ou <q où 4p3+27q2>>0, ce qui montre bien que ce mode
de résolution n’est applicable que dans le cas de racines imaginaires.
Ayant 2e on en déduit successivement ?, puis a et 2a, et enfin x dont les valeurs sont :
æ, =\/—& (4 a+cot a).
ra =|/—h (ag a+ a, col a).
28=14/ Has {g a+ acol a).
2 mm im
Application, Trouver les racines de l'équation : 234 32 +1 —0 p>0; posons C—=p(ats &—a, cola), d'où 23+3p22+9208 col 29—0, en faisant (g3a=tge. On aura donc
Ici l’on a
En prenant p—1, on en déduit : 29 — 6309267, p—=31043", a=402ÿ30", 2480081", :
col2a—0,1612 et séc 2a—1,0129.
Donc Ly=— 20 col2a = —(0,3224 , = (col 2a +4 —Fséc La ) —0,1612-+1,0129 3:
Da p(col2a —ÿ —Fséc2a)==0,1612—1,0129/ 7.
$ IIT. — Formule de Moivre, — Équations binômes.
78. Dans une expression imaginaire de la forme a+BV—T, si l'on pose œ=pcosa et B—p sin a, on aura :
e(cos a+sin ayÿ—T.
Si l’on multiplie cette expression par une autre imaginaire p° (cos b+sin bY=T, il viendra pour produit pp [cos (a+b)-+sin ay =T], et, si les deux facteurs deviennent égaux, on a: [e(cos a+sin aV—T}2=p? (cos 2a + sin 2a Vi), On trouve de même, pour le produit de trois facteurs égaux : [p(cos a +sin aV—T)138= 598 (cos 3a + sin 3a V—1) et, en général, pour le produit de m facteurs égaux :
lolcos in aV—=T\im— sm / # PT [p(cos a+ sin a —1)]"= pm {cos ma+sin may È
C'est la formule de Moivre; on démontre en algèbre qu’elle est encore vraie quand m est fractionnaire, positif ou négatif.
79. A l'aide de cette formule, on peut exprimer sin ma, cos ma et {g ma en fonction de cos a et de sin a ou de (g a.
En effet, 9 étant égal à 1, la formule s'écrit : (cos a+ sin ay —T}" = cos ma+sin may—T.
En développant le premier membre par la formule du binôme et en Éégalant le résultat au deuxième membre, c’est-à-dire en écrivant que
les parties
l 1 U=COS® A — :
et sin ma :
En divis
(g ma :
tyma=
(On a sim Si, dans Et
m en =; Par exer
formule ({
En posant
équation r 80. La f
équations | l'équation
Posons
ce qui exi,
donc En faisa K-
Ke
ot a),
(ge.
iations
«+ By—T, si
inaire
qu'elle est en-
Lma, COS Ma
binôme et en écrivant que
les parties réelles sont égales, ainsi que les parties imaginaires, on a :
2 { “ ‘ mim—1 ’ 4 mim—1 (m—2)(m—3 de = COS" A Sr | cos 24 sin? a+" dd) ©! cos 4 a sin a... (A) 1,4 0) , + e F mim—1){m—2) desc et sin ma—=m cos" 1 a sin a — —\ 12 os cos Susinu+...(B) JU
En divisant membre à membre les formules (B) et {A) on obtient {g ma :
mim—l)(m—2),. e m {g a—-—* D l(g3 a + … ty ma = ° are Co — (C) (Sen mim—1),, mim—l)(m—2)(m—3),, :
1 —- ao rail | Lions 19 ST ‘tgia—.….
(On a simplifié en divisant les deux termes de lu fraction par cos" a.) Si, dans ces vois formules, m est fractionnaire, ou si l’on change
Ce
m en >, on obtient les sin, cos et {g des sous-multiples des arcs.
Par exemple, si l’on veut déterminer tg 7 en fonction de {g a, la formule (C) donne :
La 419 a—41g3 a ig aa = 1— 06 192 a+ tg4 a°
En posant {g aa=b et {ga=x on a à résoudre :
ba + 408 — Gbx2 — 40 + b =0;
équation réciproque dont la solution n'offre aucune difficulté,
80. La formule de Moivre offre le moyen de trouver les racines des équations binômes de tous les degrés, Prenons comme premier exemple l'équation binôme du cinquième degré :
xd — 1 —0,
Posons æ= cos a-+sin ayÿ—T, l'équation devient :
cos Da + sin 5ayÿ—T—=1, ce qui exige que l’on ait: cosba=1 et sin 5a—=0: 2Kr
donc da=2Kr; d'où a=
En faisant successivement K=—0, 1, 2,3, 4, il vient:
K=—0 a=0 æ—=1, D) 02 ) 7 A ZT LR j— K=1 a= + Lo = COS + sin 7 V—].
ra) - y y id Ar
AT . AT — Ly= COS 5 + sin V—1.
