K 1 ^ AA ^ . 360O X R
Angle du développement = —
liplière. — Une sphère est ce qu'on nomme vulgairement une boule ou un globe; bien qu'on dise très souvent aussi : la sphère terrestre, la sphère céleste.
TÂKTMÉTRIE. 3
3i TAKYUËTRIË.
Une sphère est produite par un cercle ou un demi-cercle que l'on fait tourner autour d'ua diamètre. Tous les points de la surface de la sphère se trouvent, par conséquent, h égale distance du centre du cercle tournant, centre qui est en même temps celui de la sphère.
TolMtne de la splière. • — Qu'on se procure une de ces boules qui, à l'arrière-saison, tombent des platanes de vos promenades publiques : on verra cette graine composée d'une multitude d'aiguilles allant toutes se rencontrer vers le centre. Si l'on avait la patience de les détacher, elles apparaîtraient comme autant d'étroites pyramides , ayant chacune pour base une petite portion de la surface extérieure de la boule.
Ainsi peut-il être imaginé d'une sphère quelconque. En marquant sur sa surface une multitude i distance les uns des autres et en joignant ces points au centre par des rayons, on remarque que 3 rayons voisins donnent naissance à une petite pyramide.
Séparons toutes ces pyramides et plaçons-les sur une table, la pointe en l'air et les bases se touchant sans interstices. Les pyramides ainsi implantées offrent l'aspect d'une espèce -de mâchoire triangulaire à multiples rangées de dents; et les bases de ces dents, à elles toutes, couvrent un espace justement égal h la surface de la sphère que tout à l'heure elles composaient.
Or, nous savons que chaque dent pyramidale conserve son volume si on Végalise en l'aplatissant au tiers de sa. hauteur. La mâchoire se
trouvera ainsi égalisée elle-même et transformée en une plaque qui a pour volume sa surface de base multipliée par son épaisseur.
Surface de la plaque = surf, de la sphère.
Épaisseur de la plaque = 1/3 du rayon de la sphère.
Surf, de la plaque X Ep. = Surf, sphère X -^ du rayon.
Le volume de la sphère égale donc sa surface multipliée par le tiers du rayon,
La surface de la sphère est égale à 4 fois celle d'un de ses grands cercles ou à 4 x R*.
Le volume peut alors s'écrire :
Vol. sphère = 4 ::R* X-^ R = | ^ R'.
Surface de la sphère, — Ea déterminant par une autre méthode le volume de la sphère , nous allons trouver un moyen d'obtenir l'expression de la surface.
La figure 66 représente une demi-sphère inscrite dans un cylindre de môme diamètre. Le centre de la sphère est en môme temps le sommet d'un cône ayant pour base la base supérieure du cylindre.
Je vais montrer que la demi-sphère est la différence entre le cylindre et le cône.
Alors :
Fig. 66.
Vol.-sph. =i:R2xR— tR* X-3=i:R» — -7cR3=-^R'
Et vol. sph. = - i:R3.
Comme on sait déjà que vol. sph. = surf. X ô R> ^^ faudra que :
^^R5 = surf. X^; or^7rR8=4irH* X -3
C'est donc que : surf. sph.,= 4 i:R*.
Pour montrer que la i/î sphère vaut le cylindre moins le cône, considérons les trois corps comme formés d'une infinité de feuilles très minces superposées. Nous verrons alors que :
l feuille de sphère = 1 feuille de cylindre — l feuille de cône.
En effet : AB = DO (rayon de la sphère) et CB = BO (l'équerre CBO est à 45 degrés).
36 TAKYMÉTRIE.
Donc : carré de AB — carré de CB = carré do DO — carré de BO :
Ou : IB* --CB* = DÛ* — BÔ' = carré de DB. (Propriété de l'équerre.)
Et enfin : icAB* — irCB* = = irDB*.
C'est-à-dire : feuille du cylindre — feuille du cône= feuille de la 1/2 sphère. Et ; cylindre — cône = 1/2 sphère.
RÉSUMÉ
On appelle pyramide le volume renfermé entre un polygone de base et des faces triangulaires se réunissant en un point. Ce point est le sommet de la, pyramide. En abaissant du sommet une ligne d'aplomb sur la base, on a la hauteur de la pyramide.
Deux pyramides de bases équivalentes et de même hauteur ont le même volume.
On obtient le volume d'une pyramide en multipliant la surface de sa base par le tiers de sa hauteur. Cela se voit en décomposant un prisme triangulaire en trois pyramides équivalentes; puis en décomposant ime pyramide quelconque en pyramides triangulaires dont on addilioiine les volumes.
