THÉORIE NOUVELLE

PRÉSENTÉE A l'iNSTITUT LE I9 MAI l834.

Voici une des questions qui m*ont le plus souvent occupé, et, si Ton me permet de parler ainsi, une des choses que j'ai le plus désiré de savoir en Dynamique.

Tout le monde se fait une idée claire du mouvement d'un point, c'està-dire du mouvement d'un corpuscule qu'on suppose infiniment petit, et qu'on réduit en quelque sorte par la pensée à un point mathématique ; car il ne reste plus alors qu'à se représenter la ligne , droite ou courbe, que ce point peut décrire, et la vitesse avec laquelle» il se meut suivant cette ligne. Mais s'il s'agit du mouvement d'un cov^^ de grandeur sensible et de figure quelconque, il faut convenir qu'on ne s'en fait qu'une idée très-obscure.

A la vérité, cette idée paraît d'abord s'éclaircir ou se résoudre naturellement en deux autres. En effet, si l'on s'attache à regarder un seul et même point du corps, on peut suivre, d'un côté, le mouvement de ce point qui ne peut décrire qu'une certaine ligne dans l'espace, et, de l'autre côté, le mouvement du corps qui ne peut que tourner en même temps sur ce point comme autour d'un centre fixe. Mais ce second mouvement, c'està-dire celui d'un corps mobile autour d'un point sur lequel il a la liberté de piroutter dans tous les sens, ne présente lui-même qu'une idée trèsobscure.

Ce n'est pas qu'en rapportant les points du corps à des plans ou objets fixes dans l'espace, on n'ait su trouver ce qu'on appelle les équations différentielles de ce mouvement, et même qu'on ne soit venu à bout d'intégrer ces équations, ou du moins d'en ramener les intégrales aux quadratures, dans le cas simple d'un corps libre de toute action étrangère. Euler et d'Alembert à peu près dans le même temps, et par des méthodes différentes, ont les premiers résolu cette importante et difficile question de la Mécanique : et l'on sait que, depuis, l'illustre Lagrange a repris de nouveau

3o4 THÉORIE NOUVELLE

ce fameux problème, pour Tapprofondir et le développer à sa manière, je veux dire par une suite de formules et de transformations analytiques qui présentent beaucoup d'ordre et de symétrie. Mais il faut convenir que, dans toutes ces solutions, on ne voit guère que des calculs, sans aucune image nette de la rotation du corps. On peut bien, par ces calculs plus ou moins longs et compliqués, parvenir à déterminer le lieu où se trouvera le corps au bout d'un temps donné : mais on ne voit point du tout comment le corps y arrive; on le perd entièrement de vue, tandis qu'on voudrait l'observer, et le suivre, pour ainsi dire, des yeux dans tout le cours de sa Totation.

Or c'est cette idée claire du mouvement de rotation que j'ai tâché de découvrir, afin de mettre sous les yeux ce que personne ne s'était encore représenté.

Il en résulte une solution toute nouvelle du problème de la rotation d'un corps abandonné à lui-même, soit qu'il tourne librement sur son centre de gravité, ou sur tout autre point fixe autour duquel il serait forcé de se mouvoir : véritable solution du problème, en ce qu'elle fait image, et qu'on y voit le mouvement du corps avec autant de clarté que le mouvement d'un point. Et si de cette démonstration géométrique de la rotation des corps on veut passer au calcul pour mesurer toutes les différentes propriétés ou affections de ce mouvement, on n'a plus que des formules directes et toujours claires, parce que chacune d'elles n'y est que l'expression d'un théorème dynamique dont on a l'idée, et qui tend à son objet. Ainsi, notre analyse présente encore cet avantage, que tout s'y exprime et s'y développe par les seules données immédiates du problème, sans aucun mélange de ces angles ou de ces coordonnées étrangères qui ne tiennent point à la nature de la question, et qui ne viennent que de la méthode indirecte qu'on emploie pour la résoudre. Car c'est une remarque que nous pouvons faire dans toutes nos recherches mathématiques : ces quantités auxiliaires, ces calculs longs et difficiles où l'on se trouve entraîné, y sont presque toujours la preuve que notre esprit n'a point, dès le commencement, considéré les choses en elles-mêmes et d'une vue assez directe, puisqu'il nous faut tant d'artifices et de détours pour y arriver ; tandis que tout s'abrège et se simplifie sitôt qu'on se place au vrai point de vue.

