ER:OR::EO:MQ

ou d'où

M.iis donc

ER:2fl+Ar::x:v/a:-x\ ■ix'a+x

Va'—x:

MP ou y=ER-»-.MO.

Va-x

ce qui donne, eu effectuant les calculs et élevant !.• membres au carré

y -ITT*

équation qui est celle d'une cissoTde. — Ces deux rv.' doivent suflire pour faire voir comment, à l'aide despn;. de la géométrie, combinés avec les moyens analytique» f « par l'algèbre, on peut trouver une équation exprimait! Ila lions qui existent entre les différents points d'une n-. > dont on connaît quelques-unes des propriétés.

11. Etant donnée l'équation d'une courbe . ta if"r trouver ses priucipafet propriétés.

Quand une courbe plane est donnée par son èqaalioi' > de pouvoir la décrire on conçoit deux droites fixes qui v • pent, et sur lesquels s on porte les longueurs qu'<w m aux variables contenues daus l'équation. Menant alors p»' points des droites parallèles a ces droites fixes, qu'un «flaxes des coordonnées, leur inlerseclioii détermine les|-« la courbe. L'angle que les axes forment entre eux et«U fait arbitraire, nous le supposerons droit dans toute» les y' sionsqui vont suivre. I" On demande de tracer laceutl» primée par l'équation

*.y-x'--x* on en tire pour la valeur de y

Cette équation se décomposant en deux parties

y—r \-r-x j et y=x: I— x').

On voit que la courbe aura deux branche», qui !0J|^ ^ ' passeront par l'origine des coordonnées, puisque " et dans l'autre pour r=<>, on a y=rO. Considérons J première équation " augmente aussi branche s'étend i

ton. A mesure que x augmente pusi!i,rtl!'^.' i positivement, et pour *=*• 1^* u \ 1 donc à l'inllui dans le sens des \*

positifs. Si on donne à x des valeurs négative. * ' imaginaire, et |«r conséquent celte branche Je » ™" pas de points du coté des X négatifs. - Qu-""1 ' >, deuxième équation ou suppose x=t. on a y^"*1'* \de courbe coupe donc I axe des X au point n. 1»

COl'RBE.

! uit supposée égale à l'unité. Pour toutes les râleurs positives

!" x, plus grandes que l'unité, le facteur t— x* devient néga- >i et par conséquent les valeurs de y sont négatives. Et ninie pour x=» , y=ao , celle branche de courbe s'étend ; infini dans le sens des X positifs et des Y négatifs. Pour les

i leurs négatives de x, x* devenant imaginaire, il n'y a pas m plus de points de la courbe du côté des X négatifs. — Si

" difTéreiilic l'équation , en regardant x comme la variable > !• pendante, on trouve pour la dérivée par rapport à y

(i exprimant, pour abréger, la première dérivée différentielle d,/ nar »

Ko valeur devenant zéro pour x=0, les deux branches de la •îrlx? sont à l'origine tangentes à l'axe des X. Le point A. qui i < ominun aux deux branches rie la rourbe, est un point de

'-tirousseiuent de deuxième espèce. — -Jr Supposons que nous

» •»liur* construire le lien de I équation

■u ni tire pour la valeur de y

« valeur de y étant affectée du double signe, à chaque valeur - x correspondront deux valeurs de y égales et de signes ....H ores, et par conséquent la court* aura deux branches.

l'étions AB=6 et AC=a. Pourx=0; y=oo , les deux bran- •■!>.> de la courbe ne rencontrant l'axe des Y qu'à l'infini, cette 'in.,tc leur est asymptote. Pour toutes les valeurs de x plus , • nu.s uue 6, le facteur x- h est négatif, et alors la première * il'-ur de y est négative, et la seconde positive. Les valeurs •'••croissent à mesure que x augmente, et colin pour x=6 elles l< tiennent toutes les deux nulles. Les deux branches de la 1 "iirbe passent donc par le point B. Pour x>6 le facteur x— 6 ! menant positif, la première valeur de »/ est positive cl la > '">nde négative; c'esl-à-dire que la branche de courbe qui trouvait au dessous de l'axe des X est passée au-dessus,

