PREMIERE LEÇON

Sommaire^. — Définitions. — Volumei surface, ligne et point. — Ligne droite. Ligne ' brisée. — Plan. — Angles. Angle droit ou d'équerre. Perpendiculaires. — Parallèles. — Lignes courbes. — Les deux règles fondamentales de la takymétrie.

Tolmne. — Prenons un objet quelconque, une pierre par exemple. Cette pierre est plus ou moins grosse; elle tient plus ou moins de place. Celte portion d'espace qu'elle occupe est son volume.

fiurCace* — Tant que nous ne brisons pas la pierre, nous n'en apercevons que l'extérieur. Elle est bornée dans tous les sens par sa surface. La surface est donc la limite qui la sépare de l'espace environnant.

Quand on regarde ou que l'on manie un objet, c'est sa surface que l'on voit ou que l'on touche. Elle constitue l'enveloppe et comme le vêtement de l'objet; mais un vêtement sans épaisseur. ^.

litgite. — Sur une surface quelconque, une boule, par exemple, ou, ce qui sera plus commode, une feuille de papier, promenons la pointe fine d'un crayon ; le crayon laisse une trace qu'on nomme une ligjie.

Les lignes ne comptent que par leur longueur ; il faut se les figurer comme n'ayant aucune largeur appréciable.

2 TAKYMÉTRIE.

Point. — Enfin, si au lieu de promener le crayon sur la feuille de papier, on se contente de la piquer légèrement, on dépose une petite empreinte : un /;om/. Pour concevoir un point mathématique, il suffit d'imaginer la piqûre comme tellement légère, tellement ténue, qu'elle en serait devenue invisible. Car on n'attribue à un point ni épaisseur, ni largeur, ni longueur.

Fig. 1. — Surface, ligne et poinf. Fig. 2. — Pavé.

De même que les volumes sont bornés par des surfaces ; de même les surfaces sont le plus souvent limitées par des lignes et les lignes terminées en des points. Ainsi, un pavé est entouré par ses six faces, chacune de celles-ci par 4 lignes ou arêtes, et enfin chaque arête a deux extrémités qui sont des points.

Remarque, — Lorsqu'on trace une ligne, c'est rextrémité ou la pointe traçante qui la marque par son déplacement. On peut donc dire qu'une ligne est engendrée par le mouvement d'un point.

De môme, si une ligne, à son tour, est promenée à travers l'espace, elle donne naissance, par ses positions successives, à une surface. Ainsi, que l'on coupe, avec un fil de fer, un bloc de terre glaise ou une motte de beurre. Le morceau une fois détaché, apparaîtra la surface découpée ou engendrée jiar le mouvement de la ligne que nous représente le fil de fer.

Enfin, une surface se déplaçant tout d'une pièce pour parcourir un certain espace, engendre un volume. Par exemple, si l'on enfonce une mince pièce de monnaie dans une substance molle, comme la glaise, ce disque y imprimera une cavité plus ou moins profonde. Cette cavité est le moule en creux du volume que nous appellerons plus tard un cylindre.

litgrne droite. — Lorsqu'on fixe un fil entre deux clous, chacun

,,j sait qu'il faut plus de fil si on le

1 ' iCW laisse lâche, que s'il est bien

tendu ou en ligne droite. Aussi définit-on la ligne droite en disant qu'elle est le plus court chemin d'un point à un autre. Défi-

Fig. 3. — Fil en ligne droite. ... . - . ,

nition qui est passée en proverbe.

On trace les lignes droites à la rède.

PKEMIÈRE LEÇON. 3

On peut aussi les tracer, sur le tableau noir, à l'aide d'un cordeau frotté de craie et tendu à ses deux extrémités. Si on le pince au milieu, le cordeau revient sur lui-même et cingle d'une ligne blanche le tableau.

lilgrne brisée. — Une

ligne brisée est une succes-

Fig. 4. — Ligne droite au cordeau.

sion de lignes droites placées bout à bout dans des directions différentes. Il semble alors, en effet, qu'on ait brisé une ligne droite, sans cependant en disjoindre les tronçons.

Telle, la lettre Z ; d'où le mot zigzag^ qui justement signifie ligne brisée.

Fig. 5. — Ligne brisée (mèlre pliant).

Plan. — Un plan est une surface sur laquelle on peut tracer des lignes droites dans tous les sens. Par exemple, le dessus d'une table, une planche bien dressée, c'est-à-dire sur laquelle, précisément, le bord d'une règle peut s'appliquer et glisser de toutes les façons, sans laisser de jour ni rencontrer d'aspérités.

La surface d'une eau tranquille est un plan de niveau ou plaa Aonzontal. La ligne droite figurée par une mince baguette flottante est une ligne de niveau ou une horizontale.

An8;le. — Un angle est l'éeartement compris entre deiix lignes droites qui se rencontrent , comme les bords des lames ji'une paire de ciseaux ouverts.

Aii8;le d*équerre ou Fig. e. - Angles.

aiiffle droit. — Faites flotter sur la surface tranquille d'un verre d'eau une paille légère et bien droite; laissez plonger un fll à plomb croisant le fétu ; vous avez l'image d'une ligne tombant sur une autre sans pencher à droite ni à gauche, c'est-à-dire faisant le même angle avec les deux parties de cette autre. Chacun de ces angles est un angle droit ou d'éque7Te, Tout angle égal sera aussi un angle

4 TAKYMÉTRIE.

d'équerre, et Ton dira que ses côtés sont d'aplomb ou perpendiculaires Tun sur Tautre.