Une pyramide est régulière lorsqu'elle a pour base un polygone régulier et qu'en même temps sa hauteur tombe au centre de cette base.
Un cône est une pyramide dont la base est devenue un cercle.
On obtient le volume d'un cône en multipliant la surface du cercle de base par le tiers de la hauteur. Formule : V = B X 1/3 H ou V = 1/3 irR^H.
La surface latérale d'un cône est égale à la circonférence de base multipliée par la moitié du côté ou apothème. Formule : S. lat. = irR x Ap.
Un cône creux développé donne un secteur de cercle. L'angle de ce développement égale 360° multiplié par le rapport du rayon à l'apothème.
La sphère est la surface et le volume que produit la rotation d'un cercle tournant autour d'un de ses diamètres.
Le volume de la sphère s'obtient en multipliant sa surface par le tiers du rayon. Formule : V = 4/3 ttR*.
La surface de la sphère est égale à 4 fois celle d'un de ses grands cercles.
•Sommaire. — Figures tronquées. — Trapèze. — Tas de cailloux. Décomposifion d'un tas de. cailloux en 9 parties se reconstituant en un équarri et une pyramide d'angle.-*- Equivalence des tronqués. —Troncs de pyramide .—Volume et surface du tronc de cône.
Tronquer une figure, c'est en enlever une partie et la laisser en quelque sorte, inachevée.
Le mot, ici, n'est pas détourné de sa signification ordinaire, car on dit dans le même sens : une phrase tronquée; tronquer une citation.
Trapèze* — Si Ton tronque un triangle en le coupant parallèlement à sa base, on obtient la figure rose ci-contre, que Ton nomme un trapèze. On voit que le trapèze a 4 côtés, dont deux seulement sont paral-
Fig. 67. - Trapèze. I^ICS.
Ces deux côtés parallèles s'appellent le8 bases. (La petite et la
grande) . La hauteur est, naturellement , la distance prise d'équerre entre les deux bases.
La surface d'un trapèze s'obtient en multiplant la i/2 somme de ses bases par sa hauteur.
Il suffît, pour le montrer, dVgaliser un trapèze, et en hauteur et'en largeur ; c'est-à-dire de le réduire à un rectangle de même surface. Pour cela, je fais passer
Fig. 69. — Rectangle équivalent. oi \ i i. i • * •
un fil a plomb par le pomt milieu du côté de droite, et un autre par le point milieu du côté gauche. Par là sont déterminées deux éqùerres vertes. Chacune
Fig. 68. — Tranaformafeion du trapèze.
3B TAKÏMÉTRIB.
ayant été détachée comme avec des ciseaux, je la place, en la retournant, contre l'autre moitié du côté correspondant.
Voilà la fl^re métamorphosée en un rectangle équivalent, offrant la mÊme hauteur.
Base du rectangle =: grande base trap. — les bases des équerres. Base du rectangle = petite base trap. + les bases des équerres.
£n ajoutant, l'on a
2 fois la base du rectangle = (grande base + petite base) du trapèze. 1 fois — :^ 1/2 somme des bases du trapèze.
Pyramide iron^aée ou ironc de pyranilde. — C'est ce
qu'on obtient en coupant une pyramide par un
plan parallèle h sa base. Un tronc de pyramide est à trois pans, à quatre, à cinq pans, etc., selon lii pyramide qui l'a produit. Si les bases Fig. To. * s'arrondissent, on a un tronc de cône, Trono de pyramide, Daus la plupart dcs livrcs et des formulaires, on trouve une règle très compliquée pour l'évaluation du volume d'un troue de pyrauiide ou d'un tronc de cône. Il convient de substituer à ces rfegles, d'une application souvent pénible, une règle aussi exacte, plus simple et qui présente en outre l'avantage de s'adapter i toute une catégorie de volumes compris entre deux bases parali lèles et inégales.
f Parmi ces volumes, le principal, ou
du moins celui que l'on rencontre le plus
souvent, nous est offert par les tas de
cailloux s'élevant de distance en distance
sur les routes et servant à leur entretien.
C'est la forme que l'on retrouve dans l'auge du maçon, le tombereau du terrassier, le pétrin du boulanger, etc.
C'est aussi la foime des gros poids en fonte,
■ Les
nij. 41,. — ins ne cmuggi on as HDie. j ■ 1 ji. , 1 .1
quatre talus d un tas de cailloux ont ordinairement la même pente.