J'ai donc pensé qu'une solution si simple, et si propre à jeter un nouveau jour sur les questions les plus difficiles de la Dynamique, pouvait servir à l'avancement réel de la science, et méritait ainsi l'attention des géomètres; et c'est cette considération philosophique qui m'a surtout déterminé à composer le nouveau Mémoire que j'ai l'honneur de présenter aujourd'hui à l'Académie.

Je le divise en trois parties principales : dans la première, je considère le mouvement du corps en lui-même, et les forces qui seraient capables de Je produire; dans la seconde, je donne la solution du problème de la rota-

DE LA ROTATIOW DES CORPS. 3o5

tion des corps libres; et dans la troisième, je développe les calculs qui se rapportent à cette solution.

Mais, pour donner une idée plus précise de ce travail, je vais exposer en peu de mois les notions simples et les premiers principes de notre théorie nouvelle, et parcourir ensuite les théorèmes les plus remarquables qui en sont l'obJQt et le résultat.

DU 1I0UVEMENT DES CORPS CONSIDÉRÉ EN LUI-MÊME; ET DES FORCES CAPARLES d'un MOUVEMENT DONNE.

Idée de la rotation simple et de la vitesse angulaire.

Le seul mouvement de rotation dont nous ayons une idée claire est celui d'un corps qui tourne sur un axe immobile ; car on voit clairement toutes les circonférences de cercles que les points du corps décrivent autour de cet axe, et qu'ils peuvent réellement décrire ensemble, c'est-à-dire sans que leur disposition mutuelle, ou ce qu'on peut nommer la figure du corps, soit en rien changée.

Nous avons également une idée nette de la quantité ou de la mesure de cette rotation : car, comme tous les points décrivent en même temps des arcs semblables, le rapport de la vitesse d'un point au rayon du cercle qu'il décrit est le même pour tous les points du corps ; et c'est ce rapport constant qui fait la mesure, ou ce qu'on appelle la vitesse angulaire de la rotation.

Composition des mouvements de rotation.

De ces notions simples, et des premiers éléments de la Géométrie, on peut conclure que si , par deux causes quelconques, un corps tendait à tourner à la fois autour des deux côtés d'un parallélogramme avec deux vitesses angulaires proportionnelles aux longueurs de ces côtés, le corps tournerait sur la diagonale avec une vitesse angulaire proportionnelle à la longueur de cette diagonale.

D'où il résulte que des rotations autour de différents axes qui passent en un même point se composent exactement par la même loi que de simples forces appliquées en ce point.

Et cetto similitude de composition n'est pas bornée à des rotations dont les axes se croisent en un même point; mais, ce qui est fort renArquable, elle s'étend à des rotations autour d'axes qui seraient situés d'une manière quelconque dans l'espace.

Ainsi, deux rotations autour jle deux axes parallèles se composent en

3o6 théoriï: nouvelle

une seule, égale à leur somme, autour d'un axe parallèle, et qui divise la distance des deux premiers en raison inverse des deux rotations composantes. Si ces deux rotations sont de sens contraires, la rotation résultante est égale à leur différence, et la position de son axe se trouve comme s'il s'agissait de deux forces parallèles qui agissent en sens contraires.

Si ces deux rotations parallèles et contraires sont égales, elles ne peuvent jamais se réduire à une seule. Elles forment alors ce qu'on peut nommer un couple de rotations : c'est, pour ainsi dire, une rotation sui generis, et qui ne peut jamais être ramenée à une rotation simple autour d'aucun axe, quel qu'il soit. Et, en effet, il est très-aisé de voir que le résultat d'un tel couple serait de donner au corps un pur mouvement de translation dans l'espace, suivant une direction perpendiculaire au plan de ce couple, et mesuré par son moment, c'est-à-dire par le produit d'une des deux rotations multipliée par la distance qui sépare leurs axes parallèles. Un couple de rotations équivaut donc à une simple force qu'on appliquerait au centre de gravité du corps, suivant une direction perpendiculaire au plan de ce couple, et qu'on prendrait égale à son moment multiplié par la masse du corps.

