CHAPITRE IV, — RÉSOLUTION DES TRIANGLES
ellet, que de chacun de ces trois systèmes on peut déduire les + deux autres. Nous proposons cette vérification comme exercice © (Probl. 345 et 346).
51, Il y a quatre cas prinçipaux dans la résolution d'un triangle quelconque, selon que l'on donne :
1° Un côté et deux angles;
2° Deux côtés et l'angle opposé à l’un d'eux ;
3° Deux côtés et l'angle compris:
4° Les trois côtés.
sa
A A a AE
02, 1°" Cas. On donne un cit:
$ ét d'ux angles B et C; on … demande l'angle À et les côtés À,
L'angle À est le supplément de a somme des angles Bet C, © donc A=1800—'B+C), Les relations obtenues entre les côtés et les sinus des angles op- WA posés (n° 49) donnent :
LasinB «sin G sin À à formules qui permettent de calculer b et ce.
53. 2° Cas. On donne deux côtés a et b et l'angle À opposé à l'un d'eux; on demande les deux angles B et C et le 3 côté c.
F b sin ; On obtient d'abord l'angle B par la formule : sin B= ë,
On a ensuite C—180°—{/AB) et enfin cn LS
sin B— sn.
* Pour que le problème soit possible, il faut A
| que l'on ait sin B—1 ou sin B1. Dans — \
“la 1" hypothèse, B—9,0 et l'on à 2 af : \ a—Ù sin A, c’est la perpendiculaire CD 7. EL (n°43); le problème n’admet évidemment D qu'une solution. a
288 Dans la 9c hypothès
nèse, ona bsin A<a; ® or l'angle B étant donné par son sinus, il existe deux valeurs qui y correspondent, l’une B’ moindre que 900 et l’autre H'
supplémentaire. On aura alors pour le3*angle C'— 1800— (A+ ou C"—= 1800— {A+ B"); les deux solutions seront admissibles
sil'ona ALB'< 1800 et A+-B"<180. Voyons dans quel cas cette dernière condition est remplie.
1% Cas. L'angle À est droit ou obtäus. L'angle B" étant obtus, il est évident que sa valeur est à rejeter. Pour que celle de B' puisse convenir, il faut qüe l’on ait A+-B'<[ 180, d'où il résulte B'<<1800— A, et par suile, sin B'<sin À, ou en rem- - : b sin À
plaçant B' par sa valeur .
lorsque l'angle donné est d olulion, et le problè
et simplifiant, a >b. Donc,
roit ou obtus, on ne peut avoir qu'une me n’est possible que si l’on a a 0.
2° Cas. L'angle À est aigu. Dans cecas, la condition A+B'<1800 est remplie, et la valeur B’ convient toujours. Quant à la valeur B”, elle conviendra également si l'on a A+B"<1800, d'où A<1800—B", et par suite sin À € sin B'; onen conclut comme précédemment 4<b. Quand cette dernière condition est remplie, on «a deux solutions ; il n'y en aurait qu’une dans le Cas contraire a=>b. Donc, lorsque l'angle donné est aigu, le problème est toujours possible ; mais il n'admet deux solutions que quand on a a<b, et ces deux solutions se réduisent à une lorsque a—b sin A.
En résumé, il ne peut y avoir deux solutions que si l'angle donné est aigu, et en même temps, le côté opposé à cet angie plus petit que le côté adjacent. Il est essentiel d'examiner les données du problème avant de Commencer les calculs, afin d'éviter des opérations inutiles.
On peut retrouver les résultats précédents en discutant l’équation a —=b+c 9e cos A, résolue par rapport à c. {Voir le problème 348.)
