DEVELOPPEMENT DE LA SOLUTION

Des deux courbes que le pôle instantané de rotation décrit à la fois dans le corps et dans Vespace,

Dans cette image si daire jque nous avons donnée de la rotation des corps, on voit sur-le-champ toutes les circonstances et toutes les variétés que ce mouvement peut offrir, et Ton est conduit comme par la main aux opérations et aux calculs qu'il faut faire, si l'on veut en mesurer toutes les différentes affections.

Et d'abord, cette suite de points par lesquels l'ellipsoïde central du corps vient se mettre en contact avec le plan fixe du couple d'impulsion, étant considérée sur la surface de l'ellipsoïde, y marque la route du pôle instantané dans l'intérieur du corps; et ces mêmes points, étant considérés sur le plan fixe, y marquent sa route dans l'espace absolu. On peut donc déterminer sur-le-champ ces deux lignes courbes, et les considérer comme les bases de deux surfaces coniques de même sommet, dont l'une, mobile avec le corps, roulant sur l'autre qui est fixe dans l'espace absolu, donnerait à ce corps le mouvement précis qui l'anime.

Pour trouver la première courbe, il n'y a donc qu'à chercher la suite des points où l'ellipsoïde serait touché par un plan mobile qui resterait toujours à la même distance du centre de cet ellipsoïde; ou, ce qui est la même chose, qui toucherait à la fois cet ellipsoïde et une sphère concentrique d'un rayon égal à la distance donnée.

Tandis que ce plan trace sur l'ellipsoïde la route du pôle instantané, on pourrait remarquer qu'il trace sur la sphère la route que le pôle du couple, qui est fixe dans l'espace, parait décrire dans l'intérieur du mobile; c'est une autre courbe du même genre, et que nous aurons aussi l'occasion de considérer.

Mais, pour ne parler ici que de la première, on voit donc que cette courbe est un ovhe fermé, à double courbure, qui a, comme l'ellipse, guatre sommets principaux où elle est divisée en quatre parties égales et symétriques ; espèce de roue elliptique dont l'axe ou Vessieu est toujours, ou le rayon majeur, ou le rajron mineur de l'ellipsoïde central, selon que le rayon de la sphère est donné plus grand ou plus petit que le rayon moyen de cet ellipsoïde. Cet orbe à double courbure se projette en une ellipse entière sur le plan perpendiculaire à celui des deux axes qui lui sert d'essieu, en un arc d'ellipse sur l'autre plan , et toujours en un aro ^hyperbole mx le plan perpendiculaire à Xaxe moyen.

3aO THÉORIE NOUVELLE

Les quatre sommets de cet orbe sont les points où le rayon vecteur, et, par conséquent, la vitesse angulaire de rotation, atteintses valeurs maxima ou minima; et l'on peut remarquer que le maxiiflum a toujours lieu quand le pôle instantané passe aux deux sommets qui tombent dans le plan principal moyen de Tellipsoïde; et le minimum, quand il passe aux deux autres sommets de la courbe.

La seconde courbe, pouvant être considérée comme tracée par celle-ci qu'on ferait rouler, autour du centre, sur le plan fixe du couple, est donc une courbe pleine, qui circule autour de la projection de ce centre, en formant des ondes égales et régulières, correspondantes aux arcs égaux et symétriques de l'orbite roulante qui la produit : c'est une espèce de courbe circulaire, mais d'un rayon variable et périodique, et qui serpente ainsi à l'infini entre deux cercles concentriques dont elle va toucher alternativement Tune et l'autre circonférence.

Si Tangle au centre, qui répond à deux sommets consécutifs de ces ondes équidistantes, est commensurable avec quatre angles droits, la courbe se ferme après un certain nombre de révolutions ; et le pôle instantané qui la décrit revient au même lieu et dans le corps et dans l'espace tout à la fois. Mais, dans le cas contraire, la courbe ne se ferme point, et le pôle, qui revient toujours périodiquement au même lieu dans le corps, ne peat jamais revenir en même temps au même lieu dans l'espace.

