires est entièrement nulle. Ainsi, Ton trouverait que toutes les forces et tous les couples de l'univers se balancent : je veux dire que si tous les corps qui existent venaieDt à se lier entre eux de manière à former un système invariable de figuro, ce grand tout deviendrait parfaitement immobile dans l'espace absolu.

xxm.

Mais ces dernières considérations, qui sont si loin de notre portée, ne pourraient même, comme on le voit, nous conduire à rien qui Mt à notre usage ; car, de ce dernier centre où l'on se placerait un moment par la pensée, on ne verrait plus d'aires décrites dans un sens qui ne fussent détruites, et pour ainsi dine effacées par d'autres aires décrites en sens contraire : de sorte que la considération de toutes les aires du système ne pourrait pUis donner lieu à la détermination d'aucun plan. Ainsi, les vérités qu'on veut rendre absolues, à force d'abstraire ou de généraliser, s'évanouissent en quelque sorte, ou deviennent coipme des axiomes qui n'apprennent plus rien. Dans toutes nos lois les plus générales, il n'y a que celles qui conservent encore quelque chose de relatif qui puissent nous instruire, et partant nous intéresser. Pour nous, l'attraction des étoiles, même les plus voisines, jusqu'ici paraît insensible, et Taltératioii qu'elle pourrait causer dans la position de l'équateur de notre système ne sera, je crois, de longtemps aperçue. Il faut donc nous en tenir à la considération de cet équateur, essayer de le déterminer, reconnaître , s'il est possible» ses variations, afin d'acquérir quelque idée nouvelle sur la constitution de notre système , et sur les changements qu'il peut éprouver par l'action des comètes et des étoiles, ou d'autres corps inconnus de cet univers;

DU SYSTEMK SOLAIRE. aSp

Addition au Mémoire qui précède.

En regardant le Soleil, les planètes et leurs satellites comme un système libre de toute action étrangère, il est démontré que le nouveau plan des aires que je propose sous le nom d'éguateur du système du mondé est le seul qui soit rigoureusement invariable, c'est-à-dire qui reste tonjours parallèle à lui-même dans l'espace.

Il est certain que cet équateur n'est pas le même que le plan nommé inpariable par Laplace; qu'il y a une différence de plusieurs minutes entre leurs inclinaisons au plan de l'écliptique , et une différence de plusieurs degrés entre les longitudes de leurs nœuds ascendants : ce qui est ici une différence de position très-considérable.

n est encore évident que le plan de Laplace ne peut plus être nommé le plan du maximum des aires, puisque, dans sa détermination , Laplace n'a pas tenu compte de ces aires décrites qui viennent des rotations des corps célestes, et des révolutions particulières de chaque planète principale et de ses satellites autour de leur commun centre de gravité.

Ces trois points de doctrine sont incontestables, et je crois même incontestés; mais voici ce qu'on a pu dire :

Si l'on considère la petitesse des corps célestes par rapport à leurs distances mutuelles, la presque sphéricité de ces -corps, et le peu d'influence 4ue leur attraction réciproque doit avoir pour troubler leurs rotations sur eux-mêmes, il semble que tous ces corps pourraient être ici regardés comme autant de points massifs, et que si le plan de Laplace n'est pas le plan du maximum des aires, et par cela même n'est pas rigoureusement invariable, il est du moins un certain plan <|ui doit varier extrêmement peu ; et que, par rapport aux plans des orbites célestes, il est pour ainsi dire assez invariable pour nous fair^ reconnaître les plus petits changements qui pourraient survenir dans la position de ces orbites : de softe qne, pour le système du monde tel qu'il est constitué, le plan dont il s'agit peut conserver encore le nom de plan inmriable; ce qui paraît d'abord assez plausible.

