PRINCIPALES APPLICATIONS DE LA TAKYMÉTRIE

Cvliaffe d*aii massif de maçonnerie. — Les murs de clôture, de construction ou de soutènement ont presque toujours la forme d'équarris ou de prismes, et il est facile de les cuber en multipliant leur section par leur longueur.

Lorsque le massif se compose de plusieurs murs se joignant à angle, et surtout si les murs ont des faces en talus, on peut chercher à décomposer le volume total en volumes partiels plus simples.

Mais le procédé le plus expéditif nous sera fourni, en général, par la règle des trois niveaux.

L'exemple suivant, emprunté à V Arithmétique de M. E. Burat, est Tun des plus compliqués qui puissent se présenter.

Problème. — Deux murs en talus (fig. 83) de même section se joignent à angle droit ; la base supérieure et la base inférieure de chacun d'eux sont horizontales et leur distance, c'est-à-dire la hauteur de chaque' mur, est 12"',50; les faces latérales sont verticales, sauf la face interne, qui est en talus. Les longueurs des deux murs, à l'intérieur de l'angle et au ba9 du talus, sont : 18"*,40 et ll"^,60, l'épaisseur en haut du talus est 1™,80 et en bas 2™, 50. — On propose de calculer le volume de cette maçonnerie.

L*examen de là Ûgure montre immédiatement que pour obtenir la longueur extérieure de chacun des murs, en haut, il faut ajouter 2°^, 50 à la longueur

TAKYMÉTRIE.

prise en bas. Pour obtenir la longueur intérieure du haut, il faut ajouter

(2,50— 1,80) ou 0°»,70àla longueur mesurée au niveau du sol.

De même, on obtiendra les longueurs en dedans des murs et à mi-hauteur , en ajoutant aux longueurs des bas, la moitié de (2,50 — 1,80) ou 0°»,35.

Enfin, chaque surface horizontale, la surface supérieure du mur, par exemple, peut être considérée comme se composant de 2 trapèzes assemblés à angle droit. Ces deux trapèzes ayant la même

Fig. 83.

hauteur (1™,80 pour le haut), on peut, pour ajouter leurs surfaces, ajouter d* abord leurs bases. On aura ainsi :

Longueur totale extérieure = 20,90 + 14,10 = 35".

— (en haut) intérieure = 19,10 + 12,30 = 31"»,40.

— (en bas) intérieure = lg,40 + 11,60 = 30°».

— (moyenne) intérieure = 18,75 + 1 1 ,95 = 30^,70.

Surface supérieure = ^^+^^^^Q X l .80 = 59"»'i,7G

Surface inférieure =:

4 fois la coupe moyenne = 4 X ^ \y ' X 2,15 = 282™'i,51

&H-B + 4G =423'nS52

Vol. = — "P — ^ = 882'n«, 333.

Cubage des tronci» d*ai*]>res* — Cette opération, extrêmement fréquente, soit pour le compte de l'Etat, soit pour le compte des particuliers, s'effectue de diverses manières, suivant qu'il s'agit d'arbres destinés à être convertis en bois de chauffage ou en bois de charpente.

Pour les bois de chauffage, l'arbre est débité, d'ordinaire, avec son écorce. Dans le mesurage au stère, l'écorce sera comptée comme bois. Il est donc juste d'évaluer le volume de l'arbre non écorcé, ouen grume i

Un tronc d'arbre bien droit et bien rond représente sensiblement un tronc de cône. Toutefois, cette régularité ne s'offre pas assez souvent pour qu'il y ait lieu d'employer la formule correspondante. D'ailleurs,

SLPTIËHE LEÇON. 53

c'est presque toujours à la base, près des racines, et au sommet, où s'épanouissent en bouquet les brancbages, que s'accusent le plus les irrégularités. Les éléments du tronc de cône ne peuvent, dès lors, être mesurés. C'est pourquoi on l'assimile à un cylindre ayant pour section la coupe faite à mi-bauteur. Le tronc étant peu conique, l'erreur n'est pas considérable.

La règle, pour les bois en grume, sera donc la suivante :

Multiplier la section prise à mi-hauteur, par la hauteur de l'arbre.