Telles sonC les deux courbes décrites par le pôle instantané, l'une dans l'intérieur du corps, et l'autre dans l'espace absolu. Et quoique ces courbes soient de formes si différentes, comme c'est nu seul et même point qui décrit à la fois l'une et l'autre, leurs équations prises entre le rayon vecteur et la longueur de l'arc décrit sont exactement une seule et même équation.

Le cône roulant, à la surface duquel la première courbe sert de base, est simplement un cône droit du second degré; mais le râne fixe sur lequel il roule est un cône transcendant dont la surface ondule à l'infini autour de l'axe fixe du couple : c'est aussi une espèce de cône droit et circulaire, mais dont la surface serait, pour ainsi dire, cannelée suivant le contour régulièrement ondulé de la courbe qui lui sert de base.

Des noms qu'on pourrait donner à ces ileux courbes.

On sait qu'un corps pesant, projeté comme on voudra dans l'espace, tourne sur son centre de gravité, exactentent de la même manière que s'il était libre de toute pesanteur. On voit donc que les courbes remarquables dont il s'agit sont deux courbes que la nature nous offre à chaque instant dans le mouvement des projectiles, et qu'ainsi chacune d'elles mériterait d'avoir un nom, aussi bien que la courbe qui est décrite danS l'espace par

le centre de gravité, et qui s'est trouvée la même que la section conique déjà nommée la parabole.

Je proposerais donc de donner à ces deux courbes le nom de polodies, en appelant la première, qui est décrite dans Tintérieur du corps, la polodie relative; et la seconde, qui est décrite dans l'espace, la polodie absolue. Ou, si Ton aimafit mieux les distinguer par leur forme particulière, on donnerait à la première courbe, qui èsX un orbe elliptique enfermé, le simple nom de polodie ; et à Tautre^ qui est plane et ondulée, celui d'À?rpolodie, afin de rappeler, avec l'idée du p&le qui la décrit , la propriété qu'elle a de serpenter en circulant autour d'un même centre fixe, '

Variétés qiœ ces deux courbes peuvent offrir dans certains cas particidiers,

. Ces deux courbes ne dépendent, comme on voit, que de quatre données, savoir : les trois demi-axes ou rayons jmncipaux de Tellipsoïde central, lesquels sont toujours donnés par la nature du corps; et ensuite la hauteur du centre au-dessus du plan tangent du couple, laquelle eàt donnée par la direction du couple d'impulsion.

Cas singulier ou lé polodie devient une ellipse, el Vherpohdie une.

spirale.

Dans le cas singulier où cette hauteur serait donnée précisément égale à la longueut du rayon moyen de l'ellipsoïde, la polodie devient une ellipse dont le plan passe- par ce rayon moyen; et alors Vherpohdie devient une spirale, laquelle, considérée dans toute son étendue, est en quelque sorte une spirale double; je veux dire qu'elle a un sommet, à gauche et à droite duquel elle jette deux branches égales qui vont en sens contraires tourner en spirales autour d'un même centra fixe : centre dont elles s'approchent sans cesse, et de plus près que tout ce qu'on voudra, comme d'un 7701/1/ asymptotique qu'elle? ne ;peuvent jamais atjteinàre. Dans ce cas singuliep du mouvement des corps, le pôle instantané de la rotation est donc? un. point toujours nouveau et dans le corps et dans l'espace absolu, quoique la longueur de la spirale décrite soit finie et tout au plus égale à la demi- . circonférence de l'ellipse roulante qui la produit.

Cas particuliers ou elles se réduisent à un point.

Si la distance du centre au plan tangent est donnée égale à l'un de^ deux rayons* extrêmes de l'ellipsoïde; comme cela ne peut arriver qu'en un seul point de la surface, la polodie et l'herpolodie se réduisent toutes deux à

ai

3aa THÉOftlE MOXJVELLE

un seul et même point, et le pôle instantané reste immobile et dans le corps et dans l'espace pendant tout le cours du mouvement; et la même chose aurait encore lieu dans un cas unique (afppartenant au cas singulier qui précède), celui où le plan du couple serait donné tangent au point précis qui fait le pôle moyen de Tellipsolde central ^u corps.