Fig. 7. — Fil à plomb.

Fjg. 8. — Horizon^le et verticale. Angles d'équerre ou droits.

De même, le fil à plomb est perpendiculaire au plan de niveau de reâu.Sila paille tournait dans n'importe quelle direction, elle serait toujours à angle droit avec le fil.

Obserrattoii. — Ne confondons pas verticale BLwec perpendiculaire. Verticale répond à la direction du fil à plomb, tandis qu'une ligne droite de n'importe quelle direction peut ôtre perpendiculaire à une autre.

Ainsi le niveau du maçon ne donne d'angle droit que lorsque le fil à plomb passe par le point marqué sur la pièce de bois transversale. Au contraire, les équerres employées pour le dessin, et qui sont des planchettes à trois côtés, offrent un angle droit dans quelque situation qu'on les dispose.

Fig. 9. — Niveau de maçon.

Fig. 10. — Équerres.

On remarquera que deux équerres sont identiques lorsque les deux côtés de l'angle droit de l'une égalent ceux de l'autre. On peut porter l'équerre rose sur la verte; l'angle droit rose s'emboîte dans l'angle

l'IlliMlËRE LKÇUN. K

droit vert; les petits côtés aiant même longueur et les grands aussi, les deux équerres se recouvrent exactement.

parallèles. — Deux lignes droites sont appelées parallèles lorsque, prolongées autant qu'on voudra, elles ne peuvent se rapprocher l'une de l'autre.

Il est clair, d'api-Ès cela, que leur — distance reste partout la même. , °

Par cette distance, il Taut entendre la ligue menée d'équerre (ou perpendiculaire} entre les deux parallèles.

Liignes courbes. — Toutes les ligues qui ne sont pas droites ni composées de lignes droites, se nomment des lignes courbes. Le trait marqué par le crayon de la figure 1 est une ligne courbe.

TaKymétrle. — La l;ikymclrie nous apprend à mesurer les lignes, les surfaces et les volumes, par des règles simples et justes.

Tout ce qui précède n'est qu'un apprentissage de mots. C'est comme un petit dictionnaire où quelques expressions sont expliquées. Raisonnons maintenant. Il s'agit simplement, pour cela, d'user du vulgaire I)on sens existant en chacun de nous.

Bègle de complage il'olUets refaite rement dlspfmés.

— On va vous remettre, je suppose, une somme d'argent. Pour en vérilier le compte, on dispose les pièces de monnaie (de même nature, bien entendu,) en rangées parallèles composées d'un même nombre de pièces. Si l'on a aligné 4 rangées de 5 pièces, combien y a-t-il de pièces? 4 fois 5 ou 20. 11 faut multiplier le nombre des objets en rang par leur nombre en file, ou si l'on veut, leur noml/re en longueur par leur nombre en largeur.

Fig. lî. — OluoU * eomplec en longueur Fig. 13. — Objet» * compter «n longueur,

et lugeuT. largeur et lnoteur.

Mais, j'imagine que la somme à vérifier soit considérable. Pour

économiser l'espace, on empilera les pièces, puis l'on disposera des piles égales comme on disposerait des pièces. Si chaque pile contient 20 pièces, on voit d'emblée qu';iu lieu de i fois ^pièces, on s 4 fois 3 piles ou A fois 3 fois 20 pièces ou enfin 400"^pièce8,

Antre exemple : des pavés étant entassés régulièrement , on en trouve, je suppos», 6 en longueur, 3 en largeur,. 4 eu hauteur. Sur le sol repose une tranche qui compte 3 files de 6 pavés, ou 3 fois 6 ; il existe 4 tranches pareilles, ou, en tout, 3x6 X 4 pavés. C'est la même règle, et chacun ig. . - nom remen ud >9 e p«v t. ^^ ^^^^ ^^^ capable de l'invenlflp.

Il faut faire le produit des trois nombres d'objets pris en rang, en file et en colonne ; ou si l'on veut, en longueur, largeur et /lauteur.

Équivalence. — Le nombre des pavés d'un tas ne changera pas parce qu'on aura disloqué ou renversé ie tas, ou bien parce qu'on aura pris des pavés h droite pour rendre le tas plus haut i gauche. De même, un volume ne change pas de grandeur si on le décompose en parties que l'on assemble dans un ordre différent.

On peut en dire autant d'une surface. Voici une feuille de papier, je donne quelques coups de ciseaux eu diagonale qui la divisent en deux parties. Je réunis les deux morceau.T, l'un rose, l'autre vert, par leur petit cftté. La ligure obtenue ne ressemble pas à la précédente; pourtant toutes deux sont équivalentes, c'est-à-dire qu'elles possèdent la môme surface, et si je savais mesurer l'une, je connaîtrais la mesure de l'autre.

Conaêquence*. — La règle de dénombrement nous permettra de compter les unités contenues dans un objet de forme régulière ; l'équivalence nous donnera le moyen de ramener à des mesures connues les objets irrégnliers, en les régularisant.

Co sont les deux règles fondamentales de la takymétrie.