De tels couples peuvent se transformer en d'autres équivalents, se tourner et se transporter comme on voudra dans leurs plans, ou dans d'autres plans parallèles, sans que le mouvement du corps en soit changé : ils se composent et se décomposent exactement par la même loi que les couples de forces; et l'on peut leur appliquer, sans en rien excepter, tous les théorèmes qui concerjient les couples ordinaires.

Du parallélogramme des rotations simples et du parallélogramme des couples de rotations, résulte la composition de tant de rotations qu'on voudra autour d'axes situés d'une manière quelconque dans l'espace ; et cette composition générale est entièrement semblable à celle des forces.

Ainsi, comme tant de forces qu'on voudra se peuvent toujours réduire à une seule passaht par un point quelconque donné, et à un seul couple; de même tant de rotations qu'on voudra, autour de différents axes situés d'une manière quelconque dans l'espace, peuvent toujours se réduire à une seule rotation au tout d'un axe passant par un point pris à Volonté, et. à un seul couple de deux rotations égales et contraires autour de deux axés parallèles entre eux. Et si, comme pour les forces, on veut une réduction où il n'y ait rien d'arbitraire, on pourra toujours choisir le pôittt dont il s'agit, de manière que le plan du couple de rotations soit perpendiculaire à l'axe de la rotation résultante, lequel devient ainsi ce qu'on pourrait nominerTfl'^c^ central des couples de rotations (i).

(i) On voit la parfaite symétrie de cette CQm position des rotations et de celle

DE LA ROTATION DES CORPS. So^

Comme un couple de rotations équivaut à une pure translation du corps suivant la direction de l'axe de ce couple, on voit que tout le mouvement du corps se réduit, en dernière analyse, à tourner sur un certain axe déterminé, et à glisser en môme temps le long de cet axe. Ce qui est, comme nous le verrons plus loin, le mouvement le plus général que puisse avoir un corps dans Tespace absolu.

Voilà, eii peu de mots, tout ce qui regarde l'idée de la rotation simple sur un axe, et la composition de semblables rotations autour de différents axes situés d'une manière quelconque dans l'espace. Mais il faut se faire maintenant une idée de la rotation d'un corps autour d'un point sur lequel il semble pirouetter en tous sens.

Idée de la rotation autour cFun point.

Le mouvement d'un corps qui tourne sur un axe immobile étant le seul dont nous ayons une idée claire, c'est donc à cette idée quMl faut tâdier de réduire celle du mouvement d'un corps qui pirouette d'une manière quelconque autour d'un point fixe.

Or on fait voir que ce mouvement, quel qu'il soit, si on ne le regarde que durant un instant, n'est autre chose qu'une rotation simple autour d'un certain axe passiant par le point fixe, et dont la direction reste immobile pendant cet instant. D'où Ton conclut que, dans l'instant suivant, c'est de même une rotation simple, mais autour d'un autre axe; et ainsi de suite d'un instant à l'autre : de sorte que le mouvement du corps peut être con^ ' sidéré comme une suite de ces rotations simples et dont chacune ne présente à l'esprit qu'une idée nette. C'est ainsi que, pour se fan« l'idée du mouvement d'un point en ligne courbe, on se représente ce pJoint comme décrivant les côtés successifs d'un polygone infinitésimal inscrit à cette courbe. Et il en est de Xaxe instantané de rotation dans le mouvement des corps, comme de la tangente à la courbe dans le mouvement du point qtii la décrit.

d«8 simplefi forces. Elles sont presque ideoUques: car si Ton avait primitivement donné le nom à^ force à la cause capable de faire tourner sur un axe, on aurait eu, pour ces nouvelles forces, une Statique toute semblable. Seulement, dans celle-ci, les simples forces (toujours considérées comme transportées au centre du corps) auraient répondu à lios couples dans la Statique ordinaire, et lés couples auraient répondu à nos simples forces. Mais il était bien plus simple et plus naturel de commencer, eomme on Ta fait, par donner le nom de force à la cause capable d'un pur mouvement de translation, et de voir ensuite dans le <Muple la cause d'un pur mouvement de rotation.

ao.

3o8 THÉORIE NOUVELLE

Image sensible de cette rotation.