Ccîs particulier relatif à. Pespèce du corps, et où les deux courbes depiinnent des cercles, .;

Enfin, si le corps est de l'espèce de ceux qui ont deux de leurs moments principaux d'inoftie égaux entre eux, auquel cas rellipsoïde central est de révolution, la polodie devient un cercle autour de Taxe de ce sphéroïde, et Therpolodie est un autre cercle autour de Taxe fixe du couple. Dans tous les corps de cette espèce, le mouvement est celui d'un c^ne droit à base circulaire qui roule uniformément sur un autre cône fixe égaleovBnt droit et circulaire. C'est un des cas les plus simples xiu mouvement ,de rotation, mais où il faut pourtant remarquer que, si les circonférences des deux cercles dont il s'agit ne sont point conymiensurables entre elles, ce qui arrive le plus généralement, le pôle instantané ne peut jamais revenir en un point qui tombe à la fois au même lieu dans le corps et au même lieu dans l'espace absolu.

Il est inutile de parler du cas Je plus simple de tous, de celui où l'ellipsoïde central du 'corps est une sphère parfaite : car, de quelque manière que le couple soit appliqué, l'axe de la rotation et celui du couple 6e confondent, et le pôle instantané reste immobile dans le corps et l'espace absolu.

Vitesse du pôle, soit pour décrire ces deux courbes, soit pour s'approcher . où ^'éloigner du centre, soit pour circuler autour de Paxe fixe du couple y etc. • •

Après avoir examiné la naturQ de Ces deux courbes décrites "par le pôle, et dont-Téquation différentiella est la même entre l'arc et le rayon Vecteur émané du centre de l'ellipsoïde, on peut considérer la vitesse avec laquelle c^ pôle instantané décrit à la fois l'une et l'autre; fa vitesse qu'il a poui; s'éloigner ou se rapprocher du centre, ce qui est \à fluxion ùm irayon vecteur, et , par conséquent , de la vitesse angulaire de' rotation ; on peut chercher le mouvement angulaire du pôle autour de Taxe fixe du couple . d'impulsion, etc. Il est donc facile de déterminer les "points remarquables où ces différentes vitesses passent à \q\xt maximum ou minimum; et e'efet ce qui arrive aux sommets alternatifs des ondes de l'herpolodîe.

On pourra simplifier ensuite l'équation de l'herpolodie, en la rapportant

à un rayon vecleur émané de son propre centre, pris dans le.plan même de là courbe, et à l'angle que ce rayon décrit autour du même centre, etc. Et toutes ces expressions n'auront aucune *difl&culté.* ' *

Détermination du lieu où le coYps arrive au houjt dPwn temps dorme,

Ënfiti, si'l'on vevt trouver les formules par lesquelles on puisse calculer le lieu du corps au bout d'un temps donné, on commenc^a par.détermi- . ner la* vitesse angulaire de rotation éa. fonction du temps, ce qui se fera par une première .intégration, et donnera'le lieu, du pôle instantané à la surface de 'l'ellipsoïde central. Ensuite on intégrera l'équation précédente de l'herpolodie, ce qui donnera le lieu du pôle sur le plan fixe du CQuple. . Et par ces deux quadratures^ qui ^ rapportent naturellement aux trànsr. vendantes elliptiques y on pourra dire que le problème proposé, est eniié-. rement résolu; je veux dire qu'on sera en état di'assigner actuellement le lieu de V espace ou doit se trouver le corpsi au bout d^un temps quelconque donné. En effet, on' n'aura qu'à supposer l'ellipsoïde mis en contact avec le plan fixe, de manière qu'il touche par le point qu'on vient de déterminer à sa surface, et au point qu'on vient de déterminer sur .le plan dont il s^agit; et par cette opération, l'ellipsoïde central, et, par conséquent, le corps lui-même se trouvera posé dans le lieu précis de Tespace.'où il^rrive par sen mouvement naturel au' bout du temps donné.