De même, soit à résoudre l'équation :
Dans las A5 1 —(), Posons æ= cos a+sin ay=—T=t, l'équation devient : remplaçon: cos 15a + sin 15a YZT—1 :
il faut donc que l’on ait: cos 154 =1 el sin 15a =0, viendra : Donc 15a=2Kr; d'où a= CLS
Les racir
4 : : 2K . 2Kr — L'équation est donc résolue par x=c0s Re + sin u# V—1; dans 10 15 leur somm celte formule, il suffit de donner à K les valeurs 0, 1, 2, 44. donc 81. On peut faire servir la formule de Moivre à d'autres applications “ très-remarquables. f Par exemple, les formules { A) et B) du n° 79 peuvent s'écrire. en mellant dans les seconds membres cos" 4 en facteur commun : ou m(m—1) MM —1)(m—2)(m—3) coma coma"), ARR JA tgia—... ’ | (a Eu 1.9,9,4 19 Cette sér core d’autr : / + AY —9 j +, \/ À) À nn \ —!{ el sin ma=cosm a [m tg a NUM m2), 30 mm im n,, 15-058 L LÉ, 2: 4,48 Ë bat Ecrivons s + Ü æ ..
Posons ma=w, d'où m— a’ Ces formules deviennent : nous auron À (un Fe FA jt cos a=cosm gl 1— TO) 12 a, «(x—a)(x- “ame Wéa. 7 152 a2 Ed af retranchon:
« r. t0Q T(T—a)(x—2a) 1934 € ol SUN = cos > ET É à ail: a 19%8 ag © Si l’on fail tendre & Vers 0, & restant invariable, à la limite on donc
aura 1e et cos a—1; par Suite, il viendra :
æ6 T2 T2. 34 LS 2 gt (i)
: x3 a5 x7 ee snœ=g— 29 DDR (0):
@ VDS T2 32.8 — 19.9 48-95 + ()
Ces séries, que l’on obtient en Algèbre par d’autres méthodes, servent à calculer le sinus et le cosinus d’un arc en fonction de cet arc.
La série (2) étant Convergente, on peut négliger les termes au delà du troisième et écrire :
ne UE QD ONE
donc
la différence entre un arc plus petit que 90e et son sinus est moindre que à du cube de l'arc.
nl :
Kr —
s V= 1; dans VV. 14.
es applications
ivent s’écrire, Ir commun :
3) ‘lgia—..
m—3)(n m— lys . 4,
nnent :
la limite on ire (fi
at (2) thodes, ser-
1 de cet arc.
‘mes au delà
nm sinus esl
123 sf
‘ Lt : ui , ñ 4 .
Dans la série (1), faisons æ =, le premier membre égalera zéro; puis
remplaçons æ? par T d'où y= oi et mulliplions par y", il ‘) um—1
viendra :
Les racines de cette équation sont les multiples impairs de
leur somme égale le coefficient du second térme changé de + gne,
At o “on ®"
1 1 1 19 ou le mme \ Cette série peut servir à calculer x; il est facile d'en déduire encore d’autres séries plus convergentes ; W; É : =. 1 1 { 4 = à ÉCrIvOns : ptratytzt vs =D, = 1 1 LE nous aurons : gta tgtgte.sT; retranchons la deuxième on de la première, il viendra : 1 il Tr? Tr?
ALPLABET GKEC
LS SR RU Alpha D e v : Bêta SEE — Gamma RE — Delta
E : Epsilon EEE EE Dzêta À.
a —— Thêta Ï lota Kappa A ét er à Lambda M + Mu NV, Nu E . Xi
0 . Omicron — — Pi — Rho à O6, + Sigma LE €. Tau PV. D Upsilon e— : Phi D ru + Chi = Ve, Psi Q w. Oméga
a —— 4224, — Tours, impr. Mame,