Pour obtenir k surface de la coupe moyenne, le moyen le plus commode, le plus rapide et très suffisamment exact nous est fourni par la règle connue (voir page 27) prendre 8 fois le carré fait sur le dixième du tour. C'est cette surface que l'on multipliera par la longueur -du tronc.

Exemple : cuber un tronc d'arbre en grume, ayant T^jSO de hauteur et l",14de tour moyen.

Vol. = i^m' X 8 X 7,20 = 0'°=,748''"'=.

Arbres «or pied. ^- On peut mesurer très rapidement la hauteur d'un arbre sur pied àl'aide de l'instrument fort simple que voici. Chacun peut le construire et en faire usage.

On (ixe deux baguettes égales, d'équerre l'une sur l'autre, puis on interpose l'une d'elles, tenue bien d'aplomb, entre l'œil et la tige de l'arbre, duquel on se rapproche ou l'on s'éloigne jusqu'à ce que le regard rasant les extrémités de la baguette verticale, atleîgne en mSme temps les extrémités de la tige. On peut s'aider d'un fil à plomb ou simplement d'un caillou attaché au bout d'une ficelle pour maintenir la baguette J»^ bien verticale,

■ Alors, il y a ressemblance

parfaite entre la figure for- '

mée par les deux baguettes ^'^' *'■ ~ ""■»«'" ^'•" "^"'■

et la figure formée par la hauteur de l'arbre et la distance h. laquelle

54 TAKYMÉTRIE.

on s'en trouve. Les deux baguettes étant égales, la hauteur de Ja tige égale de même la distance.

En mesurant la distance qui sépare du pied de Taitire Tobservateur, on obtiendra la hauteur cherchée.

Mais il n'est guère facile de mesurer la circonférence moyenne.

On a alors recours aux principes suivants, que l'expérience confirme assez exactement dans la plupart des cas.

On prend pour base de l'arbre, non le ras du sol, mais la section à 1"*,20 ou 1"*,30 au-dessus, pour éviter les cannelures et les hanches qui déforment souvent le pied de la tige.

On admet alors :

1** Que la circonférence moyenne d'un chêne venu dans des conditions normales est les 9 dixièmes de la circonférence mesurée à i",20 du sol;*

2'* Que, si l'on prend le cylindre qui aurait pour base la section à l^'jSO du sol, le volume de l'arbre est les 0,80 centièmes, les 0,75 centièmes ou les 0,70 centièmes de ce cylindre, suivant qu'il s'agit de taillis exploités à moins de 2o ans d'intervalle, de tailles à plus de 25 ans, ou de futaies pleines.

Bols à ottirrer* — Lorsque les troncs d'arbres sont destinés à être convertis en pièces de charpente, il convient de tenir compte de ce que tout le volume n'est pas utilisable. Le sciage en long fait tomber les parties rondes, lesquelles ne sont plus bonnes qu'à fournir des lattis ou des bois de chauiTage.

Le rendement des bois ronds transformés en pièces de charpente est très variable. On admet, avec exagération au pi^ofit de l'acheteur^ que la perte est de 45 ''/o pour les bois équarris grossièrement, et de 50 *»/o pour les bois purgés d'aubier et équarris à vive arête.

On calculera donc le volume de l'arbre en grume et l'on en prendra les 0,50 centièmes ou les 0,55 centièmes, suivant le cas.

. Formuka fausses en usage, — L'étude de la mesure du tas de cailloux nous a déjà montré à quel point il importait de débarrasser les formulaires en usage dans une foule de calculs, des règles fausses que l'on persiste à y insérer. Un© nouvelle preuve de cette nécessité nous est fournie par les multiples contestations auxquelles donne lieu le cubage des troncs d'arbres.

Pour les arbres en grume, la règle indiquée est extrêmement simple. Copendant il y a des marchands de bois à brûler qui trouvent moyen de se ûiirQ livrer pour 100 francs de marchandise en n'en payant que 78 ou 79. Leur procédé consiste à faire usage précisément de la règle dite de mesure sans réduction : multiplier par la longueur, le carré du quart de la circonférence moyenne.

n'est aisé de voir qu'en opérant de la sorte, on calcule le volume d'un priame de même longueur que le tronc, et dont la section serait un carré de môme périmètre que la circonférence de moyenne coupe. En d'autres termes, la ficelle qui a embrassé le pourtour de l'arbre est considérée comme tendue aux quatre angles de manière à limiter un carré. Le vendeur, devant cette singulière façon de résoudre la quadrature du cercle, se laisse trop facilement convainjcre que le cordeau n'ayant pas changé, la surface renfermée est demeurée la môme ; sans réfléchir qu'il suffirait de tendre peu à peu la ficelle, pour amoindrir cette surface jusqu'à zéro.

