SOLUTION DU PROBLEME DE LA ROTATION DES CORPS LIBRES

Et d'abord, il est clair que cet axe de rotation que l'on nomme instantané n'est, en effet, mobile qu'un instant; car de la rotation même qu'on suppose autour de cet axe naissent , pour toutes les molécules égales du corps, des forces centrifuges proportionnelles aux rayais des cercles que ces molécules tendent à décrire, et dirigées suivant ces rayons. Or l'axe dont il s'agit n'étant point, par hypothèse, un axe principal du corps, ces forces centrifuges ne se font point équilibre entre elles. Transportées parallèlement à elles-mêmes au centre de gravité , elles donnent bien une résultante qui est nulle, mais leur couple résultant ne l'est point. Il provient donc de la rotation même du corps un couple accélérateur dont l'effort, à chaque instant, imprime à ce corps une rotation infiniment petite, laquelle se compose avec la rotation actuelle qui l'anime, et fait ainsi varier l'axe et la grandeur de cette rotation.

Pour étudier le mouvement du corps, il faut donc commencer par chercher ce couple accélérateur qui provient des forces centrifuges. Or il est très-facile de voir directement, ou de conclure du principe général de la conservation des couples, que si l'on considère deux lignes, dont l'une représente l'axe et la grandeur du couple d'impulsion, et l'autre Taxe et la grandeur de la rotation instantanée, le couple accélérateur dû aux forces centrifuges est toujours représenté, et pour son plan, et pour sa quantité, par la surface du parallélogramme construit sur les deux lignes dont il s'agit : théorème simple et remarquable, qui renferme à lui seul toute la théorie de la rotation des corps, et qui, traduit en analyse, donne sur-lechamp les trois équations si élégantes que l'on doit à Euler, mais qu'on ne démontre ordinairement que par de longs circuits de formules algébriques. »

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Le couple accélérateur, né des forces centrifuges, étant donc toujours ^ situé dans le plan conduit par l'axe instantané et l'axe du couple d'impulsion, la droite sur laquelle il tend à faire tourner le corps n'est autre chose que le diamètre conjugué au plan de ces deux axes; et, par conséquent, c'est le diamètre qui est à la fois conjugué à l'axe instantané et à sa projection sur le plan du couple. D'où je conclus d'abord que Vaxe sur lequel les forces centrifuges font tourner est toujours situé dans le plan même du couple (fimpulsion.

Donc, si l'on prend deux lignes dont l'une représente cette rotation infiniment petite, l'autre la rotation actuelle, et qu'on achève le parallélogramme, afin d'avoir, dans la diagonale, la ligne qui représente la rotation au bout d'un instant, il est clair que l'extrémité de cette diagonale reste toujours à la même hauteur au-dessus du plan du couple. D'où l'on tire surle-champ ces deux corollaires : le premier, c'est que, dans tout le cours du mouvement, la vitesse angulaire est proportionnelle à la longueur même du rayon qui va du centre au pôle instantané sur la surface de PeUipsdùde central}, le second, c'est que le plan du couple , considéré sans cesse comme tangent au pôle, reste toujours à la même distance du centre de cet ellipsoïde.

Mais ce centre est immobile dans l'espace absolu, et le plan du couple toujours parallèle à lui-même : donc ce plan, qui touche sans cesse F ellipsoïde central au pôle instantané de rotation, est toujours un seul et même plan fixe dans Vespace absolu.

Donc le mouvement du corps, ou, ce qui est la même chose, le mouvement de l'ellipsoïde central , est de telle nature, que cet ellipsoïde reste en contact avec un même plan fixe dans l'espace absolu ; qu'il tourne à chaque instant sur le rayon vecteur qui va du centre au point de contact, et qu'il tourne avec .une vitesse angulaire proportionnelle à la longueur même de ce rayon.

Cet ellipsoïde ne fait donc que rouler, sans glisser, sur le plan fixe que l'on considère : car, comme tout son mouvement consiste à tourner pendant un instant sur la ligne menée du centre au point de contact, l'ellipsoïde amène, au bout de cet instant, un nouveau point de sa surface en contact avec ce plan ; et ce nouveau point, qui devient le pôle de la rotation pour l'instant suivant, reste à son tour immobile pendant cet instant; et ainsi de suite à l'infini. D'où il est manifeste qu'aucun de ces points par lesquels l'ellipsoïde vient se mettre en contact avec le plan fixe ne peut jamais glisser sur ce même plan.