Quoique l'analyse précédente soit exacte, et que je me sois efforcé de la rendre claire, il me semble que Fidée d'un corps tournant sur un axe qui ▼arie sans cesse est encore un peu obscure; je veux dire qu'on ne voit pas bien ce qui arrive au corps, et qu'on a de la peine à le suivre dans cette espèce de rotation changeante. Il faut donc tâcher d'éclaircir encore cette idée, et de présenter à l'esprit quelque image plus nette et plus sensible.

Or je fais voir de la manière la plus simple, que la rotation cTun corps sur un axe qui varie sans cesse de position autour d^un même point fixe, rCest autre chose que le mouvement d^un certain cône, dont le sommet est en ce point, et qui roule actuellement, sans glisser, sur la surfcœetfun autre cône fixe de même sommet*

Je veux dire que le cône mobile, considéré comme attaché au corps et l^entraînant avec soi, s'il vient à rouler sur l'autre cône qui est fixe dans l'espace absolu , fera décrire à ce corps le mouvement précis dont on le suppose animé ; que la ligne de contact de ces deux cônes sera à chaque instant l'axe autour duquel le corps tourne dans cet instant, ou ce que Ton appelle \axe instantané : d'où l'on voit comment cet axe est à la fois mobile dans le corps et dans l'espace absolu, décrivant dans l'espace la surface du cône fixe, et dans l'intérieur du corps la surface du cône mobile dont on vient de parler.

Tel est, je crois, la plus haut point de clarté où l'on puisse porter l'idée* si complexe et si obscure du mouvement d'un corps qui tourne d'une manière quelconque autour d'un centre fixe. Il n'y a point de mouvement de cette nature qu'on ne puisse exactement produire en faisant rouler un certain cône sur un autre cône fixe de même sommet; de sorte que si l'on imagine tous les cônes possibles qu'on ferait ainsi rouler Tun sur l'autre, on a l'image fidèle de tous les mouvements possibles dont un corps soit capable autour d'un point sur lequel il a la liberté de pirouetter en tous sens.

Et même, s'il s'agissait d'un mouvement de rotation qui fût discontinu, c'est-à-dire où l'axe de rotation , au lieu de varier de position par degrés insensibles, sauterait brusquement d'une position à la suivante par un angle fini, on pourrait également imiter le mouvement du corps en prenant, au lieu de deux cônes, deux pyramides de même sommet et de faces respectivement égales, et faisant rouler Tune sur l'autre, de manière que la pyramide mobile, tournant sur la commune arête, vînt appliquer l'une après l'autre toutes ses différentes faces sur les faces respectivement égales de la pyramide fixe.

Si le moi)vement du corps est donné, il est clair que ces deux cônes ou

DE LA nOTATlOff DES CORPS. iog

pyramides sont aussi donnés, aussi bien que la vitesse angulaire de rota* lion sur la ligne de contact, et, par conséquent, la vitesse avec laquelle Taxe instantané trace à la fois les deux surfaces : et réciproquement, si de ces dififérentes choses qu'on peut considérer dans l'étude de ce mouvement, trois quelconques sont connues, on peut dire que la quatrième Test aussi, et le mouvement du corps entièrement déterminé.

Ainsi, la terre tourne en un jour sur son axe, tandis que cet axe décrit, en sens contraire, un cône droit, autour de Taxe de l'écliptique, et avec une vitesse mesurée par le mouvement rétrograde des équinoxe», et qui est d'environ quarante -deux tierces centésimales par jour; on peut donc dé* terminer dans la terre le cône qui, roulant sur le premier, et dans Tintérieur de sa surface, ferait décrire à la terre le mouvement précis qu'on y observe. Et il est facile de voir que, sur le globe, la circonférence du cercle qui sert de base à ce petit cône mobile est à celle du cercle qui sert de base au cône fixe, comme un jour est au temps de la révolution complète des équinoxes : ce qui ne donne que quelques pieds de longueur (i) à la petite circonférence que le pôle instantané de rotation de la terre décrit chaque jour à sa surface. (Tout ceci dans l'hypothèse d'une précessioa diurne uniforme. )

Idée du mouvement le plus général que puisse avoir un corps dans Vespace absolu.