On peut varier ces déterminations de plusieurs manières, en prisnanf d'autre inconnues relatives à la position du corps; mais, quelles .qu^ soient les coordonnées qu'on emploie, l'expression de ce6 quantités en fonction du temps demandera, toujours deux intégrations qui dépendent esseQti^llement des transcenkantes elliptiques* • .'*••,

I>ans le cas singulier où la hauteur du centre au-dessus*du plaiv fixe est égal au- rayon moyerr de l'eUipsoïde, et où, par conséquent, la polodie devient une simple eUipsCy et l'herpolodie une spirale, la difificulté' s'abaisse j tout se réduit aux règles ordinaires, et ne dépend que des expon0t?fielles ou des logarithmes, * .

Enfin, pour tous les corps où l'ellipsoïde central est 4^ révolution ^ et où, par conséquent, tout devient uniforme et: circulaire , on n'a besoin d'aucune intégration pour déterminer le lieu du corps au bout d'un temps donné. % • .

Propriétés des trois axes principaux du corps, relatives à la stabilité de la rotation.

Quanti le plan du couple d'impulsion est tel, que le pôle instantané tombe

sur l'un des pôles principaux do l'ellipsoïde central, il y reste toujours;

• de manière que l'axe instantané, l'axe du coçps et cebii du roupie ne ers-

3a4 THEORIE KiOUYEtLE •

sent de se Confondre en une seule et même droite immobile dans tout le cours du mouvement. Les axes principaux du corps sont donc tous trois des axes permanents de rotation; mais il y a entre eux, comme on* le sait, une différence remarquable sous le point de vue de la stabilité que chacun de ces axes peut'offrir dans la rotation du corps.

Si le pôle instantané tombe actuellement au pôle majeur ou au pôle mineur de Tellipsoïde, et que par Timpulsion de quelque petit couple étranger, il vienne à en être écarté à une petite distance, il ne s'en Soignera guère davantage, parce qu'il décrira sa -polodie autour de ce pôle même du corps d'où il a été écarté. Mais il n'en est pas de même quand le pôle instantané tombe au pôle/wo/ew de l'ellipsoïde ; car, pour peu qu'on le décange, il s'en éloignera davantage, s'en allant alors décrire sa polodie, soit autour du pôle majeur, soit autour du pôle mineur, selon que ce dérangement accidentel du pôle instantané aura fait' augmenter ou diminuer la distance du plan tangent du couple au centre de l'ellipsoïde. Et si ce dérangement est tel, que cette distance n'ait pas varié, ce qui arrive à la surface le long de deux ellipses singulières qui se croisent au pôle moyen, le pôle instantané ira décrire l'ellipse singulière sur laquelle on l'aura porté, ou p]utôt la moitié de cette ellipse, pour aller retomber sur le pôle moy^n opposé de l'ellipsoïde, ce qui est le plus grand dérangement qui puisse arriver an 'corps : ou bien, si le pôle instantané était pocté sur l'autre moitié de la même ellipse, il reviendrait aussitôt au pôle moyen d'où* il est parti, ce qui est le plus petit dérangement pgssible de la rotation du corps, n y a donc ici un cas unique où l'axe instantané de rotation, étant 'écsûlé de Vaxe moyen où il était d'abord, non-seulement ne s'en éloigne^ pas da^ vantage, mais même s'en rapproche aussitôt, et de plus près que tput ce ' qti'on voudra. Mais, dans tous les autres cas, il va décrire un cônejelliptique, soit autour de l'axe majeur, soit autour de l'axe mineur, ou tracer le plan de l'une ou de l'autre des deux ellipses ^ngdlières dont j'ai parlé : et l'on peut dire que la rotation du corps autour de son ojce moyen n'a point de stabilité.