Telle est donc l'idée claire et nouvelle qu'on peut se former du mouvement si compliqué et si obscur d'un corps de figure quelconque qui tourne librement, soit autour de son centre de gravité, soit autour d'un point fixe quelconque, en vertu d'un couple dont il a reçu primitivement l'impulsion dans tel plan donné qu'on voudra.

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«c Considérez le centre de gravité du corps, ou, si le corps n*est pas » libre, le point fixe qui fait le centre de sa rotation. Autour de ce point, et » sur les directions des trois axes principaux d'inertie qui s'y rapportent, » imaginez un ellipsoïde construit avec trois axes de longueurs récipro* » ques aux bras de V inertie du corps autour des mômes axes, et faites » maintenant abstraction de la figure du corps pour n'y plus voir que celle » de cet ellipsoïde que j'ai nommé X ellipsoïde central,

» Si vous supposez que cet ellipsoïde, dont le centre est retenu immo- » bile au même point de l'espace, roule sans glisser sur un plan fixe avec » lequel on l'a mis en contact, vous aurez la représentation exacte da » mouvement géométrique que suit le corps en vertu du couple qui l'a A frappé dans le plan fixe que l'on considère; et si vous pjoutez que la » vitesse angulaire avec laquelle il tourne à chaque instant sur le rayon » mené du centre au point de contact est proportionnelle à la longueur » même de ce rayon, vous aurez à la fois le mouvement géométrique et » dynamique de ce corps : c'est-à-dire que vous verrez avec clarté, non- » seulement la suite continue des lieux que le corps doit venir occuper, )> mais encore la proportion des temps qu'il met à les parcourir. Ce qui » est ridée complète du mouvement du corps considéré dans le cours ^ infini de sa rotation. »

Réflexion générale.

Nous voilà donc conduits par le seul raisonnement à une idée claire que les géomètres n'ont pu tirer des formules de l'analyse. C'est un nouvel exemple qui montre l'avantage de cette méthode simple et naturelle de considérer les choses en elles-mêmes, et sans les perdre de vue dans le cours du raisonnement; car, si l'on se contente, comme on le fait d'ordinaire, de traduire les problèmes en équations, et qu'on s'en rapporte ensuite aux transformations du calcul pour mettre au jour la solution qu'on a en vue, on trouvera le plus souvent que cette solution est encore plus cachée dans ces symboles analytiques, qu'elle ne l'était dans la nature même de la question proposée. Ce n'est donc point dans le calcul que ré« side cet art qui nous fait découvrir, mais dans cette considération attentive des choses, où l'esprit cherche avant tout à s'en faire une idée, en essayant, par l'analyse proprement dite, de les décomposer en d'autres plus simples, afin de les revoir ensuite comme si elles étaient formées par la réunion de ces choses simples dont il a une pleine connaissance. Ce n'est pas que les choses soient composées de cette manière, mais c'est notre «eule manière de les voir, de nous en faire une idée, et partant de les connaître. Ainsi, notre vraie méthode n'est que cet heureux mélange de i'ana^ lyse et de la synthèse, oi^ le calcul n'est employé que comme un instru* p»ent : instrument précieux et nécessaire sans doute, parce qu'il assure et

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facilite notre marche, mais qui n'a par lui-même aucune vertu propre ; qui ne dirige point Tesprit, mais que l'esprit doit diriger comme tout autre intrument.

Ce qui a pu faire illusion à quelques esprits sur -cette espèce de force qu'ils supposent aux formules de l'analyse, c'est qu'on en retire, avec assez de facilité, des vérités déjà connues, et qu'on y a, pour ainsi dire, soimême introduites; et il semble alors que l'analyse nous donne ce qu'elle ne fait que nous rendre dans un autre langage. Quand un théorème est connu, on n'a qu'à l'exprimer par des équations : si le théorème est vrai, chacune d'elles ne peut manquer d'être exacte, aussi bien que les transformées qu'on en peut déduire ; et si l'on arrive ainsi à quelque formule évidente ou bien établie d'ailleurs, on n'a qu'à prendre cette expression comme un point de départ, à revenir sur ses pas, et le calcul seul paraît avoir conduit comme de lui-même au théorème dont il s'agit. Mais c'est en cela que le lecteur est trompé. Ainsi , pour prendre un exemple dans la question même qui fait l'objet de ce Mémoire, il est bien clair qu'aujourd'hui rien ne serait plus aisé que de retrouver nos idées dans les expressions analytiques d'Ëuler ou de I^agrange, et même de les en dégager avec un air de facilité. qui ferait croire que ces formules devaient les produire spontanément. Cependant, comme ces idées ont échappé jusqu'ici à tant de géomètres qui ont transformé ces formules de tant de manières, il faut convenir que cette analyse ne les donnait point, puisque, pour les y voir, il aura fallu attendre qu'un autre y parvînt par une voie toute différente. '