SIÎIËUB LEÇON. 39
Dans ce volume, l'oQ trouvera :
1" Un équarri ayant la même hauteur, la demi-somme des deux longueurs, la demi-somme des deux largeurs.
2° Une pyramide ayant même hauteur, et, à sa base, la demi-différence des longueurs et la demi-différence des largeurs.
Ces deux parties, je les découvre et je les sépare à l'aide des opérations suivantes :
Je mène un trait de scie le long de cbacun des 4 côtés de la petite
base, en suivant des fils f-^hb i^^^h
à plomb qui pénétre- / ^^ ^^^^^^^Êmm s^^B
raient dans le tas par ses i^ — ' y^ ^^^ ^
■4 angles supérieurs. a^- s__,.. ' ij^^^
Les 4 traits de scie / /'fT I^^^l
étant donnés du haut en > ^ - ■■ I 1 ^^
bas, dans toute la Ion- ^^ ! j (^^^
gueur et dans toute la f^"/" ' — J r'^fc
largeur, le tas se trouve // ( \ ^
divisé en 9 pièces : '- '
i" Un noyau central Fig. 73. - t«. de csiu™.. décompcé.
équarri; 2° 4 talus solides verts ; 3° 4 pyramides d'angle, retirées et mises prfes des encoignures où elles étaient respectivement logées.
Je transporte maintenant [fig. 74) à droite le talus solide de gauche, mis sens dessus-dessous. Les deux plans de talus, égaux, s'appliquent l'un sur l'autre (comme deux équerres pour former un rectangle). Le tas se trouve ainsi équarri dans le sens de sa longueur.
Par une opération semblable, j'amène en avant le talus solide d'arriÈre. Le tas est alors équarri dans le sens de la largeur.
Pas complètement toutefois, puisque vers l'angle de droite, un vide a subsisté.
Dans ce vide, s' emboîterait exactement l'équarri rose dont Fig.:4. -T«de»»ii[o>.xéj.'^
on a dessiné !e contour en un éqMm + nnepïrsniide.
lignes pointillées. Souvenons-nous aloi's des 4 pyramides d'angles négligées jusqu'à présent. La base de chacune d'elles est identique au rectangle vide. Par conséquent, le vide équarri vaut trois pyramides . d'angles. Insérons-les, et voilà le tas tout à fait régularisé.
Seulement, pour en obtenir le volume complet, il faut ajouter
la quatrième pyramide d'angle reçtée en dehors du grand équarri.
Dimensions du grand équarri. Sa longueur égale celle du petit
équarri (noyau central) ou petite longueur du tas, plus 1 base de talus.
Mais si Ton ^ Petite longueur = bord rose.
ajoute \ Grande longueur = bord rose + 2 bases de talus.
On obtient : Somme des longueurs = 2 bords roses -f- 2 bases de talus. Et i/2 somme = 1 bord rose + 1 base de talus.
Or, \ bord rose plus une base de talus, c'est la longueur du grand équarri*
En regardant celui-ci dans le sens transversal, une comparaison analogue nous montre que
Petite largeur = petit bord rose.
Grande largeur v = petit bord rose + 2 bases de talus. Somme des largeurs = 2 petits bords roses + 2 bases de talus; Demi-somme = 1 petit bord rose -f- 1 base de talus.
C'est la largeur du grand équarri.
Ainsi, le grand équarri a pour longueur la 1/2 somme des longueurs, et pour largeur la 1/2'somme des largeurs.
Dimensions de la pyramide d'angle. La hauteur est encore celle du las de cailloux. La base est égale au vide rectangulaire de la base du tas {fig. 74).
Grande longueur = petite longueur -[- 2 longueurs vides.
2 longueurs vides = grande longueur — petite longueur.
1 longueur vide = 1/2 différence des longueurs.
De la même façon, on peut s'assurer que la largeur vide vaut la \ /2 différence entre la grande et la petite largeur du tas.
Ainsi, la pyramide restante a bien pour largeur de base la demi- •somme des largeurs mesurées en haut et en bas du tas de cailloux. •
Le tas de cailloux a donc pour volume :
La 1/2 somme des longueurs multipliée par la 1/2 somme des largeurs et par la hauteur, plus la 1/2 différence des longueurs, multipliée par la 1/2 différence des largeurs et par le tiers de la hauteur.
