EQUATEUR

immobile dans le ciel, ou qu'il reste toujours parallèle à lui-même, quels que soient les changements que la suite des siècles puisse amener dans les mouvements, dans la figure et la position mutuelle des différents corps célestes. Que si l'on ne composait entre elles qu'une partie de ces aires simultanées, on ne pourrait plus dire que Taire partielle qui en résulte esl invariable de grandeur et de positioii dans Tespace : d'où il faut conclure, que le plan invariable déterminé par Laplace peut changer, et qu'ainsi i) n'est pas propre à faire reconnaître, dans la suite des temps, les changements réels qui peuvent survenir dans la position des orbes et des équateurs planétaires.

vm.

Pour remplir ce grand objet, et donner aux astronomes futurs le moyen de comparer avec précision les observations séparées par de longs intervalles de temps, il faut donc recourir à ce nouveau plan que je propose, et qui forme en quelque sorte l'immuable équateur du système du monde. Or voici, d'après notre théorie des couples, l'expression la plus simple de la règle qui le détermine :

« Considérez d'abord , pour chacun des corps célestes, l'aire résultante » de celles que décrivent toutes ses particules autour de son propre centre » de gravité, aire qui tombe sur le plan de l'équateur du corps, et qui a » pour mesure le produit de son moment d'inertie par sa vitesse angulaire » de rotation ; et regardez maintenant les centres de ces corps comme » autant de points où leurs masses respectives seraient concentrées.

» Considérez ensuite, pour chaque groupe formé d'une planète et de ses » satellites, l'aire que chacun des corps y décrit dans son orbite autour » du centre de gravité de ce groupe, laquelle se trouvera en multipliant » la masse du corps par le carré du rayon vecteur et la vitesse angulaire » de révolution ; et réduisez maintenant ce groupe à son centre de gravité » comme à un seul point où toute la masse serait concentrée.

» Considérez enfin les aires que les centres de ces groupes et ceux des » corps qui n'ont point de satellites décrivent dans leurs orbites autour du » commun centre de gravité de tout le système, et dont chacune se me- » surera de même en multipliant la masse par le carré du rayon vecteur » et la vitesse angulaire de révolution.

» Si , par ce même centre de tout le système , vous menez dès lignes » perpendiculaires aux plans respectifs de toutes les aires que je viens de » considérer, et proportionnelles à leurs grandeurs, et que vous composiez » entre elles toutes ces lignes à la manière des forces, la ligne résultante » sera perpendiculaire au plan de l'équateur cherché, et sa longueur repré- » sentera la quantité de l'aire totale qui s'y décrit.

» Sur quoi il faut observer que les lignes composantes dont il s'agit » doivent être tirées d'un même côté de l'écliptique, parce que, dans notie

» syslème, les différentes aires que ces lignes représentent, étant vu^ de 9» ce même côté, se décrivent toutes dans le même sens. Ainsi, en suppo- » sant toutes ces lignes menées du côté boréal de Técliptique, la ligne » résultante prolongée de ce côté ira marquer dans le ciel le pôle boréal » de réquateur du système du monde. »

Par cette règle générale (ou les formules qu'on en peut facilement déduire), si Pon suppose connus les masses et moments d'inertie des corps célestes, il est évident qu'à une époque quelconque, et par les distances «t les mouvements mêmes des corps célestes observés à cette épocpie, on pourra déterminer la position de cet équateur par rapport au plan mobile de quelque orbite planétaire, tel, par exemple, que le plan de notre éclip- 4ique..Si donc on imagine que la recherche en soit faite à des époques différentes, et qu'on le trouve situé dans des positions différentes, comme on est sûr ^ue ce plan n'aura pas changé, on conclura le changement réel fiufvenu dans la position de l'écliptique et des différentes orbites qu'on y aurait rapportées. C'est ainsi que les observations des mouvements célestes peuvent être ramenées à des termes fixes, et dégagées de l'incertitude et de Terreur que les variations de l'écliptique et le mouvement propre de» étoiles auraient pu à la longue y introduire,

