THÉORIE NOUVELLE

* Mouvement des axes principaux du corps dans P espace absolu.

Nous avons considéré le mouvement du pôle instantané de rotation, et dans le corps, et dans l'espace : mais on pourrait demander quels, sont les mouvements des pôles mêmes de Pellipsoïde central ; leurs vitesses pour circuler de Taxe fixe du couple d'impulsion, pour s'abaisser ou se relever sur le plan perpendiculaire à cet axe, ce qui donne leurs mouvjements naturels de précession et de nutation. On peut examiner la nature et les propriétés des trois courbes, ou herpolodies, que les projectionB de ces trois pôles principaux tracent en même temps sur le plan fixe, etc., etc., et l'on trouvera de la manière la plus facile beaucoup de propriétés curieuses sur le mouvement des corps. ' '

Et par exemple, je suppose qu^on prenne, sur les trois 'axes principaux du corps, et à partir du centre, trois lignes de même longueur; si, pendant le mouvement du corps, on regarde hss trois secteurs que leurs pnh Jections décrivent sur le plan du couple, on trouvera que la sqmnte de ces trois aires variables est proportionnelle au temps, *

Que si, au lieu de prendre, sur les axes principaux, trois lignés égales, on prend trois lignes proportionnelles aux racines carrées des moments d^inertie, ou à ce que je nomme les BRAS DE l'inertie du corps autour des mêmes axes, on trouvera que la somme des aires tracées par les projections de ces lignes inégales est aussi proportionnelle au temps.

Théorèmes simples et en quelque sorte géométriques, qu'il faut distinguer du théorème dynamique sur les aires tracées par tous les ray.ons vecteurs menés aux molécules du corps, quoiqu'il soit facile de rapprocher ces expressions, qui viennent au fond du môme principe.

On trouvera des théorèmes analogues relatifs aux mouvements de nutation des trois axes principaux du corps, vers le plan fixe du couple d'impulsion. Et, en effet, si Von considère les trois pôles principaux de P ellipsoïde central, on verra que la somme des carrés de leurs distances à Paxe du couple est constante;

Et que la somme de. ces carrés multipliés respectivement par les moments dP inertie du corps est aussi constante dans tout le cours du mouvement.

Enfin, si l'on considère les courbes décrites par les projections de ces pôles fiur le môme plan fixe, on verra que ces courbes sont du même genre que l'herpolodie décrite par le pôle instantané de rotation*

Dans le cas général, celui des deux pôles, majeur ou mineur, qui fait le centre de la polodie, déc it une courbe qui forme, comme l'herpolodie, (les ondes égales et régulières autour du môme contre. Les sommets supérieurs do l'une répondent aux sommets supérieurs de l'autre, et les inférieurs aux inférieurs. Pendant ce temps, les deux autres polos décrivent

aussi des courbes régulièrement ondulées : mais, quand Tun passe aux sommets supérieurs de sa courbe, Tautre passe aux sommets inférieurs de la sienne ; et cela, à un angle droit de distance l'un de Tautre.

Dans le cas singulier où la polodie est une ellipse et l'herpolodie une spirale, W pôle moyen du corps décrit aussi une spirale qui va sans cesse en se rapprochant du centre, et de plus près que tout ce qu'on voudra, sans pouvoir jamais l'atteindre : les deux autres pôles décrivent aussi des spirales, mais en quelque sorte dlune autre espèce ; car chacune de ces spirales, au lieu de s'approcher du centre, s'en éloigne depuis une certaine distance minimum jusqu'à une distance maximum qu'elle ne peut jamais atteindre ; de sorte qu'elle va sans cesse en s'épanouissant vers une circonfécence de cercle qui en est comme l'asymptote.

On peut faire encore une remarque curieuse sur ce cas singulier du mouvement- des corps : c'est qu'il y a dans le plan moyen de l'ellipsoïde central un certain diamètre qui a cette propriété remarquable de rester toujours perpendiculaire à l'axe fixe du couple d'impulsion, de décrire ainsi le plan*méme de ce couple, et de le décrire d'un mouvement uniforme; de sorte que tout le mouvement du corps consiste à tourner sur ce diamètre singulier avec une vitesse variable, tandis que ce diamètre décrit uniformément un cercle dans P espace.

Quand l'ellipsoïde central est de révolution, le pôle de la figure décrit un cercle, comme le pôle instantané. Dans ce cas, il n'y a, à proprement parler, d'autre pôle que celui qui fait l'extrémité de l'axe du sphéroïde : mais si l'on voulait en marquer arbitrairement deux autres sur l'équateur, à un angle droit de distance, et considérer les deux courbes que leurs projections décrivent, on aurait deux courbes parfaitement égales, mais non point circulaires : ce seraient deux herpolodies égales autour du même centre, et dont les sommets de noms différents seraient toujours à un angle droit de distance l'un de l'autre.

Nous aurions encgre à présenter de nouvelles propriétés et de nouvelles images de la rotation des corps. Et par exemple, il est aisé de voir que ce mouvement est de teUe nature, que V ellipsoïde central se trouve coupé sans cesse par le plan fixe du couple d^impulsion suivant une ellipse dont la forme varié , mais dont la surface demeure constante dans tout le cours du mouvement.

De .sorte que, si l'on se représentait l'ellipsoïde central du corps comme plongé dans un fluide sans résistance, dont ce plan fixe serait le niveau, on pourrait dire que, pendant le mouvement du corps, la section à fleur d'eau reste toujours de même grandeur.

Et de là on peut passer à une nouvelle image du mouvement du corps, et le représenter par celui (Fun cône elliptique qui roide sur le plan même du couple dUmpidsion avec une vitesse \mriable, et qui glisse sur ce plan

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avec une vitesse uniforme; etc., etc. Mais toutes ces propriétés seront développées dans le Mémoire.

Oq voit combien ces images éclaircissent et rectifient les idées, même dans les points les plus élémentaires de la théorie de la rotation des cotps. Ceux qui cultivent la géométrie des surfaces du second ordre on tireront sans peine une foule de propriétés curieuses sur ce mouvement ; car chaque proposition de Géométrie pourra leur donner un théorème correspondant en Dynamique. Mais le grand avantage de nos principes est d'ofiTrir des démonstrations faciles de ces mouvements de précession et de natation des équateurs des corps célestes, du mouvement des nœuds de leurs .orbites, etc. ; de simplifier ainsi, et quelquefois de rectifier ces théories dif*^ ficiles, comme on en a déjà vu un exemple dans la détermination de ce plan unique et invariable des aires que j'ai nommé Véquateur du système du Monde.