Évaluons l'erreur, et, pour plus de simplicité, supposons un arbre mesurant 1 mètre de circonférence moyenne.

La surface de moyenne coupe est alors à très peu près 0,1* X 8 = O'",08.

La surface évaluée sans réduction donne :

Quart de la circonférence moyenne = 0"*,25.

Carré de 0»,25 = 0,0625.

Erreur : 0,08 — 0,0625 == 0,0175.

Or, 0,0175 pour OyOS font 22 pour 100, négligés au préjudice du vendeur. L'acheteur ne porte en compte que 78 ®/o.

Deux autres formules sont en usage, plus spécialement pour les bois à ouvrer : la formule au sixième déduit, la formule au cinquième déduit.

Elles consistent, à faire le carré du quart de la circonférence moyenne, diminuée au préalable d'un sixième pour l'une, d'un cinquième pour l'autre.

Avec l'exemple ci-dessus,, la formule au sixième déduit donnerait :

1" — - = 0",833 dont le quart est de 0«»,2l .

Et 0,21 X 0,21 = 0înc,0441 au lieu de 0,08. DilTérence : 0,08 — 0,0441 = 0,0359.

Or, 0,0359 pour 0,08 font 45 «/o.

L'acheteur ne porte en compte que 55 Vo du bois. Il était aussi simple d'évaluer le volume vrai et d'en porter en compte la fraction convenue commô propre à fournir du bois de charpente.

La formule au cinquième déduit donnerait :

im — 0«»,80, dont le quart égale 0»,20.

0,20 X 0,20 = 0,0400 au lieu de 0,08.

Et 0,04 pour 0,08 font bien 50 *»/o.

flaugeage des tonneaux* — Les Tûls sont plus ou moins bien confectionnés; la courbure des douves est plus ou moins régulière. La mesure exacte ne peut élre obtenue rigoureusement. De plus, la courbure variant suivant les localités, les formules un peu précises relatives aux tonneaux d'un pays donneraient des résultats beaucoup moins sûrs si on les appliquait à des tonneaux d'une autre origine.

Il est bon de remarquer également, dès le début, qu'il est fort

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difficile de mesurer les dimensions d'un tonneau à un millimètre près. Or, on s'assurera aisément qu'une erreur de un millimètre sur le rayon d'un fût de contenance ordinaire, se traduit par une erreur de un à deux litres sur la capacité.

Il faut donc ici se contenter d'une approximation.

Ceci dit, voici les mesures à prendre et les procédés à suivre.

On appelle hauteur ou diamètre du bouge le plus grand diamètre du fût qui correspond d'ordinaire au centre de la bonde. Le bouge est la partie renflée du tonneau.

On appelle yaWe -la partie des douves faisant couronne saillante autour des fonds.

On détermine d'abord le diamètre moyen des fonds, en mesurant sur chacun d'eux deux diamètres en croix (à cause des irrégularités possibles) et prenant la moyenne de quatre mesures.

On mesure le diamètre intérieur du bouge en introduisant une canne par la bonde. On a soin, bien entendu, de déduire l'épaisseur d'une douve.

On détermine enfin la longueur intérieure du tonneau : elle est égale à la longueur totale extérieure, moins le double de la profondeur des jables et moins le double de l'épaisseur du fond.

On peut alors appliquer l'une des formules suivantes :

1* La formule des trois niveaux : V:=-(6 + B4-'4C).

Ici, 6 = B ; la coupe moyenne G est la plus grande section du tonneau. On a donc

Si l'on désigne par D et rf le diamètre du bouge et celui du fond, on sait que :

Alors :

b = \i:d^ etG = 7xD^ 4 4

^"â^T+nr;— 4 i, — 3 — y

Cette formule donne des résultats généralement un peu trop forts. Mais elle est excellente lorsque la courbure, vers le bouge, n'est pas très prononcée.