Quant à ces aires nouvelles qui doivent entrer dans la détermination de notre plan invariable , on pourrait dire que celles qui viennent des mour vements particuliers des satellites, et même de la rotation de quelques planètes, sont des quantités assez petites, et que le plan invariable, déterminé en ne négligeant que ces petites quantités, différerait peu du véritable. Mais il faut remarquer que l'aire due à la rotation du Soleil est une quantité considérable, et qui ne peut être omise dans aucun cas : car, en supposant d'abord le Soleil homogène, je trouve que cette aire vaut plus de 5o fois celle que la Terre décrit en vertu de son mouvement dans son oii)ite annuelle. Si, comme il est vraisemblable, la densité du Soleil n'est pas uniforme, mais qu'elle augmente de la surface «u centre, en raison de la profondeur, ou bien encore, suivant cette loi de densité que Laplace emploie pour la figure de la Terre, dans le tome V de sa Mécanique céleste, et qui Tait la densité proportionnelle à la racine carrée de la pression, je trouve que l'aire décrite a encore les deux tiers de la valeur précédente. Et dans l'hypothèse même où la densité irait en croissant, depuis la surface, où elle serait nulle, jusqu'au centre, où elle deviendrait infinie, comme ferait l'ordonnée d'une hyperbole équilatère qui s'avancerait parallèlement à ellemême pour se confondre avec l'asymptote, je trouve que l'aire dont il s'agit vaudrait encore la moitié de celle qui a lieu dans le cas de l'homogénéité. Pe sorte que, dans cette hypothèse qui paraît extrême, le plan invariable

^46 É<^UÀTeUR

de Laplaoe, déterminé sans tenir comple de cette qMaAlité, diffère autant dci v^tablc que gi Ton eût oublié dans le calcul au moins a5 globes tek que le nôtre, qui auraient circulé comme lui, à la même distmee du So- Idl, «t dans un plan indiné d'environ 7^ au plan de notre édiptique. Cette omission altère donc d'une manière très-sensible la position du plan mva^ riable : car il est aisé de voir qu'elle change de plusieurs minutes son incHnaison à Tédiptique, et de plusieurs degrés la longitude de son nceud ascendant. Ainsi, il paraît aussi nécessaire pour TapplicatioB que pour la théorie d'avoir au moins égard, dans le système du monde, à cette partie des aires qui vient de la rotation c^mmie du Soleil.

n peut paraître surprenant que Laplace, qui le prunier a eu l'idée de cherdier) dans le système du monde, la position d'un plan invariabte dé* terminé par la condition que la somme des aires projetées y soit un irtorimum, n'ait considéré dans son analyse qœ les aires décrites par les pla» nètes en vertu de leurs mouvements de révolution autour du Soleil , et qu'il ait oublié, non-rseulement les aires dues aux révolutions particulières des satellites, mais encore celles qui naissent de la rotation de ces planètes et du Soleil lui-même sur leurs propres axes. Et si l'on est surpris que cette omission singulière ait pu avoir lieu , on ne l'est pas moins qu'elle ait échappé jusqu'ici à ceux qui ont pu étudier ce point capital de la Méca-* nique céleste. Par le peu que j'ai dit, on voit bien ce qui doit manquer anx formides de Laplace : le défaut est sensible; mais ce que je dkerohe ici est la cause naturelle qui y a fait tomber.