De l'idée simple d'un pur mouvement de translation qui emporte à chaque instant toutes les molécules égales du corps par de petites lignes égales et parallèles dans l'espace, et de l'idée simple de la rotation du corps autour d'un axe qui reste immobile pendant cet instant, résulte l'idée complexe du mouvement le plus général que puisse avoir un corps daivs l'espace absolu. Il n*y a rien de plus clair que cette résolution d'un mouvement quelconque en deux autres que l'on conçoit parfaitement et qu'on peut même considérer à part, parce qu'ils sont tels, que si, à chaqueinstant, on les exécutait l'un après l'autre, on amènerait chaque point du corps au même lieu où il arrive par son mouvement naturel au bout de l'instant que Ton considère.

Mais on pourrait être curieux de se faire une image de ce mouvement réel et unique qui anime le corps, afin de voir en quelque sorte la nature des courbes simultanées que les différents points décrivent , et peuvent réellement décrire ensemble sans que la figure du corps en soit changée.

Or, puisqu'un mouvement de translation peut toujours être considéré comme un couple de rotations égales, parallèles et contraires, il s'ensuit

(i) 5 pieds 1 pouces enyiron.

3lO THÉORIE «OUVJELLE

que le mouvement d'un corps, quel qu'il soit, peut toujours être réduit à une simple rotation autour d'un axe passant par un point pris à volonté dans l'espace, et à un certain couple de rotations dont le plan sera généralement incliné ^ cet axe. Mais, au lieu de prendre le point à vdonté, on peut toujours le choisir de manière que le pian du couple âoit perpendiculaire à la direction de l'axe de la rotation simple ; et alors tout te mouvement est réduit à une rotation sur un certain axe déterminé et à une translation le long de cet axe. D'où il résulte que ce mouvement est exactement le même que celui d'une vis qui tourne dans son écrou. Tous les points du corps dé* crivent donc, sur des cylindres concentriques, de petits arcs d'hélices qui ont toutea le même pas. Dans l'instant suivant, c'est une autre vis d'un autre axe et d'un pas différent; et ainsi de suite. D'où l'on voit comment se forment les courbes simultanées que tous ces points décrivent dans Tespace, et le long desquelles ils se meuvent comme dans autant de canaux curvilignes où ils seraient enfermés.

Quelquefois le pas do cette vis est nul^ et alors tout le mouvement se réduit à une simple rotation autour de l'axe de cette vis, lequel devient ce qu'on appelle un axe spontané de rotation.

Mais, en général, le pas de la vis n'est pas nul, et il n'y a point d'axe spontané proprement dit : c'est-à-dire que dans le corps il n'y a pas de ligne droite dont tous les points demeurent immobiles pendant un instant. Mais il y a toujours ce qu'on pourrait nommer un axe spontané glissant, c'est-à-dire une suite de points tombant en ligne droite, qui n'ont d'autre mouvement qu'une simple translation le long de cette droite.

Telles sont les notions les plus simples e\t les images les plus claires qu'on puisse se former du mouvement des corps. Le pur mouvement de translation , et le pur mouvement de rotation sur ui^ axe, se conçoivent d'eux-mêmes. Un mouvement quelconque se peut toujours réduire, et cela d'une infinité de manières, à deux pareils mouvements. Or, parmi cette infinité de réductions, il y en a toujours une qui nous présente l'axe de la rotation dans la direction même de la translation : de sorte que le mauve-* ment le plus général d'un corps est y comme on Va dit, celui (fune certaine vis qui tourne actuellement dans son écrou.

Après avoir considéré le mouvement des corps en lui-même, et sous un point de vue purement géométrique, je vais chercher les forces capables de le produire, afin de voir réciproquement quel est le mouvement que doit prendre un corps en vertu de forces quelconques données: ce qui est le problème naturel de la Dynamique.

DE LA ROTATION DES ÇORPvS. 3lK

Des forces capables d^un mouvement donné.

Quel que soit le mouvement d'un corps, il existe toujours dçç forces capables de le produire.