Nous aurions bien d'autres réflexions à faire et de plus grands exemples à produire, si nous voulions montrer, d'une part, tout ce que l'esprit doit de lumière à cette méthode naturelle, telle que je l'ai définie plus haut et qui constitue notre véritable analyse ; et de l'autre, le peu de vérités nouvelles qu'on a su tirer de ces formules analytiques où l'on croit enfermer une question, et quelquefois même une science tout entière. Sans doute la science y est contenue, comme elle le serait dans tout autre principe énoncé en termes généraux ; mais la difficulté reste de l'en faire sortir, et cette difficulté n'en devient-elle pas plus grande? Et, par exemple, ne faut-il pas déjà connaître et la Mécanique et les artifices du calcul , pour tirer de la seule formule générale des vitesses virtuelles, je ne dis pas quelque nouveau théorème (ce dont je ne vois ^ère d'exemples), mais seulement les propositions particulières qui nous sont le mieux connues? La traduction n'est- elle pas ici plus difficile que le texte lui-même, je veux dire que la considération immédiate des choses que l'on veut étudier? L'illustre auteur qui a voulu transformer la Mécanique en une question de calcul a sans doute rempli son objet avec toute la clarté et toute l'élégance qu'on en pouvait attendre. Mais si la véritable analyse brille quelque part dans la Mécanique analytique^ j'oserai dire que c'est bien moins dans ces

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calculs que l'auteur range avec tant d'ordre et de symétrie, que dans ces courts passages où il rapproche les méthodes, et dans ces admirables préfaces qu*il a placées à la tête des différents livres de son ouvrage, où il examine et discute les principes fondamentaux de la science, et fait l'histoire instructive du mouvement de l'esprit humain dans cette suite délicate d'idées fines et de solutions ingénieuses qui ont peu à peu formé la Mécanique. C'est par là surtout que ce bel ouvrage pourra servir aux progrès ultérieurs de l'esprit, en lui montrant la route qu'il a suivie, et qui est encore la route où il doit continuer de marcher. Car, encore une fois, gardons-nous de croire qu'une science soit faite quand on l'a réduite à des formules analytiques. Rien ne nous dispense d'étudier les choses en ellesmêmes, et de nous bien rendre compte des idées qui font l'objet de nos spéculations. N'oublions point que les résultats de nos calculs ont presque toujours besoin d'être vérifiés d'un autre côté, par quelque raisonnement simple, ou par l'expérience. Que si le calcul seul peut quelquefois nous offrir une vérité nouvelle, il ne faut pas croire que sur ce point même l'esprit n'ait plus rien à faire; mais, au contraire, il faut songer que, eette vérité étant indépendante des méthodes ou des artifices qui ont pu nous y conduire, il existe certainement quelque démonstration simple qui pourrait la porter à l'évidence; ce qui doit être le grand objet et le demiw résultat de la science mathématique.

Qu'on me pardonne ces réflexions^ que je fais, j'ose le dire, dans Tunique intérêt de la science. Je connais le caractère propre et distinctif de l'analyse algébrique, et je pourrais même dire avec précision en quoi cet art a pu perfectionner la logique ordinaire du discours; je sais tout ce que les bons esprits doivent au calcul, mais je tâche d'éclairer ceux qui se trompent sur la nature de cet instrument, et en même temps de prévenir l'abus que d'autres en peuvent faire en profitant de cette illusion même. Car, sitôt qu'un auteur ingénieux a su parvenir à quelque vérité nouvelle, n'estril pas à craindre que le calculateur le plus stérile ne s'empresse d'aller vite la rechercher dans ses formules, comme pour la découvrir une seconde fois, et à sa manière, qu'il dit être la bonne et la véritable ; de telle sorte qu'on ne s'en croie plus redevable qu'à son analyse, et que l'auteur luimême, quelquefois peu exercé, ou même étranger à ce langage et à ces symboles, sous lesquels on lui dérobe ses idées, ose à peine réclamer ce qui lui appartient, et se retire presque confus, comme s'il avait mal inventé ce qu'il a si bien découvert? Singulier artifice, que je n'ai pas besoin. de caractériser davantage, mais qu'il est bon de signaler comme un des plus nuisibles aux progrès des sciences, parce qu'il est sans contredit un des pliiis propres à décourager les inventeurs I

Mais je n'étendrai pas plus loin ces réflexions : et si le peu qu'on a dit est assez sensible par les exemples qui précèdent, on le verra se confirmer encore par ceux qui pourront suivre.

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