CHAPITRE II, — DES FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES 97 TILIGNE

En ajoutant et retranchant membre à membre, il vient : ent la double valeur. “1 aJouté sue é ne tangente donné:

670 08 Lo — EVI+ sin à + Vl— sin a an:

épond à une infini cuga= re , (20 les points M et \ ne = és à ayant pour di sin da —Evl+sin GE VI—sin +, (21 n cherche {y à a, 0 - = ntes des moliiés 4 « Ces formules donnent quatre valeurs pour sin La. et les les tangentes d'arc e

AN et AN’, ou A\ mêmes valeurs pour cos pa ; ce résultat peut s'expliquer facifangentes sont lement.

15, 40), ntes sont inverse:

entaires ; c'est d'ail de l'équation (1! doitiés sont géométriques très « ; Car les tangentes ns le triangle rec par conséquent

… Un sinus étant donné, les arcs corr

espondants sont compris dans les formules (no 17)

2Kr+a et (2K-+ Dr—a; leurs donc comprises dans les formules : Kr+ ba

és

ui (4) “\ : . .

r + 29 La première donné, selon que K est pair ou im-

fair (no 15, 10 ot 30) :

4 es l + Sn ga = sin (Kr+5a = +sinya, nne l re = (Kx I re | Fe . I 08 Ga=—=c08 (Kr+Sa)= + cos 54, l cosinus ja © 2 2 2

Fe . 1 eu cd ! la deuxième : sin ga= sin (KT+5—5a)=+ 008 94»

PA ns

1 A an 1 COS ja = COS | KT+5—;5a = sin 4

à On peut encore se rendre Compte de ce résultat à l'aide d'une gure. En effet, un sinus donné MP=—sin a,

Épond à tous les arcs terminés en M ou À A . , à LAS IE én M'(n° 17); quand on cherche sin ja et / JEUN : # a 1) a 1 d it . \ ( ——— — {LA * Yy, On doit trouver les sinus et les co TE o rr j Fe pe 7) nus des moitiés de ces arcs. Or les moi- NX 7 À n à; tics des arcs terminés en M ont leur ex- NI = pui en N'ou en N'; si l'on prend SE SE BN, — AN, les arcs terminés en N;etN, Pia ; seront les moitiés des ares qui ont leur extrémité en M’. Ainsi " | — donc Sÿa à Quatre valeurs NC, N'C” sin a .

43 ND, ND’, égales deux

à deux et de signes contraires. Cos 54 à aussi quatre valeurs égales à celles du sinus.

Dans la pratique, l'arc & étant donné en même temps que son sinus, le problème cesse d’être indéterminé, on choisit sans

nue ‘ . 1 1 ambiguïté les signes convenai es pour sinÿa et cos ja.

1 k , Soit, par exemple, a—50°. On a ÿa—9250, le sinus et le

cosinus sont positifs, et, le sinus étant plus petit que le cosinus, On aura pour les relations intermédiaires :

sin, 250 + cos 250— + V1 Lsin 500, sûn 259 — cos 250 —— 1 — sin 500, et pour valeurs cherchées :

… oo VI + sin 500 — Vl— sin 500 sin 259 — 1 REA

cos 280 — V1 + sin 500 + VI — sin 500 Là “it — 2 bis nnmtnte y ———— er &

ä1. Transformation d'une somme ou d'une différence de deux lignes trigonométriques en un produit.

Le but de cette transformation est de remplacer une formule : renfermant la somme ou la différence de deux lignes trigonomé-

triques, par une autre calculable par logarithmes. Résolvons

d’abord la question pour la somme ou la différence de deux sinus où de deux cosinus

Reprenons les formules :

Sin (a+b)=sin a cos b+ sin b cos a, Sin (a—b)= sin a cos b— sin b cos a, COS (a+ b)=cos a cos b— sin a sin 0, COS (a—b)=—cos a cos b+ sin a sin b,

En les combinant deux à deux par addition ou par soustraction, on obtient :

sin (a+ b}+ sin (a—b)—9 sin a cos b; Sin (a+ b)—sin (a—b)=—9 cos a sin b, cos (ab) cos (a+ b)\—9 608 a cos b, COS (a—b)— cos (a+ b)—9 sin a sin b.

ÉRA S RSR Re n ss

Si l'on

et les for

ExEMPL1:

sin sin cos