Formules^ fausses en usage, — Dans le formulaire géométrique des toiseurs et praticiens, on rencontre deux règles de mesure du ponton. Ces deux règles
SIXIÈME LëCON. il
sont fausses et le sont ioégalement. Elles donnent lieu à des erreurs quotidiennes de 12 à 15 "/o des volumes h. évaluer, et qui peuvent en certains cas Atteindre, pour l'une, près du quart, et pour l'autre, presque la moitié du volume on question. — Ces deux règles seront bientûl proscrites, vraisemblablement, par les administrations de travaux publics.
De ces dem règles fausses, l'une consiste ô effectuer le produit de la demisomme des longueurs par la demi-somme des largeurs des bases et par la hauteur du tas. Celui-ci a^ trouve ainsi assimilé à uu corps équarri ayant -même hauteur, et dont la base aurait des dimensions moyennes arithmétiques entre les dimensions analogues des deux bases du solide. Cette base serwt fournie par le plan passant liorizontalamcnt à mi-hauteur du tas.
C'est la règle dite de la moyenne coupe.
L'autre méthode consiste à multiplier par la hauteur la moyenne arithmétique des surfaces des bases, que l'on assimile de ta sorte à un équarri différent du précédent.
C'est la règle de la moyenne des basa- Il suffit de se reporter à la règle \Taie pour voir que, par la règle de la moyeiine coupe, l'erreur est justement représentée par la i' pyramide d'angle. Donc, celte erreur sera d'autant plus forte que cette pyramide d'angle aura plus de volume, c'est-à-dire, à hauteur égale, suivant que sa base sera plus grande ; ou enfin, selon que la différence sera jilus marquée entre les deux bases du Us de cailloux.
En d'autres termes, l'erreur sera d'autant plus ■conûdérable, que le las sera disposé plus e pointe.
Mettons donc, pour un instant, les choses a pis, et imaginons un las de cailloux absolument pyramidal. Pour plus de Eimplicité supposons, comme base, un carré de 2" de cûté (et par suite, de 4™i de surlace).
. La coujie Cïile à mi-hauteur est un carré de 1°* de cûté ou un mètre carré. Supposons la hauteur égale à 3 mètres.
, , . Bjse X H 4°" X 3 , ,^ .
Vol. vrai = = ^ — = 4 mètres cubes.
■Vol. (1" règle fausse) =l'nîXH=lX3 = 3 mètres cubes.
Vol. {2" règle fausse) = '^^^ 7" ' '"'^ xH=2x3 = G mètres cubes.
(Dans l'application de la 2' règle fausse, en effet, la pointe de la pyramide compte pour une base nulle).
De la sorte, on voit que l'erreur en moins, par la règle de la moyenne coupe, est de I™ sur 4" de volume réel, ou du quart de ce volume réel.
Par la règle de ta moyenne des bases, l'eiTeur s'élève à 2" en trop, ou à la moitié du volume réel.
D'ailleurs, le tas représenté {fig. 75) peut être regardé comme la réunion des 4 pyramides d'angles d'un tas de cailloux ordinaire. Donc :
W TAKÏMÉTEIB.
ÏM règle de la bioyenoe coupe compte en moins une pyramide d'angte, C'est le tort fait par l'acheteur au vendeur,
La règle de la moyenne de^ bases compte en trop deux pyramides d'angle. C'est te tort fait par le vendeur à l'acheteur.
Ces deux erreurs se combinent et engeniirsnt des transactions véritablement immorales lorsque, par esemple, l'on achète en las plats pour revendre en tas pDintus.
Qu'on s'étonne, devant de tels résultats, de Diits semblables à l'exemple cité par U. Lagout qui. appelé h, Troyes. en 1872, pour des conférences, trouvait deux géomètres praticiens en desaccord à propos de la mesure d'un tas de sabte, et en désaccord de trois cents mètres cubes environ sur onze ou douze cents que cubait ie tas !
De pareils Taits sont exirémement Tréquents, bien que constatés seulement quelquefois. Ainsi, aux ^orJs des carrières et des mines, les pierres cassées et les minerais sont disposés, faute d'espace, en tas élevés par rapport à leur base. Le règlement <le compte des ouvriers, elfectué h. l'aide de la preraièri) formule, se traduit par la suppression de l/S environ de leur travail. Puis, la fourniture étant livrée en tas plus nombreux, moins élevât, l'erreur sera réduite de moiiié, peut-être. Mais que l'évaluation s'opère d'après la deuxième formule, et voilà la deuxième erreur rendue égale à la précédente. Total : un quart ou à peu près.