Car, dans le mouvement du corps, on peut considérer chaque molécule comme si elle était en repos, mais animée par une force capable de lui (Jonner la vitesse actuelle qu'on lui suppose. Donc l'infinité des forces semblables, appliquées individuellement à toutes les molécules égales du corps,. * sont capables d'y produire le mouvement qu'on y obserye; et cel^ môoie d*une manière spont^ée, je veux dire quand bien môme ces molécules d^ seraient pas liées entre elles, et, par conséquent, sans exciter, dans les liens qui les unissent, aucune traction brusque qui tendit à les rompre.

Telles sont les forces élémentaires capables d'un mouvement donné sur un système de molécules libres, ou liées entre elles cqmme on voudra.

Mais si ces molécules forment, con^me je le suppose ici, un système invariable de figure, il sera permis de composer entre elles toutes ces forces élémentaires, et de les remplacer ainsi par une seule force pt up seul couple, lesquels seront également capables du mouvement donné sur le corps solide dont il s'agit.

Voyons donc quelle est cette force et quel est ce couple dont l'ensemble répond à un mouvement donné.

Et d'abord, si le corps n'a dans l'espace qu'un pur momement de translation, de manière que toutes les molécules égales aient des vitesses égales, parallèles et de même sens, il est manifeste que toutes les forces élémentaires capables de produire ces vitesses sont aussi égales, parallèles et de même sens, et, par conséquent, réductibles à une seule force parallèle et de même sens, égale à leur somme, et qui passe par le centre de gravité du corps. D'où l'on voit, réciproquement , que l'effet (Tune force quelconque appliquée comme on voudra au centre de cavité d^un corps, est d^en transporter toutes les parties dans sa propre > direction, et avec une vitesse mesurée par la grandeur de cette force divisée par la masse entière du corps. Ce qui est, pour ainsi dire, évident de soi-même.

En second lieu, si le corps n'a qu'un pur mouvement de rotation sur un axe quelconque, il est évident que les vitesses, et, par conséquent, les forces dont les molécules sont individuellement animées, sont toutes proportionnelles aux distances des molécules à cet axe, et de directions tout à la fois perpendiculaires à ces distances et à l'axe dont il s'agit. Or ces forces élémentaires sont toujours réductibles à une seule et à un couple. Mais si l'axe passe par le centre de gravité du corps, la force est nulle, et tout se réduit à un couple, dont le plan est en général incliné à cet axe. Si, de plus, Taxe est un de ces trois axes rectangulaires qui existent dans tous les corps, ci qu'on appelle les trois axes principaux, oh trouve que le

3l3 THÉORIE KOXJYBLLE

couple est perpendiculaire à cet axe, et qu'il a pour mesure te produit de la vitesse angulaire par le moment cPinertie du corps autour de cet axe principal. D'où Ton conclut réciproquement que P effet (Tun couple appliqué sur tm corps dans un plan perpendiculaire à l'un de ses trois axes principaux y est de faire tourner le corps sur cet axe lui-même ^ avec une vitesse angulaire égale au moment du couple divisé par le moment (Finertie du corps autour de cet axe. Or ce seul théorème particulier donne surr le-champ l'effet d'un couple appliqué sur un corps dans tel plan qu'ion voudra.

Ëty en effet, quel que soit ce couple, on peut toujours le décomposer en trois autres respectivement perpendiculaires aux trois axes principaux du corps ; et divisant chacun d'eux par le moment d'inertie relatif à son axe,, on aura les trois vitesses angulaires respectives avec lesquelles ces trois couples tendraient à faire tourner sur leurs axes. Si donc, à partir du centre, on porte sur ces directions trois lignes pour représenter à la fois les stxes et les grandeurs de ces trois rotations, et qu'on achève le paraIléli-> pipède, on aura, dans la diagonale, l'axe et la grandeur de la rotation à laquelle îe couple proposé donne naissance au premier instant ; ce qui est, comme on le voit, de la plus grande simplicité.

Du nèouvement que prend un corps en vertu de forces quelconques

données^

Quelles que soient ces forces, on peut toujours les réduire à une seule passant par le centre de gravité du corps, et à un seul couple. Or l'effet de la force est un pur mouvement de translation suivant la direction même de cette force, et l'effet du couple est d'imprimer au corps une rotation autour d'un certain axe passant par le centre de gravité, et dont la direction est déterminée par ce qu'on vient de dire tout à l'heure.