Mais il faut bien remarquer qu'une pro(k>sition de ce genre, pour être adinissible, je ne dis pas en (réométrie, mais seulement en Astronomie pratique, aurait besoin d'être fondée sur des raisons plus précises f car il ne suffirait pas de montrer que les variations du plan de Laplace sont extrêmement petites, ce qui n'est pas douteux ; mais il faudrait prouver qu'elles acmt beaucoup plus petites que celles des autres plans qu'on y veut rapporter dans la vue de reconnaître les petits mouvements qu'ils pourraient avoir dans l'espace. Voilà nettement ce qu'il faudrait prouver, si la chose est possible ; mais c'est ce que personne n'a encore fait , et ne pourra jamais faire, comme on va le voir tout à l'heure.

:à6o EQUATEUR

On conviendra d'abord que, pour nous, contents d'avoir substitué un plan rigoureusement invariable à la place d'un autre qui n*est point démontré tel , nous pourrions nous dispenser d'examiner la question peu géométrique dont il s'agit : car il est clair que ce ne serait pas à nous, mais à ceux qui essayent de conserver au plan de Laplace la propriété d'être invariable, de faire voir qu'en efifet ce plan varie si peu, qu*il convient à cet usage délicat pour lequel il est proposé. Mais, afin de leur épargner cette fausse et vaine recherche, je vais montrer que ce plan, prétendu invariable, varie; que sa variation n'est pas extrêmement petite, comme on pourrait le croire, mais qu'ella est du même ordre que la précession des équinoxes, mouvement sensible dans le ciel, et remarqué, il y a deux mille ans, par Hipparque, un des plus grands astronomes de l'antiquité.

Or, pour voir sans calcul, et de la manière la plus évidente, ce défout des formules de Laplace, il n'y a qu'à les appliquer au cas le plus simple de tous, à celui où le système ne serait composé que de deux corps.

Ne considérons donc que la Terre et le Soleil, et supposons même, afin de rendre la chose plus manifeste, que le Soleil soit parfaitement sphérique, qu'il ne tourne point sur son axe , et que son centre agisse exactement comme un point où toute la masse serait concentrée.

Par les formules de Laplace, il est évident que le plan invariable serait la plan même de l'orbite de la Terre, ou ce qu'on appelle le plan de Vé" cliptique : de sorte que ce plan serait immobile, ou toujours parallèle à lui-même dans l'espace. Or je dis que, dans ce cas (le plus favorable qu'on puisse imaginer pour la théorie de Laplace), les noeuds de Técliptique sur un plan fixe varieraient d'une manière très-sensible.

£t, en effet, soit a la grandeur de l'aire qui vient de la rotation de la Terre sur elle-même, et dont le plan est Véquateur ; soit XVaÏTe quiyient de la révolution de la Terre autour du Soleil, et dont le plan est VécUptique. Il est certain, par notre théorie, que le vrai pian invariable serait celui de l'aire G qui serait composée des deux aires ^ et A. Or le plan (G) de cette aire résultante passe nécessairement par la commune intersectk» des plans des deux aires composantes; et, par conséquent, il passe toujours par la commune intersection de l'équateur et de Fé^liptique, ou ce qu'on appelle la ligne des nœuds. Il est donc certain qu'à une époque quelconque du mouvement, la ligne des nœuds serait située dans le plan (G) de l'aire résultante. Or, comme ce plan (G) est réellement invariable, il est évident que si le plan de l'écliptique l'était aussi, la ligne des nosoda serait immobile dans l'espace. Mais on sait que , par la seule action du Soleil sur le sphéroïde terrestre, la ligne des nœuds aurait un mouvement de précession qui, pour fixer les idées, serait d'environ 15", si l'on évalue

Taction du Soleil aux - de celle de la Lune dans la précession totale qoi

DU SYSTÈME SÔLAïaE* 26 i

est de 50" par année. Donc il est impossible que le plan de récliptique soit invariable, et Ton voit même qu'il se mouvrait avec-Véquateur de telle manière que leur commune intersection décrirait notre plan fixe (G) par iin mouvement angulaire de iS" par année, ou de i5' en soixante ans.