La rotation n'est donc stable qu'autour, de l'axe du plus grand ou du plus petit moment d'inertie du corps : mais il n'en faut pas conclure qu'elle soit également stable pqur ces deux axes; car, si l'un d'eux diffère peu de l^îaxe moyen, il n'aura guère plus de stabilité que l'axe moyen lui-même, comme on va le voir tout à l'heure.

De ce 'qui fait la mesure de la stabilité pour cfiacun des deux axes extrêm'es de Vellipsoïde central.

Pour se .faire une idée nette de cette stabilité, et de ce qui en fait ep quelque sorte la mesure pour chacun de ces deux axes, imaginez la surface, de l'ellipsoïde comme coupée en quatre parties ou fuseaux elliptiques par

les deux ellipses que j'ai considérées et dont les plans se coupent suivant Taxe moyen. Le pôle moyen est doncà Tintersection de ces deux ellipsei,; le pôle majeur est au centre de l'un des deux fuseaux, et le pôle mineur au centre du fuseau supplémentaire.

Or, en premier lieu, si le pôle instantané de la rotation tombe au pôle moyen de l'ellipsoïde, il est clair que, pour peu qu'on le déplacé, il va tomber dans l'un ou l'autre des deux fuseaux dont il s'agit, et décrire son orbe ou sa polodie autour de l'un ou de l'autre pôle principal de l'ellipsoïde : ou bien, si on le déplace sur une des deux ellipses mêmes, il va décrire la moitié dfe cette ellipse pour retomber sur le pôle moyen opposé; ou, s'il est porté sur l'autre moitié de la môme ellipse, il revient aussitôt au pôle moyen même d'où on l'a écarté. Q'où il résulte, comme on l'a dit ci-dessus, que,Ti6rs de ce cas unique de déplacement, l'axe moyen du corps n'a aucune stabilité. '

Actuellement, si le pôle instantané tdmbe sur le pôle majeur de l'ellipsoïde, il peut être déplacé, coihme on voudra, dans toute l'étendue du fuseau environnant, sans cesser de décrire sa polodie autour du même pôle majeur : et si c'est en ôela qu'on fait consister la stabilité de l'axe majeur, on peut 'dire que la grandeur de ce fuseau en est en quelque sorte la mesure. Et l'on voit de même que l'étendue du fuseau supplémentaire est la mesure de la stabilité de la rotation autour de l'axe mineur. Or, si l'un de ces deux axes diffère peu de l'axe moyen, le fuseau qui lui répond est très-petit, et le fuseau supplémentaire est très*grand. L'axe peu différent de i'àxe moyen a donc très-peu de stabilité, et l'autre axe en a beaucoup. Il .n'est donc point exact de dire, comme on le fait d'ordinaire, que si Taxe instantané est un peu écarté de Taxe principal qui repond au plus petit, ou au plus grand moment d'inertie du corps, il s'en éloigne très-peu et ne fait que de petites oscillations pendant toute la durée du mouvement. Car si le moment d'inertie relatif à cet axe diffère peu du moment moyen, le pôle instantané, par un petit dérangement, peut sortir du petit fuseau où il est actuellement, pour tomber dans le fuseau voisin et y aller décrire sa polodie autour de l'autre axe ; ou même, s'il n'est déplacé que dans l'intérieur du petit fuseau qui lui répond , il peut y décrire une polodie étroite et fort allongée, et, par conséquent, faire de très-grandes oscillations autour du pôle principal d'où on l'a écarté.

Dans les corps où l'un des moments extrêmes d'inertie diffère peu du moment moyen , et, par conséquent , où l'ellipsoïde central du corps est presque de révolution autour de l'un de ses axes, la stabilité de la rota^ tion n'est donc vraiment assurée que pour cet axe. C'est le cas de la terre, dont la rotation est très-stable autour de son axe actuel, et le serait trèspeu autour du troisième axe qui, comme on le sait, diffère très-peu de l'axe moyen.