Il y a, dans l'emploi exclusif des règles justes, une question de confiance entre entrepreneurs et ouvriers, une question de régularité dans l'emploi des deniers de l'Etat, et, pour tout dire en un mot : une question de moralité.
Équivalence «les tronqués. — Je prends deux volumes tronqués à faces planes, compris entre deux liases parallèles et possédant même hauteur; j'ai composé chacun d'eux à l'aide de tranches superposées en nombre égal ; la première de ces assises, de part et d'autre, offre la même surface; la dernière aussi. Cela exige que les tranches, dans les volumes placés côte à côte, diminuent avec une égale régularité.
Les tranches de même niveau possédant môme surface et même épaisseur, possèdent le même volume. La totalité des tranches roses
vaut la totalité des tranches vertes, et les deux volumes à talus sont équivalents, du moment que leurs bases respectives sont équivalentes et leurs hauteurs égales*
Si Tun de ces volumes à talus est un tronc de pyramide (ce que Ton reconnaît à ce que ses arêtes, prolongées, iraient toutes se rencontrer en un point commun) ; la règle de mesure indiquée plus haut ne cesse pas d'être vraie. Par conséquent, le tronc de pyramide vaut :
Un prisme ayant pour base la section moyenne (qui a pour dimensions les \ /2 sommes des dimensions des 2 bases) ; plus une pyramide ayant pour dimensions de base les demi-différences des dimensions des deux bases.
Prisme et pyramide ont, bien entendu, la hauteur du tronqué.
Par dimensions d'une base du tronqué, il faut entendre la longueur et la largeur du rectangle équivalent.
Par exemple, si le tronc de pyramide est régulier, il vaut un prisme dont la base présente la 1/2 somme des périmètres et la 1/2 somme des apothèmes (coupe moyenne) ; plus une pyramide dont la base présente la 1/2 différence des périmètres et la 1/2 différence des apothèmes.
Volume et surface du tronc de cdne« — Le tronc de
cône provient d'un cône scié parallèlement à sa base. On peut
dire aussi qu'il représente un tronc de pyramide dont les bases se sont arrondies.
D'après ce qui précède, nous pouvons dire tout de suite qu'il vaut :
Un cylindre ayant pour rayon la 1/2 somme
des rayons de bases (coupe moyenne), plus un cône h
ayant pour rayon de base la 1/2 différence des / \ \
rayons du tronc de cône. fi \
Fo^ole : ^. (ii±r)' + '-* {^J
Voilà pour le volume. b(^ i^Sl^x
Et la surface ? ^'t?- "— '^'"^^^ ^^ <^^°®-
Voici un abat-jour. Fendons-le de haut en bas, en ligne droite ; ouvrons-le et étendons-le sur un plan. Ainsi développé, il nous
44 TAKYMÉTRIK.
offre une sorte de trapèze dont les bases sont des arcs de cercle.
Fig. 78. — Abat-jour. Fig. 79. — Développement.
Ces arcs, nous allons les diviser en un grand nombre de parties égales, donnant naissance à autant de petits trapèzes que nous alignons côte à côte.
Fig. 81. — Rectangle équivalent.
Fig. 80. — Abat-jour divisé en trapèzes.
Chaque trapèze vert est susceptible d*être remplacé par un rectangle rose ayant pour base la base moyenne du trapèze.
Tous les rectangles de remplacement , disposés à la suite les uns des autres, forment une bande, dont la longueur, composée des bases moyennes de tous les trapèzes, reproduit précisément l'arc moyen du développement de l'abat-jour. Cet arc moyen provient de la circonférence moyenne de Tabat-jour.
Enfin, il est visible que c'est le côté ou apothème de Tabat-jour qui est devenu la hauteur commune des petits trapèzes, et par suite la hauteur du rectangle.
Le tronc de cône a donc pour surface latérale la base du rectangle multipliée par la hauteur de celui-ci, c'est-à-dire sa circonférence moyenne multipliée par son côté ou apothème.
Formule : surf. lat. = 2 -n ( — ^ I X Ap = tc (R-f ^) X Ap.
SIIIÈHE LEÇON. 43
Règle universelle d:s trois niveaux. — Cette règle remarqiioble s'applique h. tous les volumes compris entra deux bases parallèles reliées par des faces planes d'une inclinaison quelconque. Elle s'étend au c6ne, au tronc de cûne, à la sphère, au segment de sphère, etc.