Or, avec un peu de réflexion, il n'est pas difficile de remonter à la source de cette erreur, et de la trouver dans cette théorie même qu'on avait autres fois des aires ou des moments : théorie impar&ite où l'on ne savait pas d'une manière précise ce que ces quantités représentent, je ne dis pas dans le calcul, mais dans la science des forces considérée en elle-même. £t en* effet, pour Laplaoe comme pour les anciens auteurs, les moments ou tes aires ne a(»it que de simples quantités numériques ou géométriques , de pures expressions d'analyse, qui se présentent dans les équations de l'équi" lîbreou du mouvement des systèmes, et auxqudles on aurait simplement donné un nom poiur abrégei* le discours. Sous ce point de vue géomé^ trique, le plan invariable que l'auteur jconsidère n'est donc qu'un certain plan choisi entre les autres par la condition que la projection des aires y soit la plus grande; ou plutôt, c'est l'un des trois plans coordonnésit choisi de manière que la projection des aires soit nulle sur les deux autree; ce qui est qne pure transformation de coordonnées, qui paraît propre à simplifier le calcul , en fiusant disparaître , comme en Ta dit , deux constantes arbitraires. Or on ne voit là que des quantilés i^NStraitss, d0«ig|<i

DU SYSTÈME SOLAIIIE. %^'J

\Am formules d'analyse, sans aucune idée de la nature propre des granéturs dont U s'agit dans la science de l'équilibre ou du mouvement des •yfttàmas. Et, comme l'idée de considérer les aires dans le système du monde vient de cette fameuse loi de Kepler, qui n'est relative qu'aux secleurs décrits par Les rayons vecteurs des planètes dans leur mouvement elliptique autour du Soleil, il est assez naturel que Laplace ne songe qu'à ces mêmes aires dues aux révolutions des planètes, et que, dans la théorie de son plan invariable, il oublie toutes les autres. H semble d'aiHeurs quef ces autres aires, produites par les. mouvements particuliers des satellites et par la rotation des planètes sur elles-mêmes, n'étant point tracées, comme les premières, autour d'un même centre, mais se décrivant à part autour de divers centres particuliers, elles sont en quelque sorte des aires indépendantes , et qu'elles ne doivent point entrer dans la combinaison dont il s'agit. Ainsi, en supposant même que la considération de ces quantités se fût présentée un moment à l'esprit, on voii qu'elle aurait pu être écariée comme une idée étrangère, et sans qu'on en fit aucune mention. C'est ce qui explique naturellement Tomission ou l'erreur dont je parle; et qui a pu si lacilement échapper dans l'ancienne théorie. Nais , dans «os principes, cette omission est impossible : car, pour nous, les aires ne sont point des surfaces qu'on projette sur tel ou tel plan, mais de véritables forces de roitalion ou des couples qui s'exercent dans le système ; et il ne 8'agi|; pas ici de simplifier un calcul ou de chercher un plan sur lequel la projection des aires soit un maximum, mais bien de composer ^tre eux ces couples qui agissent , et de déterminer la grandeur et la position du couple unique qui en résulte : couple remarquable, dont on démontre que le plan et la grandeur se conservent les mêmes dans tout le cours du mouvement, malgré les changements qui arrivent aux grandeurs et aux inclinaisons mutuelles 4es différents couples qui le composent. Par cette notion dynamique des aires, il suffit donc de jeter les yeux sur le système du monde pour voir que l'aire maximum, ou, pour mieux dire, que l'aire résultante doit être composée non-seulement de ceHes qui viennent du mouvement des planètes dans leurs orbites, mais encore de celles qui «^iiasept;dfis qm^uveme^^s particMUers de^ satellites et de la irQtation de (ÇM9 ç^s corps sur leurs propres axes : car, Jt)ien que ces wk» soi«»ut cjiéentes autour de différents centres, comme elles ne sont qu'une ei;pre^io«^ g^çf^étrjqui^ ^s .Qoupleç qui les produisent, il est évident qu'elles doivent être toutes rapportées à un seul et même foyer, et se çoroposier ensemble comme si leurs plans y étaient tous transportés parallèlement à eux-

Aioerii, la oamctosition des couples, qui a. étendu et simplifié toute la doctrjpie des aires, aura servi encore à nous faire découvrir une erreur qui pouvait rester longtemps cachée dans une application de la Mécanique à l'un des plus g,rands objets du système du monde. Cet exemple npus fait