1 que celle qui élail au-dessus est passée au-dessous. — I ■'•fin, pour x=a le facteur y/a'—*' devenant zéro, y=Oet l' s deux branches de la courbe passent par le point C. Pour '•"îles valeurs de x plus grandes que o, le facteur \/a'—x' ' venant imaginaire, il n'y a pas de point de la courbe au delà •m» point C. 1-e point B, par lequel passent les deux branches

« l i courbe, s'appelle point multiple, et la partie BdQB est <:■■ lupud. - Si maintenant nous donnons à x des valeurs nct-'iivc», la valeur de y devient

pour x=0, y=» , par conséquent l'axe des Y est encore asymptote des deux branches de la courbe. A mesure que la valeur de x augmente, la valeur de y diminue ; enfin pour x=a, y=û, cl eu ce point les deux branches de la rourbe coupent l'axe des X. Ponr x>a le facteur */«•'- x' devenant imaginaire, il n'y a pas de point de la courbe au delà du point D. — Pour savoir s'il y a un point de rebroussement en l>, il faudrait diflcrculier la \aleur de y en regardant x comme variable indépendante , et faire ensuite x=a dans la valeur de y. Or. on trouverait que dans ce cas y — x , et par conséquent la courbe, en ce point , est tangente a l'axe des Y. — Si dans l'équation de la courbe on avait a—b, alors il y aurait un point de rebroussement en B. Si a <b, on aurait alors un point conjugué. Celle courbe est la conchoïde. — Newton a fait voir que les courlws peuvent être engeudrées par des ombres. Si, dit-il. sur un pian infini, éclairé par un point lumineux, on projette les ombres de certaines ligures, on aura la projection des courbes. Les ombres des sériions coniques Seront toujours des sections coniques ; celles des courbes du second ordre seront de cet ordre, et ainsi pour les autres courbes. La projection de l'ombre d'un cercle pouvant engendrer toutes les sections coniques, de même les cinq paraboles divergentes engendreront par leurs ombres toutes les autres courbes du second ordre. On pourra de même, dans les autres ordres, trouver quelque* courbes parmi les plus simples qui, par leur ombre projetée sur un pian, pourront engendrer toutes les autres courbes du même ordre. — Lorsqu'on coupe une surface par un plan, on détermine une courbe plane. Les intersections des surfaces du second deeré par une suite de plans parallèles sont des courbes semblables, et scinhlahlcincnl placées. Deux courbes d'un ordre quelconque, situées dans le même plan ou dus des plans parallèles, sont semblables, et seiublableinent

- ées , lorsqu'après avoir pris dans la première un point 0

- 11 que et mené divers rayons vecteurs «M, ON, on peut

trouver dans la seconde 0 .M , O N", menés parall même sens, soient avec c'est-à-dire qu'on ail

un point 0' tel que les rayons vecteurs ï'kmrnt aux premiers et d'irisés rlans le les premiers dans un rapport constant,

OM ON o.M oN' -

Les points 0 cl n' sont dits centre de similitude, et il suffît de leur existence pour qu'il y en ait une infinité d'autres. — Si les rayons vecteurs de la seconde courbe n'étaient pas parallèles à ceux de la première, mais faisaient des angles égaux avec deux droites OX et 0 X de direction différente, les courlies seraient seulement semblables, et pour qu'elles fussent serublableinciit placées, il suffirait de faire tourner la seconde courbe autour du point 0' d'un espace angulaire égal à l'angle compris entre les deux droites OX et O'X'. Si après ce mouvement on transposait la seconde cou rbe parallèlement à elle-même, de manière a faire coïncider les deux points 0 et 0 les deux courbes deviendraient concentriques quant à leur centre de similitude. — Ces conditions de similitude peuvent être exprimées anatytiquement. Supposons que l'.x, y)=0 el f\x , y')~<> soient ie> équations de deux courbes rapportées aux mêmes axes. Prcnons pour origine des coordonnées le centre de similitude de la première, el désignons par a et |t les coordonnées du centre de similitude de la seconde. La relation qui doit exister, pour que les deux courbes soient semblables, est

« Ol'RRI S.