Tout volume compris dans cetia catégorie égale le sixième de la hauteur, multiplié par la somme de la base inférieure, de la base supérieure et de quatre fois la coupe prise à égale distance des deux bases.
En appelant B et & les deux bases, H lo hauteur et C la coupe moyenne.
La OguTô nous montre un volume compris entre deux polygones inégaux et des faces diversement inclinées. Par un point O pris au milieu de la hauteur, on a mené des lignes vers tous les sommets. Ces lignes déterminent ;
1" Une pyramide ayant pour base B et pour hauteur— ; vol. =:B X x>
2' Une pyramide ayant pour base 6 et pour hauteur — ; vol. = 6 x tt ; .
3» Une série de pyramides ayant toutes pour sommet le point O et ayant pour bases les faces en talus. Prenons l'une des pyramides de cette série, et menons-en, par le point 0, la coupe de nivean. Cette coupe est le triangle ombré.
Pour plus de clarté, mettons à part cette pyramide rose.
Sa base est un trapèze; elle regarde la droite. Cette base trapèze a été dessinée en pointillé et remplacée par le rectangle équivalent ; substitution qui, nous
le savons, ne changera rien au p. ^, p„,n,„]g ^., , „;,.„„
volume de ta pyramide.
Htàs, sous cette nouvelle forme, il est facile' de voir que la pyramide rose vaut les deux tiers dit prisme qui aurait pour base le triangle ombré. En construisant ce prisme, nous y reconnaissons immédiatement, au-dessus et au-dessous du triangle ombré, la ligure à% (décomposition <Iu prisme triangulaire en pyramides).
Ainsi, le volume rose situé au-dessous du triangle de coupe moyenne vaut les 3/3 de la moitié de prisme correspondante ; le volume rose situé au-dessus du même triangle vaut les 2/3 de l'autre moitié de prisme. Le volume rose total vaut donc les 1/3 du prisme total.
Mais nous en dirons autant de toutes les autres pyramides qui s'appuient sur les talus de la ligure S2. D'ailleurs, l'ensemble des triangles qu'on obtiendrait en les coupant par le plan de niveau du point O, formerait précisément la coupe moyenne totale du volume à talus. Donc, à elles toutes, les pyramides
4G TAKYMÉTRIE.
en question valent les 2/3 du prisme qui aurait pour base cette coupe
moyenne.
Vol. de ces pyramides = -CxH= 4GX-r-
Si nous réunissons maintenant cette série de pyramides aux deux pyramides trouvées d'abord, nous obtenons bien :
Vol. à talus = (B H- & H- 4G) X |.
Cette formule est vraie pour le tronc de cône, lequel représente un volume de l'espèce précédente, avec une infinité de facettes en talus.
On s'exercera à retrouver, dans la règle universelle des trois niveaux, les formules relatives aux équarris, au prisme, à la pyramide, au cône, à la pyramide et au cône tronqués, au tas de cailloux, etc.
C'est It^ règle la plus importante de la takymétrie. A la rigueur, on peut oublier toutes les formules concernant les volumes, à la condition d'en retenir une : la formule des trois niveaux.
Segment spkérlque. — On désigne sous ce nom le volume obtenu en coupant une sphère par deux plans parallèles. C'est une sphère tronquée.
La règle des trois niveaux s'étend aisément au segment de sphère. Reportons-nous, en effet, à la figure 66, et rappelons ceci :
Feuillet de la sphère = feuillet du cylindre — feuillet du cône.
Un segment de sphère de hauteur H (par exemple celui qui est compris entre la base de la 1/2 sphère et le plan coloré) n'est autre chose que la superposition d'un certain nombre de feuillets. Pour chacun de ces feuillets, on a l'égalité qui vient d'être rappelée. Donc :
Segment de sph. = segment de cyl. — segment du cône.
La règle des trois niveaux s'applique au segment du cylindre, lequel est un cylindqe de hauteur H ; et au segment du cône, lequel est un tronc de cône de hauteur H.
Segment du cylindre = — (B -h & + 40).
Segment du cône = -^ (B' + &' + 4G').
Segment de sph. = différence = - [(B — B') -j- (6 — &') + 4 (G — C')] .
Or, toujours en vertu de l'égalité rappelée tout à l'heure :
B — B' = BASE cyl. — BASE cône = BASE segment. h — &' = base cyl. — base cône =: base segment. C — G' = coupe moy, cyl. — coupe moy. cône = coupe moy. segment. Donc:
Vol. segment = ■- (BASE + base + 4 coupes moyennes).
