REPRESENTATION DES GRANDEURS ALTERNATIVES

Par suite

G,i= G'.r{l +a + i. + ...■) = G'., + aG'^ + ÔG',» -f ...

Si la concordance des phases n'existe pas, l'addition des valeurs efficaces ne procure pas le résultat eu vue.

Etant donnés les valeurs efficaces et les décalages de phase relatifs de plusieurs grandeurs périodiques de môme fréquence, le calcul de la valeur efficace et de la phase de la grandeur qui est égale à chaque instant k la somme algébrique des valeurs simultanées des premières peut être effectué très simplement, quand

on a affaire à des fonctions sinusoïdales simples du temps, à l'aide d'un tracé graphique qui se déduit des considérations suivantes.

Soit une droite OA {/ig. 8) tournant d'un mouvement uniforme autour du point 0, dans le plan du papier et dans le sens de la flèche circulaire, de ma-

nière à décrire un angle de 360" en un temps T égal à la période commune des diverses grandeurs, dont les valeurs instantanées, représentées, avec les signes correspondant à leurs sens relatifs, par les symboles 9i< 9i- Os- ■■■' seront d'abord supposées s'ajouter conformément à l'expression j, -+- (/^ + ?3 + ■■■ L'angle balayé par la droite en t secondes estainsi de = 360°. Si

l'on donne à cette droite une longueur représentant l'amplitude d'une des grandeurs, on sait que la projection Oô de sa longueur sur une droite fixe du plan, telle que OY, varie suivant la loi sinusoïdale simple que suivent les valeurs instantanées g^ de la grandeur considérée, il est aisé de reconnaître que les valeurs simultanées y., et g-^ de deux autres grandeurs décalées par rapport à la précédente de temps quelconques f[ et /j sont figurées par les variations des projections Ob et Oc de deux droites OB et OC, de longueurs respectivement égales aux amplitudes de ces nouvelles grandeurs et participant au mouvement de OA tout en restant inclinées sur sa direction d'angles

de =1 360 et =? 360 degrés, en avant ou en arrière par

rapport au sens de roLation adoptt^ suivant que les phases des dernières grandeurs avancent ou relardent sur celle de la premif-re.

Si l'on porte à la suite de OA une droite AB' égale et parallèle à QB, puis k la suite de AB' une droite B'C égale et parallèle à OC, les projections ah' et h'c de AB' et de B'C sur OYsont évidemment égales à OA et Oc, de sorte que, si l'on suppose que la ligne brisée OAB'C est entraînée sans déformation dans le mouvement de rotation autour du centre 0, Oc' représen-

REPRESENTATION DES GRANDEURS ALTERNATIVES li

tera k chaque instant la somme 5", + Ç2 + ^3. Comme Oc' est d'ailleurs la projection sur OY de la droite OC, qui joint l'origine k l'extrémité de la ligne brisée, l'on voit que la longueur de cette droite est la mesure de l'amplitude de la grandeur dont li valeur est à chaque instant égale à. g^ -i-g^ + g^, que la grandeur résultante est sinusoïdale et que les décalages de sa phase par rapport aux phases des grandeurs composantes sont figurés par les angles que la direction OC fait respectivement avec OA, OB et OC. C'est ainsi que sa

phase avance d'un temps ^ ' T sur celle de OA.

Si, dans l'expression algébrique générale de la valeur instantanée de la grandeur résultante, le symbole afférent à l'une des grandeurs composantes, g-^ par exemple. éJUiit^précédé diiaigne v^, il faudrait mener par B' une droite B'C° égale et parallèle à OC, mais orientée en sens inverse. Dans ce cas, la grandeur résultante serait figurée en amplitude et en phase par la droite OC.

Il est à remarquer que Tordre de succession des diverses droites OA, AB' et B'C ou B'C" suivant la ligne brisée n'a aucune influence sur la longueur et sur la position relative de la droite qui en joint l'origine à l'extrémité.

Puisque le rapport entre les valeurs maxima et efficaces des grandeurs sinusoïdales est constant (^2), il s'ensuit qu'eu donnai t, dans les constructions graphiques précédentes, aux droites OA, AB', B'C ou B'C" des longueurs égales aux valeurs efficaces des grandeurs correspondantes, OC ou OC" sera aussi la valeur efficace de la grandeur résultante.

De ce qui précède résulte la règle suivante pour le

calcul graphique de la valeur efficace et de la phase d'un» grandeur égale, à chaque instant, à ta somme algébrique de plusieurs autres grandeurs sinusoïdales dont on connatt les valeurs efficaces et les décalages de. phase relatifs.

On commence par tirer auluur et ù partir d'un point les vecteurs des grandeurs données, c'est-à-dire des droites terminées par des flèches, de longueurs proportionnelles, à une échelle convenable, aux valeurs efficaces de ces grandeurs et faisant entre elles des angles correspondant aux décalages relatifs de leurs phases. Pour ce tracé, on adopte par exemple la convention de porter en sens inverse du mouvement des aiguilles d'une montre les angles d'avance et dans le sens de ce mouvement les angles de retard. On juxtapose ensuite bout à bout, suivant un ordre quelcon<{ue, des droites égales et parallèles aux vecteurs précédents, orientées dans les sens indiqués par les flèches de ceux-ci ou en sens contraires, selon que les symboles des valeurs instantanées des grandeurs auxquelles les vecteurs se rapportent sont, dans la somme, affectés du signe -(- ou du signe — . La longueur du côté nécessaire pour fermer en polygone la ligne brisée obtenue figure, à l'échelle admise, la valeur efficace de la grandeur cherchée, dont la phase est, d'autre part, définie par les angles que fait, avec les droites divergentes tracées d'abord, un vecteur mené de leur point de concours parallèlement k ce côté et dans le sens de l'origine du premier élément de la ligne brisée vers l'extrémité terminale du dernier.

Ainsi donc, d'une manièri" générale, à une sommation algébrique des valeurs instantanées des grandeurs sinusoïdales correspond une sorte de sommation ge'omé-

REPRÉSBNTATrON DES GRANDECRS ALTERNATIVES 13

trique de leurs valeurs efficaces, effectuée en composant leurs vecteurs suivant le procédé auquel on a recours en Mécanique pour déterminer la résultante d'un système de forces concourantes.

La sommation géométrique seramène à une somma- ' iion algébrique lorsque les grandeurs composantes sont en concordance de phase, puisque le polygone se réduit alors à une ligne droite, tous les vecteurs ayant la rnÊme direction.

Dans les constructions graphiques dont il vient d'être question, deux grandeurs dont les phases se succèdent à un intervalle de ( secondes sont représentées par deux vecteurs faisant entre eux un angle de

s; 360° et, réciproquement, deux vecteurs inclinés l'un

sur l'autre d'un angle de a° figurent deux grandeurs

présentant un décalage de phase de ^rjrp: T secondes,

si la période des variations des grandeurs considérées

est de T secondes ou leur fréquence de = périodes par

seconde.

Dans la suite, nous exprimerons les avances et retards de phase indifféremment en secondes, en fractions de la période ou en degrés de la circonférence. Ainsi, des décalages de 90, 120, 180, 240 degrés seront synonymes respectivement de décalages d'un quart, d'un tiers, d'une moitié, de deux tiers de période.