Mais on peut avoir une expression bien plus claire de ce qui regarde la direction que prend l'axe instantané par rapport au plan du couple qui lui donne naissance ; et c'est ce que l'on va voir dans l'article suivant.

De Pellipsoïde centnd des corps.

Si l'on observe que les trois composants dtt couple proposé donnent trois rotations qui sont proportionnelles à ces couples et réciproques aux moments d'inertie autour des trois axes, on reconnaît, par la Géométrie, que l'axe de la rotation résultante se dirige suivant le diamètre qui serait con^ jugué au plan du couple dans un ellipsoïde dont les axes seraient de longueurs réciproques aux racines carrées des moments d'inertie du rorps autour des mêmes axes.

DE LA ROTATION DES CORPS. 3l3

J'imagine donc qu'autour du centre de gravité du corps, et sur les directions de^ces trois axes principaux^ on construise un ellipsoïde avec des axes dont les carrés soient réciproques aux trois moments (Tinertie du corps autour des mêmes axes; et j'observe en passant que cet ellipsoïde jouira, dans toute son étendue, de cette propriété remarquable, que le moment d'inertie du corps autour de l'un quelconque de ces diamètres y sera réciproque au carré de la longueur de ce éiamètre.

Or, quelles que soient la figure et la constitution d'un corps, il y a tou* jours dans ce corps un centre de gravité et trois axes principaux aussi nettement déterminés que dans le corps le plus homogène et le plus régulier. On peu^donc toujours y concevoir décrit un ellipsoïde tel que je viens de le définir, et qui. a ce triple avantage : de mettre à la fois sous nos yeux le centre et les axe$ principaux du corps ; de nous donner tou$ les moments d'inertie qu'on pourrait avoir à considérer, en montrant chacun d'eux, autour d'un axe ou diamètre quelconque, comme exprimé par une même fonction simple de la longueur de ce diamètre ; et enfin , de nous offrir une expression facile de ce qui r^arde la position de l'axe instantané, par rapport à. celle du couple d'impulsion. Or c'est cet ellipsoïde, dont la considération va jeter le plus grand jour sur la théorie de la rotation des corps, que je nommerai désormais V ellipsoïde central, ■^'^

Expression claire du moupethent que prend un corps en vertu éPun couple quelconque.

Supposons qu'un corps en repos soit frappé par. un couple dans un plan quelconque, mené par le centre de gravité, et qu'on peut regarder comme un plan diamétral de l'ellipsoïde central du corps : on vient de voir que l'axe instantané de la rotation à laquelle ce couple donne naissance n'est autre chose que le diamètre conjugué au plan de ce couple dans l'ellipsoïde que l'on considère; et il est clair d'ailleurs que la vitesse angulaire sera mesurée par le moment du couple estimé perpendiculairement à ce diamètre, et divisé par le moment d*inertie du corps autour du même diamètre.

Comme un couple peut toujours être transporté dans un plan quelconque parallèle au sien sans que son effet sur le corps en soit changé, on peut toujours supposer qUe le plan du couple d'impulsion , au lieu d'être conduit par le centre, soit mené tangent à la surface de notre ellipsoïde ; et alors on peut dire : *

Que si un corps est frappé par un couple situé dans un plan queU conque tangent à F ellipsoïde central de ce corps, le pôle instantané de la rotation à laquelle ce couple donne naissance est précisément au point dç^ contact.

3l4 THÉOaiE HOU V ELLE

Et réciproquement, que si un corps tourne sur un diamètre quelconque de son ellipsoïde central, le couple actuel qui Panime est dans le plan tangent au pôle,

. Ce qui nous parait un de$ théorèmes les plus élégants qu'on paisse offrir en Dynamique sur la théorie si difficile et si obscure de la rotation des corps.

On voit toutes les conséquences claires et faciles qui découlent de cette lumineuse proposition : mais je ne veux point ici m'y arrêter ; il faut que j'avance, et que, par le seul raisonnement, j'arrive de suite à la solution complète du problème qu'on se propose : car il ne s'agit pas seuleoaent de déterminer la rotation du corps au premier instant, mais d^ voir encore comment cette rotation change d'un instant à l'autre, et de peindre, pour ainsi dire, le mouvement du corps dans toute la suite de son cours.