Quant on connaît les premiers éléments du calcul algébrique, on peut, connaissant les deux bases et la hauteur d'un segment de sphère, calculer le cercle de moyenne coupe.
Sl-XIÈME LEÇON. 47
A défaut, voici la formule classique : Le segment de sphère vaut la 1/2 somme de ses bases multipliée par sa hauteur, plus le volume de la sphère qui aurait cette hauteur pour diamètre.
Tronc de prisme triangulaire. — C'est ce qui reste d'un prisme triangulaire, coupée par un plan non parallèle à la bas.e.
Pour calculer le volume d'un prisme tronqué, il suffit de le supposer couché sur l'une des faces, qui lui sert ainsi de base. On applique alors la formule des trois niveaux.
En appelant a, a\ a", les trois arêtes, h et h les dimensions du triangle, base primitive du prisme tronqué, la formule des trois niveaux donne :
Grande base (tronc couché) = — - — X h Petite base = zéro.
Dimensions de la coupe moyenne : — ; — pour les longueurs et ^
pour la largeur.
vol. = I (^' X 6 + 4 ?:+^:i±.i±^ X i)
Ou, en mettant ~ hors de la parenthèse :
Vol. = ^ (a H- a' -Ha' -f- a" -H a -f- a") et en remarquant, que d'une
part, -r-- — est la surface de la base -triangulaire primitive, et que, d'autre part, la parenthèse contient 2 fois la somme des arêtes, on écrira :
Vol. = base triangulan*e X r-^- — .
On peut donc obtenir le volume du prisme triangulaire tronqué, en multipliant la surface du triangle de hase par la moyenne arithmétique des trois hauteurs du tronc.
RÉSUMÉ
Tronquer une figure, c'est en enlever une partie.
Le trapèze est un triangle tronqué. C'est une figure de 4 côtés, dont deux sont parallèles. Les côtés parallèles s'appellent les bases ; leur distance prise d'équerre est la hauteur.
La surface d'un trapèze égale la demi somme des bases multipliée par la hauteur, ou la base moyenne multipliée par la hauteur.
Formule : S = i~^^ X H.
48 TAKYMÉTRllS.
Une pyramide tronquée provient d'une pyramide coupée par uh plan parallèle à la base. Uii cône tronqué provient d'un cône coupé par un pian parai* lèle à la base.
Il existe une règle unique pour calculer le volume d'une pyramide tronquée, d'un cône tronqué, d'un tas de cailloux. Chacun de ces volumes vaut un équarri fait sur la hauteur, la demi-somme des dimensions en longueur et la demi-somme des dimensions en largeur, plus une pyramide faite sur la hauteur, la demi-différence des dimensions en longueur et la demi-différence des dimensions en largeur.
On entend ici par ditmnslons de chaque base la longueur et la largeur du rectangle équivalent à cette base.
/R-i-r\» Ttîl/R — r\* Vol. tronc de cône = icH l — - — | -f--^ ( — s — ) .
,r . , A ' /Périm. +périm.\ /Ap.-h ap.\ ^^ „ Vol. tr. de pyr. reg. = ( ^^ j V""4 — ) ^
(Périm. — périm.X /X\), — ap.\ H 2 ; \, 4 ) ^ 3 •
La surface latérale d'un tronc de cône s'obtient en multipliant La circonférence moyenne par le côté ou apothème .
Formule : S. lat. = r (R + r) X Ap.
Toutes les formules relatives aux volumes sont contenues dans la formule des trois niveaux.
Vol. =^ (5 + BH-4C).
Sommaire. — La ressemblance. Caractères précis de la ressemblance. — Principales applications de la takymétrie. — Cubage d'un massif de ma(jonnerie. — Cubage des bois. — Jaugeage des tonneaux.
lia ressemMance. — Tout le monde possède Tidée plus ou moins nette de ce qu'il faut entendre par le mot ressemblance. Il n'est personne qui, sans avoir acquis aucune connaissance spéciale, ne puisse dire d'un portrait ou d'un dessin : cela est, ou n'est pas, ressemblant.
Demandons- nous donc à quels caractères précis l'on peut juger de la ressemblance. Tenons-nous en, pour l'instant, à l'exemple très simple que nous offre le portrait. Je suppose un dessinateur, copiant un modèle. N'est-il pas évident que, s'il réduit la tête à la moitié des dimensions du modèle, il doit réduire également à la moitié et les bras, et les jambes^ et les pieds et les mains ?