Ainsi, xians ce cas si simple que j'examine, le plan donné comme invariable par lés formules de Laplace change d'une manière bien sensible, puisque ses nœuds sur notre plan fixe s'y mouvraient exactement comme les deux points de Féquinoxe. A la vérité, l'aire a due à la rotation de la Terre étant très-petite par rapport à l'aireJA due à sa révolution autour du Soleil, l'axe de l'écliptique ne ferait qu'un angle trè&'petit avec Taxe fixe de notre plan invariable (G), et, par conséquent, s'en écarterait peu; mais il est certain qu'il tournerait autour de cet axe fixe exactement avec la même vitesse que l'axe de l'équateur.

On pourrait rendre encore bien plus sensible cette variation des nœuds du plan donné par les formules de Laplace. Supposons, par exemple, que le système soit formé de ces trois corps : le Soleil, la Terre et la Lune; et regardons même ces corps comme trois points massifs qui ne sont soumis qu'à leur action mutuelle. Par la théorie de Laplace, on trouverait que le plan invariable est le plan de l'orbite que le centre de gravité de la Terre et de la Lune décrit autour du Soleil ; ce qui serait encore à très-peu près le plan de l'écliptique. Mais par notre théorie, où l'on tient compte, nonseulement de l'aire T due au commun mouvement de révolution de la Terre et de la Lune autour du Soleil, mais encore de l'aire qui vient de la révor lution particulière de ces deux corps dans le plan de l'orbe lunaire^ il est certain que le vrai plan invariable serait celui de l'aire K qui résulte de la composition des deux aires T et 0, plan qui passe nécessairement par la commune intersection des plans de ces deux aires composantes, et, par conséquent, par les nœuds de l'orbe lunaire sur le plan de Laplace. Si donc ce dernier plan était invariable, il faudrait conclure [puisque le m^tre (K) l'est aussi] que la ligne des nœuds est immobile dans l'espace, Or on sait que, par l'action moyenne du Soleil, les nœuds de l'orbe lunaire rétrogradent d'environ 20*" par an, Donc le plan de Laplace doit se mouvoir avec celui de l'orbe lunaire, et de telle manière que leur commune intersection décrive notre plan fixe ( K) par un mouvement angulaire d'eur viron 20*" par an, ou d'une circonférence entière en dix-huit ans.

On pourrait donner beaucoup d'autres exemples : mais ce qu'on vient de dire suffit pour montrer de quel ordre peuvent être dans notre système planétaire les variations que le plan de Laplace doit éprouver à rair son de ces aires qu'il a oublié de faire entrer danç son analyse. Le mouvement de ses nœuds sur le vrai plan invariable est précisément le même que celui des nœuds du plan de l'aire composée de toutes celles qu'il a oubliées dans son calcul. J'ai dit oubliées, et non pas négligées; parce que ^place, qui, dans Mécanique céleste, néglige tant de quantités, n'oubijp

Stb2 EQUATEUR DU SYSTÈME SOLAIRE.

jamais d'en faire mention, et de dire pourquoi il les néglige. Dans la théo* rie même dont il s'agit, il néglige, parmi les termes qui contiennent les produits deux à deux des masses des corps célestes, tous ceux.où n'entre point la masse du Soleil, et il ne manque pas d'en donner une raison (que je n'examine point ici). Mais quant à ces aires nouvelles que j'ai le premier considérées, il n'en dit pas un seul mot : et pourtant il arrive que ces quantités, non-seolement sont bien plus grandes que celles qu'il néglige, mais encore surpassent de beaucoup plusieurs de celles qu'il conserve, telles que les aires décrites par Mercure, Vénus, Mars et la' Terre autour du Soleil. J'ai donc dû supposer que ce grand géomètre avait oublié les aires qui viennent de la rotation des corps célestes sur eux-mêmes, et des révolutions particulières de leurs satellites : car ceux qui prétendent qu'il y a songé, mais qu'il les a volontairement omises comme n'étant (F aucune influence dans cette théorie y lui prêtent une faute, lorsque moimême je n'ai parle que d'un oubli.