La première condition pourla ressemblance, est donc que toutes les dimensions du modèle soient, sur le dessin, rendues le même nombre de fois plus petites.
Si le dessin était amplifié, toutes les longueurs devraient s'y trouver le môme nombre de fois plus grandes.
Et les angles ?
La même comparaison va nous fournir la réponse : le peintre qui dessinerait l'un des traits de son modèle, le nez, par exemple, plus pointu ou plus carré qu'il ne l'est réellement, n'obtiendrait qu'une caricature. Nous voyons clairement par là que les angles doivent conserver leur grandeur.
En un mot, de deux objets semblables, le plus petit, vu à travers un verre suffisamment grossissant, doit apparaître identique au plus grand. Car, lorsqu'on examine une figure à travers un verre grossissant, toutes les lignes de cette figure sont agrandies dans le même rapport; mais les directions de ces lignes ne changent pas, et Técarte-
TAKYHÉTRIB. 4
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ment des côtés d'un angle ne peut varier sans que Tangle ne change
immédiatement de physionomie.
Pour que deux objets soient semblables, il faut donc, en résumé : 1** Que les angles de Tun soient égaux aux angles de Tautre. 2* Que toutes les lignes de Tun soient rendues dans l'autre le môme
nombre de fois plus grandes ou le môme nombre de fois plus petites.
Snrfiices semblaliles. — Jlmagine deux figures semblables quelconques. Dans la première les longueurs sont, par exemple, dix fois plus grandes que dans la seconde. Cela revient évidemment à dire que si une dimension de la première est mesurée en décimètres, la dimension analogue de la deuxième comptera le môme nombre de centimètres.
Alors, compter les décimètres carrés contenus dans la première revient à compter les centimètres carrés renfermés dans la deuxième. Et, comme chaque décimètre carré vaut 100 centimètres carrés, la première surface sera 100 fois plus grande que la seconde.
De môme, imaginons les dimensions de la première triples des dimensions de la seconde. Chaque longueur d'un centimètre • dans Tune, correspond à une longueur de 3 centimètres dans l'autre. Si la seconde est quadrillée en centimètres carrés, la première sera quadrillée en un nombre égal de carrés ayant 3 centimètres de côté et par conséqujent
9 centimètres carrés de surface, chaque case du premier quadrillage étant 9 fois plus grande qu'une case du second quadrillage, la première figure est 3 X 3 ou 9 fois plus étendue que la seconde.
Aussi, deux surfaces semblables sont entre elles comme les carres de leurs dimensions semblables.
Si un dessin est réduit au quart, la surface est réduite au seizième.
Toliunes semblables* — Dire qu'un objet présente des dimensions dix fois plus considérables qu'un autre, c'est dire, avons-nous vu, que le premier compte, dans chaque sens, autant de décimètres . que le second compte de centimètres.
Dès lors, à chaque décimètre cube de l'un correspond un centimètre cube de l'autre. Les deux volumes sont entre eux comme 1 décimètre cube et 1 centimètre cube; c'est-à-dire que le volume du premier est
10 X 10 X 10 ou 1,000 fois plus grand que le volume du second.
De môme, si l'un des objets présente des dimensions triples de l'autre; à chaque centimètre de celui-ci correspond un tin'ple centimètre dans la dimension analogue de celui-là. Le quadrillage cubique des deux volumes nous donnera, en même nombre, d'une part, des centi-
SEPTIÈME LEÇON. hi
mètres cubes, d'auLi*e part, des cubes ayant 3 centimètres de côté et par conséquent 3 X 3 X 3 ou 27 centimètres cubes de volume.
Donc, les deux objets sont entre eux, en volume, comme le cube de 3 centimètres de côté et le cube de 1 centimètre de côté ; le premier a un volume 3 X 3 X 3 ou 27 fois plus grand que le second.
Deux volumes semblables sont entre eux comme les cubes de leurs dimensions semblables,
La notion de la ressemblance est parfois d'une grande utilité pour déterminer, à l'aide d*un dessin ou d'une comparaison, des dimensions que l'on ne saurait mesurer directement.
Ainsi, on peut mesurer la hauteur d'un arbre à l'aide de son ombre. En mesurant l'ombre portée sur le sol par une canne; autant de fois l'ombre de Tarbre sera plus grande que celle de la canne, autant de fois l'arbre sera plus élevé que la canne.
On verra plus loin un autre procédé de mesure de la hauteur des arbres, également fondé sur la ressemblance.
